Analisi Numerica

Laurea Triennale e Magistrale, a.a. 2019-202-,   Corso di Studio in Matematica,   Docente:   Alvise Sommariva

Videolezioni del corso per il 2019-2020

• Lezione 1 di teoria:
  
  » Introduzione al corso.
  » Densita'. Legame tra densita' e migliore approssimazione (con dimostrazione).
  » Teorema di approssimazione di Weierstrass.
  » Teorema di Weierstrass del massimo e minimo di funzioni continue in compatto.
  » Continuita' funzione distanza (con dimostrazione).
  » Esistenza dell'elemento di miglior approssimazione in sottospazi di dimensione finita (con dimostrazione).
  » Teorema di equioscillazione di Chebyshev.
  » Algoritmo di Remez.
  » Qualita' della miglior approssimazione in tre esempi.
  » Modulo di continuita' (caso Lipschitziano e Holderiano).
  
  » Teoria: Argomento 1. Parte 1 (Introduzione al corso ↦ Teorema densita' e E_n(f)) [47:47] ↓
  » Teoria: Argomento 1. Parte 2 (Teorema densita' e E_n(f) ↦ Modulo di continuita') [32:09] ↓
  
  
• Lezione 1 di Laboratorio:
  
  » Chebfun.
  » Esempi di approssimazione in Chebfun e sintassi.
  » Fenomeno di Runge ed interpolanti in nodi equispaziati e di Chebyshev.
  » Esercizio sull'ordine di convergenza.
  
  » Chebfun (Installazione) [1.39] ↓
  » Laboratorio: Argomento 1. Parte 1 (Introduzione a Chebfun ↦ Esercizi per casa) [39:25] ↓
  
  
• Lezione 2 di teoria:
  
  » Errori di miglior approssimazione.
  » Teoremi di Jackson per f continue o regolari.
  » Errori di miglior approssimazione per funzioni analitiche.
  » Polinomi di Chebyshev e loro zeri.
  » Costanti di Lebesgue come indicatori di stabilita'.
  » Costanti di Lebesgue come norma di operatori di interpolazione.
  » Errore di interpolazione relativamente errore di miglior approssimazione e costanti di Lebesgue.
  » Alcuni asintotici di costanti di Lebesgue.
  
  » Teoria: Argomento 1. Parte 3 (Errore di miglior approssimazione ↦ Teoremi di Jackson) [11:08] ↓
  » Teoria: Argomento 1. Parte 4 (Polinomi di Chebyshev) [5:02] ↓
  » Teoria: Argomento 1. Parte 5 (Costante di Lebesgue) [31:06] ↓
  
  
• Lezione 3 di teoria:
  
  » Spazi euclidei. Alcuni esempi.
  » Teorema di Pitagora (con dimostrazione).
  » Teorema della Proiezione Ortogonale (con dimostrazione).
  » Equazioni normali e basi ortogonali.
  » Spazi euclidei separabili.
  » Spazi euclidei separabili e basi ortonormali.
  
  » Teoria: Argomento 2. Parte 1 (Spazi Euclidei ↦ Spazi separabili e basi ortonormali) [33:59] ↓
  
  
• Lezione 2 di Laboratorio:
  
  » Confronto di Remez e interpolazione in nodi di Chebyshev per varie funzioni.
  » Calcolo delle Costanti di Lebesgue per Chebyshev e nodi equispaziati.
  » Confronti con alcune stime teoriche.
  
  » Laboratorio: Argomento 1. Parte 2 (Confronto di Remez e interpolazione in nodi di Chebyshev per varie funzioni ↦ Confronti con alcune stime teoriche) [17:51]; ↓
  
  → Correzione Esercizi di Laboratorio:
  
  » Laboratorio: Correzione Esercizio 1 [6:59]; ↓
  » Laboratorio: Correzione Esercizio 2 [6:20]; ↓
• Correzione Esercizi di Laboratorio:
  
  » Laboratorio: Argomento 1. Parte 2 (esercizio 3) [15:20]; ↓
  » Laboratorio: Argomento 1. Parte 2 (esercizio 4) [12:35]; ↓
  
  
• Lezione 4 di teoria:
  
  » Chiusura di spazi euclidei tramite elementi linearmente indipendenti.
  » Teorema di Bessel/Parseval.
  » Serie di Fourier con polinomi trigonometrici e polinomi trigonometrici complessi.
  
  » Teoria: Argomento 2. Parte 2 (Chiusura di spazi euclidei tramite elementi linearmente indipendenti ↦ Serie di Fourier con polinomi trigonometrici e polinomi trigonometrici complessi) [41:37] ↓
  
  
• Lezione 5 di teoria:
  
  » Cenni alla FFT.
  » Alcune stime notevoli sulla formula dei trapezi, sui coefficienti di Fourier.
  » Stime sulla approssimazione di "f" periodica e continua, in L^2_C con polinomi trigonometrici complessi.
  » Lo spazio L^2_w. Miglior approssimazione in L^2_w.
  » Funzioni peso classiche.
  
  » Teoria: Argomento 2. Parte 3 (Cenni alla FFT ↦ Stime sulla approssimazione di "f" periodica e continua, in L^2_C con polinomi trigonometrici complessi) [33:13] ✔ ↓
  » Teoria: Argomento 3. Parte 1 (Lo spazio L^2_w. Miglior approssimazione in L^2_w ↦ Funzioni peso classiche) [12:21] ✔ Laboratorio: Argomento 1. Parte 3 (FFT e Chebfun. ↦ Esercizi) [32:07] ✔ ↓
  
  → Correzione Esercizi di Laboratorio:
  
  » Laboratorio: Argomento 1. Parte 3 (Correzione Esercizio 5) [24:11] ✔ ↓
  
  
• Lezione 6 di teoria:
  
  » Polinomi ortogonali.
  » Zeri di polinomi ortogonali (con dimostrazione).
  » Formula di ricorrenza a tre termini.
  » Introduzione alla quadratura numerica.
  » Formule interpolatorie.
  » Grado di precisione.
  » Legame tra formule interpolatorie e grado di precisione.
  
  » Teoria: Argomento 3. Parte 2 (Polinomi ortogonali ↦ Formula di ricorrenza a tre termini) [23:37] ✔ ↓
  » Teoria: Argomento 4. Parte 1 (Introduzione alla quadratura numerica ↦ Legame tra formule interpolatorie e grado di precisione) [14:06] ✔ ↓
  
  
• Lezione 7 di teoria:
  
  » Formule di Newton-Cotes.
  » Regola del trapezio e di Cavalieri-Simpson.
  » Formule composte.
  » Formule dei trapezi composte.
  » Errore e caso funzioni periodiche (teorema di Eulero-Mac Laurin).
  » Formula di Cavalieri-Simpson composta.
  » Miglioramento delle formule di quadratura di Newton-Cotes (composte), in termini di grado di precisione e illimitatezza degli intervalli.
  » Formule gaussiane.
  » Teorema di esistenza e unicita' delle formule gaussiane (con dimostrazione).
  
  » Teoria: Argomento 4. Parte 2 (Formule di Newton-Cotes ↦ Formula di Cavalieri-Simpson composta) [29:43] ✔ ↓
  » Teoria: Argomento 4. Parte 3 (Formula Gaussiana ↦ Teorema di esistenza e unicita' delle formule gaussiane (con dimostrazione)) [31:56] ✔ ↓
  
  
• Lezione 4 di laboratorio:
  
  » Formule composte in Matlab (trapezi e Cavalieri Simpson).
  » Esempi.
  » Esercizio 1.
  
  » Laboratorio: Argomento 4. Parte 1 (Formule composte in Matlab (trapezi e Cavalieri Simpson). ↦ Esercizio 1) [37.35] ✔ ↓
  » Laboratorio: Argomento 4. Correzione Esercizio 1 [26:50] ✔ ↓
  
  
• Lezione 8 di teoria:
  
  » Errori formule Newton-Cotes.
  » Errori formule gaussiane.
  » Stabilita' delle formule di quadratura.
  » Norme di alcuni operatori di integrazione.
  » Teorema di Stielties (con dimostrazione).
  » Alcune considerazioni sul teorema di Stieltjes.
  
  » Teoria: Argomento 4. Parte 4 (Errori formule Newton-Cotes ↦ Alcune considerazioni sul teorema di Stieltjes) [46:45] ✔ ↓
  
  
• Lezione 9 di teoria:
  
  » Teorema di Polya-Steklov (con dimostrazione).
  » Alcuni corollari (formule a pesi positivi e formule gaussiane).
  » Metodi iterativi. Introduzione.
  » Sistemi lineari (considerazioni).
  » Splitting di matrice.
  » Metodi iterativi stazionari.
  » Metodo di Jacobi.
  
  » Teoria: Argomento 4. Parte 5 (Teorema di Polya-Steklov (con dimostrazione) ↦ Alcuni corollari (formule a pesi positivi e formule gaussiane)) [34:22] ✔ ↓
  » Teoria: Argomento 5. Parte 1 (Metodi iterativi. Introduzione ↦ Metodo di Jacobi) [22:47] ✔ ↓
  
  
• Lezione 5 di laboratorio:
  
  » Formule gaussiane.
  » Esempi.
  » Esercizi.
  
  » Laboratorio: Argomento 4. Parte 2 (Formule gaussiane in Matlab ↦ Esercizi) [36:37] ✔ ↓
  » Laboratorio: Argomento 4. Correzione Esercizio 2 [22:46] ✔ ↓
  
  
• Lezione 10 di teoria:
  
  » Metodo di Jacobi: un esempio su una matrice 3 x 3.
  » Gauss-Seidel.
  » Gauss-Seidel: un esempio su una matrice 3 x 3.
  » SOR.
  » Metodi di Richardson.
  » Legame tra metodi di Richardson stazionari e metodi iterativi stazionari.
  » Norme di matrici e loro proprieta'.
  
  » Teoria: Argomento 5. Parte 2 (Metodo di Jacobi: un esempio su una matrice 3 x 3. ↦ Norme di matrici e loro proprieta') [42:50] ✔ ↓
  
  
• Lezione 6 di laboratorio:
  
  » Jacobi e SOR in Matlab.
  » Soluzione di un sistema lineare con Jacobi e SOR.
  » Esercizi (minij).
  
  » Laboratorio: Argomento 5. Parte 1 (Jacobi e SOR in Matlab ↦ Esercizio su minij) [22:20] ✔ ↓
  
  → Correzione Esercizi di Laboratorio:
  
  » Laboratorio: Argomento 5. Correzione Esercizio 1 [19:01] ✔ ↓
  
  
• Lezione 11 di teoria:
  
  » Teorema di convergenza di un metodo iterativo stazionario, caso generale (con dimostrazione).
  » Velocita' di convergenza.
  » Convergenza del metodo di Jacobi e Gauss-Seidel per matrici tridiagonali.
  » Convergenza del metodo di Jacobi e Gauss-Seidel per matrici a predominanza diagonale.
  » Teorema di Kahan (condizione convergenza SOR).
  » Convergenza dei metodi SOR per matrici simmetriche, definite positive.
  
  » Teoria: Argomento 5. Parte 3 (Teorema di convergenza di un metodo iterativo stazionario, caso generale ↦ Convergenza per matrici simmetriche, definite positive) [45:05] ✔ ↓
  
  
• Lezione 12 di teoria:
  
  » Test dello step. (e sua breve analisi).
  » Test del residuo (e sua breve analisi).
  » Metodi del gradiente.
  » Metodo del gradiente classico.
  » Stima dell'errore del gradiente classico.
  » Metodo del gradiente coniugato.
  » Spazi di Krylov e gradiente coniugato.
  » Stima dell'errore del gradiente coniugato.
  
  » Teoria: Argomento 5. Parte 4 (Test dello step ↦ Stima dell'errore del gradiente coniugato) [59:30] ✔ ↓
  
  
• Lezione 13 di teoria:
  
  » Teoremi di localizzazione di Gerschgorin (con esempi).
  » Metodo delle potenze.
  » Convergenza del metodo delle potenze.
  » Metodo delle potenze inverse.
  » Metodo delle potenze inverse con shift.
  
  » Teoria: Argomento 6. Parte 1 (Teoremi di localizzazione di Gerschgorin (con esempi) ↦ Metodo delle potenze inverse con shift) [47:15] ✔ ↓
  
  
• Lezione 14 di teoria:
  
  » Metodo QR.
  » Convergenza QR.
  » Implementazione di QR con matrici di Hessenberg.
  » Problema di Cauchy.
  » Teoremi di Cauchy in piccolo e grande.
  » Metodi di Eulero esplicito (con stima errore).
  » Metodo di Eulero implicito.
  » Linear Multistep methods (LMM).
  
  » Teoria: Argomento 6. Parte 2 (Metodo QR ↦ Implementazione di QR con matrici di Hessenberg) [20:29] ✔ ↓
  » Teoria: Argomento 7. Parte 1 (Problema di Cauchy ↦ Linear Multistep methods (LMM)) [24:04] ✔ ↓
  
  
• Lezione 7 di laboratorio:
  
  » Matrici di Poisson.
  » Gradiente coniugato in Matlab.
  » Esercizi.
  
  » Laboratorio: Argomento 5. Parte 2 (Gradiente coniugato in Matlab ↦ Esercizio su poisson) [36:36] ✔ ↓
  
  → Correzione Esercizi di Laboratorio:
  
  » Laboratorio: Argomento 5. Correzione Esercizio 2 [10:29] ✔ ↓
  
  
• Lezione 15 di teoria:
  
  » Metodi LMM per quadratura.
  » Metodi di Adams-Bashforth, Adams-Moulton, Nystrom.
  » Consistenza.
  » Consistenza e LMM.
  » Stabilita'.
  » Root condition.
  » Convergenza.
  » Convergenza e suo legame con consistenza e stabilita'.
  
  » Teoria: Argomento 7. Parte 2 (Metodi LMM per quadratura. ↦ Convergenza) [61:16] ✔ ↓
  
  
• Lezione 16 di teoria:
  
  » Convergenza LMM.
  » Convergenza Eulero esplicito (con dimostrazione).
  » Convergenza Eulero implicito (con dimostrazione).
  
  » Teoria: Argomento 7. Parte 3 (Convergenza LMM ↦ Convergenza Eulero implicito (con dimostrazione).) [47:23] ✔ ↓
  
  
• Lezione 8 di laboratorio:
  
  » Metodo delle potenze in Matlab
  » Metodo QR in Matlab.
  » Esempi ed Esercizi.
  
  » Laboratorio: Argomento 6. Parte 1 (Metodo delle potenze ↦ Esempi ed esercizi) [38:38] ✔ ↓
  
  → Correzione Esercizi di Laboratorio:
  
  » Laboratorio: Argomento 6. Correzione Esercizio 1 [12:21] ✔ ↓
  
  
• Lezione 17 di teoria:
  
  » A-Stabilita': problema test.
  » Problema test.
  » Problemi stiff.
  » Regioni di stabilita' di Eulero esplicito, implicito e Crank-Nicolson.
  » Barriere di Dahlquist.
  » Metodi Runge-Kutta.
  
  » Teoria: Argomento 7. Parte 4 (A Stabilita' ↦ Runge-Kutta (ordine 2 e 4)) [54:01] ✔ ↓
  
  
• Lezione 18 di teoria:
  
  » Problema di Poisson univariato con metodi alle differenze.
  » Stima dell'errore della soluzione numerica (norma 2 e infinito).
  » Autovalori e condizionamento della matrice di Poisson (caso univariato).
  » Problema di Poisson sul quadrato con metodo alle differenze centrali.
  » Problema di Poisson sul quadrato con metodo alle differenze centrali.
  » Esempio.
  
  » Teoria: Argomento 8. Parte 1 (Equazione di Poisson (univariata) ↦ Stima errore per metodo 5 punti relativamente alla equazione di Poisson sul quadrato unitario) [59:24] ✔ ↓
  
  
• Lezione 9 di laboratorio:
  
  » ODE in Matlab: Eulero esplicito, Eulero implicito, Crank-Nicolson.
  » Esercizi
  
  » Laboratorio: Argomento 7. Parte 1 (Equazioni Differenziali Ordinarie in Matlab: Eulero esplicito, Eulero implicito, Crank-Nicolson. ↦ Esercizi) [17:04] ✔ ↓
  
  → Correzione Esercizi di Laboratorio:
  
  » Laboratorio: Argomento 7. Correzione Esercizio 1 [5:06] ✔ ↓
  » Laboratorio: Argomento 7. Correzione Esercizio 2 [7:06] ✔ ↓
  » Laboratorio: Argomento 7. Correzione Esercizio 3 [7:27] ✔ ↓
  
  
• Lezione 10 di laboratorio:
  
  » Esercizio sui metodi di Runge Kutta 2.
  
  » Laboratorio: Argomento 7. Parte 2 (RK2 ↦ Esercizi) [07:09] ✔ ↓
  
  → Correzione Esercizi di Laboratorio:
  
  » Laboratorio: Argomento 7. Parte 2. Correzione Esercizio 5 [15:21] ✔ ↓
  
  
• Lezione 19 di teoria:
  
  » Equazione del calore.
  » Metodo delle linee.
  » Alcune stime (autovalori, condizionamento e errori).
  
  » Teoria: Argomento 9. Parte 1 (Equazione del calore ↦ Alcune stime) [37:04] ✔ ↓
  
  
• Lezione 20 di teoria:
  
  » Equazione del calore e test di stabilita'.
  » Comportamento Eulero esplicito ed implicito.
  » Comportamento Crank-Nicolson.
  » Nota sul condizionamento di certe matrici.
  
  » Teoria: Argomento 9. Parte 2 (Equazione del calore e test di stabilita' ↦ Nota sul condizionamento di certe matrici) [51:33] ✔ ↓
  
  
• Lezione 11 di laboratorio:
  
  » Problema di Poisson sul quadrato con metodo alle differenze centrali.
  » Esempi.
  
  » Laboratorio: Argomento 8. Parte 1 (Problema di Poisson ↦ Esempi) [41:40] ✔ ↓
  
  
• Lezione 12 di laboratorio:
  
  » Equazione del calore in Matlab.
  » Eulero esplicito, implicito e theta metodi.
  
  » Laboratorio: Argomento 9. Parte 1 (Equazione del calore in Matlab ↦ Eulero esplicito, implicito e theta metodi.) ✔ ↓