Analisi Numerica

Laurea Triennale e Magistrale, a.a. 2021-2022,   Corso di Studio in Matematica,   Docente:   Alvise Sommariva

• Lezione 1 di teoria:
  
  » Introduzione al corso.
  » Densita'. Legame tra densita' e migliore approssimazione (con dimostrazione).
  » Teorema di approssimazione di Weierstrass.
  » Teorema di Weierstrass del massimo e minimo di funzioni continue in compatto.
  » Continuita' funzione distanza (con dimostrazione).
  
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• Lezione 1 di Laboratorio:
  
  » Chebfun.
  » Esempi di approssimazione in Chebfun e sintassi.
  » Fenomeno di Runge ed interpolanti in nodi equispaziati e di Chebyshev.
  
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• Lezione 2 di teoria:
  
  » Esistenza dell'elemento di miglior approssimazione in sottospazi di dimensione finita (con dimostrazione).
  » Teorema di equioscillazione di Chebyshev.
  » Algoritmo di Remez.
  » Qualita' della miglior approssimazione in tre esempi.
  » Modulo di continuita' (caso Lipschitziano e Holderiano).
  » Errori di miglior approssimazione.
  » Teoremi di Jackson per funzioni continue o regolari.
  » Errori di miglior approssimazione per funzioni analitiche.
  
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• Lezione 3 di teoria:
  
  » Polinomi di Chebyshev e loro zeri.
  » Costanti di Lebesgue come indicatori di stabilita'.
  » Costanti di Lebesgue come norma di operatori di interpolazione.
  » Errore di interpolazione relativamente errore di miglior approssimazione e costanti di Lebesgue.
  
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• Lezione 2 di Laboratorio:
  
  » Ripasso Matlab: Assegnazioni di scalari, vettori, matrici.
  » Ripasso Matlab: Operazioni con vettori.
  » Ripasso Matlab: Operazioni con matrici.
  » Ripasso Matlab: Operazioni tra matrici e vettori.
  » Ripasso Matlab: Comandi di plot.
  
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• Lezione 4 di teoria:
  
  » Alcuni asintotici di costanti di Lebesgue.
  » Spazi euclidei. Alcuni esempi.
  » Teorema di Pitagora (con dimostrazione).
  » Teorema della Proiezione Ortogonale (con dimostrazione).
  » Equazioni normali e basi ortogonali.
  
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• Lezione 5 di teoria:
  
  » Spazi euclidei separabili.
  » Spazi euclidei separabili e basi ortonormali.
  » Chiusura di spazi euclidei tramite elementi linearmente indipendenti.
  » Teorema di Bessel/Parseval.
  » Serie di Fourier con polinomi trigonometrici e polinomi trigonometrici complessi.
  
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• Lezione 3 di Laboratorio:
  
  » Ripasso Matlab: cicli while e for.
  » Ripasso Matlab: come scrivere functions
  » Ripasso Matlab: Esercizio.
  » Confronto di Remez e interpolazione in nodi di Chebyshev sulla funzione di Runge.
  
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• Lezione 6 di teoria:
  
  » Cenni alla FFT.
  » Alcune stime notevoli sulla formula dei trapezi, sui coefficienti di Fourier.
  » Stime sulla approssimazione di "f" periodica e continua, in L^2_C con polinomi trigonometrici complessi.
  » Lo spazio "L^2_w". Miglior approssimazione in "L^2_w".
  » Funzioni peso.
  
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• Lezione 7 di teoria:
  
  » Funzioni peso classiche.
  » Polinomi e "L^2_w" con w funzione peso.
  » Polinomi ortogonali.
  » Zeri di polinomi ortogonali (con dimostrazione).
  » Formula di ricorrenza a tre termini.
  » Introduzione alla quadratura numerica.
  » Formule interpolatorie.
  » Grado di precisione.
  » Legame tra formule interpolatorie e grado di precisione.
  
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• Lezione 4 di laboratorio:
  
  » FFT e Chebfun.
  » Fenomeno di Gibbs (parte I).
  
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• Lezione 8 di teoria:
  
  » Teorema caratterizzazione formule interpolatorie.
  » Formule di Newton-Cotes.
  » Regola del trapezio e di Cavalieri-Simpson.
  » Formule composte.
  » Formule dei trapezi composte.
  » Errore e caso funzioni periodiche (teorema di Eulero-Mac Laurin).
  » Formula di Cavalieri-Simpson composta.
  » Miglioramento delle formule di quadratura di Newton-Cotes (composte), in termini di grado di precisione e illimitatezza degli intervalli.
  » Formule gaussiane.
  » Teorema di esistenza e unicita' delle formule gaussiane (asserto).
  
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• Lezione 9 di teoria:
  
  » Teorema di esistenza e unicita' delle formule gaussiane (dimostrazione).
  » Errori formule Newton-Cotes.
  » Errori formule gaussiane.
  » Stabilita' delle formule di quadratura.
  » Norme di alcuni operatori di integrazione.
  
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• Lezione 5 di laboratorio:
  
  » Formule composte in Matlab: trapezi
  » Formule composte in Matlab: trapezi. Esempi.
  » Formule composte in Matlab: Cavalieri-Simpson. Prima descrizione.
  
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• Lezione 10 di teoria:
  
  » Teorema di Stieltjes.
  » Alcune considerazioni sul teorema di Stieltjes.
  » Teorema di Polya-Steklov (asserto).
  
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• Lezione 11 di teoria:
  
  » Teorema di Polya-Steklov (dimostrazione).
  » Alcuni corollari (formule a pesi positivi e formule gaussiane).
  » Metodi iterativi. Introduzione.
  » Sistemi lineari (considerazioni).
  » Splitting di matrice.
  » Metodi iterativi stazionari.
  » Metodo di Jacobi.
  
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• Lezione 6 di laboratorio:
  
  » Formule composte.
  » Esempi.
  » Esercizi.
  
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• Lezione 12 di teoria:
  
  » Metodo di Jacobi: un esempio su una matrice 3 x 3.
  » Gauss-Seidel.
  » Gauss-Seidel: un esempio su una matrice 3 x 3.
  » SOR.
  » Metodi di Richardson.
  » Legame tra metodi di Richardson stazionari e metodi iterativi stazionari.
  » Norme di matrici e loro proprieta'.
  » Alcuni lemmi sulle norme di matrici e raggio spettrale.
  » Teorema di convergenza di un metodo iterativo stazionario, caso generale (asserto).
  
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• Lezione 13 di teoria:
  
  » Teorema di convergenza di un metodo iterativo stazionario, caso generale (dimostrazione).
  » Convergenza del metodo di Jacobi e Gauss-Seidel per matrici tridiagonali.
  » Convergenza del metodo di Jacobi e Gauss-Seidel per matrici a predominanza diagonale.
  » Teorema di Kahan (condizione convergenza SOR).
  » Convergenza dei metodi SOR per matrici simmetriche, definite positive.
  » Test dello step. (e sua breve analisi).
  
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• Lezione 7 di laboratorio:
  
  » Formule gaussiane.
  » Esempi.
  » Esercizi.
  
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  Correzione esercizi (A.A. 2019-2020):
  » Laboratorio: Argomento 4. Correzione Esercizio 2 [22:46] ✔ ↓
  
  
• Lezione 14 di teoria:
  
  » Test del residuo (e sua breve analisi).
  » Metodi del gradiente.
  » Metodo del gradiente classico.
  » Stima dell'errore del gradiente classico.
  » Metodo del gradiente coniugato.
  » Spazi di Krylov e gradiente coniugato.
  » Stima dell'errore del gradiente coniugato.
  
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• Lezione 15 di teoria:
  
  » Teoremi di localizzazione di Gerschgorin (con esempi).
  » Metodo delle potenze.
  » Convergenza del metodo delle potenze.
  » Convergenza del metodo delle potenze.
  » Metodo delle potenze inverse.
  
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• Lezione 8 di laboratorio:
  
  » Jacobi e SOR in Matlab.
  » Soluzione di un sistema lineare con Jacobi e SOR.
  » Esercizi (minij).
  » Matrici di Poisson.
  » Gradiente coniugato in Matlab.
  
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• Lezione 16 di teoria:
  
  » Metodo delle potenze inverse con shift.
  » Metodo QR.
  » Convergenza QR.
  » Implementazione di QR con matrici di Hessenberg.
  » Problema di Cauchy.
  » Teoremi di Cauchy in piccolo e grande.
  » Metodi di Eulero esplicito
  
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• Lezione 9 di laboratorio:
  
  » Esercizi sui metodi iterativi per la risoluzione di sistemi lineari.
  
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  » Laboratorio: Argomento 5. Correzione Esercizio 2 [10:29] ✔ ↓
  
  
• Lezione 17 di teoria:
  
  » Metodi di Eulero esplicito (con stima errore).
  » Metodo di Eulero implicito.
  » Linear Multistep methods (LMM).
  » Metodi per integrazione.
  » Metodi di tipo Adams-Bashforth.
  » Metodi di tipo Adams-Moulton.
  » Consistenza.
  
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• Lezione 18 di teoria:
  
  » Consistenza e LMM.
  » Stabilita'.
  » Root condition.
  » Convergenza.
  » Convergenza e suo legame con consistenza e stabilita'.
  » Convergenza LMM.
  » A-Stabilita': problema test.
  
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• Lezione 10 di laboratorio:
  
  » ODE in Matlab: Eulero esplicito, Eulero implicito, Crank-Nicolson.
  » Esercizi.
  
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  » Laboratorio: Argomento 7. Correzione Esercizio 1 [5:06] ✔ ↓
  » Laboratorio: Argomento 7. Correzione Esercizio 2 [7:06] ✔ ↓
  » Laboratorio: Argomento 7. Correzione Esercizio 4 (facoltativo) [7:27] ✔ ↓
  
  
• Lezione 19 di teoria:
  
  » Problema test.
  » Problemi stiff.
  » Regioni di stabilita' di Eulero esplicito, implicito e Crank-Nicolson.
  » Barriere di Dahlquist.
  » Problema di Poisson univariato con metodi alle differenze.
  
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• Lezione 20 di teoria:
  
  » Stima dell'errore della soluzione numerica (norma 2 e infinito).
  » Autovalori e condizionamento della matrice di Poisson (caso univariato).
  » Problema di Poisson sul quadrato con metodo alle differenze centrali.
  » Problema di Poisson sul quadrato con metodo alle differenze centrali.
  » Esempio.
  » Equazione del calore.
  
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• Lezione 10 di laboratorio:
  
  » Problema di Poisson sul quadrato con metodo alle differenze centrali.
  » Esempi.
  
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• Lezione 21 di teoria:
  
  » Metodo delle linee.
  » Alcune stime (autovalori, condizionamento e errori).
  » Equazione del calore e test di stabilita'.
  » Stabilita' Eulero esplicito (asserto e note).
  » Stabilita' Eulero esplicito (traccia della dimostrazione, argomento facoltativo).
  
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