Programma del corso di Geometria
Corso di Laurea ``Nuova" in Astonomia
Anno Accademico 2002-2003
Il libro di testo sarà W.K. Nicholson Algebra Lineare
(in italiano) della casa editrice McGraw-Hill.
Spazi vettoriali ed applicazioni lineari
Sistemi di equazioni lineari sopra un corpo K.
Equazione lineari. Dipendenza ed indipendenza lineare di soluzioni ed equazioni.
Rango e nullità di un sistema. Determinazione delle soluzioni di
un sistema lineare col metodo di Gauss. Teorema di Rouché-Capelli.
Accenno ai problemi che sorgono quando l'annello di base non è un
corpo.
Spazi vettoriali astratti.
Sottospazio generato da un insieme. Dipendenza ed indipendenza lineare.
Basi. Somma diretta e prodotto tensoriali di spazi vettoriali. Applicazioni
lineari. Nucleo e immagine di una applicazione lineare. Teorema fondamentale
sulle applicazioni lineari. Equazioni di una applicazione lineare. Cambiamenti
di coordinate. Endomorfismi nilpotenti. Spazi duali. Applicazione trasposta.
Annullatori. Rango e nullità di una applicazione e della trasposta.
Spazio quoziente. Teoremi di omomorfismi. Isomorfismi e basi. Algebra degli
endomorfismi di uno spazio vettoriale. Somma diretta e prodotto diretto.
Matrici e determinanti
Matrici ed applicazioni lineari. Rango di una matrice. Determinanti di
matrici quadrate. Interpretazione geometrica: Area di un triangolo e volume
di un tertraedro e determinanti associati. Formule fondamentali sui determinanti.
Regola di Cramer. Accenni sull'algebra esterna.
Introduzione alla geometria degli spazi affini e proiettivi
Proprietà lineari dello spazio
Lo spazio vettoriale dei vettori geometrici. Condizioni di parallelismo
e di complanarità di vettori. Geometria affine: teoremi di Ceva
e Menelao. Lo spazio proiettivo. Teoremi di Desargues, Pascal, e Briancon. Coordinate sulla retta e nel fascio. Proiettività.
Applicazioni della geometria proettiva ai sistemi ottici. Coordinate cartesiane
e polari nel piano. Equazione del piano. Equazioni della retta. Prodotto
scalare di vettori. Equazione vettoriale del piano. Angoli tra piani, tra
rette, tra rette e piani. Prodotto vettoriale e prodotto misto.
Coniche e quadriche
Classificazione per rango, per corpo di base e gruppo di simmetrie. Fuochi,
direttrici, assintoti, e centri. Polarità ed involuzioni; il birapporto.
Dualità. Fasci di coniche;. Le leggi di Kepler e di Newton.
Forme bilineari e prodotti scalari
Prodotti hermitiani. Matrici associate. La metrica di Lorentz. Basi ortogonali.
Endomorfismi ortogonali, unitari, e simplettici. Autovettori ed autovalori.
Diagonalizzazione di una matrice simmetrica reale (Teorema sulle asse principali).
Matrici di Jordan.