Programma del corso di Calcolo Numerico per la LT in Matematica
a.a. 2011/12

docente: Marco Vianello


Sistema floating-point, propagazione degli errori negli 
algoritmi numerici

rappresentazione dei reali in base b, errore di troncamento (con le 
serie); errore di arrotondamento, rappresentazione floating-point, 
precisione di macchina; struttura dei reali macchina: cardinalita', 
estensione, densita', reali-macchina in Matlab; operazioni macchina, 
operazioni aritmetiche con numeri approssimati, analisi di stabilita' 
di moltiplicazione, reciproco, addizione e sottrazione, esempi; 
potenziale instabilita' formula risolutiva eqz. II grado, 
stabilizzazione; esempi di propagazione degli errori in schemi iterativi: 
successione di Archimede per pigreco, esempio di ricorrenza instabile 
in avanti e stabilizzazione all'indietro. 
LABORATORIO: introduzione all'ambiente di calcolo Matlab/Octave, 
test sulla propagazione degli errori negli algoritmi numerici.


Complessita' degli algoritmi numerici

introduzione allo studio della complessita' degli algoritmi numerici 
tramite esempi: schema di Hoerner per i polinomi; calcolo rapido di 
una potenza tramite codifica binaria dell'esponente; calcolo della 
funzione exp; complessita' fattoriale della formula di Laplace per 
il determinante, metodo di eliminazione gaussiana e sua complessita'.  
LABORATORIO: implementazione del calcolo rapido di una potenza matriciale.


Soluzione numerica di equazioni non lineari

esistenza, unicita' e localizzazione degli zeri; il metodo di 
bisezione: convergenza, stima dell'errore col residuo pesato; 
il metodo di Newton: convergenza globale; velocita' di convergenza, 
def. di ordine di convergenza; convergenza locale, stima a posteriori  
dell'errore, schema di Erone per sqrt; altri metodi di linearizzazione 
(corde, secanti), iterazioni di punto fisso (enunciato del teorema 
delle contrazioni) e loro ordine di convergenza, il metodo di Newton 
come iterazione di punto fisso.  
LABORATORIO: implementazione e sperimentazione dei metodi di 
bisezione e di Newton.  


Interpolazione e approssimazione di dati e funzioni

introduzione al problema dell'interpolazione: interpolazione 
polinomiale, esistenza e unicita' con Vandermonde e Lagrange; 
formula dell'errore dell'interpolazione polinomiale; il problema 
della convergenza dell'interpolazione polinomiale, controesempio di 
Runge; interpolazione di Chebyshev, costante di Lebesgue e stabilita' 
dell'interpolazione; interpolazione polinomiale a tratti, convergenza 
uniforme della lineare a tratti, interpolazione spline (applicazione   
facoltativa: compressione polinomiale di un segnale regolare 
discretizzato, tramite interpolazione di Chebyshev di un'interpolante  
spline); approssimazione polinomiale ai minimi quadrati; integrazione 
numerica, formule di quadratura algebriche e composte; derivazione 
numerica, instabilita', formule alle differenze; cenni all'estrapolazione 
di Richardson per l'integrazione e la derivazione. 
LABORATORIO: interpolazione polinomiale e polinomiale a tratti 
sull'esempio di Runge; interpolazione spline; approssimazione ai 
minimi quadrati.  


Elementi di algebra lineare numerica

norme di vettori e matrici; convergenza della serie geometrica 
matriciale e invertibilita' di I-B; condizionamento di un sistema 
lineare, esempi di mal condizionamento (matrice di Hilbert); 
fattorizzazione LU tramite il metodo di eliminazione gaussiana; 
soluzione ai minimi quadrati di sistemi sovradeterminati per 
l'approssimazione polinomiale, sistema delle equazioni normali.
LABORATORIO: implementazione del metodo di eliminazione gaussiana. 


Testi consigliati

A. Quarteroni, F. Saleri, Introduzione al Calcolo Scientifico, 
Springer, una delle ultime edizioni. 

G. Rodriguez, Algoritmi Numerici, Pitagora, 2008.