Laurea Triennale in Matematica
Vi domanderete se esistano all'università anche persone non corrotte, persone che non adorano il potere e che odiano i compromessi, persone che pensano solo alla cultura e non ai maneggi che servono per fare carriera. Sì, ne esistono, pochissime, ma ne esistono. Ma forse sono le peggiori. Perché si tratta di poveri illusi che finiscono, a loro volta, per illudere invano altri illusi. Ossia poveri ragazzi, in genere molto preparati e studiosi, ragazzi che non si inseriranno mai all'università e che si troveranno poi, ormai vecchi, senz'arte né parte.
Maria Tasinato, Il grotto della vendetta.
Anno Accademico 2011/2012
Qui potrete trovare informazioni ed esercizi relativi al corso.
Il libro ufficiale del corso è:
Candilera - Bertapelle,
Algebra Lineare e primi elementi di Geometria, McGraw-Hill
Una lista di errori trovati nel testo. Grazie in anticipo a chi volesse segnalarne altri (...nella speranza che non siano molti).
Per il momento si può consultare il programma dell'anno scorso
Altre informazioni "storiche" sul corso si possono trovare nel sito di Maurizio Cailotto.
PRIMA PARTE
Fogli di esercizi
- Oltre a quanto visto a lezione si consiglia di leggere queste paginette sul linguaggio che utilizzeremo per parlare di insiemi, tratte dal libro Topology di James Munkres (Prentice Hall, 2000).
- (20.10.11) un foglio di esercizi sui numeri complessi. Per chi vuole approfondire un po', suggerisco di leggere la paginetta, distribuita l'anno scorso, con la dimostrazione del fatto che le le trasformazioni di Möbius conservano gli angoli.
- primo foglio (26.10.11)
- Il secondo foglio (04.11.11) di esercizi (...chi li ha fatti tutti può leggersi la paginetta sul modo di disegnare l'ipercubo distribuita l'anno scorso).
- Il terzo foglio (16.11.11) di esercizi. Lettura suggerita: la paginetta sui campi finiti distribuita l'anno scorso.
- quarto foglio (23.11.11). Una paginetta con un lungo esercizio di Ernesto Mistretta sulle relazioni tra spazi vettoriali reali e complessi. Per chi voglia vedere qualche applicazione nel mondo reale dei sistemi lineari (chimica, economia, elettronica, flussi di traffico,...) suggerisco di leggere (e fare gli esercizi) le pagine proposte da William Chen dell'Università Macquarie di Sidney (Australia).
- quinto foglio (18.12.11). Un approfondimento sulle applicazioni multilineari alternanti (già distribuito l'anno scorso).
- A chi ha già capito tutto e vuole leggere qualcosina in più durante le prossime vacanze di fine anno, consiglio queste due paginette sulle combinazioni convesse del Programma estivo 2004 del Park City Math Institute di Princeton.
- sesto foglio (18.01.12) con esercizi sullo spazio vettoriale duale e qualche cenno al prodotto tensoriale. Una paginetta su un insieme di generatori per il gruppo lineare speciale, le trasvezioni (in un punto si accenna a polinomio minimo e polinomio caratteristico di un endomorfismo che saranno presentati nella seconda parte del corso. La loro conoscenza non è essenziale per la comprensione del testo).
Esercitazioni -- Tutorato
Gli studenti che abbiano problemi nella comprensione dei contenuti del corso sono invitati a partecipare ai seguenti incontri, per discutere dei problemi incontrati e rivedere, per quanto possibile, gli argomenti su cui si sono incontrate difficoltà.
- 13 dicembre 2011, h 14.30, Aula 1C150 (revisione primo compitino)
- 19 dicembre 2011, h 14.30, Aula 1A150 (sciopero ...scusate)
- 11 gennaio 2012, h 14.30, Aula 1C150 (ancora su applicazioni lineari)
- 18 gennaio 2012, h 14.30, Aula 1C150 (determinanti e dintorni)
- 25 gennaio 2012, h 14.30, Aula 1C150 (dualità e dintorni)
Prove d'esame
- Primo compitino (02.12.2011) -- Risultati
- Secondo compitino (03.02.2012) -- Risultati complessivi.
- Primo appello (08.02.12)
-- Risultati
Correzione delle prove d'esame e visione di compiti (e compitini) corretti il giorno 16.02.2012, ore 9.30, aula 2BC60 (Torre Archimede). - Secondo appello (28.02.12) Risultati
Moebius Transformations Revealed
(Douglas Arnold and Jonathan Rogness of the University of Minnesota)SECONDA PARTE
Fogli di esercizi
- settimo foglio (08.03.12) e la dimostrazione fatta a lezione del Teorema di Hamilton-Cayley (che differisce da quella presente nel libro).
- ottavo foglio (13.03.12) e una paginetta di Valentino Cristante sulla forma di Jordan.
- Qualche paginetta di approfondimento (i contenuti presentati qui non sono necessari per la comprensione del corso, ma potranno essere utili in successivi approfondimenti ed applicazioni). Una breve dimostrazione del Teorema di Perron e Frobenius sugli autovalori di matrici reali ad entrate non negative. Introducendo la dimostrazione si parla di norme sui vettori e sugli endomorfismi di uno spazio vettoriale complesso e perciò diamo in un foglio a parte qualche dettaglio in più sull'argomento.
- nono foglio (03.04.12).
- decimo foglio (05.05.12).
Ancora un po' di geometria affine con qualche esempio di uso delle coordinate baricentriche.
Si consiglia la lettura della paginetta sul piano con 9 punti distribuita l'anno scorso. - undicesimo foglio (05.05.12) Finalmente nello spazio Euclideo.
- dodicesimo foglio (16.05.12) (sempre geometria
euclidea)
Come l'anno scorso suggerisco di leggere qualche approfondimento sul volume e sull'algebra delle forme multilineari alternanti (vedersi il foglio nella prima parte...). - tredicesimo foglio (23.05.12) (ancora e sempre geometria euclidea)
- Come l'anno scorso, gli esercizi sulle isometrie [quattordicesimo foglio (30.05.12)] proposti da Ernesto Mistretta e un piccolo riassunto della classificazione delle isometrie.
Esercitazioni -- Tutorato
Gli studenti che abbiano problemi nella comprensione dei contenuti del corso sono invitati a partecipare agli incontri di tutorato, per discutere dei problemi incontrati e rivedere, per quanto possibile, gli argomenti su cui si sono incontrate difficoltà.
- ogni MARTEDI alle h 14.30, Aula 1C150 (salvo diverso avviso)
- 6 marzo 2012, h 14.30, Aula 1C150 (correzione II appello)
- 13 marzo 2012, h 14.30, Aula 1C150 (diagonalizzazione di matrici per simiglianza)
- 20 marzo 2012, h 14.30, Aula 1C150 (diagonalizzazione e forma di Jordan). Metto qui la risoluzione di un esercizio (dal libro di Kostrikin e Manin), proposto da uno studente e che non ho svolto in aula.
- 27 marzo 2012, h 14.30, Aula 1C150 (ancora su polinomio minimo e forma di Jordan).
- 3 aprile 2012, h 14.30, Aula 1C150 (Spazio affine e sottovarietà lineari).
- 17 aprile 2012, h 14.30, Aula 1C150 (trasformazioni affini e loro matrici).
- 24 aprile 2012, h 14.30, Aula 1C150 Sospesa -- Compitino di Analisi 1.
- 8 maggio 2012, h 14.30, Aula 1C150 (correzione compitino).
- 15 maggio 2012, h 14.30, Aula 1C150 (esercizi nello spazio euclideo).
- 22 maggio 2012, h 14.30, Aula 1C150 (isometrie dello spazio euclideo).
Prove d'esame
- Primo compitino (04.05.2012)
Risultati. Visione degli elaborati corretti: martedi 15.05, aula 1C150 - Il secondo compitino si terrà il 19.06.2012, in Aula P3 (Edificio Paolotti), alle ore 09.30 (Non ci sono liste: sono ammessi quelli che hanno superato la prima prova).
Le prove scritte sulle due parti del corso sono fissate nei giorni
27.06.2012, ore 09.00, aule LuM250, P200 (e LuF1).
11.07.2012, ore 09.00, aule LuM250, P200 (e LuF1).
05.09.2012, ore 09.00, aula 1C150.
19.09.2012, ore 09.00, aula 1C150.
Le prove orali sono fissate nei giorni
05.07.2012, ore 09.00, aula 1AD100 (Torre Archimede).
16.07.2012, ore 09.00, aula 2AB60 (Torre Archimede).
10.09.2012, ore 09.00, aula 1AD100 (Torre Archimede).
21.09.2012, ore 09.00, aula 1C150 (Torre Archimede).
Gli studenti che avranno ottenuto allo scritto un voto minore o uguale a 25/30, la prova orale si terrà in forma scritta (SIC!). Esempi di domande per la prova orale
Per partecipare alle prove è necessario iscriversi su Uniweb. (...e cancellare la propria iscrizione, se si cambia idea).
Per un inquadramento storico sulla Geometria Proiettiva ed il suo ruolo all'interno della Geometria, suggerisco di leggere i brevi cenni storici inseriti da Federigo Enriques nelle sue lezioni del 1898.
Un'altra lettura che vorrei consigliare per dare un'indicazione su alcuni metodi che si possono applicare allo studio di problemi geometrici sono alcune paginette sull'omologia ed il teorema di classificazione delle superficie reali. Il contenuto non richiede nessuna tecnica che vada al di là di quanto viene presentato nei primi corsi di Algebra e Geometria, ma può essere utile avere una certa dimestichezza con la capacità di astrazione. (Se si riscontrano errori, ringrazio in anticipo chi vorrà segnalarmeli)
...sauter à pieds joints sur les calculs, grouper les opérations, les classer suivant leurs difficultés et non leur forme, telle est suivant moi la mission des géomètres futurs.
Evariste Galois
Il libro ufficiale del corso è stato:
Candilera - Bertapelle,
Algebra Lineare e primi elementi di Geometria, McGraw-Hill
Il programma per l'anno 2010/11.
Altre informazioni "storiche" sul corso si possono trovare nel sito di Maurizio Cailotto.
PRIMA PARTE
Fogli di esercizi
Ogni settimana sono stati distribuiti dei fogli di esercizi ed in modo meno regolare delle paginette con commenti e divagazioni. Lasciamo solo un link a queste ultime.- Una paginetta sulle potenze nel campo complesso
- Una paginetta con la dimostrazione del fatto che le trasformazioni di Möbius conservano gli angoli.
- Una paginetta sul modo di disegnare l'ipercubo.
- Una paginetta con qualche osservazione sui campi finiti.
- Qualche paginetta sulle applicazioni multilineari alternanti.
Alcuni commenti alla dimostrazione
di Gauss del Teorema Fondamentale dell'Algebra
dal sito di Ehud Hrushovski.
I più attenti alla filologia, possono leggere anche
l'articolo originale di Gauss
dal sito thelatinlibrary.com.
SECONDA PARTE
Fogli di esercizi
Ogni settimana sono stati distribuiti dei fogli di esercizi ed in modo meno regolare delle paginette con commenti e divagazioni. Lasciamo solo un link a queste ultime.- Una paginetta di Valentino Cristante sulla forma di Jordan.
- Una paginetta sul piano con 9 punti.
- Qualche approfondimento sul volume e sulle forme multilineari alternanti (vedersi il foglio nella prima parte...).
- Un piccolo riassunto della classificazione delle isometrie.
- Una breve nota sulla geometria dei Quaternioni dal sito di Giorgio Ottaviani (Università di Firenze).
Infine, una dimostrazione del Teorema Fondamentale dell'Algebra, basata sull'Algebra Lineare, (pubblicata sul Monthly dell'AMS 110 del 2003 e leggibile alla fine del corso) potete trovarla nel sito di Harm Derksen (University of Michigan) [...nella dimostrazione c'è un piccolo problema di segno]
Prove d'esame
I testi (in gran parte svolti) delle prove d'esame sulla prima parte e sulla seconda parte
Anno Accademico 2008/2009
La pagina web "ufficiale" del corso è nel sito di
Maurizio Cailotto.
Il programma del corso, è reperibile qui. (la prova orale verterà sui contenuti di tutte e due le due parti del corso)
Prove d'esame (prima parte)
Anno Accademico 2009/2010
Una paginetta sulla costruzione di poligoni regolari con riga e compasso.
Il programma del corso 2009/10.
(la prova orale verterà sui contenuti di tutte e due le due parti del corso)
Per il corso si è usata la dispensa
scritta da Maurizio Cailotto.
Prove d'esame della PRIMA PARTE e della SECONDA PARTE
Non potendo più dare per scontato che uno studente universitario sappia riconoscere le lettere dell'alfabeto greco quando le incontra, ecco una tabellina segnaletica delle lettere greche.
Laurea Triennale in Matematica
Far between sundown's finish an' midnight's broken toll
We ducked inside the doorway, thunder crashing
As majestic bells of bolts struck shadows in the sounds
Seeming to be the chimes of freedom flashing
Flashing for the warriors whose strength is not to fight
Flashing for the refugees on the unarmed road of flight
An' for each an' ev'ry underdog soldier in the night
An' we gazed upon the chimes of freedom flashing.
In the city's melted furnace, unexpectedly we watched
With faces hidden as the walls were tightening
As the echo of the wedding bells before the blowin' rain
Dissolved into the bells of the lightning
Tolling for the rebel, tolling for the rake
Tolling for the luckless, the abandoned an' forsaked
Tolling for the outcast, burnin' constantly at stake
An' we gazed upon the chimes of freedom flashing.
Through the mad mystic hammering of the wild ripping hail
The sky cracked it's poems in naked wonder
That the clinging of the church bells blew far into the breeze
Leaving only bells of lightning and it's thunder
Striking for the gentle, striking for the kind
Striking for the guardians and protectors of the mind
An' the poet an the painter far behind his rightful time
An' we gazed upon the chimes of freedom flashing.
In the wild cathedral evening the rain unraveled tales
For the disrobed faceless forms of no position
Tolling for the tongues with no place to bring their thoughts
All down in taken-for granted situations
Tolling for the deaf an' blind, tolling for the mute
For the mistreated, mateless mother, the mistitled prostitute
For the misdemeanor outlaw, chased an' cheated by pursuit
An' we gazed upon the chimes of freedom flashing.
Even though a clouds's white curtain in a far-off corner flashed
An' the hypnotic splattered mist was slowly lifting
Electric light still struck like arrows, fired but for the ones
Condemned to drift or else be kept from drifting
Tolling for the searching ones, on their speechless, seeking trail
For the lonesome-hearted lovers with too personal a tale
An' for each unharmfull, gentle soul misplaced inside a jail
An' we gazed upon the chimes of freedom flashing.
Starry-eyed an' laughing as I recall when we were caught
Trapped by no track of hours for they hanged suspended
As we listened one last time an' we watched with one last look
Spellbound an' swallowed 'til the tolling ended
Tolling for the aching whose wounds cannot be nursed
For the countless confused, accused, misused, strung-out ones an' worse
An' for every hung-up person in the whole wide universe
An' we gazed upon the chimes of freedom flashing.
Robert Zimmermann
Anno Accademico 2004/2005
Il programma del corso.
Fogli di esercizi (di Maurizio Cailotto).
Una paginetta sulla costruzione di poligoni regolari con riga e compasso.
Anno Accademico 2005/2006
Il programma del corso.
Anno Accademico 2006/2007
Con l'attivazione del corso di Algebra 1 al primo trimestre, vengono trasferiti in quel corso alcuni dei contenuti iniziali. Ecco un indicazione del programma del corso.
Sono state distribuite alcune brevi note sulla Geometria dei numeri complessi (trasformazioni di Möbius, proiezione stereografica...) ad integrazione di quanto contenuto nella dispensa. Il contenuto fa ora (2010/11) parte del libro.