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\title[Derivazione numerica \hspace{2em}\insertframenumber/
\inserttotalframenumber]{Derivazione numerica}
\author{Alvise Sommariva}
\institute{Universit\`a degli Studi di Padova}
\date{\today}
\begin{document}
\frame{\titlepage}



\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Derivazione numerica}

\begin{problema}[Derivazione numerica]
Il problema della derivazione numerica consiste nell'approssimare la derivata di una funzione $f$ in un certo punto $x_0$,
ovvero (qualora esista)

$$
f^{\prime}(x_0)=Df(x_0)=\lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0}.
$$

Il quoziente argomento del limite \'e noto come {\it{rapporto incrementale}}.
\end{problema}

\begin{nota}[Idea che non funziona]
Si potrebbe approssimare $f$ con una successione di funzioni $f_n$ facili da derivare e poi differenziare una certa $f_n \approx f$, valutandola nel punto $x_0$.

\smsp

Purtroppo, 
{\reds{
$$
{\mbox{dist}}(f_n,f) \rightarrow 0 \not \Rightarrow {\mbox{dist}}(Df_n,Df) \rightarrow 0, \,\,\, n \rightarrow +\infty.
$$
}}
che si pu\myo pure leggere come {\sl{esistono $f$ e $f_n$ arbitrariamente ''vicine'', ma con derivate
$f^{\prime}$ e $f_n^{\prime}$ arbitrariamente distanti}}, fenomeno noto come {\reds{instabilit\mya dell'operatore di derivazione (nel continuo)}}.

\smsp

Quindi non c'e' certezza che pur essendo $f^{\prime} \approx f_n^{\prime}$ in $[a,b]$ sia pure 
$f^{\prime}(x_0) \approx f_n^{\prime}(x_0)$ con $x_0 \in (a,b)$.
\end{nota}
\end{frame}





\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Derivazione numerica}


{\fns{
\begin{esempio}[$f_n \rightarrow f$ unif. ma non $f^{\prime}_n \rightarrow f^{\prime}$ unif.]
Consideriamo la successione 
{\reds{
$$
f_n(x)=\frac{1}{n} \sin(nx), \,\,\, x \in [0,1].
$$
}}
Osserviamo che essendo $\sin(x) \in [-1,1]$ qualora $x \in [0,1]$ abbiamo
$$
\frac{-1}{n} \leq f_n(x)=\frac{1}{n} \sin(nx) \leq \frac{1}{n}
$$
e sicuramente, detta {\reds{$f \equiv 0$ la funzione costantemente nulla}} abbiamo {\reds{$f_n \rightarrow f$}} non solo puntualmente ma anche {\underline{uniformemente}} visto che
$$
\max_{x \in [0,1]} \left|\frac{1}{n} \sin(nx)-0 \right| \leq \frac{1}{n} \rightarrow 0.
$$
Osserviamo che
\begin{itemize}
\item la derivata di $f$ \mye la funzione costantemente nulla, 
\item la derivata di $f_n$ \mye
{\reds{$
f_n^{\prime}(x)=\cos(nx)
$}}
\end{itemize}

Questo implica che $$f_n \rightarrow f, \hspace{0.5cm} {\mbox{uniformemente}}$$
ma non \mye vero che
$$f^{\prime}_n \rightarrow f^{\prime}, \hspace{0.5cm} {\mbox{uniformemente}}$$
in quanto 
$$
\max_{x \in [0,1]} |\cos(nx)-0|=\max_{x \in [0,1]} |\cos(nx)|=1
$$
non \mye infinitesima.
\end{esempio}
}}
\end{frame}











\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Derivazione numerica}
\begin{commento}
{\reds{Questo non vuol dire che {\it{se $f$ e $f_n$ arbitrariamente ''vicine'' allora le derivate
$f^{\prime}$ e $f_n^{\prime}$ sono arbitrariamente distanti}}}}, e quindi possiamo sperare che sotto certe ipotesi su $f$, se $f_n$ sono scelte bene e sono vicine a $f$, allora pure $f_n^{\prime}$ e $f^{\prime}$ sono vicine.

\smsp

Ad esempio, se $[a,b]$ \mye un intervallo limitato e $s_{3,n}$ \mye un {\reds{interpolante spline cubica}} di $f \in C^{4} ([a,b])$, relativamente alla suddivisione generata da $x_k=a+k(b-a)/n$, $k=0,\ldots,n$, ovvero punti equispaziati con passo $h_n=(b-a)/n$,
\begin{itemize}
\item la successione di splines cubiche $\{s_{3,n}\}_n$ converge a $f$ uniformemente, 
\item $\{s^{\prime}_{3,n}\}_n$ converge a $f^{\prime}$ uniformemente.
\end{itemize}

\smsp

In effetti, esiste una costante $c_1$ indipendente da $n$ tale che
$$
0 \leq \max_{x \in [a,b]} |f^{\prime}(x)-s^{\prime}_{3,n}(x)| \leq c_1 h_n^3 \max_{x \in [a,b]} |f^{(4)}(x)| =c_1 \frac{(b-a)^3}{n^3} \max_{x \in [a,b]} |f^{(4)}(x)|
$$
e quindi per quanto visto precedentemente e per il teorema del confronto, deduciamo la convergenza uniforme.

\end{commento}
\end{frame}





\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Alcune formule di derivazione numerica: differenza in avanti}

\smnsp

{\fns{
\begin{definizione}[Differenza in avanti]
Sia $f$ una funzione derivabile nell'intervallo $[a,b]$. Supposto che per un fissato $h > 0$ siano $x,x+h \in [a,b]$, si definisce {\reds{differenza in avanti}} in $x$ di passo $h$ (cf. {\cite{WIKIFD}}).
\bc
\btc[width=9cm]
$$
\delta_+(f,x,h):=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}, {\mbox{    }} x,x+h \in [a,b].
$$
\etc
\ec
\end{definizione}

\smnsp

\begin{teorema}
Sia $f \in C^2([a,b])$ e che per un fissato $h > 0$ siano $x,x+h \in [a,b]$. Allora
\bc
\btc[width=10.5cm]
\smnsp
$$
\delta_+(f,x,h):=\frac{f(x+h)-f(x)}{h} =f^{\prime}(x) + {\reds{h f^{\prime \prime}(\xi_x)}}/2, \,\,\, \xi_x \in (x,x+h). 
$$
\etc
\ec
\end{teorema}

\smnsp

\begin{dimostrazione}
Dalla formula di Taylor,
$$f(x+h)=f(x)+h f^{\prime}(x) +h^2 f^{\prime\prime}(\xi_x)/2, \,\,\, \xi_x \in (x,x+h) $$
per cui riarrangiando i termini $$f(x+h)-f(x)=h f^{\prime}(x) +h^2 f^{\prime\prime}(\xi_x)/2,$$ e quindi
$$
\delta_+(f,x,h):=\frac{f(x+h)-f(x)}{h} =f^{\prime}(x) + {\reds{h f^{\prime \prime}(\xi_x)}}/2, \,\,\, \xi_x \in (x,x+h). 
$$
\end{dimostrazione}
}}
\end{frame}





\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Alcune formule di derivazione numerica: differenza in avanti}
{\small{
\begin{corollario}[Errore assoluto]
Essendo $h > 0$ e
$$\frac{f(x+h)-f(x)}{h} =f^{\prime}(x) + {\reds{h f^{\prime \prime}(\xi_x)}}/2, \,\,\, \xi_x \in (x,x+h),
$$
l'errore assoluto compiuto risulta
$$\left|\frac{f(x+h)-f(x)}{h} -f^{\prime}(x)\right| = h \, |{\reds{ f^{\prime \prime}(\xi_x)}}/2|, \,\,\, \xi_x \in (x,x+h). 
$$
\end{corollario}
\begin{nota}[Convergenza]
Essendo $f \in C^2([a,b])$ si ha $f^{\prime \prime} \in C([a,b])$ e visto che $|\cdot|  \in C([a,b])$, per il teorema di Weierstrass esiste finito
$$
M_2=\max_{x \in [a,b]}|f^{\prime \prime}(x)| \geq 0
$$
e quindi, essendo $$\delta_+(f,x,h) -f^{\prime}(x) = {{h f^{\prime \prime}(\xi_x)}}/2$$ ricaviamo che se $x+h \in [a,b]$ allora, visto che {\reds{$ |f^{\prime \prime}(\xi_x)| \leq \max_{x \in [a,b]} |f^{\prime \prime}(x)|$}}
\begin{equation}\label{4332345}
0 \leq {\reds{|\delta_+(f,x,h) -f^{\prime}(x) |}} =  \frac{|h f^{\prime \prime}(\xi_x)|}{2}={\frac{h}{2}} |f^{\prime \prime}(\xi_x)|{\reds{\leq}}{\frac{h}{2}} \max_{x \in [a,b]} |f^{\prime \prime}(x)|={\reds{\frac{hM_2}{2}}},
\end{equation}
per cui, per il teorema del confronto, se $h \rightarrow 0$ allora
$$ |\delta_+(f,x,h) -f^{\prime}(x) | \rightarrow 0.$$
\end{nota}
}}
\end{frame}




\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Alcune formule di derivazione numerica: differenza in avanti}

\begin{nota}[Aritmetica esatta]
Il teorema dice che in aritmetica esatta, {\reds{utilizzando passi $h$ sempre pi\myu piccoli abbiamo approssimazioni sempre migliori della derivata prima}}, in un punto arbitrario dell'intervallo $x \in [a,b-h]$.
\end{nota}

\smnsp

\begin{nota}[Aritmetica non esatta]
{\reds{Numericamente, le cose vanno in modo diverso}}. 

\smsp

La funzione $f$ non viene sempre valutata esattamente, ed ogni volta calcoliamo invece di $$\delta_+(f,x,h)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h},$$
un {\it{rapporto incrementale perturbato}}
$$
{\tilde{\delta}}_+(f,x,h)=\frac{{\tilde{f}}(x+h)-{\tilde{f}}(x)}{h}
$$
e abbiamo, sottraendo e aggiungendo  ${\tilde{\delta}}_+(f,x,h)$,

\smnsp
\smnsp

\begin{eqnarray}\label{324234}
{\reds{|f^{\prime}(x)-{\tilde{\delta}}_+(f,x,h)|}} &=& |(f^{\prime}(x)-{{\delta}}_+(f,x,h))+({{\delta}}_+(f,x,h)-{\tilde{\delta}}_+(f,x,h))| \nonumber \\
&{\reds{\leq}}& {\reds{|f^{\prime}(x)-{{\delta}}_+(f,x,h)|+|{{\delta}}_+(f,x,h)-{\tilde{\delta}}_+(f,x,h)|}}. \nonumber
\end{eqnarray}
\end{nota}
\end{frame}





\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Alcune formule di derivazione numerica: differenza in avanti}
 
{\small{
\begin{vuoto}
\begin{itemize}
\item Abbiamo visto che $$
|f^{\prime}(x)-{\tilde{\delta}}_+(f,x,h)| \leq |f^{\prime}(x)-{{\delta}}_+(f,x,h)|+|{{\delta}}_+(f,x,h)-{\tilde{\delta}}_+(f,x,h)|
.$$
\item Se $M_2=\max_{x \in [a,b]}|f^{\prime \prime}(x)|$, $x+h \in [a,b]$, allora 
{\reds{$ |f^{\prime}(x) -\delta_+(f,x,h) |  \leq \frac{M_2h}{2}$}}.
\item Osserviamo che se $\epsilon=\max\{ |f(x)-{\tilde{f}}(x)|,|f(x+h)-{\tilde{f}}(x+h)|\}$, ovvero il massimo errore compiuto nel valutare la funzione $f$
\begin{eqnarray}
{\reds{|{{\delta}}_+(f,x,h)-{\tilde{\delta}}_+(f,x,h)|}} &=& \left| \frac{{{f}}(x+h)-{{f}}(x)}{h} -\frac{{\tilde{f}}(x+h)-{\tilde{f}}(x)}{h} \right| \nonumber \\
&=& \frac{1}{h}\left| ( {{{f}}(x+h)-{\tilde{f}}(x+h)}) -({{{f}}(x)-{\tilde{f}}(x)}{}) \right| \nonumber \\
&\leq & \frac{1}{h} \left( \left|  {{{f}}(x+h)-{\tilde{f}}(x+h)} \right|+ \left| {{{f}}(x)-{\tilde{f}}(x)}\right| \right)  {\reds{ \leq  \frac{2\epsilon}{h} }} \nonumber
\end{eqnarray}
\end{itemize}

\smsp

Di conseguenza
\begin{eqnarray}\label{324234324}
{\reds{|f^{\prime}(x)-{\tilde{\delta}}_+(f,x,h)|}}
&\leq& |f^{\prime}(x)-{{\delta}}_+(f,x,h)|+|{{\delta}}_+(f,x,h)-{\tilde{\delta}}_+(f,x,h)| \nonumber \\
&\leq& {\reds{\frac{M_2 h}{2} +\frac{2\epsilon}{h}}}.
\end{eqnarray}
\end{vuoto}
}}
\end{frame}




\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Alcune formule di derivazione numerica: differenza in avanti}
\begin{commento}[Scelta del passo $h$]
Il fatto che
$$
|f^{\prime}(x)-{\tilde{\delta}}_+(f,x,h)| \leq \frac{M_2 h}{2} +\frac{2\epsilon}{h}.
$$
dice che numericamente, se $h \rightarrow 0$ pu\myo accadere che {\reds{fino ad un certo}} $h_0$ otteniamo approssimazioni della derivata in $x$ sempre migliori, ma {\reds{poi}} diventando per $h$ piccolo rilevante la quantit\mya $\frac{2\epsilon}{h}$, i risultati cominciano a peggiorare. 

\smsp

Siccome l'analisi viene fatta per $h \rightarrow 0$, e l'unica richiesta \mye che sia $x+h,x \in [a,b]$, generalmente $[a,b]$ \mye un intervallo con una piccola ampiezza, contenente $x$ e possiamo pensare quindi che se la derivata seconda non varia troppo vicino a $x$, ovvero sia $M_2 \approx f^{\prime \prime}(x)$.

\smsp

Inoltre, visto che la funzione $g(h):=\frac{M_2 h}{2} +\frac{2\epsilon}{h}$ ha minimo in $h^*=\sqrt{\frac{{4\epsilon}}{{M_2}}}$, si suggerisce di {\reds{non scegliere numericamente valori di $h$ pi\myu piccoli di $h^*$}} con 
\bc
\btc[width=4cm]
$$
h^*=\sqrt{\frac{{4\epsilon}}{{M_2}}}.
$$
\etc
\ec
\end{commento}
\end{frame}





\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Differenza in avanti: esempio 1}

 

{{
\begin{esempio}[1]
Derivare in $x_0=0$ la funzione $f(x)=\exp(x)$, calcolando
$$
\delta_+(f,0,h)=\frac{\exp(h)-\exp(0)}{h}.
$$
Il valore desiderato \mye $f^{\prime}(0)=\exp(0)=1$.
\end{esempio}


Otteniamo i risultati della tabella e della figura, dove valutiamo {\reds{$$
E_h(f,0):=|\delta_+(f,0,h)-f^{\prime}(0)|=|\delta_+(f,0,h)-1|
$$}}
per $h=10^{-1},\ldots,10^{-26}$. Ricordiamo che $f^{\prime}(x)=\exp(x)$.

\smsp

Nel nostro caso, dalla definizione di numero macchina, e dal fatto che $\exp(h) \approx 1$, ci possiamo aspettare che l'errore compiuto nel valutare $\exp(h)$ sia pari alla precisione di macchina, ovvero $\epsilon=10^{-16}$. Da $[a,b]=[0,h]$, $$M_2=\max_{x \in [0,h]} f^{(2)}(x)=\max_{x \in [0,h]} \exp(x)\approx \exp(0)=1,$$ ci aspettiamo che il passo critico sia 

 

 $$h^*=\sqrt{\frac{{4\epsilon}}{{M_2}}}\approx 2 \cdot 10^{-8}$$
come confermato dagli esperimenti numerici.  %(vedi tabella {\ref{tab:01}}).
}}
\end{frame}






\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Alcune formule di derivazione numerica: differenza in avanti}

\begin{table}[htbp]
   \centering
   \label{tab:01}
    
\begin{tabular}{| c c  | c c |}
\hline
$h$&   $E_h(f,0)$ & $h$&   $E_h(f,0)$  \\
\hline
 	 $1.0e-01$ & $5.171e-02$ & $1.0e-14$ & $7.993e-04$\\
 	 $1.0e-02$ & $5.017e-03$ & $1.0e-15$ & $1.102e-01$\\
 	 $1.0e-03$ & $5.002e-04$ & $1.0e-16$ & $1.000e+00$\\
 	 $1.0e-04$ & $5.000e-05$ & $1.0e-17$ & $1.000e+00$\\
 	 $1.0e-05$ & $5.000e-06$ & $1.0e-18$ & $1.000e+00$\\
 	 $1.0e-06$ & $5.000e-07$ & $1.0e-19$ & $1.000e+00$\\
 	 $1.0e-07$ & $4.943e-08$ & $1.0e-20$ & $1.000e+00$\\
 	 {\reds{$1.0e-08$}} & $6.077e-09$ & $1.0e-21$ & $1.000e+00$\\
 	 $1.0e-09$ & $8.274e-08$ & $1.0e-22$ & $1.000e+00$\\
 	 $1.0e-10$ & $8.274e-08$ & $1.0e-23$ & $1.000e+00$\\
 	 $1.0e-11$ & $8.274e-08$ & $1.0e-24$ & $1.000e+00$\\
 	 $1.0e-12$ & $8.890e-05$ & $1.0e-25$ & $1.000e+00$\\
 	 $1.0e-13$ & $7.993e-04$ & $1.0e-26$ & $1.000e+00$\\
 	   \hline
\end{tabular}
\caption{Valutazione dell'errore $E_h(f,0)=|\delta_+(f,0,h)-1|$, $f(x)=\exp(x)$, per alcuni passi $h$. L'errore degrada a partire da circa $h=1.0e-08$.}
\end{table}
\end{frame}





\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Alcune formule di derivazione numerica: differenza in avanti}


 \begin{figure}[ht!]\label{1a1}
 \centering
   {\includegraphics[scale=0.265,clip]{err_ri1.eps}}
   {\includegraphics[scale=0.265,clip]{err_ri2.eps}}
 \caption{A sinistra, grafico in scala semilogaritmica dell'errore $E_h(f,0)$, $f(x)=\exp(x)$, per alcuni passi $h$. A destra lo studio in scala loglog, attorno al valore $h=10^{-8}$, in cui si vede come gi\mya vicino a $h=10^{-7}$ incomincino a esserci problemi di convergenza.}
 \end{figure}

\end{frame}





\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Differenza in avanti: esempio 2}
 
\begin{esempio}[2]
Derivare in $x_0=5$ la funzione funzione di Runge 
{\reds{$
f(x)=\frac{1}{1+x^2}, \,\,\, x \in \R
$}}, calcolando
$$
\delta_+(f,5,h)=\frac{f(5+h)-f(5)}{h}.
$$
Il valore desiderato \mye $f^{\prime}(5)=\frac{-10}{26^2}=-0.01479289940828402$.
\end{esempio}
 
Si vede che $$f^{\prime \prime}(x)=(8x^2)/(x^2 + 1)^3 - 2/(x^2 + 1)^2$$ e che essendo decrescente e positiva in un intorno destro di $5$ ha massimo in $5$, e quindi $M_2=|f^{\prime \prime}(5)|=f^{\prime \prime}(5)\approx 0.0084$. Quindi, per $\epsilon=10^{-16}$, $$h^*=\sqrt{\frac{4\epsilon}{M_2}} \approx 2.2 \cdot 10^{-7}.$$

Otteniamo i risultati della tabella, dove valutiamo
$$
E_h(f,5)=|\delta_+(f,5,h)-f^{\prime}(5)|
$$
per $h=1,10^{-1},\ldots,10^{-15}$. Come nel caso precedente, per $h \approx 10^{-7}$ i valori della derivata cominciano a degradare. Osserviamo, qualora utile, che $f^{\prime}(x)=\frac{-2x}{(1+x^2)^2}$.
\end{frame}




\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Alcune formule di derivazione numerica: differenza in avanti}
 \begin{table}[htbp]
   \centering
   \label{tab:02}
\begin{tabular}{| c c  | c c |}
\hline
$h$&   $E_h(f,0)$ & $h$&   $E_h(f,0)$  \\
\hline
  	 $1.0e+00$ & $3.358e-03$ & $1.0e-08$ & $2.258e-10$\\
 	 $1.0e-01$ & $4.108e-04$ & $1.0e-09$ & $2.381e-09$\\
 	 $1.0e-02$ & $4.200e-05$ & $1.0e-10$ & $1.150e-08$\\
 	 $1.0e-03$ & $4.209e-06$ & $1.0e-11$ & $8.212e-07$\\
 	 $1.0e-04$ & $4.210e-07$ & $1.0e-12$ & $4.927e-07$\\
 	 $1.0e-05$ & $4.210e-08$ & $1.0e-13$ & $7.159e-05$\\
 	 $1.0e-06$ & $4.210e-09$ & $1.0e-14$ & $8.321e-04$\\
 	 {\reds{$1.0e-07$}} & $3.913e-10$ & $1.0e-15$ & $8.645e-03$\\
  \hline
\end{tabular}
\caption{A sinistra, grafico in scala semilogaritmica dell'errore $E_h(f,0)$, $f(x)=1/(1+x^2)$, per alcuni passi $h$. A destra lo studio in scala loglog, si vede come gi\mya vicino a $h=10^{-7}$ incomincino a esserci problemi di convergenza.}
\end{table}
\end{frame}



\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Alcune formule di derivazione numerica: differenza in avanti}
 \begin{figure}[ht!]\label{1a2}
 \centering
   {\includegraphics[scale=0.25,clip]{err_B_ri1.eps}}
   {\includegraphics[scale=0.25,clip]{err_B_ri2.eps}}
 \caption{Errore $E_h(f,0)$ per alcuni passi $h$. Zoom attorno al valore $h=10^{-8}$ in cui si vede come tra $h=10^{-7}$ e $h=10^{-8}$ incomincino a esserci problemi di convergenza.}
 \end{figure}
\end{frame}









\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Alcune formule di derivazione numerica: rapporto incrementale simmetrico}

\smnsp

{\small{

\begin{definizione}[Rapporto incrementale simmetrico]
Sia $f$ una funzione derivabile nell'intervallo $[a,b]$. Supposto che per un fissato $h > 0$ siano $x-h,x+h \in [a,b]$, si definisce {\reds{rapporto incrementale simmetrico}} in $x$ di passo $h$ (cf. {\cite{WIKIFD}}).
\bc
\btc[width=9cm]

\smnsp

$$
\delta_2(f,x,h):=\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}, {\mbox{    }} x-h,x+h \in [a,b].
$$
\etc
\ec
\end{definizione}

\vspace{-0.1cm}

\begin{teorema}
Sia $f \in C^3([a,b])$ e che per un fissato $h > 0$ siano $x-h,x+h \in [a,b]$. Allora per un certo $\xi \in (x-h,x+h)$
\bc
\btc[width=10.5cm]
\smnsp
$$
\delta_{2}(f,x,h)=\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}=f^{(1)}(x) + \frac{h^2}{6}  f^{(3)}(\xi),
$$
\etc
\ec
\end{teorema}

\vspace{-0.1cm}

\begin{corollario}[Errore assoluto del rapporto incrementale simmetrico]
Sia $f \in C^3([a,b])$ e che per un fissato $h > 0$ siano $x-h,x+h \in [a,b]$. Allora per un certo $\xi \in (x-h,x+h)$
\bc
\btc[width=10.5cm]
\smnsp
$$
\left| \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}-f^{(1)}(x)\right| = \frac{h^2}{6} \cdot  |f^{(3)}(\xi)|.
$$
\etc
\ec
\end{corollario}

}}


\end{frame}





\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Alcune formule di derivazione numerica: rapporto incrementale simmetrico}

\begin{dimostrazione}
  Supponiamo $f \in C^3([a,b])$ e che $x-h,x+h \in [a,b]$. Allora,
\begin{itemize}  
\item per $\xi_{+} \in (x,x+h)$ abbiamo
  $$
  f(x+h)=f(x)+h f^{(1)}(x)+h^2 \frac{f^{(2)}(x)}{2}+\frac{h^3 f^{(3)}(\xi_{+})}{6},
  $$
\item per $\xi_{-} \in (x-h,x)$ abbiamo
  $$
  f(x-h)=f(x)-h f^{(1)}(x)+h^2 \frac{f^{(2)}(x)}{2}-\frac{h^3 f^{(3)}(\xi_{-})}{6}.
  $$
  \end{itemize}  
Sottraendo membro a membro, 
$$
 f(x+h)- f(x-h)=2hf^{(1)}(x)+h^3 \frac{  f^{(3)}(\xi_{+})+f^{(3)}(\xi_{-})} {6}.
$$
Intendiamo di seguito scrivere pi\'u semplicemente la quantit\'a
$$
\frac{  f^{(3)}(\xi_{+})+f^{(3)}(\xi_{-})} {6}.
$$
\end{dimostrazione}

\end{frame}





\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Alcune formule di derivazione numerica: rapporto incrementale simmetrico}

{\small{
\begin{vuoto}
Dal teorema dei valori intermedi, la funzione $f^{(3)} \in C([a,b])$ assume in $[x-h,x+h]$ tutti i valori nell'intervallo 
$$\left[\min_{t \in [x-h,x+h]}(f^{(3)}(t),\max_{t \in [x-h,x+h]}(f^{(3)}(t)\right]$$
\noindent e in particolare $f^{(3)}(\xi_{-})$, $f^{(3)}(\xi_{+})$ essendo $\xi_{-},\xi_{+} \in [x-h,x+h]$. Quindi pure $\frac{  f^{(3)}(\xi_{+})+f^{(3)}(\xi_{-})} {2}$.
Conseguentemente possiamo asserire che esiste $\xi \in (x-h,x+h)$ tale che
$$
f^{(3)}(\xi)=\frac{  f^{(3)}(\xi_{+})+f^{(3)}(\xi_{-})} {2}
$$
e di conseguenza
$$
f(x+h)- f(x-h)=2hf^{(1)}(x)+h^3 \frac{  f^{(3)}(\xi_{+})+f^{(3)}(\xi_{-})} {6}=2hf^{(1)}(x)+h^3 \frac{ f^{(3)}(\xi) }{3}.
$$
da cui dividendo ambo i membri per $2h$ si ottiene 
{\reds{
$$
\delta_{2}(f,x,h)=\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}=f^{(1)}(x) + \frac{h^2}{6}  f^{(3)}(\xi).
$$
}}
\qed 
\end{vuoto}
}}
\end{frame}





\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Alcune formule di derivazione numerica: rapporto incrementale simmetrico}
{\small{
\begin{nota}[Convergenza]
Da
$$
\delta_{2}(f,x,h)=\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}=f^{(1)}(x) + \frac{h^2}{6}  f^{(3)}(\xi)
$$
abbiamo
$$
\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}-f^{(1)}(x) = \frac{h^2}{6}  f^{(3)}(\xi).
$$
Se $M_3=\max_{x \in [a,b]} | f^{(3)}(x)|$, essendo {\reds{$$|f^{(3)}(\xi)| \leq \max_{x \in [a,b]} | f^{(3)}(x)|=M_3$$}}
\begin{equation}\label{23435}
0 \leq \left|\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}-f^{(1)}(x) \right|= \frac{h^2}{6}  |f^{(3)}(\xi)| \leq  \frac{h^2}{6}  M_3
\end{equation}
da cui, per il teorema del confronto
$$
\lim_{h \rightarrow 0}\left|\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}-f^{(1)}(x)\right|=0
$$
e quindi
$$
\lim_{h \rightarrow 0}\delta_{2}(f,x,h) = f^{(1)}(x).
$$
\end{nota}
}}
\end{frame}





\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Alcune formule di derivazione numerica: rapporto incrementale simmetrico}

\begin{nota}[Aritmetica esatta]
Il teorema dice che in aritmetica esatta, {\reds{utilizzando passi $h$ sempre pi\myu piccoli abbiamo approssimazioni sempre migliori della derivata prima}} mediante il rapporto incrementale simmetrico, in un punto arbitrario  $x \in [a+h,b-h]$.
\end{nota}

\begin{nota}[Aritmetica non esatta]
Come nel caso precedente, {\reds{le cose vanno numericamente in modo diverso}}.

\smsp

La funzione $f$ non viene sempre valutata esattamente, ed ogni volta calcoliamo
$$
{\tilde{\delta}}_{2}(f,x,h)=\frac{{\tilde{f}}(x+h)-{\tilde{f}}(x-h)}{2h}
$$
invece di ${{\delta}}_{2}(f,x,h)=\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}$ e abbiamo
\begin{eqnarray}\label{4356}
|f^{\prime}(x)-{\tilde{\delta}}_{2}(f,x,h)| &=& |f^{\prime}(x)-{{\delta}}_{2}(f,x,h)+{{\delta}}_{2}(f,x,h)-{\tilde{\delta}}_{2}(f,x,h)|  \nonumber \\
&\leq& |f^{\prime}(x)-{{\delta}}_{2}(f,x,h)|+|{{\delta}}_{2}(f,x,h)-{\tilde{\delta}}_{2}(f,x,h)| \nonumber \\
\end{eqnarray}
\end{nota}
\end{frame}





\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Alcune formule di derivazione numerica: rapporto incrementale simmetrico}

\smnsp

{\small{
\begin{vuoto}
\begin{itemize}
\item Essendo 
$$
|f^{\prime}(x)-{\tilde{\delta}}_{2}(f,x,h)| \leq |f^{\prime}(x)-{{\delta}}_{2}(f,x,h)|+|{{\delta}}_{2}(f,x,h)-{\tilde{\delta}}_{2}(f,x,h)|.
$$
\item Se $M_3=\max_{s \in [a,b]}|f^{(3)}(s)|$ abbiamo 
$$
\left|\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}-f^{(1)}(x) \right| \leq  \frac{h^2}{6}  M_3.
$$
\item Se {\reds{$\epsilon=\max\{ |f(x-h)-{\tilde{f}}(x-h)|,|f(x+h)-{\tilde{f}}(x+h)|\}$}} ovvero \mye il massimo errore compiuto nel valutare la funzione $f$, dalla disuguaglianza triangolare,
\begin{eqnarray}
{\reds{|{{\delta}}_{2}(f,x,h)-{\tilde{\delta}}_{2}(f,x,h)| }} &=& 
\left|\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}-\frac{{\tilde{f}}(x+h)-{\tilde{f}}(x-h)}{2h} \right| \nonumber \\
&\leq& \frac{1}{{2h}}\left|({{f(x+h)-{\tilde{f}}(x+h)}})-({{f(x-h)-{\tilde{f}}(x-h)}}{})\right| \nonumber \\
&\leq& \frac{1}{{2h}}\left( \left|{{f(x+h)-{\tilde{f}}(x+h)}}\right|+\left|{{f(x-h)-{\tilde{f}}(x-h)}}{}\right| \right) \nonumber \\
&\leq& \frac{\epsilon}{2h} + \frac{\epsilon}{2h}={\reds{\frac{\epsilon}{h}}}
\end{eqnarray}
\end{itemize}
\begin{eqnarray}\label{123}
{\reds{|f^{\prime}(x)-{\tilde{\delta}}_{2}(f,x,h)|}} &\leq& |f^{\prime}(x)-{{\delta}}_{2}(f,x,h)|+|{{\delta}}_{2}(f,x,h)-{\tilde{\delta}}_{2}(f,x,h)|  \nonumber \\
&\leq& {\reds{\frac{h^2}{6}  M_3 + \frac{\epsilon}{h}.}}
\end{eqnarray}
\end{vuoto}
}}
\end{frame}





\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Alcune formule di derivazione numerica: rapporto incrementale simmetrico}
\begin{nota}[Scelta del passo $h$]
Siccome l'analisi viene fatta per $h \rightarrow 0$, e l'unica richiesta \mye che sia $x+h,x-h \in [a,b]$, generalmente possiamo pensare ad $[a,b]$ come ad un intervallo di piccola ampiezza e contenente $x$ al suo interno. 

\smsp

Di conseguenza che se la derivata terza non varia troppo vicino a $x$, sia $M_2 \approx |f^{(3)}(x)|$.

\smsp

In particolare, visto che la funzione $$g_2(h):=\frac{h^2}{6}  M_3 + \frac{\epsilon}{h}$$ ha minimo in 
\bc
\btc[width=5cm]
$$
h^*=\sqrt[3]   { \frac{{3\epsilon}}{{M_3}} },
$$
\etc
\ec
si suggerisce di {\reds{non scegliere numericamente valori di $h$ pi\myu piccoli di $h^*$}}.
\end{nota}
\end{frame}





\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Rapporto incrementale simmetrico: esempio 1}
\begin{esempio}[1]
Derivare numericamente in $x_0=0$ la funzione $f(x)=\exp(x)$, calcolando
$$
\delta_{2}(f,0,h)=\frac{f(0+h)-f(0-h)}{2h}=\frac{\exp(h)-\exp(-h)}{2h}.
$$
Il valore desiderato \mye $f^{\prime}(0)=\exp(0)=1$.
\end{esempio}

Otteniamo i risultati della tabella e della figura, dove valutiamo
$$
E_h(f,0)=|\delta_{2}(f,0,h)-1|
$$
per $h=10^{0},\ldots,10^{-25}$, che evidenziano un degradamento attorno a $10^{-6}$. 

\smsp

In effetti, posto $\epsilon=10^{-16}$, visto che $M_3 \approx 1$, abbiamo che 
$$h^{*} = \sqrt[3]   { \frac{{3\epsilon}}{{M_3}} } \approx 6.7 \cdot 10^{-6}.$$

\smsp

Verifichiamo la stima per valori di $h$ sotto la soglia critica $h^{*}$.

Per $h=10^{-4}$, abbiamo $$
|\delta_2(f,x,h) -f^{\prime}(x)|=|h^{2} f^{(3)}(\xi)|/6 \approx (10^{(-4)})^2 \cdot 1/6 \approx 1.667\cdot 10^{-9}.
$$
coerente coi risultati trovati.


\end{frame}





\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Rapporto incrementale simmetrico: esempio 1}

 \begin{table}[htbp]
   \centering
   \label{tab:03}
\begin{tabular}{| c c  | c c |}
\hline
$h$&   $E_h(f,0)$ & $h$&   $E_h(f,0)$  \\
\hline
 	 $1.0e+00$ & $1.752e-01$ & $1.0e-13$ & $2.442e-04$\\
 	 $1.0e-01$ & $1.668e-03$ & $1.0e-14$ & $7.993e-04$\\
 	 $1.0e-02$ & $1.667e-05$ & $1.0e-15$ & $5.471e-02$\\
 	 $1.0e-03$ & $1.667e-07$ & $1.0e-16$ & $4.449e-01$\\
 	 {\cyan{$1.0e-04$}} & $1.667e-09$ & $1.0e-17$ & $1.000e+00$\\
 	 $1.0e-05$ & $1.210e-11$ & $1.0e-18$ & $1.000e+00$\\
 	 {\reds{$1.0e-06$}} & $2.676e-11$ & $1.0e-19$ & $1.000e+00$\\
 	 $1.0e-07$ & $5.264e-10$ & $1.0e-20$ & $1.000e+00$\\
 	 $1.0e-08$ & $6.077e-09$ & $1.0e-21$ & $1.000e+00$\\
 	 $1.0e-09$ & $2.723e-08$ & $1.0e-22$ & $1.000e+00$\\
 	 $1.0e-10$ & $8.274e-08$ & $1.0e-23$ & $1.000e+00$\\
 	 $1.0e-11$ & $8.274e-08$ & $1.0e-24$ & $1.000e+00$\\
 	 $1.0e-12$ & $3.339e-05$ & $1.0e-25$ & $1.000e+00$\\
 	   \hline
\end{tabular}
\caption{Valutazione dell'errore $E_h(f,0)$, $f(x)=\exp(x)$, per alcuni passi $h$. L'errore sembra degradare a partire da circa $h=1.0e-06$.}

\end{table}
\end{frame}





\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Rapporto incrementale simmetrico: esempio 1}
 \begin{figure}[ht!]\label{1a3}
 \centering
   {\includegraphics[scale=0.3,clip]{err_simm_f1.eps}}
 \caption{Errore $E_h(f,0)$, con $f(x)=\exp(x)$, per alcuni passi $h$. Si vede, partendo da destra, come l'errore compiuto sia una funzione decrescente al diminuire di $h$ fino a $10^{-5}$ (e non $10^{-6}$ come dice la tabella), dopo di che l'andamento, pur meno prevedibile, \mye essenzialmente crescente, fornendo errori tendenzialmente maggiori al diminuire di $h$.}
 \end{figure}

\end{frame}





\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Rapporto incrementale simmetrico: esempio 2}
{\small{
\begin{esempio}[2]
Derivare numericamente in $x_0=5$ la funzione funzione di Runge 
{\reds{$
f(x)=\frac{1}{1+x^2}, \,\,\, x \in \R
$}}, calcolando
$$
\delta_{2}(f,5,h)=\frac{f(5+h)-f(5-h)}{2h}.
$$
Il valore desiderato \mye $f^{\prime}(5)=-0.01479289940828402$.
\end{esempio}

Dopo qualche conto, $f^{(3)}(5) \approx -6.302300339623963e-03$ e quindi $M_3 \approx 6.31 \cdot 10^{-3}$. Ne consegue che posto $\epsilon=10^{-16}$, $h^{*}=\sqrt[3]   { \frac{{3\epsilon}}{{M_3}} } \approx 3.7 \cdot 10^{-5}$.

\begin{itemize}
\item Nella tabella, valutiamo $
E_h(f,5)=|\delta_{2}(f,5,h)-f^{\prime}(5)|
$
per $h=1,10^{-1},\ldots,10^{-15}$. 
\item  da $
|\delta_2(f,x,h) -f^{\prime}(x)|=|h^{2} f^{(3)}(\xi)|/6
$, ci aspettiamo un errore 
$$
E_h(f,5) \approx \frac{6\cdot 10^{-3} h^2}{6}= 10^{-3} h^2.
$$
\end{itemize}
\begin{itemize}
\item Ad esempio, per $h=10^{-4}$ la stima offre $1 \cdot 10^{-11}$ molto prossima al valore numerico effettivo di $1.050e-11$.
\item Posto $\epsilon = 10^{-16}$, visto che $h^* \approx 3.7 \cdot 10^{-5}$, e in effetti per  $h \leq h^* $ i valori della derivata degradano.
\end{itemize}
}}
\end{frame}





\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Rapporto incrementale simmetrico: esempio 2}
 
 \begin{table}[htbp]
   \centering
   \label{tab:05}
\begin{tabular}{| c c  | c c |}
\hline
$h$&   $E_h(f,0)$ & $h$&   $E_h(f,0)$  \\
\hline
 	 $1.0e+00$ & $1.105e-03$ & $1.0e-08$ & $1.211e-10$\\
 	 $1.0e-01$ & $1.051e-05$ & $1.0e-09$ & $1.088e-09$\\
 	 $1.0e-02$ & $1.050e-07$ & $1.0e-10$ & $1.150e-08$\\
 	 $1.0e-03$ & $1.050e-09$ & {\reds{$1.0e-11$}} & $1.273e-07$\\
 	 {\cyan{$1.0e-04$}} & $1.050e-11$ & $1.0e-12$ & $4.927e-07$\\
 	 $1.0e-05$ & $1.293e-13$ & $1.0e-13$ & $2.455e-06$\\
 	 $1.0e-06$ & $1.458e-12$ & $1.0e-14$ & $1.219e-04$\\
 	 $1.0e-07$ & $2.505e-11$ & $1.0e-15$ & $8.321e-04$\\
  \hline
\end{tabular}
\caption{Valutazione dell'errore $E_h(f,5)$, con $f(x)=1/(1+x^2)$, per alcuni passi $h$. L'errore degrada a partire da circa $h=1.0e-05$.}

\end{table}
\end{frame}





\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Rapporto incrementale simmetrico: esempio 2}
 \begin{figure}[ht!]\label{1a4}
 \centering
   {\includegraphics[scale=0.3,clip]{err_simm_f2.eps}}
 \caption{Errore $E_h(f,5)$, con $f(x)=1/(1+x^2)$,  per alcuni passi $h$. Si vede, partendo da destra, come l'errore compiuto sia una funzione decrescente al diminuire di $h$ fino a $10^{-5}$, dopo di che l'andamento, pur meno prevedibile, \mye essenzialmente crescente, fornendo errori tendenzialmente maggiori al diminuire di $h$.}
 \end{figure}
 
\end{frame}






 








 
\begin{frame}[allowframebreaks] {Bibliografia}
\bibliographystyle{plain}
\bibliography{bibliography/bibliography} 



\begin{thebibliography}{99} 
\bibitem{ATK} K. Atkinson, {\it{Introduction to Numerical Analysis}}, Wiley, 1989.

%\bibitem{COM} V. Comincioli, {\it{Analisi Numerica, metodi modelli applicazioni}}, Mc Graw-Hill, 1990.

%\bibitem{CON} S.D. Conte e C. de Boor, {\it{Elementary Numerical Analysis, 3rd Edition}}, Mc Graw-Hill, 1980.

%\bibitem{QUA} A. Quarteroni e F. Saleri, {\it{Introduzione al calcolo scientifico}}, Springer Verlag, 2006.

%\bibitem{SULI} A. Suli e D. Mayers, {\it{An Introduction to Numerical Analysis}}, Cambridge University Press, 2003.
\bibitem{WIKIFD} {\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Finite\_difference}{Wikipedia, Finite Difference}}
\bibitem{WIKIND} {\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Numerical\_differentiation}{Wikipedia, Numerical Differentiation}}

\end{thebibliography}
\end{frame}

\end{document}










\begin{frame}[allowframebreaks] {Bibliografia}
\bibliographystyle{plain}
\bibliography{bibliography/bibliography} 



\begin{thebibliography}{99} 
%\bibitem{ATK} K. Atkinson, {\em An Introduction to Numerical Analysis\/},Wiley, (1989).
%\bibitem{QUAOLD} A. Quarteroni, {\sl{Elementi di calcolo scientifico}}, Progetto Leonardo, 1999.
%\bibitem{QUA} A. Quarteroni e F. Saleri, {\sl{Introduzione al calcolo scientifico}}, Springer Verlag, 2006.
%\bibitem{QUABIG} A. Quarteroni, R. Sacco e F. Saleri, {\sl{Matematica numerica}}, Springer Verlag, 1998.
%\bibitem{WIKNC} Wikipedia, Nodi di Chebyshev, \\ {\href{http://it.wikipedia.org/wiki/Nodi\_di\_Chebyshev}{http://it.wikipedia.org/wiki/Nodi\_di\_Chebyshev}}.

\end{thebibliography}
\end{frame}





\begin{table}[h!]
\begin{center}
\begin{tabular}{c c c}
\hline
$n$&   $E^{\mbox{e}}_n$ & $E^{\mbox{c}}_n$  \\
\hline

  	 $ 90$ & $1.498e+05$ & $1.648e-08$ \\
 \hline
\end{tabular}

 

\caption{\footnotesize{...}
\end{center}
\end{table}

 
 
 
 
 
 \begin{figure}[h!]\label{bisae}
 \centering
   {\includegraphics[scale=0.25,clip]{rungeeq.eps}}
    {\includegraphics[scale=0.25,clip]{rungecheb.eps}}
 \caption{Grado $n$ ed errore $E_n[f]=\max_{x \in [-5,5]} |f(x)-p_n(x)|$ con $p_n$ interpolante $f$ rispettivamente in $n+1$ nodi equispaziati (figura a sinistra) e di Chebyshev (figura a destra), in scala semilogaritmica.}
 \end{figure} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
\section{Estrapolazione}

Data una formula di approssimazione $\phi(h)$ di una quantit\mya $\alpha$, con la stuttura $$\phi(h)=\alpha+ch^p+O(h^q), \,\,q > p \geq 1$$ dove $c$ \mye una costante indipendente da $h$, abbiamo 
\begin{equation} \label{3423}
\phi    \left(  \frac{h}{2}\right)=\alpha+c \left(    \frac{h^p}{2^p} \right)+O(h^{p q}).
\end{equation}
da cui moltiplicando (\ref{3423}) per $2^p$ e visto che essendo $q > p > 1$, dalla teoria degli infinitesimi $2^pO(h^{p q}))+O(h^{q})=O(h^{q})$, ricaviamo
\begin{eqnarray}
\phi(h)-2^p\phi(h/2)&=&(\alpha+ch^p+O(h^q))-2^p(\alpha+c \left(    \frac{h^p}{2^p} \right)+O(h^{p q})) \nonumber \\
&=& (1-2^p) \alpha + O(h^q) \nonumber
\end{eqnarray}
ovvero, visto che $ O(h^q)/(1-2^p)= O(h^q)$,
$$
\frac{\phi(h)-2^p\phi(h/2)}{1-2^p}=\alpha+O(h^q).
$$

In definitiva, abbiamo ottenuto una nuova approssimazione di $\alpha$, il cui errore non \mye pi\mye dell'ordine di $p$, ma di $q >p$ e quindi potenzialmente migliore.

Sviluppando il rapporto incrementale $\delta_+$ e il rapporto incrementale simmetrico $\delta$ dopo qualche conto simile a quelli gi\mya fatti, ma troncando la formula di Taylor rispettivamente al terzo e quinto ordine, abbiamo
\begin{itemize}
\item si ha per $f \in C^{3}([a,b])$, $x,x+h \in [a,b]$,
$$
\delta_+(f,x,h) =\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f^{\prime}(x) + h f^{\prime \prime}(x) + O(h^2), \,\,\, \xi_x \in (x,x+h).
$$
ovvero della forma $\delta_+(f,x,h)=\alpha+ch^p+O(h^q)$ per $\alpha=f^{\prime}(x) $, $c=1$, $p=1$, $q=2$,
\item si ha per $f \in C^{5}([a,b])$, $x-h,x+h \in [a,b]$
$$
\delta_{2}(f,x,h)=\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}=f^{\prime}(x) + \frac{h^2}{12}  f^{(3)}(x)+O(h^4).
$$
ovvero della forma $\delta_2(f,x,h)=\alpha+ch^p+O(h^q)$ per $\alpha=f^{\prime}(x) $, $c=f^{3}(x)/12$, $p=2$, $q=4$.
\end{itemize}





\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Derivazione numerica}

 

\begin{nota}[Facoltativa]
\begin{itemize}
\item la convergenza {\underline{non \mye uniforme}}, poich\mye per $n \geq 2$

 

$$
\max_{x \in [0,1]} | \sin(nx)-0| =1 
$$
e quindi
$$
\lim_n \max_{x \in [0,1]} | \sin(nx)-0| =1 \neq 0. 
$$
\item la convergenza {\underline{non \mye puntuale}}, poich\mye per $n=2+8 k$, $k=0,1,\ldots$ 
$$
n \frac{\pi}{4} = (2+8 k) \frac{\pi}{4} =\frac{\pi}{2}+2k\pi
$$
e quindi
$$
\sin\left( \frac{n\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}+2k\pi\right) =1
$$
per cui, dalla definizione di limite di una successione, non pu\myo essere
{{$
\lim_n \sin\left(\frac{n\pi}{4}\right) =0
$}}.
\end{itemize}
\end{nota}
\end{frame}