\documentclass[8pt,dvips,a4paper]{article}

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\definecolor{mygreen}{RGB}{0,153,0}
\definecolor{mygray}{RGB}{224,224,224}





\newcommand{\alphab}{\mbox{$\boldsymbol\alpha$}}
\def\alphab{\mbox{$\boldsymbol\alpha$}}
\def\varepsilonb{\mbox{$\boldsymbol\varepsilon$}}
\def\omegabb{\mbox{$\boldsymbol\omega$}}
\def\rset{\mbox{$\mathbb{R}$}}
\def\cset{\hbox{$\mathbb{C}$}}
\def\nset{\mbox{$\mathbb{N}$}}
\def\fset{\mbox{$\mathbb{F}$}}
\def\zset{\hbox{$\mathbb{Z}$}}
%\def\pset{\mbox{$\mathbb{P}$}}
\def\pset{\mbox{$\cal{P}$}}
\def\tset{\mbox{$\mathbb{T}$}}
\def\psetp{\mbox{$\mathbb{P}$}}
\def\eset{\mbox{$\mathbb{E}$}}
\def\qset{\mbox{$\mathbb{Q}$}}
\def\psets{\mbox{$\scriptstyle \mathbb{P}$}}
\def\fnset{\mbox{$\scriptstyle {\cal{F}}$}}
\def\rsets{\mbox{$\scriptstyle \mathbb{R}$}}
\def\kset{\hbox{$\mathbb{K}$}}
\def\fl{\hbox{\rm fl}}
\def\im{\hbox{\rm i}}
\def\Rea{\mbox{\rm Re}}
\def\dx{\hbox{${\rm ~d}x$}}
\def\dt{\hbox{${\rm ~d}t$}}
\def\tset{\hbox{$\mathbb{T}$}}
\def\iset{\hbox{$\mathbb{I}$}}
\def\bbb{\hbox{$\mathbf{b}$}}
\def\bbbs{\mbox{$\scriptstyle \mathbf{b}$}}


\newenvironment{enumerate*}%
  {\begin{enumerate}%
    \setlength{\itemsep}{0pt}%
    \setlength{\parskip}{0pt}}%
  {\end{enumerate}}

  \newenvironment{itemize*}%
  {\begin{itemize}%
    \setlength{\itemsep}{0pt}%
    \setlength{\parskip}{0pt}}%
  {\end{itemize}}

\oddsidemargin 0.0cm
\textwidth 16cm
\topmargin 0.0cm
\parindent 0.0cm
% \oddsidemargin -1.4cm \evensidemargin -1.4cm
% \textwidth 18.5cm \textheight 28.5cm
% \parindent 0.4cm
% \topmargin -3.0cm



\headsep 0.7cm
\title{Calcolo Numerico: Esercizi}
\date{~}
\author{\phantom{AS}}

\begin{document}
\pagestyle{empty} \pagestyle{empty}

\begin{center}
{\large \textbf{Calcolo Numerico \\[0pt]
Tutoraggio, lezione 4}}\\[0pt]
\end{center}


\begin{center}
{\sc{Autore: Chiara Arcamone}}
\end{center}

\begin{center}
{\bf{Tempo previsto}}: 60 minuti. {\bf{Difficolt\'a}}: $\newmoon \, \newmoon \, \newmoon  \, \newmoon  \, \fullmoon$
\end{center}


\vspace{0.5cm} \noindent {\small \textsc{Si raccomanda agli studenti di
\textbf{commentare adeguatamente} script e function Matlab.}}

\vspace{0.5cm}
\noindent

{\bf{Problema}}: 


L'altezza $h(t)$ e la distanza orizzontale $x(t)$ raggiunta da una palla lanciata con un angolo di $\theta_0$ {\underline{radianti}} e una velocit\'a $v$ sono dati dalle seguenti formule:
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{l}
h(t)=v t \cdot \sin(\theta_0)-\frac{(g t^{2})}{2} \\
x(t)=v t \cdot \cos(\theta_0)
\end{array}
\right.
\end{equation}
L'accelerazione di gravit\'a $g$ sulla Terra \'e di circa $9.81 m/s^{2}$.
\begin{itemize}
\item Supposto che la palla sia lanciata con velocit\'a $v=10 m/s$ e un angolo di $A={35}^{\circ}$, si scriva un codice per calcolare l'altezza e la distanza massime raggiunte dalla palla, come pure il tempo impiegato per cadere al suolo.
\item Utilizzare i valori di $v$ e $A$ del punto a per rappresentare in un diagramma la traiettoria della palla, cio\'e il diagramma di $h$ in funzione di $x$ per valori positivi di $h$.
\end{itemize} 

\noindent {\bf{Osservazione}}

\begin{itemize}
\item Per il calcolo dell'altezza massima, qualora necessario, si consideri l'help relativo al comando {\tt{max}}.
\item Il valore dell'angolo \'e espresso in gradi, e quindi bisogna trovare il comando corretto su Matlab per la funzione seno quando ha l'argomento espresso in gradi oppure alternativamente trasformare tale angolo in radianti.
\end{itemize}


\vspace{0.2cm}

A tale scopo:

\vspace{0.2cm}

\begin{enumerate} % 1

\item Si definisca la function {\tt{calcola\_gittata}}, che abbia la seguente intestazione
\vspace{0.1cm}

\begin{verbatim}
function [hmax,dmax,tfin,xht]=calcola_gittata (v,angolo)
% * input: 
% v: velocita' in m/s 
% angolo: angolo iniziale in gradi
% * output:
% hmax: altezza massima raggiunta
% dmax: distanza massima raggiunta
% tfin: tempo impiegato per cadere al suolo
% xht: matrice N x 3 la cui prima colonna e' "x(t)", la seconda "h(t)", la terza "t".
\end{verbatim}
In particolare:

\begin{enumerate} %A
\item La function abbia come variabili di input:
\begin{itemize}
\item uno numero reale strettamente positivo {\tt{v}};
\item un angolo {\tt{angolo}} nell'intervallo aperto ($0,90$);
\end{itemize}
\item La function abbia come variabili di output:
\begin{itemize}
\item un numero reale strettamente positivo {\tt{hmax}};
\item un numero reale strettamente positivo {\tt{dmax}};
\item un numero reale strettamente positivo {\tt{tfin}};
\item una matrice {\tt{xht}} di dimensione $N \times 3$, la cui prima colonna e' $x=x(t)$, la seconda $h=h(t)$, la terza "$t$".
\end{itemize}
\end{enumerate} % A

In tale function si considerino gli istanti $t(k)=k \cdot \frac{1}{10000}$ di secondo, con k=$1,\ldots$, e all'interno di un opportuno {\tt{ciclo-while}} si valutino ad ogni istante $t(k)$

\begin{itemize}
\item il valore $xL=x(t(k))$;
\item il valore $hL=h(t(k))$;
\end{itemize}

\noindent e quindi, si assegni quale $i$-sima riga di {\tt{xht}} il vettore riga {\tt{[xL hL t(k)]}}.

Si esca dal {\tt{ciclo-while}} qualora {\tt{hL}} sia minore o uguale a $0$.

Di seguito 

\begin{itemize}
\item si ponga quale {\tt{hmax}} il massimo della seconda colonna di {\tt{xht}}, 
\item si ponga quale {\tt{dmax}} il penultimo componente della prima colonna di {\tt{xht}}, 
\item si ponga quale {\tt{tfin}} il penultimo componente della terza colonna di {\tt{xht}}.
 \end{itemize}

{\bf{\underline{Osservazione}}}: si rifletta come entrare la prima volta nel {\tt{ciclo-while}}.


\item Si definisca la function {\tt{demo\_gittata}} in cui:

\begin{enumerate} % A1
\item si assegni {\tt{v=10}}, {\tt{angolo=35}};
\item si stampino i valori di {\tt{hmax}}, {\tt{dmax}}, con 1 cifra prima della virgola, 10 dopo la virgola, in formato esponenziale, mentre {\tt{tfin}} con 1 cifra prima della virgola, 5 dopo la virgola, in formato esponenziale;
\item si scrivano in questa tabella tali valori:
\end{enumerate} % A1
\begin{center}
\begin{tabular}{ | c | c | c |}
\hline
{\tt{hmax}} & {\tt{dmax}} & {\tt{tfin}}\\
\hline
 {\hspace{5cm}} &  {\hspace{5cm}} &  {\hspace{3.5cm}}  \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{itemize}
\item Si esegua il grafico della traiettoria della palla dato dalle coppie ($x(t_k),h(t_k)$) in colore rosso e linea continua, inserendo dopo del plot il comando {\tt{grid on}}.  A tal proposito si ricordino i comandi per estrarre una colonna da una matrice, mediante {\tt{A(:,k)}}.

\item Qual'e' l'unita di misura dell'altezza {\tt{hmax}} e della distanza {\tt{dmax}}? Centimetri, metri o chilometri?
\end{itemize}
\end{enumerate} % 1

\end{document}