Costante di Lebesgue

Alvise Sommariva

Università degli Studi di Padova Dipartimento di Matematica Pura e Applicata

4 marzo 2013

Introduzione

Sia f ∈ C([a, b]), con [a, b] limitato e si consideri il polinomio p_{n} ∈ P_{n} che interpola le coppie (x_{k}, f (x_{k})) (per k = 0, …, n, x_{k} a due a due distinti). Sia f_{k} := f (x_{k}) e L_{k} il k-simo pol. di Lagrange L_{k}(x) := ∏_{i=0, i≠j}^{n} \frac{x−x_{i}}{x_{k}−x_{i}} . Si ha p_{n}(x) = ∑_{k=0}^{n} f_{k}L_{k}(x). La quantità

Λ_{n} = max_{x∈[a,b]}(∑_{k=0}^{n}|L_{k}(x)|)  (1)

si chiama costante di Lebesgue ed è di fondamentale importanza in teoria dell’approssimazione.

A tal proposito si trova il seguente

Teorema. Se f ∈ C([a, b]) e p_{n} è il suo polinomio di interpolazione relativo ai punti x_{0}, …, x_{n} si ha

∥f − p_{n}∥_{∞} ≤ (1 + Λ_{n})d_{n}(f )  (2)

dove

d_{n}(f ) = inf_{q_{n}∈P_{n}} ∥f − q_{n}∥_{∞}

è l’errore compiuto dal pol. di migliore approssimazione uniforme. ⇒ minore è Λ_{n} allora potenzialmente minore è l’errore compiuto dall’interpolante polinomiale.

Alcune stime di costanti di Lebesgue

1. punti equispaziati:

Λ_{n} ≈ \frac{2^{n+1}}{en log(n)};

2. punti di Gauss-Chebyshev: cos (\frac{(2k−1)·π}{2(n+1)}), k = 1, …, n + 1;

Λ_{n} ≈ \frac{2}{π} (log(n + 1) + γ + \frac{8}{π} ) + O (\frac{1}{(n + 1)^{2}})

dove γ ≈ 0.577 è la costante di Eulero-Mascheroni

3. punti di Chebyshev estesi:

cos (\frac{(2k−1)·π}{2(n+1)}) · \frac{1}{cos ( \frac{π}{2(n+1)})}, k = 1, …, n + 1;

Λ_{n} ≈ \frac{2}{π} (log(n + 1) + γ + log (\frac{8}{π} ) − \frac{2}{3})+O (\frac{1}{log(n + 1)});

4. configurazione ottimale (minimo Λ_{n}, non nota esplicitamente!)

Λ_{n} ≈ \frac{2}{π} (log(n + 1) + γ + log (\frac{4}{π} )) + O (\frac{log(log(n + 1))}{log(n + 1)})

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Esercizio 1

1. Eseguire un file Matlab che calcoli per ogni n i punti di Chebyshev estesi.

2. Per n = 100, si calcolino i punti di Gauss-Chebyshev e Chebyshev estesi. Sono i due insiemi vicini? In cosa differiscono (guardare gli estremi)?

Valutare per n = 10 : 10 : 500 le quantità

1. Λ_{n} ≈ \frac{2^{n+1}}{en log(n)};

2. Λ_{n} ≈ \frac{2}{π} (log(n + 1) + γ + log (\frac{8}{π} )) dove γ è la costante di Eulero-Mascheroni 0.57721566490153286;

3. Λ_{n} ≈ \frac{2}{π} (log(n + 1) + γ + log (\frac{8}{π} ) − \frac{2}{3});

4. Λ_{n} ≈ \frac{2}{π} (log(n + 1) + γ + log (\frac{4}{π} )). Esibire in un unico grafico in scala semilogaritmica le quantità calcolate. Usare il comando legend per distinguerle. Alcune di queste sono asintoticamente equivalenti? A partire da quale n alcune sono indistinguibili?

Usando il codice

f u n c t i o n [ leb_constant]= costante_lebesgue ( pts )
rows_chebvand=l e n g t h ( pts ) ;

V_pts =g a l l e r y ( ’ chebvand ’ , rows_chebvand , pts ) ;
M=max (5000 ,10∗ rows_chebvand ) ;
pts_leb=l i n s p a c e ( −1 ,1 , M ) ; % PUNTI TEST .

V_leb = g a l l e r y ( ’ chebvand ’ , rows_chebvand , pts_leb ) ;
leb_constant=norm ( V_pts\V_leb , 1 ) ;

calcolare per n = 10 : 10 : 100 le costanti di Lebesgue dei punti equispaziati e di Gauss-Chebyshev, verificando la bontà della stima asintotica (determinare valori calcolati del codice e paragonarli numericamente con la stima teorica). Visto il malcondizionamento della matrice di Vandermonde, e’ possibile che Matlab mostri alcuni warnings.

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