Programma del corso di Calcolo Numerico per la LT in Informatica
a.a. 2008/09

docente: Marco Vianello


Sistema floating-point, propagazione degli errori negli 
algoritmi numerici

rappresentazione dei reali in base b, errore di troncamento (con le 
serie); errore di arrotondamento, rappresentazione floating-point, 
precisione di macchina; struttura dei reali macchina: cardinalita', 
estensione, densita', reali-macchina in Matlab; operazioni macchina, 
operazioni aritmetiche con numeri approssimati, analisi di stabilita' 
di moltiplicazione, reciproco, addizione e sottrazione, esempi; 
potenziale instabilita' formula risolutiva eqz. II grado, 
stabilizzazione; errore relativo nel calcolo di una funzione di 
una e piu' variabili, formula degli errori; esempi di propagazione 
degli errori in schemi iterativi: successione di Archimede per pigreco, 
esempio di ricorrenza instabile in avanti e stabilizzazione 
all'indietro. 
LABORATORIO: introduzione all'ambiente di calcolo Matlab/Octave, 
test sulla propagazione degli errori negli algoritmi numerici


Complessita' degli algoritmi numerici

introduzione allo studio della complessita' degli algoritmi numerici, 
ruolo dei flussi di dati; esempi sulla complessita' computazionale: 
schema di Hoerner per i polinomi; calcolo rapido di una potenza scalare 
e matriciale tramite codifica binaria dell'esponente; calcolo della 
funzione exp; complessita' fattoriale della formula di Laplace per 
il determinante, metodo di eliminazione gaussiana e sua complessita'  
LABORATORIO: implementazione del metodo di eliminazione gaussiana; 
implementazione del calcolo rapido di una potenza matriciale


Soluzione numerica di equazioni non lineari

esistenza, unicita' e localizzazione degli zeri; il metodo di 
bisezione: convergenza, stima dell'errore col residuo pesato; 
il metodo di Newton: convergenza globale; velocita' di convergenza, 
def. di ordine di convergenza; convergenza locale, stima a posteriori  
dell'errore, schema di Erone per sqrt; altri metodi di linearizzazione, 
cenni ai sistemi di equazioni
LABORATORIO: implementazione e sperimentazione dei metodi di 
bisezione e di Newton  


Interpolazione e approssimazione di dati e funzioni

introduzione al problema dell'interpolazione: interpolazione 
polinomiale, esistenza e unicita' con Vandermonde e Lagrange; 
tipi di convergenza di successioni di funzioni, il problema 
della convergenza dell'interpolazione polinomiale, controesempio di 
Runge; formula dell'errore dell'interpolazione polinomiale, 
non convergenza; interpolazione di Chebyshev, costante di Lebesgue 
e stabilita' dell'interpolazione; interpolazione polinomiale a tratti, 
convergenza uniforme della lineare a tratti; interpolazione spline; 
compressione polinomiale di un segnale discreto regolare; 
approssimazione polinomiale ai minimi quadrati; integrazione 
numerica, formule algebriche e composte; derivazione numerica, 
instabilita', formule alle differenze, cenni all'estrapolazione 
di Richardson 
LABORATORIO: interpolazione polinomiale e polinomiale a tratti 
sull'esempio di Runge; interpolazione spline; filtraggio del 
rumore tramite approssimazione ai minimi quadrati  


Elementi di algebra lineare numerica

norme di vettori e matrici; condizionamento di un sistema lineare, 
esempi di mal condizionamento; fattorizzazione LU tramite il metodo 
di eliminazione gaussiana, inversione di matrici; fattorizzazione QR, 
sistemi sovradeterminati
LABORATORIO: condizionamento di sistemi lineari, soluzione di sistemi 
sovradeterminati 


Testi consigliati

A. Quarteroni, F. Saleri, Introduzione al Calcolo Scientifico, 
Springer, 2006 

G. Rodriguez, Algoritmi Numerici, Pitagora, 2008