Sistemi lineari

Sistemi di equazioni lineari su R. Rango e nullità di un sistema. 
Determinazione delle soluzioni di un sistema lineare col metodo di Gauss. Teorema di Rouché-Capelli. 


Matrici e determinanti.

Matrici ed applicazioni lineari. Matrice trasposta. Matrici invertibili. Rango di una matrice. 
Matrici elementari.  Determinanti di matrici quadrate. 
Interpretazione geometrica: Area di un triangolo e volume di un tertraedro.  
Equivalenza e similitudine di matrici. Diagonalizzabilità e triangolarizzabilità. 
Polinomio caratteristico, teorema di Hamilton-Cayley. Matrici nilpotenti. Matrici ortogonali.


Spazi vettoriali su R.

Definizione di spazio vettoriale. Sottospazi vettoriali. Operazioni su sottospazi. 
Sottospazi generati da un insieme di vettori. Dipendenza e indipendenza lineare. 
Applicazioni lineari. Nucleo e immagine di una applicazione lineare. 
Teorema fondamentale sulle applicazioni lineari. Matrice associata ad applicazione lineare. 
Cambiamenti di base. Autovalori, autovettori e autospazi.
Proiezioni e simmetrie.

Spazi affini

Definizione di spazi affini e sottospazi affini. Sistemi di riferimento.
Coordinate affini. Coordinate baricentriche. Esempi rette, piani. 
Equazioni parametriche e cartesiane di sottospazi affini. 
Condizioni e parallellismo, complanarità, ecc. 

Spazi euclidei (piano e spazio)

Prodotto scalare. Prodotto vettoriale. 
Versore normale ad un piano.
Distanza tra punti, distanza punto-retta, punto-piano, retta-retta.
Aree di triangoli, volumi di parallelepipedi e tetraedri. Angolo tra due
rette icidenti, angolo tra due piani, angolo retta-piano se incidenti. 
Isometrie del piano e dello spazio.


 Forme bilineari e le loro matrici;  forme simmetriche e forme quadratiche; 
coniche e quadriche come forme quadratiche;  diagonalizzazione tramite matrici ortogonali;   
fasci di coniche.  Procedimento di Gram-Schmidt e  prodotti scalari.