\frametitle{Approssimazione polinomiale}
{\small{
\begin{esempio}[. Minimi quadrati e set di nodi equispaziati suff. fitti]
Supponiamo che al variare di $m$, si calcoli l'approssimante polinomiale ${\cal{L}}_m$ delle coppie $(x_k,f(x_k))_{k=1,\ldots,N_m}$, in cui
\begin{itemize}
\item $f \in C^{k}([a,b])$, $k > 1$;
\item $x_j=a+(b-a)\cdot \frac{j-1}{N_m-1}$ con $j=1,\ldots,N_m=2m^2+1$, ovvero $N_m$ punti equispaziati in $[a,b]$, con passo $h_m=\frac{b-a}{N_m-1}$.
\end{itemize}
In virt\'u del precedente corollario si ha
\begin{equation}\label{234234}
0\leq \max_{x \in [a,b]} |{\cal{L}}_m(x)-f(x)| \leq c_k m^{1-k}.
\end{equation}
Se si considera in particolare una sequenza di approssimazioni $\{{\cal{L}}_m\}_{m=1,2,\ldots}$ con queste proprieta', allora da (\ref{234234}) abbiamo che per il teorema del confronto $$\lim_{m \rightarrow +\infty}\|{\cal{L}}_m-f\|_{\infty}=\lim_{m \rightarrow +\infty} \max_{x \in [a,b]} |{\cal{L}}_m(x)-f(x)| =0,$$
ovvero {\purples{la successione di polinomi $\{{\cal{L}}_m\}_{m=1,2,\ldots}$ converge uniformemente a $f$ in $[a,b]$}}.
\end{esempio}
}}
