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Laurea Triennale e Magistrale, a.a. 2020-2021, Corso di Studio in Matematica, Docente: Alvise Sommariva Comunicazioni (update: 12 febbraio 2021) Calendario Settimanale
Lezione 1 di teoria ✔ » Introduzione al corso. » Densita'. Legame tra densita' e migliore approssimazione (con dimostrazione). » Teorema di approssimazione di Weierstrass. » Teorema di Weierstrass del massimo e minimo di funzioni continue in compatto. » Continuita' funzione distanza (con dimostrazione). » Esistenza dell'elemento di miglior approssimazione in sottospazi di dimensione finita (con dimostrazione). » Teorema di equioscillazione di Chebyshev. » Algoritmo di Remez. » Qualita' della miglior approssimazione in tre esempi. » Modulo di continuita' (caso Lipschitziano e Holderiano). Lezione 1 di Laboratorio ✔ » Chebfun. » Esempi di approssimazione in Chebfun e sintassi. » Fenomeno di Runge ed interpolanti in nodi equispaziati e di Chebyshev. » Esercizio sull'ordine di convergenza. Lezione 2 di teoria ✔ » Errori di miglior approssimazione. » Teoremi di Jackson per f continue o regolari. » Errori di miglior approssimazione per funzioni analitiche. » Polinomi di Chebyshev e loro zeri. » Costanti di Lebesgue come indicatori di stabilita'. » Costanti di Lebesgue come norma di operatori di interpolazione. » Errore di interpolazione relativamente errore di miglior approssimazione e costanti di Lebesgue. » Alcuni asintotici di costanti di Lebesgue. Lezione 2 di Laboratorio ✔ » Confronto di Remez e interpolazione in nodi di Chebyshev per varie funzioni. » Calcolo delle Costanti di Lebesgue per Chebyshev e nodi equispaziati. » Confronti con alcune stime teoriche. Lezione 3 di teoria ✔ » Spazi euclidei. Alcuni esempi. » Teorema di Pitagora (con dimostrazione). » Teorema della Proiezione Ortogonale (con dimostrazione). » Equazioni normali e basi ortogonali. » Spazi euclidei separabili. » Spazi euclidei separabili e basi ortonormali. Lezione 4 di teoria ✔ » Chiusura di spazi euclidei tramite elementi linearmente indipendenti. » Teorema di Bessel/Parseval. » Serie di Fourier con polinomi trigonometrici e polinomi trigonometrici complessi. Lezione 5 di teoria ✔ » Cenni alla FFT. » Alcune stime notevoli sulla formula dei trapezi, sui coefficienti di Fourier. » Stime sulla approssimazione di "f" periodica e continua, in L^2_C con polinomi trigonometrici complessi. » Lo spazio L^2_w. Miglior approssimazione in L^2_w. » Funzioni peso classiche. Lezione 6 di teoria ✔ » Polinomi ortogonali. » Zeri di polinomi ortogonali (con dimostrazione). » Formula di ricorrenza a tre termini. » Introduzione alla quadratura numerica. » Formule interpolatorie. » Grado di precisione. » Legame tra formule interpolatorie e grado di precisione. Lezione 3 di Laboratorio ✔ » FFT e Chebfun. » Fenomeno di Gibbs. » Esercizi. Lezione 7 di teoria ✔ » Formule di Newton-Cotes. » Regola del trapezio e di Cavalieri-Simpson. » Formule composte. » Formule dei trapezi composte. » Errore e caso funzioni periodiche (teorema di Eulero-Mac Laurin). » Formula di Cavalieri-Simpson composta. » Miglioramento delle formule di quadratura di Newton-Cotes (composte), in termini di grado di precisione e illimitatezza degli intervalli. » Formule gaussiane. » Teorema di esistenza e unicita' delle formule gaussiane (con dimostrazione). Lezione 8 di teoria ✔ » Errori formule Newton-Cotes. » Errori formule gaussiane. » Stabilita' delle formule di quadratura. » Norme di alcuni operatori di integrazione. » Teorema di Stielties (con dimostrazione). » Alcune considerazioni sul teorema di Stieltjes. Lezione 4 di Laboratorio ✔ » Formule composte in Matlab (trapezi e Cavalieri Simpson). » Esempi. » Esercizio 1. Lezione 9 di teoria ✔ » Teorema di Polya-Steklov (con dimostrazione). » Alcuni corollari (formule a pesi positivi e formule gaussiane). » Metodi iterativi. Introduzione. » Sistemi lineari (considerazioni). » Splitting di matrice. » Metodi iterativi stazionari. » Metodo di Jacobi. Lezione 10 di teoria ✔ » Metodo di Jacobi: un esempio su una matrice 3 x 3. » Gauss-Seidel. » Gauss-Seidel: un esempio su una matrice 3 x 3. » SOR. » Metodi di Richardson. » Legame tra metodi di Richardson stazionari e metodi iterativi stazionari. » Norme di matrici e loro proprieta'. Lezione 5 di Laboratorio ✔ » Formule gaussiane. » Esempi. » Esercizi. Lezione 11 di teoria ✔ » Teorema di convergenza di un metodo iterativo stazionario, caso generale (con dimostrazione). » Velocita' di convergenza. » Convergenza del metodo di Jacobi e Gauss-Seidel per matrici tridiagonali. » Convergenza del metodo di Jacobi e Gauss-Seidel per matrici a predominanza diagonale. » Teorema di Kahan (condizione convergenza SOR). » Convergenza dei metodi SOR per matrici simmetriche, definite positive. Lezione 12 di teoria ✔ » Test dello step. (e sua breve analisi). » Test del residuo (e sua breve analisi). » Metodi del gradiente. » Metodo del gradiente classico. » Stima dell'errore del gradiente classico. » Metodo del gradiente coniugato. » Spazi di Krylov e gradiente coniugato. » Stima dell'errore del gradiente coniugato. Lezione 6 di Laboratorio ✔ » Jacobi e SOR in Matlab. » Soluzione di un sistema lineare con Jacobi e SOR. » Esercizi (minij). Lezione 13 di teoria ✔ » Teoremi di localizzazione di Gerschgorin (con esempi). » Metodo delle potenze. » Convergenza del metodo delle potenze. » Metodo delle potenze inverse. » Metodo delle potenze inverse con shift. Lezione 14 di teoria ✔ » Metodo QR. » Convergenza QR. » Implementazione di QR con matrici di Hessenberg. » Problema di Cauchy. » Teoremi di Cauchy in piccolo e grande. » Metodi di Eulero esplicito (con stima errore). » Metodo di Eulero implicito. » Linear Multistep methods (LMM). Lezione 7 di Laboratorio ✔ » Matrici di Poisson. » Gradiente coniugato in Matlab. » Esercizi. Lezione 15 di teoria ✔ » Metodi LMM per quadratura. » Metodi di Adams-Bashforth, Adams-Moulton, Nystrom. » Consistenza. » Consistenza e LMM. » Stabilita'. » Root condition. » Convergenza. » Convergenza e suo legame con consistenza e stabilita'. Lezione 16 di teoria ✔ » Convergenza LMM. » Convergenza Eulero esplicito (con dimostrazione). » Convergenza Eulero implicito (con dimostrazione). Lezione 17 di teoria ✔ » A-Stabilita': problema test. » Problema test. » Problemi stiff. » Regioni di stabilita' di Eulero esplicito, implicito e Crank-Nicolson. » Barriere di Dahlquist. » Metodi Runge-Kutta. Lezione 8 di Laboratorio ✔ » Metodo delle potenze in Matlab » Metodo QR in Matlab. » Esempi ed Esercizi. Lezione 18 di teoria ✔ » Problema di Poisson univariato con metodi alle differenze. » Stima dell'errore della soluzione numerica (norma 2 e infinito). » Autovalori e condizionamento della matrice di Poisson (caso univariato). » Problema di Poisson sul quadrato con metodo alle differenze centrali. » Problema di Poisson sul quadrato con metodo alle differenze centrali. » Esempio. Lezione 9 di Laboratorio ✔ » ODE in Matlab: Eulero esplicito, Eulero implicito, Crank-Nicolson. » Esercizi Lezione 19 di teoria ✔ » Equazione del calore. » Metodo delle linee. » Alcune stime (autovalori, condizionamento e errori). Lezione 20 di teoria ✔ » Equazione del calore e test di stabilita'. » Comportamento Eulero esplicito ed implicito. » Comportamento Crank-Nicolson. » Nota sul condizionamento di certe matrici. Lezione 10 di Laboratorio ✔ » Esercizio sui metodi di Runge Kutta 2. Lezione 11 di Laboratorio ✔ » Problema di Poisson sul quadrato con metodo alle differenze centrali. » Esempi. Lezione 12 di Laboratorio ✔ » Equazione del calore in Matlab. » Eulero esplicito, implicito e theta metodi. Informazioni sul corso Qualora il corso sia svolto in maniera standard:
Qualora il corso sia svolto in maniera telematica, il docente fornira' le lezioni per mezzo di video che sono reperibili in questa pagina web (vedasi sezione: Calendario lezioni, materiale didattico, meeting Zoom). Programma previsto Argomenti.
Dispense.
Multimedia. »Lezioni di teoria:
» Lezioni di laboratorio:
Letture.
Chebfun. » Alla pagina web https://www.chebfun.org/download/ si trovano le istruzioni per scaricare le routines di Chebfun (compatibile con Matlab 7.9 (R2009b)). Il metodo piu' diretto consiste nel lanciare Matlab, e digitare nella sua shell: unzip('https://github.com/chebfun/chebfun/archive/master.zip') movefile('chebfun-master', 'chebfun'), addpath(fullfile(cd,'chebfun')), savepath » Alla pagina web https://www.chebfun.org/docs/guide/chebfun_guide.pdf si trova un manuale su Chebfun.
Argomenti.
» Teoria: Argomento 4. Parte 1 (Introduzione alla quadratura numerica ↦ Legame tra formule interpolatorie e grado di precisione) [14:06] » Teoria: Argomento 4. Parte 2 (Formule di Newton-Cotes ↦ Formula di Cavalieri-Simpson composta) [29:43] » Teoria: Argomento 4. Parte 3 (Formula Gaussiana ↦ Teorema di esistenza e unicita' delle formule gaussiane (con dimostrazione)) [31:56] » Teoria: Argomento 4. Parte 4 (Errori formule Newton-Cotes ↦ Alcune considerazioni sul teorema di Stieltjes) [46:45] » Teoria: Argomento 4. Parte 5 (Teorema di Polya-Steklov (con dimostrazione) ↦ Alcuni corollari (formule a pesi positivi e formule gaussiane)) [34:22] » Laboratorio: Argomento 4. Parte 1 (Formule composte in Matlab (trapezi e Cavalieri Simpson). ↦ Esercizio 1) [37.35] » Laboratorio: Argomento 4. Parte 2 (Formule gaussiane in Matlab ↦ Esercizi) [36:37] » Laboratorio: Argomento 4. Correzione Esercizio 1 [26:50] » Laboratorio: Argomento 4. Correzione Esercizio 2 [22:46] ↓ Letture.
Argomenti.
Argomenti.
Dispense.
» Teoria: Argomento 7. Parte 1 (Problema di Cauchy ↦ Linear Multistep methods (LMM)) [24:04] ↓ » Teoria: Argomento 7. Parte 2 (Metodi LMM per quadratura. ↦ Convergenza) [61:16] ↓ » Teoria: Argomento 7. Parte 3 (Convergenza LMM ↦ Convergenza Eulero implicito (con dimostrazione).) [47:23] ↓ » Teoria: Argomento 7. Parte 4 (A Stabilita' ↦ Runge-Kutta (ordine 2 e 4)) [54:01] ↓ » Laboratorio: Argomento 7. Parte 1 (Equazioni Differenziali Ordinarie in Matlab: Eulero esplicito, Eulero implicito, Crank-Nicolson. ↦ Esercizi) [17:04]↓ » Laboratorio: Argomento 7. Parte 2 (RK2 ↦ Esercizi) [07:09] ↓ » Laboratorio: Argomento 7. Correzione Esercizio 1 [5:06] ↓ » Laboratorio: Argomento 7. Correzione Esercizio 2 [7:06] ↓ » Laboratorio: Argomento 7. Correzione Esercizio 3 [7:27] ↓ » Laboratorio: Argomento 7. Correzione Esercizio 5 [15:21] ↓ » - Letture.
Argomenti.
Dispense. Teoria
Laboratorio Multimedia. Lezioni di teoria » Teoria: Argomento 9. Parte 1 (Equazione del calore ↦ Alcune stime) [37:04] ↓ » Teoria: Argomento 9. Parte 2 (Equazione del calore e test di stabilita' ↦ Nota sul condizionamento di certe matrici) [51:33] ↓ Lezioni di Laboratorio » Laboratorio: Argomento 8. Parte 1 (Problema di Poisson ↦ Esempi) [41:40] ↓ » Laboratorio: Argomento 9. Parte 1 (Equazione del calore in Matlab ↦ Eulero esplicito, implicito e theta metodi.) [40:17] ↓ Sugli esami
L'esame e' da 7 crediti (6 aula e 1 laboratorio). Anno 2019-2020 In quest'anno accademico, in virtu' dell'emergenza sanitaria, gli esami sono stati di tipo orale ed effettuati in versione telematica. Anno 2018-2019
Anno 2017-2018
Anno 2016-2017
Modalita' esame telematica Da stabilire. Modalita' esame Standard (non utilizzabile per i compitini e l'appello) Dettagli
Di seguito il numero di verbali caricati, cioe' il numero di studenti che hanno sostenuto un voto positivo nel corso (da Uniweb).
Altre informazioni
Per il corso si suggeriscono i testi
Matlab Si ricorda che per gli studenti iscritti regolarmente disponibile la licenza MATLAB Campus, che prevede il download gratuito del programma MATLAB consentendo ad ogni studente di installare Matlab sul proprio computer personale. Per ulteriori informazioni, si consideri la pagina web: https://www.ict.unipd.it/servizi/servizi-utenti-istituzionali/contratti-software-e-licenze/matlab Si ricorda che per gli studenti iscritti regolarmente e' disponibile la licenza MATLAB Campus, che prevede il download gratuito del programma MATLAB, consentendo ad ogni studente di installare Matlab sul proprio computer personale. Per ulteriori informazioni, si consideri la pagina web: https://www.ict.unipd.it/servizi/servizi-utenti-istituzionali/contratti-software-e-licenze/matlab Di seguito citiamo alcuni video utili all'installazione di Matlab: » Installazione Matlab (Nota sull'installazione di Matlab presso l'Universita' di Padova) [4:28] (corretto link: ore 10.48 del 16/03/20); » Installazione Matlab (Nota ulteriore sull'installazione di Matlab presso l'Universita' di Padova) [1.39]; Octave Se si e' interessati ad un software freeware estremamente compatibile con Matlab, si consideri: Octave Chebfun » Alla pagina web https://www.chebfun.org/download/ si trovano le istruzioni per scaricare le routines di Chebfun (compatibile con Matlab 7.9 (R2009b)). Il metodo piu' diretto consiste nel lanciare Matlab, e digitare nella sua shell: unzip('https://github.com/chebfun/chebfun/archive/master.zip') movefile('chebfun-master', 'chebfun'), addpath(fullfile(cd,'chebfun')), savepath » Alla pagina web https://www.chebfun.org/docs/guide/chebfun_guide.pdf si trova un manuale su Chebfun.
Qualora il corso sia svolto in modalita' telematica
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