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Alcune riflessioni sulla nozione di Lipschitzianita'

Martedi' 25 maggio - Prof. Tullio Valent

ARGOMENTI: Seminari

Martedi' 25 maggio ore 16:30 in aula 1A/150 il Prof. Tullio Valent
terra' una conferenza dal titolo "Alcune riflessioni sulla nozione di Lipschitzianita'".

-Abstract
Ci si propone di estendere la nozione di (locale) lipschitzianità per funzioni agenti tra spazi vettoriali in contesti più generali di quello consueto degli spazi normati; anzi, di cercare l'ambiente più generale nel quale la nozione ha un senso.
Come accade quando si vuole estendere la nozione di differenziabilità in ambiti più generali di quello degli spazi normati, anche per la lipschitzianità si constata che non c'è una sola estensione possibile e ragionevole.
Nel caso di funzioni agenti tra spazi vettoriali topologici localmente convessi una definizione ragionevole di lipschitzianità mi è sembrata spontanea. Parleremo, poi, di lipschitzianità “debole”, intendendo con ciò la lipschitzianità rispetto alle topologie “indebolite”.
Sempre nel caso di funzioni che agiscono tra spazi localmente convessi un'altra nozione di (locale) lipschitzianità viene pure spontaneo considerare: essa non è legata alle due topologie vettoriali ma alle bornologie di von Neumann associate a tali topologie, e quindi, in definitiva ai duali dei due spazi localmente convessi. Per questo motivo parlerò, in questo caso, di lipschitzianità “bornologica”. La lipschitzianità (anche debole), di una funzione implica la sua lipschitzianità bornologica; l'affermazione reciproca sussiste se il dominio della funzione è normabile. La lipschitzianità bornologica presenta alcuni vantaggi che derivano sostanzialmente dal fatto che che una funzione è bornologicamente lipschitziana se e solo se lo è “scalarmente”.
Utilizzando questo fatto ho potuto mostrare dei teoremi di invertibilità, con inversa bornologicamente lipschitziana, per funzioni bornologicamente lipschitziane tra spazi di Fréchet.
Da quanto s'è detto sopra segue che, per una funzione che agisce tra due spazi vettoriali X, Y, ha senso parlare di lipschitzianità bornologica rispetto ad una coppia (F,G), ove F è un assegnato sottospazio vettoriale del duale (algebrico) di X e G è un assegnato sottospazio vettoriale del duale (algebrico) di Y. Ciò suggerisce la considerazione di una nozione di lipschitzianità rispetto ad una coppia (F,G), con F insieme di funzioni reali (non necessariamente lineari) definite in X e G insieme di funzione reali definite in Y. L'assegnazione di F (risp. di G) viene a definire su X (risp. su Y) (in un modo che qui non sto a precisare) una struttura che potremmo chiamare “semibornologica” . Quello degli spazi vettoriali semibornologici mi sembra, in realtà, essere l'ambiente più generale nel quale si possa dare, in maniera proficua, una nozione di (locale) lipschitzianità per funzioni agenti tra spazi vettoriali. Una scelta interessante di F (risp. G) è quella dell'insieme delle funzioni reali sublineari definite su X (risp. Y).

Rif. int. F. Cardin, G. De Marco, U. Marconi

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