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\title[Integrazione numerica \hspace{2em}\insertframenumber/
\inserttotalframenumber]{Integrazione numerica}
\author{Alvise Sommariva}
\institute{Universit\`a degli Studi di Padova\\Dipartimento di Matematica Pura e Applicata}
\date{\today}
\begin{document}
\frame{\titlepage}

\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Integrazione numerica}
\begin{proposito}
In questa sezione si approssimano numericamente integrali definiti di funzioni $f \in C([a,b])$, con $[a,b]$ intervallo limitato, ovvero
\bc
\btc[width=8cm]
$$
I(f):=\int_a^b f(x) dx
$$
\etc
\ec

Tale quantit\'a verr\'a approssimata mediante somme pesate del tipo
\bc
\btc[width=8cm]
\smnsp
\smnsp
\smnsp
$$
S(f):=\sum_{k=1}^N w_k f(x_k)=w_1f(x_1)+\ldots+w_N f(x_N)
\smnsp
$$
\etc
\ec

\smnsp

con $x_1,\ldots,x_N \in [a,b]$, $w_1,\ldots,w_N \in {\mathbb{R}}$.
\end{proposito}
\end{frame}



\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Integrazione numerica}

\smnsp

{\scriptsize{

\begin{teorema} \label{thm1}
L'operazione di integrazione (nel continuo) \mye {\reds{stabile}}, ovvero se $\tilde{f}, f \in C([a,b])$, con $[a,b]$ intervallo limitato, 

\smnsp
\bc
\btc[width=8cm]
\bignsp
$$
\left| \int_a^b f(x) dx - \int_a^b {\tilde{f}}(x) dx \right| \leq (b-a) \max_{x \in [a,b]} | f(x) -  {\tilde{f}}(x)|.
$$
\etc
\ec
\end{teorema}

\smnsp
\begin{dimostrazione}[Facoltativo]
L'asserto segue dal fatto che, come noto,
\begin{enumerate}
\item $g(x) \leq h(x), x \in [a,b], \, g,h \in C([a,b]) \Rightarrow \int_a^b g(x) dx \leq \int_a^b h(x) dx$
\item $|\int_a^b g(x) dx| \leq \int_a^b| g(x) |dx$,
\item $\int_a^b g(x) dx - \int_a^b h(x) dx=\int_a^b ( g(x)-h(x) )dx$  (linearit\'a dell'integrazione),
\item se \accd $c$" \mye un numero allora $\int_a^b c \cdot g(x) dx=c \int_a^b  g(x) dx$  
\end{enumerate}

\noindent e quindi

\smnsp

\begin{eqnarray}
\left| \int_a^b f(x) dx - \int_a^b {\tilde{f}}(x) dx \right| &{\stackrel{(3)}{=}}&  \left| \int_a^b (f(x) -  {\tilde{f}}(x)) dx \right|  {\stackrel{(2)}{\leq}}   \int_a^b \left| f(x) -  {\tilde{f}}(x)\right|     dx  \nonumber \\ 
&{\stackrel{(1)}{\leq}}  & \int_a^b\max_{x \in [a,b]} | f(x) -  {\tilde{f}}(x)| dx {\stackrel{(4)}{=}}  \max_{x \in [a,b]} | f(x) -  {\tilde{f}}(x)| \int_a^b 1 \cdot dx \nonumber \\
&=& (b-a) \max_{x \in [a,b]} | f(x) -  {\tilde{f}}(x)|. \nonumber
\end{eqnarray}

\bignsp
\qed
\end{dimostrazione}
}}
\end{frame}


\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Integrazione numerica: esempio sulla stabilit\'a}

\smnsp

\begin{figure}
  \centering
   {\includegraphics[scale=0.265,clip]{stab01.eps}}
      {\includegraphics[scale=0.265,clip]{stab02.eps}}
 \caption{{\purples{A sinistra}}: in nero la funzione $\sin(x)$ e in rosso un certo polinomio di secondo grado $p_2(x)$ in $[0,\pi]$. Si ha $\int_0^{\pi} \sin(x) dx=2$ e $\int_0^{\pi} p_2(x) dx\approx 2.006$, $\max_{x\in[0,\pi]}|\sin(x)-p_2(x)| \approx 2.8 \cdot 10^{-2}$.  
 
 {\vspace{0.2cm}}
 
{\purples{A destra}}: in nero la funzione $|\sin(x)-p_2(x)|$, in rosso la funzione costantemente uguale a $2.800479797706581 \cdot 10^{-2}$. In questo caso $| \int_0^{\pi} \sin(x) dx -\int_0^{\pi} p_2(x) dx| \approx 6.4154 10^{-3}$ e il teorema dice $| \int_0^{\pi} \sin(x) dx -\int_0^{\pi} p_2(x) dx|  \leq (\pi-0) \cdot 2.800479797706581 \cdot 10^{-2} \approx 8.8 \cdot 10^{-2}$}
\end{figure}

\smnsp

\end{frame}


\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Integrazione numerica}

\smnsp

{\small{
\begin{commento}[{\reds{stabilit\myash}} del funzionale di integrazione]
\begin{itemize}
\item L'asserto dice che se $\tilde{f} \approx f$ relativamente alla distanza 
$${\mbox{dist}}(f,{\tilde{f}}):=\|f-{\tilde{f}}\|_{\infty}=\max_{x \in [a,b]} | f(x) -  {\tilde{f}}(x)|$$ 

\smnsp

allora $\int_a^b {\tilde{f}}(x) dx$ non pu\myo essere arbitrariamente distante da 
$\int_a^b f(x) dx$.

\item supponiamo che ${\tilde{f}}$ sia un polinomio e che $\tilde{f} \approx f$ nel senso della norma infinito; visto che ci\'o implica che
$$
\int_a^b f(x) dx \approx \int_a^b {\tilde{f}}(x) dx
$$
possiamo sostituire il potenzialmente difficile calcolo di $\int_a^b f(x) dx$ con quello magari pi\'u semplice di $\int_a^b {\tilde{f}}(x) dx$.
\end{itemize}


\end{commento}

\smnsp


}}
\end{frame}





\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Integrazione numerica}

\smnsp

{\fns{
\begin{corollario}[Facoltativo]\label{c1}
Sia $\{f_n\}$ una successione di funzioni continue che converge uniformemente a $f \in C([a,b])$, con $[a,b]$ intervallo limitato, ovvero
$$
\lim_{n} \|f_n-f\|_{\infty}:=\lim_{n} \max_{x \in [a,b]} |f_n(x)-f(x)|=0
$$
allora
$$
\lim_n \left| \int_a^b f_n(x) dx - \int_a^b f(x) dx \right| = 0,
$$ 
\end{corollario}

\smnsp

\begin{dimostrazione}[Facoltativa]
L'asserto segue dal fatto che dal teorema precedente abbiamo
\begin{eqnarray}
0 \leq \left| \int_a^b f_n(x) dx - \int_a^b f(x) dx \right| &\leq & (b-a) \max_{x \in [a,b]} | f_n(x) -  f(x)| \nonumber 
\end{eqnarray}
e quindi visto che $b-a$ \mye finito e {\reds{$\lim_{n} \max_{x \in [a,b]} |f_n(x)-f(x)|=0$}}, per il teorema del confronto abbiamo pure che 
$$
\lim_n \left| \int_a^b f_n(x) dx - \int_a^b f(x) dx \right| = 0.
$$
\end{dimostrazione}
}}
\end{frame}









\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Breve teoria delle formule di quadratura algebriche}

\smnsp
{\small{
\begin{definizione}
Le formule di quadratura algebriche  {\reds{interpolatorie}}, sono ottenute integrando il polinomio $p_n \in {\mathbb{P}}_n$ interpolante le coppie $(x_i,f(x_i))_{i=0,\ldots,n}$.
\end{definizione}

Se $L_k$ il $k$-simo polinomio di Lagrange relativamente ai nodi $\{x_i\}_{i=0,\ldots,n}$, ovvero

\vspace{-0.1cm}

$$
L_k(x)=\frac {(x-x_0) \ldots (x-x_{k-1}) (x-x_{k+1}) \ldots (x-x_{n}) }  {(x_k-x_0) \ldots (x_k-x_{k-1}) (x_k-x_{k+1}) \ldots (x_k-x_{n})},
$$
abbiamo da 
\begin{enumerate}
\item $p_n(x)=\sum_{k=0}^n f(x_k) L_k(x)$, 
\item $\int_a^b \sum_{k=0}^n g_k(x) dx=\sum_{k=0}^n \int_a^b g_k(x) dx$, $g_k \in C([a,b])$, con $a,b$ finiti,
\item posto {\reds{$w_k:= \int_a^b  L_k(x) dx$}},
\end{enumerate}

\vspace{-0.3cm}

\begin{eqnarray}
{\reds{\int_a^b f(x) dx}} &{\reds{\approx}} & \int_a^b p_n(x) dx {\stackrel{(1)}{=}} \int_a^b \sum_{k=0}^n f(x_k) L_k(x) dx {\stackrel{(2)}{=}}   \sum_{k=0}^n  \int_a^b  f(x_k) L_k(x) dx \nonumber \\
&=&  \sum_{k=0}^n f(x_k) \int_a^b  L_k(x) dx {\stackrel{(3)}{=}}  {\reds{ \sum_{k=0}^n w_k f(x_k)}}.
\end{eqnarray}

\vspace{-0.1cm}

\begin{itemize}
\item Le quantit\mya {\purples{$w_k$}} sono dette {\reds{pesi}}, mentre le ascisse {\purples{$x_k$}} sono dette {\reds{nodi}}.
\item Se $f \in {\mathbb{P}}_n$ allora ${\reds{\int_a^b f(x) dx=\sum_{k=0}^n w_k f(x_k)}}$, visto che il polinomio interpolatore $p_n$ coincide con $f$ e quindi $\int_a^b f(x) dx=\int_a^b p_n(x) dx$.
\end{itemize}
}}
\end{frame}





\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Breve teoria delle formule di quadratura algebriche}

\smnsp

{\small{

\begin{teorema}
Le formule di quadratura algebriche  {\reds{interpolatorie}}, relativamente ai nodi $x_0,\ldots,x_n$ sono del tipo 

\smnsp
\smnsp

\bc
\btc[width=7cm]

$$
\int_a^b f(x) dx \approx \sum_{k=0}^n w_k f(x_k)
$$

\smnsp

\etc
\ec

\smnsp

con {\reds{$w_k=\int_a^b L_k(x) dx$}} dove $L_k$ \mye il $k$-simo polinomio di Lagrange rispetto $x_0,\ldots,x_n$.
\end{teorema}

\begin{definizione}
Una formula 

\smnsp

$$\int_a^b f(x) dx  \approx \sum_{i=0}^n w_i f(x_i)$$

\smnsp

\begin{itemize}
\item ha {\reds{grado di precisione almeno}} $N$ se e solo se \mye esatta per tutti i polinomi $f$ di grado inferiore o uguale a $N$ (cio\'e  $p_N \in {\mathbb{P}}_N \Rightarrow \int_a^b p_N(x) dx  = \sum_{i=0}^n w_i p_N(x_i)$);
\item ha {\reds{grado di precisione esattamente}} $N$ se e solo se ha grado di precisione almeno $N$ ed esiste un polinomio di grado $N+1$ per cui non sia esatta; in altri termini \'e il pi\'u grande $N$ per cui la formula abbia grado di precisione almeno $N$.
\end{itemize}
\end{definizione}
}}
\end{frame}






\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Breve teoria delle formule di quadratura algebriche}
{\small{
Di seguito indicheremo con ${\mathbb{P}}_m$ i polinomi di grado minore o uguale a $m$.

\begin{teorema}[Caratterizzazione delle formule interpolatorie]
\begin{enumerate}
\item Se una formula a \accd $n+1$" nodi \mye interpolatoria allora ha {\reds{grado di precisione almeno \accd $n$"}}. 
\item Se una formula ha grado di precisione almeno \accd $n$" ed e' a \accd $m$" nodi, con \accd $m \leq n+1$",  allora \mye interpolatoria.
\end{enumerate}
\end{teorema}

\begin{nota}[Facoltativa]
Mentre il punto 1. \mye gi\'a stato analizzato, il punto 2. \mye sorprendente. Ad esempio una formula avente punti $x_0,x_1,x_2$ e grado di precisione almeno $2$, \mye necessariamente interpolatoria ovvero $w_k=\int_a^b L_k(x) dx$, $k=0,1,2$.
\end{nota}

Di seguito vedremo alcune formule interpolatorie di grado $n$ a $n+1$ nodi $\{x_k\}_{k=0,\ldots,n}$, che sono quindi caratterizzate da avere pesi
\bc
\btc[width=7cm]
$$
w_i=\int_a^b L_i(x) dx, {\mbox{    }} i=0,\ldots,n
$$
\etc
\ec
dove $L_i$ \mye l'$i$-simo polinomio di Lagrange (relativamente a $\{x_k\}_{k=0,\ldots,n}$).
}}
\end{frame}





\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Regola del rettangolo}

\smnsp

{\small{
\begin{definizione}[Regola del rettangolo]
Siano 
\begin{itemize}
\item $f \in C([a,b])$, $-\infty < a < b < +\infty$,
\item $x_0 \in [a,b]$.
\end{itemize}
La regola detta del {\reds{rettangolo}} \mye definita da (cf. {\cite{WIKIRETT}})
\bc
\btc[width=10cm]
\begin{equation}\label{rett}
\int_a^b f(x)dx \approx w_0 f(x_0)= (b-a) f(x_0).
\end{equation}
\etc
\ec
\end{definizione}

\smnsp

\begin{proposizione}
La formula del rettangolo \mye interpolatoria.
\end{proposizione}

\smnsp

\begin{dimostrazione}
Si osservi che l'unico polinomio $L_0 \in  {\mathbb{P}}_0$ che vale $1$ in $x_0$ \mye $L_0(x)\equiv 1$. Quindi da
\begin{equation}
w_0=\int_a^b L_0(x) dx = b-a,
\end{equation}
deduciamo immediatamente che la regola del {{rettangolo}} \mye interpolatoria.
\end{dimostrazione}
}}
\end{frame}






\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Regola del rettangolo}
\begin{figure}
  \centering
   {\includegraphics[scale=0.35,clip]{rett18.eps}}
 \caption{Regola del rettangolo con nodo $x_0=(a+b)/2$, $a=0$, $b=2\pi$, per il calcolo di 
$\int_{0}^{2 \pi} (3+\sin(2x)+\cos(x)+x) \, dx$ (la regola calcola il volume dell'area in celeste).}
\end{figure}
\end{frame}





\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Regola del rettangolo}
\begin{nota}
Dal punto di vista geometrico, visto il grafico dell'interpolante $p_0$ in un solo punto $x_0$, si ottiene che l'integrale di $p_0$ \mye pari a {\reds{calcolare l'area di un rettangolo}} con altezza $f(x_0)$ e base $b-a$, da cui riotteniamo il risultato in (\ref{rett}).
\end{nota}

\smsp
{{
\begin{proposizione}[Grado di precisione formula del rettangolo]
La formula del rettangolo ha grado di precisione almeno $0$.
\end{proposizione}

\begin{dimostrazione}
Essendo una formula interpolatoria a $1$ punto, necessariamente il grado di precisione \mye almeno 0. \qed
\end{dimostrazione}

\begin{nota}[Nodo scelto]
Si noti che al momento non abbiamo deciso quale sia la scelta migliore da fare relativamente al nodo $x_0 \in [a,b]$. Viene naturale pensare a porre $x_0=a$, oppure $x_0=b$, oppure $x_0=\frac{a+b}{2}$.
\end{nota}
}}
\end{frame}






\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Regola del punto medio}
\begin{definizione}[Regola del punto medio]
La regola del punto medio \mye definita da

\smnsp

\bc
\btc[width=8cm]
\smnsp
$$\int_a^b f(x)dx \approx S^*_0(f):= (b-a) \cdot f\left(\frac{b+a}{2}\right).$$
\smnsp
\etc
\ec
\end{definizione}

\begin{nota}
Si osserva immediatamente che la regola del punto medio \mye una particolare regola del rettangolo in cui $x_0$ corrisponde col punto medio dell'intervallo $[a,b]$ e quindi ha grado di precisione almeno $0$.
\end{nota}

\begin{teorema}[Errore della regola del punto medio]
Se $f \in C^{(2)}([a,b])$ l'errore della regola del punto medio risulta
$$E_0(f):= I(f) - S^*_0(f) = {\reds{\frac { (b-a)^3} {24}  \, f^{(2)}(\xi)}}, \,\,\, \xi \in (a,b).$$
\end{teorema}

\end{frame}






\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Regola del punto medio}

\begin{teorema}[Grado di precisione della regola del punto medio]
La regola del punto medio ha grado di precisione {\reds{esattamente 1}}.
\end{teorema}

\begin{dimostrazione}
Visto che un polinomio $q_1 \in {\mathbb{P}}_1$ \mye tale che $q_1^{(2)} \equiv 0$, deduciamo dalla formula dell'errore della regola del punto medio che
$$E_0(q_1)=I(q_1) - S^*_0(q_1)=\frac { (b-a)^3} {24}  \, q_1^{(2)}(\xi)=0,$$ cio\mye $I(q_1) = S^*_0(q_1)$ ovvero che il {\reds{grado di precisione \mye almeno $1$}}. 

\smsp

Per il polinomio $q_2(x)=x^2 \in {\mathbb{P}}_2$, visto che $q^{(2)}_2(x)=2$, abbiamo $$E_0(q_2)=I(q_2) - S^*_0(q_2)=\frac { (b-a)^3} {24}  \, q_2^{(2)}(\xi) = \frac { (b-a)^3} {24}  \cdot 2 = \frac { (b-a)^3} {12} \neq 0$$ e quindi il {\reds{grado di precisione della formula del punto medio \mye esattamente $1$}}. \qed
\end{dimostrazione}


\end{frame}




\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Formule di tipo Newton-Cotes (chiuse)}

{\small{


Introduciamo una famiglia di regole di quadratura di tipo interpolatorio, di cui studieremo casi particolari.

\begin{definizione}[Formule di Newton-Cotes chiuse, (Newton 1676, Cotes 1722)]
Sia  [$a,b$] un intervallo compatto di $\R$. Una formula 

\smnsp

$$
S_n(f)=\sum_{i=0}^n w_i f(x_i) \approx \int_{a}^b  f(x) dx
$$
si dice di tipo {\reds{Newton-Cotes chiusa}}
se 
\begin{itemize}
\item i nodi sono equispaziati, e comprendono gli estremi, cio\mye 

\smnsp

$$x_i=a+ {\frac {i \, (b-a)}{n} }, \,\, i=0,\ldots ,n,$$ 
\item i pesi sono 

\smnsp

$$
w_i=\int_a^b L_i(x) dx, \,\,i=0,\ldots,n, \,\,\,
L_i(x)=\prod_{j=0, \,  j\neq i}^n \frac{(x-x_i)}{x_j-x_i}.
$$
\end{itemize}

\end{definizione}

\smnsp

\begin{nota}[Grado di precisione Formule di Newton-Cotes chiuse]
Tale formula \mye interpolatoria a $n+1$ punti (attenzione alla sommatoria) e ha grado di precisione almeno $n$.
\end{nota}

}}
\end{frame}






\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Formule di tipo Newton-Cotes (aperte), facoltativo}

\smnsp

\begin{nota}[Facoltativa]
Queste formule furono introdotte da Newton nel 1676 e perfezionate da Cotes, probabilmente nel 1707 ma pubblicate nel 1722, che le calcol\myo fino a quelle con $11$ nodi. Pare che Cotes non conoscesse il simile lavoro di Newton prima del 1711.
\end{nota}

\smnsp

\begin{facoltativo}[Formule di tipo Newton-Cotes aperta]

\begin{itemize}
\item Gli estremi $a$, $b$, sono nodi quadratura. 
\item Esistono formule dette di {\reds{Newton-Cotes aperte}}  i cui nodi sono equidistanti, ma non comprendono gli estremi.

\smsp

Alcuni esempi sono, posto $x_i=a+i h$, $h=(b-a)/n$ 
\begin{enumerate}
\item regola del rettangolo,
\item regola a due punti: $(3h/2)\cdot (f_0+f_1)$, con errore $(3h^3/4) f^{(2)}{\xi}$, con $\xi \in (a,b)$,
\item regola di Masina: $(4h/3)\cdot (2f_0-f_1+2f_2)$, con errore $(28h^5/90) f^{(4)}{\xi}$, con $\xi \in (a,b)$,
\item regola a quattro punti: $(5h/24)\cdot (11 f_0+f_1+f_2+11f_3)$, con errore $(95h^5/144) f^{(4)}{\xi}$, con $\xi \in (a,b)$.
\end{enumerate}

Per maggiori dettagli si veda {\cite{WIKINC}}.

\end{itemize}
\end{facoltativo}



\end{frame}





\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Formule di tipo Newton-Cotes (chiuse). Regola del trapezio.}

\smnsp

{\small{
\begin{definizione}[Regola del trapezio]
La regola del trapezio \mye definita da

\smnsp

\bc
\btc[width=7cm]
\smnsp
$$\int_a^b f(x)dx \approx S_1(f):= \frac{b-a}{2} \cdot  (f(a)+f(b)).$$
\bignsp
\etc
\ec
\end{definizione}
}}

\begin{figure}
  \centering
   {\includegraphics[scale=0.25,clip]{tpz18.eps}}
 \caption{Regola del trapezio per il calcolo di 
$\int_{0}^{2 \pi} 3+\sin(2x)+\cos(x)+x \, dx$ (la regola calcola il volume dell'area in celeste).}
\end{figure}


\end{frame}





\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Regola del trapezio}

{\small{

\begin{proposizione}
La regola del trapezio \mye di tipo interpolatorio.
\end{proposizione}

\smnsp

\begin{dimostrazione}
Se \mye interpolatoria allora {\reds{$w_k=\int_a^b L_k(x) dx$, $k=0,1$}} e da

{\vspace{-0.15cm}}

$$
L_0(x)=\frac {x-x_1} {x_0-x_1}=\frac {b-x} {b-a} , \,\,\, L_1(x)=\frac {x-x_0} {x_1-x_0}=\frac {x-a} {b-a}
$$
deduciamo che dovrebbe essere

\bignsp

\begin{eqnarray}
{\reds{w_0}}:=\int_a^b L_0(x) dx &=& \int_a^b \frac {b-x} {b-a} dx = \frac {1} {b-a} \int_a^b (b-x) dx \nonumber \\
&=& \frac {1} {b-a} \cdot  \frac {-1} {2}  \left( (b-b)^2-(b-a)^2 \right) 
= {\reds{\frac {b-a} {2}}} \nonumber 
\end{eqnarray}

\bignsp

\begin{eqnarray}
{\reds{w_1}}:=\int_a^b L_1(x) dx &=& \int_a^b \frac {x-a} {b-a} dx = \frac {1} {b-a} \int_a^b (x-a) dx \nonumber \\
&=& \frac {1} {b-a} \cdot  \frac {1} {2}  \left( (b-a)^2-(a-a)^2 \right) = {\reds{\frac {b-a} {2}}}. \nonumber 
\end{eqnarray}

{\vspace{-0.15cm}}

Visto che $w_0$, $w_1$ sono proprio i pesi della regola della formula dei trapezi, questa e' interpolatoria.
\end{dimostrazione}

}}
\end{frame}






\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Regola del trapezio}

\begin{nota}[Versione geometrica]
Visto che il polinomio interpolatore ha grado 1, il suo grafico corrisponde a unire i dati $(a,f(a))$, $(b,f(b))$ mediante un segmento. 

\smsp

Se $f(a) >0$ e $f(b) > 0$  ci si riconduce a {\reds{calcolare l'area di un trapezio}}, la cui base ha lunghezza $b-a$ e le altezze sono $f(a)$ e $f(b)$.
\end{nota}

\smsp

\begin{teorema}[Errore della regola del trapezio]
Se $f \in C^2([a,b])$ allora l'errore compiuto dalla formula del trapezio \mye
\bc
\btc[width=10cm]
\smnsp
\smnsp
$$E_1(f):= I(f) - S_1(f) = \frac {- (b-a)^3} {12}  \, f^{(2)}(\xi), \,\,\, \xi \in (a,b).$$
\etc
\ec
\end{teorema}

Per la dimostrazione si veda ad esempio \cite[p.252-253]{ATK}.

\end{frame}





\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Regola del trapezio}
\begin{proposizione}[Grado di precisione della regola del trapezio]
Il grado di precisione della regola del trapezio \mye esattamente $1$.
\end{proposizione}

\begin{dimostrazione}
\begin{itemize}
\item Il grado di precisione della formula dei trapezi \mye almeno 1, visto che \mye una formula interpolatoria a 2 nodi e il grado di precisione di una formula a $n+1$ nodi \mye almeno $n$.
\item Per $p_2(x)=x^2 \in {\mathbb{P}}_2$, risulta $$E_1(p_2)=I(p_2)-S_1(p_2)=-(b-a)^3/6 \neq 0 \Rightarrow I(p_2) \neq S_1(p_2)$$ per cui il {\reds{grado di precisione \mye esattamente $1$}}.
\end{itemize}
\end{dimostrazione}

\begin{nota}[Storica]
Pare che la regola del trapezio fosse nota ai Babilonesi nel 50 avanti Cristo e fosse utilizzata per calcolare dettagli dell'orbita di Giove.
\end{nota}

\end{frame}






\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Regola di Cavalieri-Simpson (o della parabola)}

{\small{
\begin{definizione}[Regola di Cavalieri-Simpson]
La regola di Cavalieri-Simpson \mye definita da $\int_a^b f(x)dx \approx S_2(f)$ con

\smnsp

\bc
\btc[width=10cm]
\smnsp
$$S_2(f) :=  \frac{b-a}{6} \cdot f(a)+ \frac{2(b-a)}{3} \cdot f\left(\frac{a+b}{2}\right) +  \frac{b-a}{6} \cdot f(b).$$
\bignsp
\etc
\ec
\end{definizione}


\begin{proposizione}
La regola di Cavalieri-Simpson \mye interpolatoria.
\end{proposizione}

\begin{dimostrazione}
Qualora i nodi di quadratura siano {\reds{$x_0=a, \smhsp x_1=(b+a)/2, \smhsp x_2=b$}}, da $w_k=\int_a^b L_k(x) dx$ con la stessa tecnica della regola del trapezio,  ma con calcoli dei pesi un po' pi\myu tediosi (cf. {\cite{WIKICS}}),
si ottiene
\begin{itemize}
\item  {\reds{$w_0=w_2=\frac{b-a}{6}$}},
\item  {\reds{$w_1=\frac{2(b-a)}{3}=\frac{4(b-a)}{6}$}}.
\end{itemize}
che sono proprio i pesi della regola di Cavalieri-Simpson. \qed
\end{dimostrazione}
}}

\end{frame}






\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Regola di Cavalieri-Simpson (o della parabola)}
\begin{figure}
  \centering
   {\includegraphics[scale=0.35,clip]{cs18.eps}}
 \caption{Regola di Cavalieri-Simpson per il calcolo di 
$\int_{0}^{2 \pi} 3+\sin(2x)+\cos(x)+x \, dx$ (la regola calcola il volume dell'area in celeste).}
\end{figure}
\end{frame}






\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Regola di Cavalieri-Simpson (o della parabola)}

\smnsp

{\small{
\begin{teorema}[Errore Regola Cavalieri-Simpson]
Se $f \in C^4([a,b])$ allora l'errore compiuto dalla regola di Cavalieri-Simpson \mye 
\bc
\btc[width=10cm]
$${E_2(f):= I(f) - S_2(f) ={\reds{ \frac {- h^5 } {90} } \, f^{(4)}(\xi)}, \hspace{0.2cm} h= { \frac {b-a} {2}}}$$
\etc
\ec
in cui $\xi \in (a,b)$ (cf. \cite[p.256-257]{ATK}).
\end{teorema}

\smnsp

\begin{nota}[Nota storica]
La regola di Cavalieri-Simpson fu sviluppata da Cavalieri (1635), e nota a Gregory (1668) e a Cotes. Simpson (1743), noti gli studi di Newton, forn\'i una visione geometrica che port\'o alle formule composte. Curiosamente, la versione moderna del metodo di Newton per la soluzione di equazioni nonlineari \mye probabilmente dovuta a Simpson.
\end{nota}

\smnsp

\begin{nota}[Visione geometrica]
La regola di Cavalieri-Simpson \mye detta anche della parabola, visto che dopo aver approssimato $f$ con il polinomio interpolatore $p_2 \in {\mathbb{P}}_2$ relativo alle coppie $\{(x_k,f(x_k))\}_{k=0,1,2}$ (il cui grafico \mye una parabola), corrisponde a valutare $S_2(f)=\int_a^b p_2(x) dx \approx \int_a^b f(x) dx=I(f)$.
\end{nota}
}}

\end{frame}






\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Regola di Cavalieri-Simpson (o della parabola)}

\smnsp

{\small{

\begin{teorema}[Grado di precisione della regola di Cavalieri-Simpson]
Il grado di precisione della regola di Cavalieri-Simpson \mye esattamente {\reds{3}}.
\end{teorema}
\begin{dimostrazione}
Visto che la formula \mye ottenuta integrando esattamente ogni polinomio di grado $2$, abbiamo che il {\reds{grado di precisione}} \mye almeno $2$. In realt\mya mostriamo di seguito che \mye {\reds{esattamente $3$}}.

\begin{itemize}
\item Se $f \in C^4([a,b])$ allora l'errore compiuto \mye (cf. \cite[p.256-257]{ATK})

\smnsp

{\reds{
$${E_2(f):= I(f) - S_2(f) ={ \frac {- h^5 } {90} } \, f^{(4)}(\xi),}$$}}
dove $h= { \frac {b-a} {2}}$ e $\xi \in (a,b)$.

\item visto che un polinomio $p_3 \in {\mathbb{P}}_3$ di grado minore o uguale a $3$ ha derivata quarta nulla, deduciamo che
$E_2(p_3)=I(p_3) - S_2(p_3)=0$, ovvero $I(p_3) = S_2(p_3)$ e quindi che il {\reds{grado di precisione \mye almeno $3$}}. 

\item per $p_4(x)=x^4 \in {\mathbb{P}}_4$, si ha $E_2(p_4)=I(p_4) - S_2(p_4)={ \frac {- h^5 } {90} } \, 24 \neq 0$ e quindi $I(p_4) \neq S_2(p_4)$ per cui il {\reds{grado di precisione \mye esattamente $3$}}. \qed
\end{itemize}
\end{dimostrazione}



}}
\end{frame}






\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Altre formule di Newton-Cotes chiuse. Facoltativo.}

\smnsp
{\scriptsize{
\begin{facoltativo}[Altre formule di Newton-Cotes chiuse]
In generale uno pu\myo applicare la tecnica vista in precedenza per ottenere formule di quadratura di tipo Newton-Cotes con grado di precisione {\reds{g.d.p}} maggiore. 

Posto $f_k=f(x_k)$, e $x_k=a+k\cdot {(b-a)}/{n}$, con $k=0,\ldots,n$, (cf. \cite{WOLFNC})

\begin{itemize}
\item {\reds{Regola di Simpson 3/8}}, $n=3$: $\frac{3h}{8}(f_0+3f_1+3f_2+f_4)$, con  {\reds{g.d.p}}$=3$,
\item {\reds{Regola di Milne-Boole}}, $n=4$: $\frac{2h}{45}(7f_0+32f_1+12f_2+32f_3+7f_4)$, con  {\reds{g.d.p}}$=5$,
\item {\reds{Regola a sei punti}}, $n=5$: $\frac{5h}{288}(19 f_0+75 f_1+50 f_2+50 f_3 +75 f_4 +19 f_5)$,  {\reds{g.d.p}}$=5$,
\item {\reds{Regola di Weddle-Hardy}}, $n=6$: $\frac{h}{140}(41 f_0+216 f_1+27 f_2+272 f_3 +27f_4 +216 f_5 +41 f_6)$, con  {\reds{g.d.p}}$=7$,
\item {\reds{Regola a otto punti}} $n=7$: $\frac{7h}{17280}(751 f_0+3577 f_1+1323 f_2+2989 f_3 +2989 f_4 +1323 f_5 +3577 f_6 +751 f_7)$, con  {\reds{g.d.p}}$=7$.
\item {\reds{Regola a nove punti}}, $n=8$: $\frac{4h}{14175}(989 f_0+5888 f_1-928 f_2+10496 f_3 -4540 f_4 +10496 f_5 -928 f_6 +5888 f_7+ 989 f_8)$, con  {\reds{g.d.p}}$=9$,
\item {\reds{Regola a dieci punti}}, $n=9$: $\frac{9h}{89600}(2857 (f_0+f_{9})+15741 (f_1+f_8)+1080 (f_2+f_7) + 19344(f_3+f_6) +5778 (f_4+f_5))$, con {\reds{g.d.p}}$=9$,
\item {\reds{Regola a undici punti}}, $n=10$: $\frac{5h}{299376}(16067 (f_0+f_{10})+106300 (f_1+f_{9})-48525 (f_2+f_8) + 272400(f_3+f_7) -260550(f_4+f_6) +427368 f_5)$, con {\reds{g.d.p}}$=11$.
\end{itemize}

Si osserva che fino $n=8$ hanno tutti i pesi positivi mentre per $n=9,11$ ci\myo non succede.
Ognuna di queste regole, con ragionamenti analoghi a quelli effettuati per quelle del trapezio e di Cavalieri-Simpson, ha grado di precisione almeno a $n$ (si osservi che i punti sono $n+1$).
\end{facoltativo}
}}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Esempio numerico al crescere del grado di precisione}
\begin{proposito}[Convergenza]
\begin{itemize}
\item Dopo quanto \mye stato detto, la tentazione \mye di costruire formule di quadratura $S_N(f,a,b)$ relative all'intervallo di integrazione $[a,b]$, aventi $N+1$  nodi e grado di precisione \accd $N$" sempre maggiore, pensando cos\'i di ottenere approssimazioni $S_N(f,a,b)$ di 
$$
I(f,a,b)=\int_a^b f(x) dx 
$$
sempre migliori, augurandosi perfino che convergano all'integrale richiesto ovvero
\begin{equation}\label{convrule}
S_N(f,a,b) \rightarrow I(f,a,b).
\end{equation}

\item Di seguito mostreremo due esempi. In un primo caso questo proposito ha successo, mentre in un secondo fallisce.

\item La conseguenza \mye che dovremo trovare idee alternative affinch\mye al crescere dei numeri di punti $n+1$ effettivamente (\ref{convrule}) si realizzi.
\end{itemize}
\end{proposito}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Esempio 1: convergenza}
\smnsp

\begin{esempio}[1]
Definita {\purples{$f(x)=3+\sin(2x)+\cos(x)+x \, dx$}}, mostrare che al crescere del grado di precisione $N$, le formule $S_N(f,0,2\pi)$ convergono numericamente a $I(f,0,2\pi) \approx 3.858876472371748e+01$. 
\end{esempio}

{\scriptsize{
\begin{table}[!ht]\label{tabexp1}
\begin{center}
\begin{tabular}{|| c | c | c ||}
\hline
$N$ & $S_N(f,0,2\pi)$ &   $|I(f,0,2\pi)-S_N(f,0,2\pi)|$ \\
\hline

 $ 0$ & $3.230557941653789e+01$ & $6.283e+00$ \\
 $ 1$ & $4.487195003089706e+01$ & $6.283e+00$  \\
 $ 2$ & $3.649436962132428e+01$ & $2.094e+00$  \\
 $ 3$ & $3.780336656032003e+01$ & $7.854e-01$  \\
 $ 4$ & $3.872839106387703e+01$ & $1.396e-01$  \\
 $ 5$ & $3.866405058569705e+01$ & $7.529e-02$  \\
 $ 6$ & $3.858128474120893e+01$ & $7.480e-03$  \\
 $ 7$ & $3.858427913988371e+01$ & $4.486e-03$  \\
 $ 8$ & $3.858905370693189e+01$ & $2.890e-04$  \\
 $ 9$ & $3.858894727943873e+01$ & $1.826e-04$  \\
 $10$ & $3.858875644340768e+01$ & $8.280e-06$  \\
 $15$ & $3.858876472158820e+01$ & $2.129e-09$  \\
 $20$ & $3.858876472371821e+01$ & $7.319e-13$ \\

  \hline
\end{tabular}

{{
\caption{Grado di precisione $N$, approssimazioni $S_N(f,0,2\pi)$  dell'integrale $I(f,0,2\pi)$ ed errore assoluto compiuto.}
}}
\end{center}
\end{table}
}}

 
 \end{frame}





\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Esempio 2: mancata convergenza}
\smnsp

\begin{esempio}[2]
Definita {\purples{$f(x)=1/(1+x^2)$}}, mostrare che al crescere del grado di precisione $N$, le formule $S_N(f,-5,5)$ non convergono numericamente a $I(f,-5,5) \approx 2.746801533890032$. 
\end{esempio}

{\fns{
\begin{itemize}
\item Essendo $f$ la funzione di Runge $$f(x)={\frac{1}{1+x^2}}, \quad x \in[-5,5]$$ e $p_n \in {\mathbb{P}}_n$ il {\reds{polinomio interpolante}} le coppie $(x_j,f(x_j))$ con $\{x_j\}_{j=0,\ldots,n}$, si ha $$\max_{x \in [-5,5]}|f(x)-p_n(x)| {\stackrel{n}{\nrightarrow}} 0$$ qualora gli $x_k=-5+kh$, $h=10/n$, $k=0,\ldots,n$.  

\item Ci si aspetta cos\'i che $I(f)=\int_a^b f(x) dx$ sia molto diverso $I(p_n)=\int_a^b p_n(x) dx$, specialmente per $n$ grande, viste le forti differenze agli in prossimit\'a degli estremi $-5$, $5$, tra $f$ e $p_n$.

\item Quindi non \mye sempre corretto utilizzare formule di Newton-Cotes chiuse di grado sempre crescente (quelle a $n+1$ punti danno come risultato $I(p_n)$).
\item Idea: calcolare la funzione interpolante a tratti di grado $n$ (o alternativamente la spline) diciamo \accd $s$" interpolante la funzione $f$ nel set di nodi equispaziati e calcolare numericamente $\int_a^b s(x) dx$.
\end{itemize}
}}
 \end{frame}


\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Esempio 2: mancata convergenza}
\begin{figure}
  \centering
   {\includegraphics[scale=0.25,clip]{runge_15.eps}}
      {\includegraphics[scale=0.25,clip]{err_runge_15.eps}}
 \caption{{\blues{A sinistra}}: grafici della funzione di Runge $f(x)=1/(1+x^2)$ e interpolante polinomiale $p_{15}$ a grado 15 in 16 nodi equispaziati. {\blues{A destra}}: errore assoluto $|f(x)-p_{15}(x)|$ per $x \in [-5,5]$. 
 
 \smsp
 
 Evidentemente non si pu\'o dire che $f \approx p_{15}$ e quindi ci si aspetta che $\int_{-5}^5 f(x) dx$ sia molto diverso da $\int_{-5}^5 p_{15}(x) dx$.}
\end{figure}
\end{frame}


\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Giustificazione delle formule composte}
{\fns{
\begin{table}[!ht]\label{tabexp1}
\begin{center}
\begin{tabular}{|| c | c | c ||}
\hline
$N$ & Integrale Intp. Pol. &   Err.Assoluto \\
\hline
$ 1$ & $3.846153846153846e-01$ & $2.362e+00$ \\
 $ 2$ & $6.794871794871796e+00$ & $4.048e+00$ \\
 $ 3$ & $2.081447963800905e+00$ & $6.654e-01$ \\
 $ 4$ & $2.374005305039788e+00$ & $3.728e-01$ \\
 $ 5$ & $2.307692307692308e+00$ & $4.391e-01$ \\
 $ 6$ & $3.870448673470800e+00$ & $1.124e+00$ \\
 $ 7$ & $2.898994409748379e+00$ & $1.522e-01$ \\
 $ 8$ & $1.500488907127907e+00$ & $1.246e+00$ \\
 $ 9$ & $2.398617897841837e+00$ & $3.482e-01$ \\
 $10$ & $4.673300555653490e+00$ & $1.926e+00$ \\
 $15$ & $4.155558992699889e+00$ & $1.409e+00$ \\
 $20$ & $-2.684955208653064e+01$ & $2.960e+01$ \\
  \hline
\end{tabular}

{{
\caption{Valore di $\int_{-5}^5 p_N(x) dx$  dove $p_N$ \mye il polinomio interpolante la funzione di Runge $f(x)=1/(1+x^2)$ in $N+1$ punti equispaziati di $[-5,5]$. Al crescere di $N$ i risultati non approssimano $\int_{-5}^5 1/(1+x^2)dx \approx {\purples{2.746801533890032}}$.}
}}
\end{center}
\end{table}
}}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Alternative alle formule di Newton-Cotes}

\begin{itemize}
\item Nel caso di formule di integrazione di tipo Newton-Cotes, il problema consiste nel fatto che l'interpolante $\tilde{f}:=p_N$ della funzione $f$ in $N+1$ punti equispaziati dell'intervallo $[a,b]$, non approssima bene la funzione integranda $f$.

\item In particolare, visto che nell'esempio di Runge tali interpolanti polinomiali non convergono a $f(x)=1/(1+x^2)$ in $[-5,5]$, si ha che pure le formule di Newton-Cotes non convergono all'integrale richiesto.

\item Per sopperire a questo problema, nel caso dell'interpolazione abbiamo considerato interpolanti polinomiali a tratti. Quindi viene naturale, integrare tali approssimanti.
\end{itemize}
\end{frame}



\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Alternative alle formule di Newton-Cotes}

Le formule composte sono  ottenute {\reds{integrando un interpolante polinomiale a tratti di grado fissato $m$}}. 

\smsp

A tal proposito  
\begin{itemize}
\item suddividiamo l'intervallo $[a,b]$ in $L$ intervalli equispaziati $[t_0,t_1]$,$\ldots$,$[t_{L-1},t_L]$;
\item definiamo nel generico subintervallo $[t_{k-1},t_k]$ un insieme di $m+1$ punti equispaziati $x_{m{(k-1)}}<\ldots<x_{mk}$ con $t_{k-1}=x_{m{(k-1)}}$ e $t_{k}=x_{m{k}}$;
\item sia \accd $s_m$" un'{\purples{interpolante polinomiale a tratti di grado locale fissato $m$}}, relativa alla suddivisione $[t_{k},t_{(k+1)}]$, con $k=0,\ldots, L$, e alle coppie $(x_j,f(x_j))$, $j=0,\ldots,n=Lm$;
\item sia $S_m(f,t_{k-1},t_k)$ una formula interpolatoria di tipo Newton-Cotes chiusa, nell'intervallo $[t_{k-1},t_k]$, avente $m+1$ nodi (e quindi grado di precisione almeno $m$).
\end{itemize}

\end{frame}




\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Formule composte}




\smnsp

\frametitle{Formula composta del punto medio}
\begin{figure}
  \centering
   {\includegraphics[scale=0.25,clip]{cubcomp.eps}}
   
   \smnsp
\smnsp
   
 \caption{{\purples{In nero}}: la funzione $f(x)=3+\sin(2x)+\cos(x)+x$. 
 
 \smsp
 
 {\purples{In rosso}}: la interpolante a tratti $s_m$ di grado $m=2$, relativa alla suddivisione $[t_k=x_{2k},t_{k+1}=x_{2(k+1)}]$, con $k=0,1, 2$, e alle coppie $(x_j,f(x_j))$, $j=0,\ldots,n=6$. 
 
 \smsp
 
 {\purples{In verde}}: le coppie  $(x_j,f(x_j))$, $j=0,\ldots,6$. }
\end{figure}



\end{frame}




\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Formule composte}
\begin{itemize}
\item Essendo $s_m$ un polinomio di grado $m$ in ogni subintervallo $[t_{k},t_{k+1}]$, 
\item visto che ogni formula $S_m(f,t_{k},t_{(k+1))}$ ha grado di precisione $m$,
\end{itemize}
necessariamente, dalla propriet\'a di additivit\'a dell'operatore di integrazione:

\begin{eqnarray}
\int_a^b f(x) dx &\approx & \int_a^b s_m(x) dx \nonumber \\
&=& \int_{t_0=a}^{t_1} s_m(x) dx + \int_{t_1}^{t_2} s_m(x) dx+\ldots+ \int_{t_{L-1}}^{x_{L}=b} s_m(x) dx \nonumber \\
& = & S_m(f,t_0,t_1)+S_m(f,t_1,t_2)+\ldots+S_m(f,t_{L-1},t_{L}) \nonumber
\end{eqnarray}
Quindi abbiamo ottenuto l'approssimazione dell'integrale non con una regola di Newton-Cotes con alto grado di precisione \accd $n$", ma {\purples{applicando una stessa regola con basso grado di precisione \accd $m$" in ogni subintervallo, sommando alla fine i contributi ottenuti}}.
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Formule composte}

\smnsp

{\small{
\begin{definizione}[Formula composta]
Sia 
\begin{enumerate}
\item $[a,b]$ un intervallo chiuso e limitato,
\item $t_j=a+jh$ con $h=(b-a)/N$, $j=0,\ldots,N$,
\item $S(f,\alpha,\beta))$ una regola di quadratura nel generico intervallo limitato $[\alpha,\beta]$. 
\end{enumerate}

La formula di quadratura 

\bignsp

\begin{equation}\label{composte}
S^{(c)}(f,a,b,N) = \sum_{j=0}^{N-1} S(f, {t_j}, {t_{j+1}} ) 
\end{equation}

\smnsp

\mye detta formula composta di $S$.
\end{definizione} 

\begin{nota}
In questa trattazione i punti $x_j$, $j=0,\ldots,N$, sono {\reds{equispaziati}}, ma con qualche fatica si pu\myo effettuare nel caso generale di punti arbitrari.
In altri termini:
\begin{itemize}
\item Se $t_0=a<t_1<\ldots<t_N=b$, si partiziona l'intervallo $[a,b]$ come unione di subintervalli $[t_k,t_{k+1}]$, $k=0,\ldots,N-1$;
\item in ogni subintervallo si applica una formula di quadratura del grado desiderato.
\end{itemize}
\end{nota}

}}
\end{frame}


\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Come si ottiene la formula composta del punto medio}

{\footnotesize{
\begin{proposito}[Come si ottiene la formula dei trapezi composta]
Per introdurre la formula composta del punto medio, supponiamo di aver suddiviso $[a,b]$ in $N=4$ subintervalli equispaziati $[t_k,t_{k+1}]$, $K=0,\ldots,N-1=3$ con $t_j=a+jh$, $j=0,\ldots,N=4$, $h=(b-a)/N=(b-a)/4$.

\smsp

Indicata con $S_0(f,\alpha,\beta)$ l'applicazione della regola del punto medio relativamente a $f$ e all'intervallo $[\alpha,\beta]$,

\smsp

\begin{itemize}
\item $S_1(f,t_0,t_1)=h \cdot f\left(\frac{t_0+t_1}{2}\right)$,
\item $S_0(f,t_1,t_2)=h \cdot f\left(\frac{t_1+t_2}{2}\right)$,
\item $S_0(f,t_2,t_3)=h \cdot f\left(\frac{t_2+t_3}{2}\right)$,
\item $S_0(f,t_3,t_4)=h \cdot f\left(\frac{t_3+t_4}{2}\right)$,
\end{itemize}
ricaviamo che essendo $N=4$
\begin{eqnarray}
S_0^{(c)}(f,a,b,4)&=& h \cdot f\left(\frac{t_0+t_1}{2}\right) + h \cdot f\left(\frac{t_1+t_2}{2}\right)+h \cdot f\left(\frac{t_2+t_3}{2}\right)+h \cdot f\left(\frac{t_3+t_4}{2}\right) \nonumber \\
&=& \frac{b-a}{N} \left( f \left(\frac{t_0+t_1}{2}\right) + f\left(\frac{t_1+t_2}{2}\right) + f\left(\frac{t_2+t_3}{2}\right) + f\left(\frac{t_3+t_4}{2}\right) \right) \nonumber
\end{eqnarray}
\end{proposito}
}}

\end{frame}





\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Formula composta del punto medio}
\smnsp
{\fns{
\begin{definizione}[Formula composta del punto medio]
La formula composta del punto medio \mye definita da

\smnsp

\bc
\btc[width=8cm]
\smnsp
\begin{equation}\label{rettcomp}
S_0^{(c)}(f,a,b,N)  :=\frac{b-a}{N} \sum_{k=0}^{N-1} f(x_k), 
\smnsp
\end{equation}
\etc
\ec

\smnsp

dove $x_k$ \mye il punto medio del $k+1$-simo subintervallo ovvero
$$
x_k=a+ \frac{2k+1}{2} \cdot \frac{b-a}{N}, k=0,\ldots,N-1.
$$
\end{definizione}

\smnsp

\begin{vuoto}[Determinazione della formula composta del punto medio]
Supponiamo di aver suddiviso $[a,b]$ in $N$ subintervalli equispaziati $[t_k,t_{k+1}]$, $K=0,\ldots,N-1$ con $t_j=a+jh$, $j=0,\ldots,N$, $h=(b-a)/N$.

\smsp

Il punto medio $x_k$ dell'intervallo  $[t_k,t_{k+1}]$ risulta
$$
x_k=\frac{t_k+t_{k+1}}{2}=\frac{a+kh+a+(k+1)h}{2}=a+\frac{(2k+1)h}{2}.
$$
Visto  $w_k=
t_{k+1}-t_k=a+(k+1)h-(a+kh)=h=(b-a)/N$ otteniamo 
$$
S_0^{(c)}(f,a,b,N)  := \sum_{k=0}^{N-1} \frac{b-a}{N} f(x_k)= \frac{b-a}{N} \sum_{k=0}^{N-1} f(x_k).
$$
\end{vuoto}
}}
\end{frame}







\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Formula composta del punto medio}
\begin{figure}
  \centering
   {\includegraphics[scale=0.35,clip]{crett18.eps}}
 \caption{Formula del punto medio composta per il calcolo di 
$\int_{0}^{2 \pi} 3+\sin(2x)+\cos(x)+x \, dx$ (la formula composta calcola il volume dell'area in celeste).}
\end{figure}
\end{frame}






\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Formula composta del punto medio}


\smnsp


{\small{
\begin{teorema}[Errore formula composta punto medio]
Se $[a,b]$ \mye suddiviso in $N$ subintervalli  equispaziati di passo $h=\frac {b-a} {N} $,  allora
\bc
\btc
\smnsp
$$
E_0^{(c)}(f):= I(f) - S_0^{(c)}(f,a,b,N)  =\frac { (b-a) } {24}  h^2 \, f^{(2)}(\xi^*), \,\, \xi^* \in (a,b) 
$$
\etc
\ec
\end{teorema}

\smnsp

\begin{nota}[Grado di precisione]
Con ragionamenti analoghi a quelli fatti per la formula del punto medio, si vede facilmente che grado di precisione \mye esattamente 1.

Relativamente alla regola del punto medio avevamo
$$E_0(f):= I(f) - S_0(f) = {\reds{\frac { (b-a)^3} {24}  \, f^{(2)}(\xi)}}, \,\,\, \xi \in (a,b),$$
ma si osservi che per $N > 1$
$$
{\reds{\frac { (b-a) } {24}  h^2}} = \frac { (b-a) } {24}  \left(\frac {b-a} {N} \right)^2 = \frac { (b-a)^3 } {24 N^2} {\reds{<  \frac { (b-a)^3 } {24 }}},
$$
e quindi ci si pu\'o aspettare un errore migliore dalla formula di tipo composta.
\end{nota}
}}
\end{frame}

\smnsp

\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Formula composta dei trapezi}

{\footnotesize{
\begin{proposito}[Come si ottiene la formula dei trapezi composta]
Per introdurre la formula composta dei trapezi, supponiamo di aver suddiviso $[a,b]$ in $N=4$ subintervalli equispaziati $[t_k,t_{k+1}]$, $K=0,\ldots,N-1=3$ con $t_j=a+jh$, $j=0,\ldots,N=4$, $h=(b-a)/N=(b-a)/4$.

\smsp

Indicata con $S_1(f,\alpha,\beta)$ l'applicazione della regola del trapezio relativamente a $f$ e all'intervallo $[\alpha,\beta]$,

\smsp

\begin{itemize}
\item $S_1(f,t_0,t_1)=\frac{h}{2}(f(t_0)+f(t_1))$,
\item $S_1(f,t_1,t_2)=\frac{h}{2}(f(t_1)+f(t_2))$,
\item $S_1(f,t_2,t_3)=\frac{h}{2}(f(t_2)+f(t_3))$,
\item $S_1(f,t_3,t_4)=\frac{h}{2}(f(t_3)+f(t_4))$,
\end{itemize}
ricaviamo che essendo $N=4$
\begin{eqnarray}
S_1^{(c)}(f,a,b,4)&=&{\scriptsize{\frac{h}{2}(f(t_0)+f(t_1))+\frac{h}{2}(f(t_1)+f(t_2))+\frac{h}{2}(f(t_2)+f(t_3))+\frac{h}{2}(f(t_3)+f(t_4))}} \nonumber \\
&=& \frac{h}{2} (f(t_0)+f(t_1) + f(t_1) + f(t_2) +  f(t_2) +f(t_3) + f(t_3) + f(t_4)) \nonumber \\
&=& \frac{h}{2} (f(t_0)+2 f(t_1) + 2 f(t_2) +2 f(t_3) + f(t_4)) \nonumber \\
&=& \frac{b-a}{N} \left(\frac{1}{2} f(t_0)+ f(t_1) +  f(t_2) + f(t_3) +\frac{1}{2} f(t_4) \right) \nonumber
\end{eqnarray}
\end{proposito}
}}

\end{frame}









\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Formula composta dei trapezi}

\begin{definizione}[Formula dei trapezi composta]
Posti $x_k=a+kh$, $k=0,\ldots,N$, $h=(b-a)/N$, la formula {\reds{composta dei trapezi}} \mye definita da

\smnsp

\bc
\btc
$$
S_1^{(c)}(f,a,b,N)  := \frac{b-a}{N} \, \left[ {\frac {f(x_0)} {2} } + f(x_1) + \ldots + 
f(x_{N-1}) + {\frac {f(x_N)} {2} }  \right],
$$
\etc
\ec
\end{definizione}

\smnsp

\begin{teorema}[Errore formula dei trapezi composta]
Nelle precedenti ipotesi, l'errore compiuto \mye per un certo $\xi \in (a,b)$
\bc
\btc
$$
{\reds{E_1^{(c)}(f)}}:= I(f) - S_1^{(c)}(f,a,b,N)  ={\reds{{{ \frac {- (b-a) } {12} } h^2 \, 
f^{(2)}(\xi)}}}, \,\, h ={ \frac {(b-a) } {N} }.  
$$
\etc
\ec
\end{teorema}
\end{frame}









\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Formula composta dei trapezi}

\smnsp

{\small{
\begin{nota}[Grado di precisione]
Con ragionamenti analoghi a quelli fatti per la regola del trapezio, si vede facilmente che grado di precisione \mye esattamente 1, visto che l'errore assoluto risulta
$$
{\reds{|E_1^{(c)}(f)|}}:= |I(f) - S_1^{(c)}(f,a,b,N)|  ={\reds{{{ \frac { (b-a) } {12} } h^2 \, 
|f^{(2)}(\xi)|}}}, \,\, h ={ \frac {(b-a) } {N} },
$$

Relativamente alla regola del trapezio avevamo
$$
|E_1(f)|:= |I(f) - S_1(f)| = \frac { (b-a)^3} {12}  \, |f^{(2)}(\xi)|, \,\,\, \xi \in (a,b).
$$
ma si osservi che per $N > 1$
$$
\frac {(b-a) } {12} h^2 = \frac {(b-a) } {12} \left( \frac {(b-a) } {N}  \right)^2 = \frac {(b-a)^3 } {12 N^2} < \frac { (b-a)^3} {12},
$$
per cui ci si aspetta un errore {\reds{assoluto}} migliore dalla formula composta.
\end{nota}

\begin{nota}[Funzioni periodiche e FFT]
In virt\myu della formula di Eulero-Mac Laurin, si mostra che la formula composta dei trapezi \mye particolarmente indicata per integrare funzioni periodiche con derivati che sono tali, ed \mye utilizzata nella ben nota FFT.
\end{nota}
}}
\end{frame}






\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Formula composta dei trapezi}
\begin{figure}
  \centering
   {\includegraphics[scale=0.35,clip]{ctpz18.eps}}
 \caption{Formula dei trapezi composta per il calcolo di 
$\int_{0}^{2 \pi} 3+\sin(2x)+\cos(x)+x \, dx$ (la formula composta calcola l'area in celeste, ovvero l'integrale della funzione lineare a tratti il cui grafico \'e in rosso).}
\end{figure}
\end{frame}







\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Formula composta di Cavalieri-Simpson}

\smnsp
\smnsp

{\scriptsize{
\begin{proposito}[Derivazione formula di Cavalieri-Simpson composta]
Per introdurre la formula composta di Cavalieri-Simpson, supponiamo di aver suddiviso $[a,b]$ in $N=4$ subintervalli equispaziati $[t_k,t_{k+1}]$, $k=0,\ldots,N-1=3$ con $t_j=a+jh$, $j=0,\ldots,N=4$, $h=(b-a)/N$.

\smsp

Indicata con $S_2(f,t_k,t_{k+1})$ l'applicazione della regola di Cavalieri-Simpson relativamente a $f$ e all'intervallo $[t_k,t_{k+1}]$, posto $c_k=\frac{t_k+t_{k+1}}{2}=a+ \frac{2k+1}{2} \cdot \frac{b-a}{N}$ il punto medio dell'intervallo $[t_k,t_{k+1}]$

\begin{itemize}
\item $S_2(f,t_0,t_1)= \frac{h}{6} ( f(t_0)+ 4\cdot f(c_0) + f(t_1) )$,
\item $S_2(f,t_1,t_2)=\frac{h}{6} ( f(t_1)+ 4\cdot f(c_1) + f(t_2))$,
\item $S_2(f,t_2,t_3)=\frac{h}{6} ( f(t_2)+ 4\cdot f(c_2) + f(t_3))$,
\item $S_2(f,t_3,t_4)=\frac{h}{6} ( f(t_3)+ 4\cdot f(c_3) + f(t_4))$,
\end{itemize}
ricaviamo che essendo $N=4$

\smnsp
\smnsp
\smnsp

\begin{eqnarray}
S_2^{(c)}(f,a,b,4)&=& \frac{h}{6} ( f(t_0)+ 4\cdot f(c_0) + f(t_1) ) + \frac{h}{6} ( f(t_1)+ 4\cdot f(c_1) + f(t_2))  \nonumber \\
&+& \frac{h}{6} ( f(t_2)+ 4\cdot f(c_2) + f(t_3)) + \frac{h}{6} ( f(t_3)+ 4\cdot f(c_3) + f(t_4)) \nonumber \\
&=&  \frac{h}{6} (f(t_0)+ 4\cdot f(c_0) + 2 f(t_1)+ 4\cdot f(c_1) + 2 f(t_2) + 4\cdot f(c_3) \nonumber \\
&+& 2 f(t_3) + 4\cdot f(c_4) + f(t_4)) \nonumber \\
&=& \frac{h}{6} (f(t_0)+ 2 f(t_1) + 2 f(t_2) +2 f(t_3) + f(t_4) + 4 f(c_0) + 4 f(c_1) +4 f(c_2)+4 f(c_3) ). \nonumber
\end{eqnarray}
\end{proposito}
}}

\end{frame}

\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Formula composta di Cavalieri-Simpson}
{\scriptsize{
\begin{vuoto}
Da
\begin{eqnarray}
S_2^{(c)}(f,a,b,4)&=& \frac{h}{6} (f(t_0)+ 2 f(t_1) + 2 f(t_2) +2 f(t_3) + f(t_4) + 4 f(c_0) + 4 f(c_1) +4 f(c_2)+4 f(c_3) ). \nonumber
\end{eqnarray}

\smnsp

posto $t_0=x_0$, $c_0=x_1$, $t_1=x_2$, $c_1=x_3$, $t_2=x_4$, $c_2=x_5$, $t_3=x_6$,  $c_3=x_7$, $t_4=x_8$, ricaviamo per $N=4$ (ovvero il numero di suddivisioni)

\smnsp
\smnsp

\begin{eqnarray} 
{\purples{S_2^{(c)}(f,a,b,4)}}&=&\frac{h}{6} (f(x_0)+ 2 f(x_2) + 2 f(x_4) +2 f(x_6) + f(x_8) + 4f(x_1) + 4 f(x_3) + 4 f(x_5) + 4 f(x_7) ) \nonumber \\
&=& \frac{h}{6} ( f(x_0)+ 2(f(x_2) + f(x_4) + f(x_6)) + 4 (f(x_1) + f(x_3) + f(x_5) + f(x_7)) +f(x_8))  \nonumber \\
&=&  \frac{h}{6} \left( f(x_0)+2 \sum_{r=1}^{3} f(x_{2r})  +4 \sum_{s=1}^{3} f(x_{2s+1}) +f(x_8)\right) \nonumber \\
&=& {\purples{ { \frac {h} {6} } \, \left( f(x_0) + 2 \sum_{r=1}^{N-1} f(x_{2r})  + 4 \sum_{s=0}^{N-1} f(x_{2s+1})  +f(x_{2N}) \right) }}
\end{eqnarray}

Tale formula \'e facilmente generalizzabile a un numero di suddivisioni $N$ generico (anche diverso da $N=4$).
\end{vuoto}

\begin{figure}
  \centering
   {\includegraphics[scale=0.35,clip]{pts_codSH.eps}}
   
   \smnsp
   \smnsp
   
 \caption{Relazione tra $t_k$, $c_k$ e $x_j$.}
\end{figure}





}}
\end{frame}







\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Formula composta di Cavalieri-Simpson}

\smnsp

{\fns{
\begin{definizione}[Formula di Cavalieri-Simpson composta]
Posti $x_k=a+kh/{\reds{2}}$, $k=0,\ldots,2N$, $h=(b-a)/N$, la formula composta di Cavalieri-Simpson \mye definita da

\bc
\btc
\smnsp
\begin{equation}\label{composte_sim}
S_2^{(c)}(f,a,b,N)  =
 { \frac {h} {6} } \, \left[ f(x_0) + 2 
\sum_{r=1}^{N-1} f(x_{2r})  
+ 4 \sum_{s=0}^{N-1} f(x_{2s+1})  +f(x_{2N}) \right]
\end{equation}
\etc
\ec
\end{definizione}

\smnsp

\begin{teorema}[Errore della formula di Cavalieri-Simpson composta]
Nelle ipotesi di suddivisione equispaziata di passo $h$, l'errore compiuto \mye

\bc
\btc
\smnsp
$${{E_2^{(c)}(f)}}:= I(f) - S_2^{(c)}(f,a,b,N)  ={\reds{{{ \frac {- (b-a) } {180} } \left({ \frac 
{h} {2} } \right)^4 \, f^{(4)}(\xi)  }}}, \smhsp \xi \in (a,b)$$
\etc
\ec
\end{teorema}

\smnsp

\begin{nota}[Grado di precisione della formula di Cavalieri-Simpson composta]
II grado di precisione \mye quindi $3$, come la regola di Cavalieri-Simpson, ma se $N > 1$ allora il passo $h$ \mye minore e quindi, come nelle formule composte precedenti, ci si aspetta un errore assoluto inferiore dalle formula composte.
\end{nota}
}}
\end{frame}






\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Formula composta di Cavalieri-Simpson}
\begin{figure}
  \centering
   {\includegraphics[scale=0.35,clip]{ccs18.eps}}
 \caption{Formula di Cavalieri-Simpson composta per il calcolo di 
$\int_{0}^{2 \pi} 3+\sin(2x)+\cos(x)+x \, dx$ (la formula composta calcola il volume dell'area in celeste). }
\end{figure}

\end{frame}















\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Alcuni confronti numerici: esempio 1}

In questa sezione forniamo alcuni esempi in cui applichiamo le formule composte per integrare alcune funzioni $f \in C([a,b])$.

\begin{esempio}[1]
Approssimare l'integrale definito
$$
I=\int_0^{\pi} \exp(x) \cos(x) dx=-(\exp(\pi)+1)/2.
$$
mediante le formule composte note $S^{(c)}_k(f,0,\pi,N)$, $N=1,2,4,\ldots,512$, $k=0,1,2$.
\end{esempio}

\begin{nota}
Si osservi che l'integranda \mye una funzione appartenente a $C^{\infty}([0,2\pi])$ (\'e perfino {\blues{\href{https://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_intera}{intera}}}). Quindi abbiamo formule dell'errore compiuto per tutte le formule composte viste precedentemente.
\end{nota}

\end{frame}






\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Alcuni confronti numerici: esempio 1}
\begin{table}[!ht]\label{tabexp1}
\begin{center}
\begin{tabular}{| c | c c c | c c c |}
\hline
$N$&   $|E_0^{(c)}(f)|$ & $|E_1^{(c)}(f)|$&   $|E_2^{(c)}(f)|$ &   $\#^{\mbox{R}}_N$ & $\#^{\mbox{T}}_N$&   $\#^{\mbox{CS}}_N$ \\
\hline
 $ 1$ & $1.2e+01$ & $2.3e+01$ & $4.8e-01$ &$    1$ & $    2$ & $    3$ \\
 $ 2$ & $2.8e+00$ & $5.3e+00$ & $8.5e-02$ &$    2$ & $    3$ & $    5$ \\
 $ 4$ & $6.4e-01$ & $1.3e+00$ & $6.1e-03$ &$    4$ & $    5$ & $    9$ \\
 $ 8$ & $1.6e-01$ & $3.1e-01$ & $3.9e-04$ &$    8$ & $    9$ & $   17$ \\
 $16$ & $3.9e-02$ & $7.8e-02$ & $2.5e-05$ &$   16$ & $   17$ & $   33$ \\
 $32$ & $9.7e-03$ & $1.9e-02$ & $1.6e-06$ &$   32$ & $   33$ & $   65$ \\
 $64$ & $2.4e-03$ & $4.8e-03$ & $9.7e-08$ &$   64$ & $   65$ & $  129$ \\
 $128$ & $6.1e-04$ & $1.2e-03$ & $6.1e-09$ &$  128$ & $  129$ & $  257$ \\
 $256$ & $1.5e-04$ & $3.0e-04$ & $3.8e-10$ &$  256$ & $  257$ & $  513$ \\
 $512$ & $3.8e-05$ & $7.6e-05$ & $2.4e-11$ &$  512$ & $  513$ & $ 1025$ \\
  \hline
\end{tabular}
\caption{Paragone delle formule del punto medio, trapezi e Cavalieri-Simpson composta, per $N$ subintervalli, relativamente al calcolo di $I=\int_0^{\pi}f(x) dx$ con {\purples{$f(x)= \exp(x) \cos(x) dx$}}, in cui si descrivono gli errori assoluti $|E_0^{(c)}(f)|=|I(f,a,b)-S^{(c)}_0(f,a,b,N)$, $|E_1^{(c)}(f)|=|I(f,a,b)-S^{(c)}_1(f,a,b,N)|$, $|E_2^{(c)}(f)|=|I(f,a,b)-S^{(c)}_2(f,a,b,N)|$, per ogni formula e rispettivi numeri di nodi $\#^{\mbox{R}}_N$, $\#^{\mbox{T}}_N$, $\#^{\mbox{CS}}_N$.}
\end{center}
\end{table}
\end{frame}






\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Alcuni confronti numerici: esempio 1 (facoltativo)}
\begin{commento}[Facoltativo]
 Nella seconda tabella, mostriamo il rapporto tra 2 errori successivi per ogni formula ovvero se $(E_k^{(c)}(f))_N$, $k=0,1,2$, \mye l'errore compiuto dalla formula $S_k$, relativamente al calcolo di $\int_a^b f(x) dx$, utilizzando {\reds{$N$ suddivisioni}}, mostriamo
 {\reds{
 $$
 (r_k^{(c)}(f))_N=\frac{(E_k^{(c)}(f))_N}{(E_k^{(c)}(f))_{2N}}
 $$
 }}
 per $k=0,1,2$ (ossia per le formule composte del punto medio, dei trapezi e di Cavalieri-Simpson).
\end{commento}
\end{frame}






\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Alcuni confronti numerici: esempio 1 (facoltativo)}
\begin{table}[!ht]\label{tab2}
\begin{center}
\begin{tabular}{| c | c c c | }
\hline
$N$&   $ (r_0^{(c)}(f))_N$ & $ (r_1^{(c)}(f))_N$&   $ (r_2^{(c)}(f))_N$ \\
\hline
  $ 1$ & $4.33$ & $4.27$ & $5.59$ \\
 $ 2$ & $4.34$ & $4.20$ & $13.92$ \\
 $ 4$ & $4.10$ & $4.06$ & $15.54$ \\
 $ 8$ & $4.03$ & $4.02$ & $15.89$ \\
 $16$ & $4.01$ & $4.00$ & $15.97$ \\
 $32$ & $4.00$ & $4.00$ & $15.99$ \\
 $64$ & $4.00$ & $4.00$ & $16.00$ \\
 $128$ & $4.00$ & $4.00$ & $16.00$ \\
 $256$ & $4.00$ & $4.00$ & $16.00$ \\
   \hline
\end{tabular}
\caption{Decadimento degli errori delle formule del rettangolo, trapezi e Cavalieri-Simpson composta, per $N$ subintervalli, relativamente al calcolo di $I=\int_0^{\pi} f(x) dx$ con {\purples{$f(x)=\exp(x) \cos(x) dx$}}, in cui si descrivono i rapporti tra 2 errori successivi per ogni formula.}
\end{center}
\end{table}
\end{frame}






\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Alcuni confronti numerici: esempio 1 (facoltativo)}

\begin{commento}[Facoltativo]
Osserviamo che i valori relativi alle formule composte

\begin{itemize}
\item del {\purples{punto medio}} e dei {\purples{trapezi}} tende a {\reds{4}}, 
\item di {\purples{Cavalieri-Simpson}} tende a {\reds{16}}.
\end{itemize}

\smsp

Ne forniamo uno spiegazione qualitativa.

\smsp

L'errore $(E_k^{(c)}(f))_N$ \myesh, per qualche costante $C$ indipendente dal numero di subintervalli $N$,
$$
{\reds{(E_k^{(c)}(f))_N}} \approx \frac{C}{N^p} ={\reds{C^* h^p}}.
$$

Di conseguenza
$$
{\reds{ (r_k^{(c)}(f))_N}}:=\frac{(E_k^{(c)}(f))_N}{(E_k^{(c)}(f))_{2N}} \approx  \frac  {\frac{C}{N^p}}   {\frac{C}{(2N)^p}} ={\frac{C}{N^p}}   {\frac{2^p N^p}{C}} ={\reds{2^p}}.
$$
\end{commento}
\end{frame}











\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Alcuni confronti numerici: esempio 2}




\begin{esempio}[2]
Approssimare l'integrale definito
$$
I=\int_{-5}^{5} \frac{1}{1+x^2} dx \approx 2.7468015338900322319659608
$$
mediante le formule composte note $S^{(c)}_k(f,-5,5,N)$, $N=1,2,4,\ldots,1024$, $k=0,1,2$.
\end{esempio}


\begin{nota}
Si osservi che l'integranda \mye una funzione appartenente a $C^{\infty}([-5,5])$. Quindi abbiamo formule dell'errore compiuto per tutte le formule composte viste precedentemente.
\end{nota}


\end{frame}





\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Alcuni confronti numerici: esempio 2}
\begin{table}[!ht]\label{tabexp1}
\begin{center}
\begin{tabular}{| c | c c c | c c c |}
\hline
$N$&   $|E_0^{(c)}(f)|$ & $|E_1^{(c)}(f)|$&   $|E_2^{(c)}(f)|$ &   $\#^{\mbox{R}}_N$ & $\#^{\mbox{T}}_N$&   $\#^{\mbox{CS}}_N$ \\
\hline
 $ 1$ & $7.3e+00$ & $2.4e+00$ & $4.0e+00$ &$    1$ & $    2$ & $    3$ \\
 $ 2$ & $1.4e+00$ & $2.4e+00$ & $9.6e-02$ &$    2$ & $    3$ & $    5$ \\
 $ 4$ & $4.6e-01$ & $5.4e-01$ & $1.3e-01$ &$    4$ & $    5$ & $    9$ \\
 $ 8$ & $3.9e-02$ & $3.8e-02$ & $1.3e-02$ &$    8$ & $    9$ & $   17$ \\
 $16$ & $2.1e-04$ & $6.9e-04$ & $9.1e-05$ &$   16$ & $   17$ & $   33$ \\
 $32$ & $1.2e-04$ & $2.4e-04$ & $4.5e-08$ &$   32$ & $   33$ & $   65$ \\
 $64$ & $3.0e-05$ & $6.0e-05$ & $2.6e-09$ &$   64$ & $   65$ & $  129$ \\
 $128$ & $7.5e-06$ & $1.5e-05$ & $1.6e-10$ &$  128$ & $  129$ & $  257$ \\
 $256$ & $1.9e-06$ & $3.8e-06$ & $1.0e-11$ &$  256$ & $  257$ & $  513$ \\
 $512$ & $4.7e-07$ & $9.4e-07$ & $6.4e-13$ &$  512$ & $  513$ & $ 1025$ \\
 $1024$ & $1.2e-07$ & $2.4e-07$ & $4.0e-14$ &$ 1024$ & $ 1025$ & $ 2049$ \\
  \hline
\end{tabular}
\caption{Paragone delle formule del punto medio, trapezi e Cavalieri-Simpson composta, per $N$ subintervalli, relativamente al calcolo di $I=\int_{-5}^{5}f(x) dx$ con {\purples{$f(x)= 1/(1+x^2)$}}, in cui si descrivono gli errori assoluti $|E_0^{(c)}(f)|=|I(f,a,b)-S^{(c)}_0(f,a,b,N)$, $|E_1^{(c)}(f)|=|I(f,a,b)-S^{(c)}_1(f,a,b,N)|$, $|E_2^{(c)}(f)|=|I(f,a,b)-S^{(c)}_2(f,a,b,N)|$, per ogni formula e rispettivi numeri di nodi $\#^{\mbox{R}}_N$, $\#^{\mbox{T}}_N$, $\#^{\mbox{CS}}_N$.}
\end{center}
\end{table}
\end{frame}












\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Alcuni confronti numerici: esempio 3 (facoltativo)}




\begin{esempio}[3]
Approssimare l'integrale definito
$$
I=\int_0^{1} x^3 \sqrt{x} dx=2/9.
$$
mediante le formule composte note $S^{(c)}_k(f,0,1,N)$, $N=1,2,4,\ldots,1024$, $k=0,1,2$.
\end{esempio}


\begin{nota}
Si osservi che l'integranda \mye una funzione appartenente a $C^3([0,1])$. Quindi abbiamo formule dell'errore compiuto per tutte le formule viste ad eccezione di quella di Cavalieri-Simpson composta che richiede $f \in C^4([0,1])$
\end{nota}


\end{frame}






\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Alcuni confronti numerici: esempio 3}
\begin{table}[!ht]\label{tab3}
\begin{center}
\begin{tabular}{| c | c c c | c c c |}
\hline
$N$&   $|E_0^{(c)}(f)|$ & $|E_1^{(c)}(f)|$&   $|E_2^{(c)}(f)|$ &   $\#^{\mbox{R}}_N$ & $\#^{\mbox{T}}_N$&   $\#^{\mbox{CS}}_N$ \\
\hline
$ 1$ & $1.3e-01$ & $2.8e-01$ & $3.4e-03$ &$    1$ & $    2$ & $    3$ \\
 $ 2$ & $3.6e-02$ & $7.2e-02$ & $2.3e-04$ &$    2$ & $    3$ & $    5$ \\
 $ 4$ & $9.1e-03$ & $1.8e-02$ & $1.5e-05$ &$    4$ & $    5$ & $    9$ \\
 $ 8$ & $2.3e-03$ & $4.6e-03$ & $1.0e-06$ &$    8$ & $    9$ & $   17$ \\
 $16$ & $5.7e-04$ & $1.1e-03$ & $6.5e-08$ &$   16$ & $   17$ & $   33$ \\
 $32$ & $1.4e-04$ & $2.8e-04$ & $4.1e-09$ &$   32$ & $   33$ & $   65$ \\
 $64$ & $3.6e-05$ & $7.1e-05$ & $2.6e-10$ &$   64$ & $   65$ & $  129$ \\
 $128$ & $8.9e-06$ & $1.8e-05$ & $1.7e-11$ &$  128$ & $  129$ & $  257$ \\
 $256$ & $2.2e-06$ & $4.5e-06$ & $1.0e-12$ &$  256$ & $  257$ & $  513$ \\
 $512$ & $5.6e-07$ & $1.1e-06$ & $6.6e-14$ &$  512$ & $  513$ & $ 1025$ \\
 $1024$ & $1.4e-07$ & $2.8e-07$ & $4.1e-15$ &$ 1024$ & $ 1025$ & $ 2049$ \\
  \hline
\end{tabular}
\caption{Paragone delle formule del punto medio, trapezi e Cavalieri-Simpson composta, per $N$ subintervalli, relativamente al calcolo di $I=\int_0^{1} f(x) dx$ con {\purples{$f(x)= x^3 \sqrt{x} dx$}}, in cui si descrivono gli errori assoluti $|E_0^{(c)}(f)|=|I(f,a,b)-S^{(c)}_0(f,a,b,N)$, $|E_1^{(c)}(f)|=|I(f,a,b)-S^{(c)}_1(f,a,b,N)|$, $|E_2^{(c)}(f)|=|I(f,a,b)-S^{(c)}_2(f,a,b,N)|$, per ogni formula e rispettivi numeri di nodi $\#^{\mbox{R}}_N$, $\#^{\mbox{T}}_N$, $\#^{\mbox{CS}}_N$.}
\end{center}
\end{table}
\end{frame}






\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Alcuni confronti numerici: esempio 3 (facoltativo)}

\begin{commento}[Facoltativo]
 Nella prossima tabella, mostriamo il rapporto tra 2 errori successivi per ogni formula ovvero se $(E_k^{(c)}(f))_N$, $k=0,1,2$, \mye l'errore compiuto dalla formula $S_k$, relativamente al calcolo di $\int_a^b f(x) dx$, utilizzando $N$ suddivisioni, valutiamo
 $$
 (r_k^{(c)}(f))_N=\frac{|(E_k^{(c)}(f))_N|}{|(E_k^{(c)}(f))_{2N}|}
 $$
 per $k=0,1,2$ (ossia per le formule composte del punto medio, dei trapezi e di Cavalieri-Simpson).
 
\smsp

Dalle tabelle vedremo che i valori relativi 
\begin{itemize}
\item alle formule composte del {\reds{punto medio e dei trapezi tendono a 4}}, 
\item alla formula composta di {\reds{Cavalieri-Simpson tendono a 16}}, 
\end{itemize}
e quindi con errori rispettivamente del tipo $C^*h^2$ e $C^* h^4$. 
\end{commento}
\end{frame}






\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Alcuni confronti numerici: esempio 3 (facoltativo)}
\begin{table}[!ht]\label{tab4}
\begin{center}
\begin{tabular}{| c | c c c | }
\hline
$N$&   $ (r_0^{(c)}(f))_N$ & $ (r_1^{(c)}(f))_N$&   $ (r_2^{(c)}(f))_N$ \\
\hline
 $ 1$ & $3.76$ & $3.86$ & $14.56$ \\
 $ 2$ & $3.93$ & $3.96$ & $15.00$ \\
 $ 4$ & $3.98$ & $3.99$ & $15.31$ \\
 $ 8$ & $4.00$ & $4.00$ & $15.53$ \\
 $16$ & $4.00$ & $4.00$ & $15.67$ \\
 $32$ & $4.00$ & $4.00$ & $15.77$ \\
 $64$ & $4.00$ & $4.00$ & $15.84$ \\
 $128$ & $4.00$ & $4.00$ & $15.89$ \\
 $256$ & $4.00$ & $4.00$ & $15.92$ \\
 $512$ & $4.00$ & $4.00$ & $16.06$ \\
   \hline
\end{tabular}
\caption{Decadimento degli errori delle formule del rettangolo, trapezi e Cavalieri-Simpson composta, per $N$ subintervalli, relativamente al calcolo di $I=\int_0^{1} f(x) dx$ con {\purples{$f(x)= x^3 \sqrt{x} dx$}}, in cui si descrivono i rapporti tra 2 errori successivi per ogni formula.}
\end{center}
\end{table}
\end{frame}










\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Alcuni confronti numerici: esempio 4 (facoltativo)}



\begin{esempio}[4]
Approssimare l'integrale definito
$$
I=\int_0^{1} \sqrt{x} dx=2/3.
$$
mediante le formule composte note $S^{(c)}_k(f,0,1,N)$, $N=1,2,4,\ldots,2048$, $k=0,1,2$.
\end{esempio}

\begin{nota}
Si osservi che l'integranda \mye una funzione appartenente a $C([0,1])$ ma non a $C^1([0,1])$ (non derivabile in $0$). Quindi non abbiamo formule dell'errore compiuto per tutte le formule visto che richiedono a seconda dei casi $f \in C^2([0,1])$ oppure $f \in C^4([0,1])$.
\end{nota}
\end{frame}






\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Alcuni confronti numerici: esempio 4}
\begin{table}[!ht]\label{tab5}
\begin{center}
\begin{tabular}{| c | c c c | c c c |}
\hline
$N$&   $|E_0^{(c)}(f)|$ & $|E_1^{(c)}(f)|$&   $|E_2^{(c)}(f)|$ &   $\#^{\mbox{R}}_N$ & $\#^{\mbox{T}}_N$&   $\#^{\mbox{CS}}_N$ \\
\hline
$ 1$ & $4.0e-02$ & $1.7e-01$ & $2.9e-02$ &$    1$ & $    2$ & $    3$ \\
 $ 2$ & $1.6e-02$ & $6.3e-02$ & $1.0e-02$ &$    2$ & $    3$ & $    5$ \\
 $ 4$ & $6.3e-03$ & $2.3e-02$ & $3.6e-03$ &$    4$ & $    5$ & $    9$ \\
 $ 8$ & $2.4e-03$ & $8.5e-03$ & $1.3e-03$ &$    8$ & $    9$ & $   17$ \\
 $16$ & $8.7e-04$ & $3.1e-03$ & $4.5e-04$ &$   16$ & $   17$ & $   33$ \\
 $32$ & $3.2e-04$ & $1.1e-03$ & $1.6e-04$ &$   32$ & $   33$ & $   65$ \\
 $64$ & $1.1e-04$ & $4.0e-04$ & $5.6e-05$ &$   64$ & $   65$ & $  129$ \\
 $128$ & $4.1e-05$ & $1.4e-04$ & $2.0e-05$ &$  128$ & $  129$ & $  257$ \\
 $256$ & $1.5e-05$ & $5.0e-05$ & $7.0e-06$ &$  256$ & $  257$ & $  513$ \\
 $512$ & $5.2e-06$ & $1.8e-05$ & $2.5e-06$ &$  512$ & $  513$ & $ 1025$ \\
 $1024$ & $1.8e-06$ & $6.3e-06$ & $8.8e-07$ &$ 1024$ & $ 1025$ & $ 2049$ \\
 $2048$ & $6.5e-07$ & $2.2e-06$ & $3.1e-07$ &$ 2048$ & $ 2049$ & $ 4097$ \\

  \hline
\end{tabular}
\caption{{\scriptsize{Paragone delle formule del punto medio, trapezi e Cavalieri-Simpson composta, per $N$ subintervalli, relativamente al calcolo di $I=\int_0^{1} f(x) dx$ con {\purples{$f(x)=\sqrt{x} dx$}}, in cui si descrivono gli errori assoluti $|E_0^{(c)}(f)|=|I(f,a,b)-S^{(c)}_0(f,a,b,N)$, $|E_1^{(c)}(f)|=|I(f,a,b)-S^{(c)}_1(f,a,b,N)|$, $|E_2^{(c)}(f)|=|I(f,a,b)-S^{(c)}_2(f,a,b,N)|$, per ogni formula e rispettivi numeri di nodi $\#^{\mbox{R}}_N$, $\#^{\mbox{T}}_N$, $\#^{\mbox{CS}}_N$.

\smsp

Un effetto della bassa regolarit\'a della integranda \mye che la convergenza delle tre famiglie di formule \mye relativamente lenta, ci\myo nonostante risultano convergenti. 

}}}
\end{center}
\end{table}
\end{frame}






\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Alcuni confronti numerici: esempio 4 (facoltativo)}

\begin{commento}[Facoltativo]
 Nella tabella successiva, mostriamo il rapporto tra 2 errori successivi per ogni formula ovvero se $|(E_k^{(c)}(f))_N|$, $k=0,1,2$, \mye l'errore assoluto compiuto dalla formula $S_k$, relativamente al calcolo di $\int_a^b f(x) dx$, utilizzando $N$ suddivisioni, mostriamo
 $$
 (r_k^{(c)}(f))_N=\frac{|(E_k^{(c)}(f))_N|}{|(E_k^{(c)}(f))_{2N}|}
 $$
 per $k=0,1,2$ (ossia per le formule composte del punto medio, dei trapezi e di Cavalieri-Simpson).
 
\smsp
 
In particolare si vede che i valori relativi alle tre {\reds{formule composte del punto medio e dei trapezi tendono a $2.83 \approx 2^{1.5}$}} e quindi la convergenza \mye del tipo $C^*h^{1.5}$ (cf. {\cite[p262 e p.291]{ATK}}).
\end{commento}
\end{frame}






\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Alcuni confronti numerici: esempio 4 (facoltativo)}
\begin{table}[!ht]\label{tab6}
\begin{center}
\begin{tabular}{| c | c c c | }
\hline
$N$&   $ (r_0^{(c)}(f))_N$ & $ (r_1^{(c)}(f))_N$&   $ (r_2^{(c)}(f))_N$ \\
\hline
 $ 1$ & $2.47$ & $2.64$ & $2.82$ \\
 $ 2$ & $2.59$ & $2.70$ & $2.83$ \\
 $ 4$ & $2.67$ & $2.74$ & $2.83$ \\
 $ 8$ & $2.72$ & $2.77$ & $2.83$ \\
 $16$ & $2.75$ & $2.79$ & $2.83$ \\
 $32$ & $2.78$ & $2.80$ & $2.83$ \\
 $64$ & $2.79$ & $2.81$ & $2.83$ \\
 $128$ & $2.80$ & $2.81$ & $2.83$ \\
 $256$ & $2.81$ & $2.82$ & $2.83$ \\
 $512$ & $2.82$ & $2.82$ & $2.83$ \\
 $1024$ & $2.82$ & $2.82$ & $2.83$ \\
   \hline
\end{tabular}
\caption{Decadimento degli errori delle formule del rettangolo, trapezi e Cavalieri-Simpson composta, per $N$ subintervalli, relativamente al calcolo di $I=\int_0^{1} f(x) dx$ con {\purples{$f(x)=\sqrt{x} dx$}}, in cui si descrivono i rapporti tra 2 errori successivi per ogni formula.}
\end{center}
\end{table}
\end{frame}











\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Alcuni confronti numerici: esempio 5 (facoltativo)}





\begin{esempio}[5]
Approssimare l'integrale definito
$$
I=\int_0^{100} \exp(-x^2) \, dx =\frac{\sqrt{\pi}}{2} \cdot {\mbox{erf}}(100)
$$
dove ${\mbox{erf}}(x)$ \mye la funzione di errore,
mediante le formule composte note $S^{(c)}_k(f,0,1000,N)$, $N=1,2,4,\ldots,256$, $k=0,1,2$.
\end{esempio}

\begin{nota}
Ricordiamo che la funzione $\exp(-x^2)$ non ha primitiva e quindi non \mye applicabile il teorema fondamentale del calcolo integrale per determinare il valore di $I$.
\end{nota}

Nella prima tabella che segue esponiamo gli errori compiuti dalle regole composte per $N=1,2,4,\ldots,256$.
\end{frame}






\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Alcuni confronti numerici: esempio 5}

\begin{table}[!ht]\label{tab7}
\begin{center}
\begin{tabular}{| c | c c c | c c c |}
\hline
$N$&   $|E_0^{(c)}(f)|$ & $|E_1^{(c)}(f)|$&   $|E_2^{(c)}(f)|$ &   $\#^{\mbox{R}}_N$ & $\#^{\mbox{T}}_N$&   $\#^{\mbox{CS}}_N$ \\
\hline
 $ 1$ & $8.9e-01$ & $4.9e+01$ & $1.6e+01$ &$    1$ & $    2$ & $    3$ \\
 $ 2$ & $8.9e-01$ & $2.4e+01$ & $7.4e+00$ &$    2$ & $    3$ & $    5$ \\
 $ 4$ & $8.9e-01$ & $1.2e+01$ & $3.3e+00$ &$    4$ & $    5$ & $    9$ \\
 $ 8$ & $8.9e-01$ & $5.4e+00$ & $1.2e+00$ &$    8$ & $    9$ & $   17$ \\
 $16$ & $8.9e-01$ & $2.2e+00$ & $1.6e-01$ &$   16$ & $   17$ & $   33$ \\
 $32$ & $6.1e-01$ & $6.8e-01$ & $1.8e-01$ &$   32$ & $   33$ & $   65$ \\
 $64$ & $3.1e-02$ & $3.1e-02$ & $1.0e-02$ &$   64$ & $   65$ & $  129$ \\
 $128$ & $1.7e-07$ & $1.7e-07$ & $5.6e-08$ &$  128$ & $  129$ & $  257$ \\
 $256$ & $1.1e-16$ & $1.1e-16$ & $2.2e-16$ &$  256$ & $  257$ & $  513$ \\
  \hline
\end{tabular}
\caption{Paragone delle formule del punto medio, trapezi e Cavalieri-Simpson composta, per $N$ subintervalli, relativamente al calcolo di $I=\int_0^{100} f(x) dx$ con {\reds{$f(x)=\exp(-x^2)  \, dx$}}, in cui si descrivono gli errori assoluti $|E_0^{(c)}(f)|=|I(f,a,b)-S^{(c)}_0(f,a,b,N)$, $|E_1^{(c)}(f)|=|I(f,a,b)-S^{(c)}_1(f,a,b,N)|$, $|E_2^{(c)}(f)|=|I(f,a,b)-S^{(c)}_2(f,a,b,N)|$, per ogni formula e rispettivi numeri di nodi $\#^{\mbox{R}}_N$, $\#^{\mbox{T}}_N$, $\#^{\mbox{CS}}_N$.}
\end{center}
\end{table}
\end{frame}






\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Alcuni confronti numerici: esempio 5 (facoltativo)}
\begin{commento}[Facoltativo]
\begin{itemize}
\item Per $n \leq 64$ l'errore decresce lentamente, ed \mye comprensibile visto che l'intervallo ha ampiezza $100$ e quindi il numero di campionamenti delle formule composte sono troppo pochi, ossia il valore di  $h$ troppo grande.
\item Nella seconda tabella, mostriamo il rapporto tra 2 errori assoluti successivi per ogni formula ovvero se $|(E_k^{(c)}(f))_N|$, $k=0,1,2$, \mye l'errore compiuto dalla formula $S_k$, relativamente al calcolo di $\int_a^b f(x) dx$, utilizzando $N$ suddivisioni, valutiamo
 $$
 (r_k^{(c)}(f))_N=\frac{|(E_k^{(c)}(f))_N|}{|(E_k^{(c)}(f))_{2N}|}
 $$
 per $k=0,1,2$ (ossia per le formule composte del punto medio, dei trapezi e di Cavalieri-Simpson).
\end{itemize}
\end{commento}
\end{frame}






\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Alcuni confronti numerici: esempio 5 (facoltativo)}
\begin{table}[!ht]\label{tab8}
\begin{center}
\begin{tabular}{| c | c c c | }
\hline
$N$&   $ (r_0^{(c)}(f))_N$ & $ (r_1^{(c)}(f))_N$&   $ (r_2^{(c)}(f))_N$ \\
\hline
 $ 1$ & $1.00$ & $2.04$ & $2.12$ \\
 $ 2$ & $1.00$ & $2.08$ & $2.27$ \\
 $ 4$ & $1.00$ & $2.17$ & $2.74$ \\
 $ 8$ & $1.00$ & $2.40$ & $7.69$ \\
 $16$ & $1.44$ & $3.31$ & $0.85$ \\
 $32$ & $19.74$ & $21.74$ & $17.74$ \\
 $64$ & $184935.89$ & $184937.89$ & $184933.89$ \\
 $128$ & $1515188455.00$ & $1515188459.00$ & $252531408.50$ \\
\hline
\end{tabular}
\caption{Decadimento degli errori delle formule del rettangolo, trapezi e Cavalieri-Simpson composta, per $N$ subintervalli, relativamente al calcolo di $I=\int_0^{100} f(x) dx$ con {\reds{$f(x)=\exp(-x^2)  \, dx$}}, in cui si descrivono i rapporti tra 2 errori successivi per ogni formula.}
\end{center}
\end{table}

Osserviamo che dal caso precedente i valori relativi alle formule composte del punto medio e dei trapezi non tendono a 4, e quelli della formula composta di Cavalieri-Simpson non tendono a 16.


\end{frame}






\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Stabilit\mya delle formule di quadratura (facoltativo)}





Sia $[a,b]$ un intervallo limitato e consideriamo la formula di quadratura
\begin{equation}\label{s1}
S_M(f):=\sum_{j=0}^{M} w_{j} f_j \approx \int_a^b f(x) \, dx
\end{equation}
dove $f_j=f(x_{j})$, con $\{x_j\}_{j=0,\ldots,N}$ nodi di quadratura. 

\smsp

Si supponga che invece di $\{f_j\}_j$ si disponga di una loro approssimazione $ \{{\tilde{f}}_{j}\}_{j}$. 

\smsp

Ci si chiede come cambia il valore dell'integrale, valutando 
\begin{equation}\label{s2}
{\tilde{S}}_M(f):=\sum_{j=0}^{M} w_{j} {\tilde{f}}_j
\end{equation}
invece di $S_M(f)$.
\end{frame}






\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Stabilit\mya delle formule di quadratura (facoltativo)}
Da (\ref{s1}), (\ref{s2}), ricaviamo per la disuguaglianza triangolare
\begin{eqnarray}
{{|S_M(f)-{\tilde{S}}_M(f)|}} &=& |\sum_{j=0}^{M} w_{j}f_j - \sum_{j=0}^{M}{\tilde{f}}_{j}| =|\sum_{j=0}^{M} w_{j}(f_j - {\tilde{f}}_{j})| \nonumber \\
&\leq & \sum_{j=0}^{M} |w_{j}||f_j - {\tilde{f}}_{j}| \leq  {{\left(\sum_{j=0}^{M} |w_{j}| \right) \cdot \max_j |f_j - {\tilde{f}}_{j}|}}. \nonumber
\end{eqnarray}
Quindi la quantit\mya 
\begin{equation}\label{istab}
{\cal{I}}(S_M)=\sum_{j=0}^{M} |w_{j}|
\end{equation}
 \mye un {{\reds{indice di stabilit\myash}}} della formula di quadratura $S_M$, in quanto se ${\cal{I}}(S_M)$ \mye grande, a piccole perturbazioni $\max_j |f_j - {\tilde{f}}_{j}|$ possono corrispondere valori degli integrali $S_M(f)$, ${\tilde{S}}_M(f)$ molto diversi.
\end{frame}






\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Stabilit\mya delle formule di quadratura (facoltativo)}
 
\smnsp 
 
 Se la formula ha grado di precisione almeno $0$ allora 
\begin{equation}\label{istab2}
\int_a^b 1  \, \,dx = \sum_{j=0}^{M} w_{j}.
\end{equation}
e si ha $ \sum_{j=0}^{M} w_{j} \leq \sum_{j=0}^{M} |w_{j}|$ con la disuguaglianza stretta se e solo se qualche peso $w_{j}$ \mye negativo.

\smsp

Di conseguenza, da (\ref{istab}), (\ref{istab2}),
$$
b-a=\int_a^b 1 \, \, dx = \sum_{j=0}^{M} w_{j} \leq \sum_{j=0}^{M} |w_{j}|={\cal{I}}(S_M)
$$
con la disuguaglianza stretta se qualche peso $w_{j}$ \mye negativo. 
\end{frame}






\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Stabilit\mya delle formule di quadratura (facoltativo)}
Quindi la presenza di pesi negativi peggiora l'indice di stabilit\mya $\sum_{j=0}^{M} |w_{j}|$, mentre se sono tutti positivi e la formula ha grado di precisione almeno $0$
$$
{\cal{I}}(S_M)=b-a
$$
e quindi piccoli errori nel valutare la funzione $f$ nei nodi di quadratura non comporta che ${{S}}_M(f)$ e ${\tilde{S}}_M(f)$ possano essere arbitrariamente distanti.

\smsp

Nella tabella relativa agli indici di stabilit\mya valutiamo la somma dei moduli dei pesi delle regole di Newton-Cotes a $n+1$ nodi. 

\smsp

Come si vede le formule pur avendo grado di precisione almeno $n$, cominciano a essere meno stabili al crescere di $n$.
\end{frame}






\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Stabilit\mya delle formule di quadratura (facoltativo)}
\begin{table}[!ht] \label{tabstab}
\begin{center}
\begin{tabular}{| c c |}
\hline
$n$&   ${\cal{I}} $  \\
\hline
 	 $ 0$ & $2.00000e+00$\\
 	 $ 1$ & $2.00000e+00$\\
 	 $ 2$ & $2.00000e+00$\\
 	 $ 3$ & $2.00000e+00$\\
 	 $ 4$ & $2.00000e+00$\\
 	 $ 5$ & $2.00000e+00$\\
 	 $ 6$ & $2.00000e+00$\\
 	 $ 7$ & $2.00000e+00$\\
 	 $ 8$ & $2.90243e+00$\\
 	 $ 9$ & $2.00000e+00$\\
 	 $10$ & $6.12959e+00$\\
  \hline
\end{tabular}
\caption{Indice di stabilit\mya ${\cal{I}} (S_n)$ delle formule di Newton Cotes chiuse aventi $n+1$ nodi.}
\end{center}
\end{table}


\end{frame}






\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Convergenza delle formule interpolatorie (facoltativo)}

Definita la famiglia di formule di quadratura $\{S_n\}_{n \in \N}$ (con grado di precisione non necessariamente $n$), ognuna del tipo

\smnsp
 
\begin{equation}\label{polya_pre}
S_n(f) :=  \sum_{i=0}^{\eta_n} w_{i,n} f(x_{i,n}) \approx I(f):=\int_a^b f(x) dx  
\end{equation}
introduciamo l'errore della formula $n$-sima 

\smnsp

$${\cal{E}}_n(f):=\int_a^b f(x) dx - \sum_{i=0}^{\eta_n} w_{i,n} f(x_{i,n}).$$ 

Qualora {\reds{${\cal{E}}_n(f) \rightarrow 0$}}
la famiglia di formule $\{S_n(f)\}_{n \in \N}$ converge a $\int_a^b f(x) dx$.

\smsp

In altri termini, {\reds{la famiglia di formule $\{S_n(f)\}_{n \in \N}$ risulta convergente}} all'integrale definito $\int_a^b f(x) dx$ se
{\reds{$$S_n(f):=\sum_{i=0}^{\eta_n} w_{i,n} f(x_{i,n}) \rightarrow \int_a^b f(x) dx.$$}} 
\end{frame}






\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Convergenza delle formule interpolatorie (facoltativo)}
La convergenza delle formule algebriche, ottenute integrando il polinomio interpolatore, dipende dalla famiglia di nodi prescelti.

Se consideriamo i nodi di Chebyshev $\{x_k^{({\mbox{ch}})}\}_{k=0,\ldots,n}$, per quanto visto nell'interpolazione polinomiale, abbiamo che se $f \in C^{1}([a,b])$ con $[a,b]$ limitato e $p_n$ il polinomio di grado al pi\myu $n$ che interpola le coppie $(x_k,f(x_k))$ allora 
$$
\lim_n \max_{x \in [a,b]}|f(x)-p_n(x)|=0,
$$
e per un corollario precedente, deduciamo che 
\begin{equation}\label{ch1}
\lim_{n \rightarrow +\infty} \int_a^b p_n(x) dx = \int_a^b f(x) dx.
\end{equation}
\end{frame}






\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Convergenza delle formule interpolatorie (facoltativo)}
La formula basata sui nodi di Chebyshev
$$
\sum_{k=0}^n w^{({\mbox{ch}})}_k f(x_k^{({\mbox{ch}})})
$$
essendo interpolatoria, ha grado di precisione almeno $n$ e di conseguenza
\begin{equation}\label{ch2}
\int_a^b p_n(x) dx = \sum_{k=0}^n w^{({\mbox{ch}})}_k f(x_k^{({\mbox{ch}})}), {\mbox{   }} \forall p_n \in {\mathbb{P}}_n.
\end{equation}
Da (\ref{ch1}), (\ref{ch2}) deduciamo
$$
\lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{k=0}^n w^{({\mbox{ch}})}_k f(x_k^{({\mbox{ch}})}) = \int_a^b f(x) dx,
$$
ovvero la famiglia di formule $\{S_n\}_{n \in \N}$, applicata a $f$, converge all'integrale definito $\int_a^b f(x) dx$.

In generale, altre scelte di nodi non godono sempre di qualit\myash, anche per funzioni $f \in C^{\infty}([a,b])$. 
\end{frame}






\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Convergenza delle formule interpolatorie (facoltativo)}
A tal proposito, se consideriamo i nodi di equispaziati $\{x_k^{({\mbox{e}})}\}_{k=0,\ldots,n}$, per quanto visto nell'interpolazione polinomiale, abbiamo che se $f \in C^{\infty}([a,b])$ con $[a,b]$ limitato e $p_n$ il polinomio di grado al pi\myu $n$ che interpola le coppie $(x_k,f(x_k))$, $k=0,\ldots,n$ allora non si pu\myo affermare
$$
\lim_n \max_{x \in [a,b]}|f(x)-p_n(x)|=0,
$$
come si pu\myo verificare per $f(x)=1/(1+x^2)$, ovvero la funzione di Runge.

A partire da questo fatto si pu\myo dimostrare (non immediato) che se consideriamo la famiglia di formule di quadratura di Newton-Cotes $\{S_n\}$ (cio\mye $S_n$ \mye la formula di quadratura interpolatoria avente $n+1$ nodi equispaziati), applicata alla funzione di Runge 
$$
\lim S_n(f) \neq \int_{-5}^5 f(x) dx.
$$
\end{frame}






\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Convergenza delle formule interpolatorie (facoltativo)}

\fns{
Nella tabella \ref{tabrun} tali risultati risultano ancora pi\myu evidenti. Le famiglia di regole di Newton-Cotes non converge all'integrale richiesto, a differenza di quanto succede utilizzando formule interpolatorie nei nodi di Chebyshev (come previsto dalla teoria).


\begin{table}[!ht] \label{tabrun}
\begin{center}
\begin{tabular}{| c c c |}
\hline
$n$&   $E^{\mbox{e}}_n$ & $E^{\mbox{ch}}_n$  \\
\hline
$10$ & $1.9e+00$ & $1.7e-01$  \\
 	$20$ & $3.0e+01$ & $3.3e-03$  \\
 	$30$ & $7.7e+02$ & $6.2e-05$ \\
 	$40$ & $2.5e+04$ & $1.2e-06$ \\
 	$50$ & $8.9e+05$ & $2.1e-08$ \\
 	$60$ & $7.3e+09$ & $4.7e-10$ \\
 	$70$ & $1.0e+07$ & $2.7e-12$ \\
 	$80$ & $6.3e+05$ & $6.1e-13$ \\
 	$90$ & $1.4e+05$ & $4.1e-14$ \\
 	$100$ & $1.9e+03$ & $4.4e-15$ \\
  \hline
\end{tabular}
\caption{Nella prima colonna il parametro $n$ pari al grado dell'interpolante polinomiale, nella seconda e terza colonna gli errori assoluti di quadratura ottenuti integrando le interpolanti in $n+1$ nodi rispettivamente equispaziati e di Chebyshev (in $[-5,5]$).}
\end{center}
\end{table}
}
\end{frame}






\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Convergenza delle formule composte (facoltativo)}

Nel caso dell'interpolazione polinomiale a tratti, si pu\myo mostrare che se
\begin{enumerate}
\item $f \in C^{m+1}([a,b])$ con $[a,b]$ limitato,
\item $\Delta_N$ \mye una suddivisione di $[a,b]$ in $N$ intervalli $[x_{mk},x_{m(k+1)}]$ con $k=0,\ldots,N-1$, aventi la stessa ampiezza $h$, 
\item $s_{m,N}$ \mye l'interpolante polinomiale a tratti di grado $m$ di $f$  relativamente ai nodi $x_0,x_1,\ldots,x_{mN}$,
\end{enumerate}
allora per $C^*=\max_{x \in [a,b]} |f^{(m+1)}(x)|$ si ha
$$
0 \leq \max_{x \in [a,b]} |f(x) - s_{m,N}(x)| \leq \frac{C^*}{(m+1)!} h^{m+1}=\frac{C^*}{(m+1)!} \left(\frac{b-a}{N}\right)^{m+1}
$$
e quindi per il teorema del confronto
$$
\lim_{N \rightarrow +\infty} |f(x)-s_{m,N}(x)|=0.
$$
\end{frame}






\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Convergenza delle formule composte (facoltativo)}

\smnsp

Di conseguenza,
$$
\int_a^b s_{m,N} (x) dx \rightarrow \int_a^b f (x) dx
$$
e siccome, per costruzione, la formula composta $S_m^{(c)}(f,a,b,N) $ basata su una regola a $m$ nodi, corrisponde a calcolare $\int_a^b s_{m,N} (x) dx$ otteniamo
$$
\lim_{N \rightarrow +\infty } S_m^{(c)}(f,a,b,N) = \int_a^b f (x) dx,
$$
ovvero che le formule composte $S_m^{(c)}(f,a,b,N)$ sono convergenti al crescere di $N$.

\smsp

Questo implica che sotto opportune ipotesi di regolarit\mya di $f$, le {\reds{formule composte del punto medio, dei trapezi e di Cavalieri-Simpson}}, risultano {\reds{convergenti}} all'aumentare del numero $N$ di sottointervalli. 

\end{frame}






\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Convergenza delle formule composte (facoltativo)}

Ripetiamo quale esempio la determinazione dell'integrale definito 
$$
\int_{-5}^5 \frac{1}{1+x^2} \,\, dx
$$
e dalla sua tabulazione si evince la convergenza delle formule composte del punto medio, dei trapezi e di Cavalieri-Simpson, all'aumentare del numero $N$ di sottointervalli.  

\smsp

Osserviamo che per un numero alto di nodi, la formula $E_2^{(c)}(f)$ propone errori molto piccoli, seppur non decrescenti al crescere di $N$, cosa naturale, perch\mye gli $E_2^{(c)}(f)$ sono prossimi alla precisione di macchina.
\end{frame}






\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Convergenza delle formule composte (facoltativo)}

{\tiny{
\begin{table}[!ht]\label{tab8a}
\begin{center}
\begin{tabular}{| c | c c c | c c c |}
\hline
$N$&   $E_0^{(c)}(f)$ & $E_1^{(c)}(f)$&   $E_2^{(c)}(f)$ &   $\#^{\mbox{R}}_N$ & $\#^{\mbox{T}}_N$&   $\#^{\mbox{CS}}_N$ \\
\hline
 $ 1$ & $7.3e+00$ & $2.4e+00$ & $4.0e+00$ &$    1$ & $    2$ & $    3$ \\
 $ 2$ & $1.4e+00$ & $2.4e+00$ & $9.6e-02$ &$    2$ & $    3$ & $    5$ \\
 $ 4$ & $4.6e-01$ & $5.4e-01$ & $1.3e-01$ &$    4$ & $    5$ & $    9$ \\
 $ 8$ & $3.9e-02$ & $3.8e-02$ & $1.3e-02$ &$    8$ & $    9$ & $   17$ \\
 $16$ & $2.1e-04$ & $6.9e-04$ & $9.1e-05$ &$   16$ & $   17$ & $   33$ \\
 $32$ & $1.2e-04$ & $2.4e-04$ & $4.5e-08$ &$   32$ & $   33$ & $   65$ \\
 $64$ & $3.0e-05$ & $6.0e-05$ & $2.6e-09$ &$   64$ & $   65$ & $  129$ \\
 $128$ & $7.5e-06$ & $1.5e-05$ & $1.6e-10$ &$  128$ & $  129$ & $  257$ \\
 $256$ & $1.9e-06$ & $3.8e-06$ & $1.0e-11$ &$  256$ & $  257$ & $  513$ \\
 $512$ & $4.7e-07$ & $9.4e-07$ & $6.4e-13$ &$  512$ & $  513$ & $ 1025$ \\
 $1024$ & $1.2e-07$ & $2.4e-07$ & $4.0e-14$ &$ 1024$ & $ 1025$ & $ 2049$ \\
 $2048$ & $2.9e-08$ & $5.9e-08$ & $2.7e-15$ &$ 2048$ & $ 2049$ & $ 4097$ \\
 $4096$ & $7.3e-09$ & $1.5e-08$ & $4.4e-16$ &$ 4096$ & $ 4097$ & $ 8193$ \\
 $8192$ & $1.8e-09$ & $3.7e-09$ & $0.0e+00$ &$ 8192$ & $ 8193$ & $16385$ \\
 $16384$ & $4.6e-10$ & $9.2e-10$ & $4.4e-16$ &$16384$ & $16385$ & $32769$ \\
 $32768$ & $1.1e-10$ & $2.3e-10$ & $4.4e-16$ &$32768$ & $32769$ & $65537$ \\
 $65536$ & $2.9e-11$ & $5.7e-11$ & $0.0e+00$ &$65536$ & $65537$ & $131073$ \\
 $131072$ & $7.2e-12$ & $1.4e-11$ & $4.4e-16$ &$131072$ & $131073$ & $262145$ \\
 $262144$ & $1.8e-12$ & $3.6e-12$ & $8.9e-16$ &$262144$ & $262145$ & $524289$ \\
 $524288$ & $4.5e-13$ & $9.0e-13$ & $1.8e-15$ &$524288$ & $524289$ & $1048577$ \\
 $1048576$ & $1.1e-13$ & $2.2e-13$ & $0.0e+00$ &$1048576$ & $1048577$ & $2097153$ \\
  \hline
\end{tabular}
\caption{Paragone delle formule del punto medio, trapezi e Cavalieri-Simpson composta, per $N$ subintervalli, relativamente al calcolo di $I=\int_{-5}^{5} 1/(1+x^2) dx$, in cui si descrivono gli errori assoluti $E_0^{(c)}(f)$, $E_1^{(c)}(f)$, $E_2^{(c)}(f)$, per ogni formula e rispettivi numeri di nodi $\#^{\mbox{R}}_N$, $\#^{\mbox{T}}_N$, $\#^{\mbox{CS}}_N$.}
\end{center}
\end{table}
}}
\end{frame}

















\begin{frame}[allowframebreaks] {Bibliografia}
\bibliographystyle{plain}
\bibliography{bibliography/bibliography} 



\begin{thebibliography}{99} 
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% \bibitem{CON} S.D. Conte e C. de Boor, {\reds{Elementary Numerical Analysis, 3rd Edition}}, Mc Graw-Hill, 1980.
\bibitem{EPP} J.F.Epperson, {\reds{An introduction to Numerical Methods and Analysis, 2nd Edition}}, Wiley, 2013.
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\end{thebibliography}
\end{frame}




\end{document}







