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\title[Quadratura numerica \hspace{2em}\insertframenumber/
\inserttotalframenumber]{Quadratura numerica}

\author{Alvise Sommariva}
\institute{Universit\`a degli Studi di Padova\\Dipartimento di Matematica}
\date{\today}

\begin{document}

%-----------------------------------
% TITOLO!!!
%-----------------------------------
\frame{\titlepage}





\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Quadratura numerica}
Un classico problema dell'analisi numerica \mye quello di calcolare 
l'{\sl{integrale definito}} di una funzione $f$ in un intervallo avente estremi di integrazione $a$, $b$ (non necessariamente finiti)
cio\mye
\begin{center}
\begin{beamercolorbox}{verdemio}
$$I_w(f):=I_w(f,a,b)=\int_a^b f(x) \, w(x) dx$$
\end{beamercolorbox}
\end{center}
dove $w$ \mye una funzione peso in ($a,b$) {\cite[p.206, p.270]{ATK}}. 

\smsp

\noindent
La nostra intenzione \mye di approssimare $I(f)$ come 
\begin{center}
\begin{beamercolorbox}{verdemio}
\begin{equation}\label{1}
I_w(f) \approx Q_N(f):=\sum_{i=1}^N w_i f(x_i)
\end{equation}
\end{beamercolorbox}
\end{center}

\noindent
I termini $w_i$ e $x_i \in [\alpha,\beta] $ sono detti rispettivamente 
pesi e nodi. 

\end{frame}





\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Quadratura numerica}
Sia ($a,b$) l'intervallo di integrazione (non necessariamente limitato), $x_1,\ldots,x_N$ un insieme di N punti a due a due distinti ed $f \in C([a,b])$ una funzione $w$-integrabile cio\mye per cui esista finito $I_w(f)$. Se l'intervallo \mye limitato, per il teorema di Weierstrass e l'integrabilit\mya della funzione peso, questo \mye vero per qualsiasi {\reds{\bf{funzione continua}}} in quanto
$$\left|\int_a^b f(x) \, w(x) dx \right| \leq \int_a^b |f(x)| \, w(x) dx \leq \|f\|_{\infty}\|w\|_{1} < +\infty$$

\noindent
Se $$p_{N-1}(x)=\sum_{i=1}^N f(x_i) L_i(x)$$ \mye il polinomio che interpola le coppie ($x_i,f(x_i)$) con $i=1,\ldots,N$, dove al solito $L_i$ indica l'i-simo    
polinomio di Lagrange allora
\begin{eqnarray}
\int_a^b f(x) w(x)dx & \approx& \int_a^b p_{N-1}(x)w(x)dx \nonumber \\
&=&  \int_a^b \sum_{i=1}^N f(x_i) L_i(x) w(x)dx \nonumber \\
&=& \sum_{i=1}^N \left( \int_a^b L_i(x) \,w(x) dx \right) f(x_i)
\end{eqnarray}
\noindent
per cui, confrontando con la formula ({\ref{1}}) abbiamo $$w_i=\int_a^b L_i(x) \, w(x) dx, \,\, i=1,\ldots,N.$$
\end{frame}





\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Quadratura numerica}
\begin{definizione}
Una formula di quadratura
\begin{eqnarray}\label{1a}
\int_a^b f(x) w(x)dx & \approx& \sum_{i=1}^N w_i f(x_i)
\end{eqnarray}
per cui 
\begin{eqnarray}
w_k &=& \int_a^b L_k(x) \,w(x) dx, \,\, k=1,\ldots,N
\end{eqnarray}

\noindent
si dice {\reds{\bf{interpolatoria}}}.
\end{definizione}

\end{frame}




\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Quadratura numerica}
\begin{definizione}
Una formula $$\int_a^b f(x) w(x)dx  \approx \sum_{i=1}^M w_i f(x_i)$$
\noindent ha {\reds{\bf{grado di precisione}}} {\sl{almeno}} $N$ se e solo se \mye esatta per tutti i polinomi $f$ di grado inferiore o uguale a $N$. 

\smsp
Ha inoltre grado di precisione $N$ se e solo se  \mye esatta per ogni polinomio di grado $N$ ed esiste un polinomio di grado $N+1$ per cui non lo sia. 
\end{definizione}
\end{frame}




\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Quadratura numerica}
\noindent Mostriamo ora il seguente

\smsp

\begin{teorema}
Una formula $$\int_a^b f(x) w(x)dx  \approx \sum_{i=1}^N w_i f(x_i)$$ \mye interpolatoria se e solo se ha grado di precisione almeno $N-1$.
\end{teorema}

\end{frame}




\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Quadratura numerica}
\begin{proof}
$\Rightarrow$ Se $f=p_{N-1}$ \mye un polinomio di grado $N-1$ ovviamente corrisponde col polinomio interpolante $p_{N-1}$ nei nodi a due a due distinti $x_1,\ldots,x_N$ e quindi la formula risulta esatta per polinomi di grado inferiore o uguale a $N-1$, cio\mye $$I_w(p_{N-1})=\sum_{i=1}^N w_i f(x_i), \,\, w_i=\int_a^b L_i(x) \,w(x) dx, \,\, i=1,\ldots,N.$$

$\Leftarrow$ Viceversa se \mye esatta per ogni polinomio di grado $N-1$ allora lo \mye in particolare per i polinomi di Lagrange $L_i \in  {\cal{P}}_{n-1}$, il che implica che $w_i=\int_a^b L_i(x) \,w(x) dx$ e quindi i pesi sono proprio quelli della formula interpolatoria corrispondente nei nodi $x_1,\ldots,x_N$.
\end{proof}

\end{frame}




\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Formule di Newton-Cotes}
Si supponga [$a,b$] un intervallo chiuso e limitato di $\R$ e si ponga $w \equiv 1$. Per semplicit\mya di notazione, in questo caso porremo $I:=I_w=I_1$. 

{\vspace{0.5cm}}
Il primo esempio di formule interpolatorie che consideriamo sono le {\sl{regole}} di tipo {\reds{\bf{Newton-Cotes}}}
chiuse (cf. {\cite[p.336]{QUA}}) che si ottengono integrando l'interpolante 
di $f$ in nodi equispaziati 
$$x_i=a+ {\frac {(i-1) \, (b-a)}{N-1} }, \,\, i=1,\ldots ,N. $$ 
\end{frame}




\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Formule di Newton-Cotes}
 \begin{figure}
  \centering
   {\includegraphics[scale=0.35,clip]{tpz.eps}}
   {\includegraphics[scale=0.35,clip]{simpson_rule4.eps}}
 \caption{Regola del trapezio e di Cavalieri-Simpson per il calcolo di 
$\int_{0.5}^{2} \sin {(x)}\, dx$ (rispettivamente area in magenta e in azzurro).}
 \end{figure}
\end{frame}




\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Formule di Newton-Cotes}
Alcune classiche regole sono:
\begin{itemize}
\item {\reds{\bf{regola del trapezio}}}
\begin{center}
\begin{beamercolorbox}{verdemio}
$$I(f) \approx S_1(f) := S_1(f,a,b) := { \frac {(b-a)\, ( f(a)+f(b) )} {2} }$$
\end{beamercolorbox}
\end{center}
avente {\sl{grado di precisione}} 1, cio\mye esatta per polinomi di grado 
inferiore o uguale a 1;
si pu\myo dimostrare (con un po' di fatica) dal teorema del resto per 
l'interpolazione polinomiale (cf. {\cite[p.132]{COM}}) che l'errore della 
regola del trapezio \cite{WIKQRT} \mye 
{\reds{\bf{$$E_1(f):= I(f) - S_1(f) ={ \frac {- h^3} {12} }  \, f^{(2)}(\xi)$$}}}
per qualche $\xi \in (a,b)$;
\end{itemize}
\end{frame}




\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Formule di Newton-Cotes}
\begin{itemize}
\item  {\reds{\bf{regola di Cavalieri-Simpson}}}
\begin{center}
\begin{beamercolorbox}{verdemio}
$$I(f) \approx S_3(f):= S_3(f,a,b) := { \frac {b-a} {6} } \, \left[ f(a) + 
4f( { \frac {a+b} {2} } ) +f(b) \right]$$
\end{beamercolorbox}
\end{center}
avente {\sl{grado di precisione}} 3, cio\mye esatta per polinomi di grado 
inferiore o uguale a 3;
si pu\myo dimostrare (non facile!) che l'errore della regola di 
Cavalieri-Simpson \cite{WIKQRCS} \mye 
{\reds{\bf{$$E_3(f):= I(f) - S_3(f) ={ \frac {- h^5 } {90} } \, f^{(4)}(\xi), \,\, h= 
{ \frac {b-a} {2}}$$}}}
per qualche $\xi \in (a,b)$;
\end{itemize}

\end{frame}




\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Formule di Newton-Cotes}
Vediamo calcolando i pesi, che in effetti le due formule sono interpolatorie.
Partiamo dalla regola del trapezio. Posti $x_1=a$, $x_2=b$ abbiamo che 
$$L_1(x)=\frac{x-b}{a-b}, \,\,  L_2(x)=\frac{x-a}{b-a}$$
\noindent e quindi visto che $w \equiv 1$ abbiamo

\begin{eqnarray}
w_1&=&\int_a^b L_1(x) \, dx = \int_a^b \frac{x-b}{a-b} \,  dx = \frac{1}{a-b} \int_a^b {(x-b)} \,  dx   \nonumber \\
&=& \frac{1}{a-b}  \frac{(x-b)^2}{2} \, {\left| \right.}_a^b =\frac{1}{a-b}  \frac{(x-b)^2}{2} \,{\left| \right.}_a^b \nonumber \\ &=& \frac{1}{a-b}  \frac{-(a-b)^2}{2}  = \frac{b-a}{2} 
\end{eqnarray}
\end{frame}




\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Formule di Newton-Cotes}
Inoltre

\begin{eqnarray}
w_2&=&\int_a^b L_2(x) \, dx = \int_a^b \frac{x-a}{b-a} \,  dx \nonumber \\ 
&=&  \frac{1}{b-a} \int_a^b {(x-a)} \,  dx  =\frac{1}{b-a}  \frac{(x-a)^2}{2} \,{\left| \right.}_a^b \nonumber \\ 
&=& \frac{1}{b-a}  \frac{(x-a)^2}{2} \,{\left| \right.}_a^b = \frac{1}{b-a}  \frac{(b-a)^2}{2}  \nonumber \\  &=& \frac{b-a}{2} 
\end{eqnarray}
\end{frame}




\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Formule di Newton-Cotes}
Per quanto riguarda la regola di Cavalieri-Simpson i ragionamenti sono analoghi. D'altra parte essendo quelle dei trapezi e Simpson regole rispettivamente aventi 2 e 3 punti con grado 2 e 4, allora sono entrambe interpolatorie.

Per ulteriori dettagli si confronti {\cite[p.252-258]{ATK}}, 
{\cite[p.333-336]{QUA}}.

\end{frame}




\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Formule di Newton-Cotes}
\begin{itemize}
\item Qualora le funzioni da integrare non siano sufficientemente derivabili, 
una stima dell'errore viene fornita dalle formule dell'errore via {\reds{\bf{nucleo 
di Peano}}} ({\cite[p.259]{ATK}}). 
\item Ricordiamo che per {\reds{\bf{$N \geq 8$}}} le formule di 
Newton-Cotes chiuse hanno pesi di segno diverso e sono {\reds{\bf{instabili}}} dal punto 
di vista della propagazione degli errori (cf. {\cite[p.196]{COM}}).
\end{itemize}
\end{frame}




\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Formule di Newton-Cotes composte}
Si suddivida l'intervallo (chiuso e limitato) $[a,b]$ in $N$ subintervalli 
$T_j=[x_j,x_{j+1}]$ tali che $x_j=a+jh$ con $h=(b-a)/N$. Dalle 
propriet\mya dell'integrale
\begin{center}
\begin{beamercolorbox}{verdemio}
\begin{equation}\label{composte}
 \int_a^b f(x) \, dx= \sum_{j=0}^{N-1} \int_{x_j}^{x_{j+1}} f(x) \, dx 
\approx \sum_{j=0}^{N-1} S(f, {x_j}, {x_{j+1}} ) 
\end{equation}
\end{beamercolorbox}
\end{center}
dove $S$ \mye una delle regole di quadratura finora esposte (ad esempio $S_3(f)$). Le formule 
descritte in ({\ref{composte}}) sono dette {\reds{\bf{composte}}}.
\end{frame}




\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Formule di Newton-Cotes composte}
Due casi particolari sono 

\smsp

\begin{itemize}
\item {\sl{formula composta dei trapezi}}

\begin{center}
\begin{beamercolorbox}{verdemio}
\begin{equation}\label{composte_trap}
S_1^{(c)} := h \, \left[ {\frac {f(x_0)} {2} } + f(x_1) + \ldots + 
f(x_{N-1}) + {\frac {f(x_N)} {2} }  \right] 
\end{equation}
\end{beamercolorbox}
\end{center}
il cui errore \mye 
$$E_1^{(c)}(f):= I(f) - S_1^{(c)}(f) ={\reds{\bf{{ \frac {- (b-a) } {12} } h^2 \, 
f^{(2)}(\xi)}}}, \,\, h ={ \frac {(b-a) } {N} }  $$
per qualche $\xi \in (a,b)$;
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Implementazione Matlab di alcune formule composte}
 \begin{figure}
  \centering
   {\includegraphics[scale=0.35,clip]{tpzc.eps}}
 \caption{Formula dei trapezi composta per il calcolo di 
$\int_{0.5}^{2} \sin {(x)}\, dx$ (area in magenta).}
 \end{figure}
\end{frame}


\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Formule di Newton-Cotes composte}
\begin{itemize}
\item {\sl{formula composta di Cavalieri-Simpson}}
fissati il numero $N$ di subintervalli e i punti $x_k=a+kh/2$ dove $h= { 
\frac {b-a} {N}}$ sia 

\begin{center}
\begin{beamercolorbox}{verdemio}
\begin{eqnarray}\label{composte_simpson}
&&I(f) \approx S_3^{(c)}(f):=\nonumber \\
&& { \frac {h} {6} } \, \left[ f(x_0) + 2 
\sum_{r=1}^{N-1} f(x_{2r})  
+ 4 \sum_{s=0}^{N-1} f(x_{2s+1})  +f(x_{2N}) \right]; 
\end{eqnarray}
\end{beamercolorbox}
\end{center}

il cui errore \mye 
$$E_3^{(c)}(f):= I(f) - S_3^{(c)}(f) ={\reds{\bf{{ \frac {- (b-a) } {180} } \left({ \frac 
{h} {2} } \right)^4 \, f^{(4)}(\xi)  }}}$$
per qualche $\xi \in (a,b)$.
\end{itemize}

\end{frame}











\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Implementazione Matlab di alcune formule composte}
Mostreremo di seguito un'implementazione in Matlab/Octave della formula 
composta dei trapezi e di Cavalieri-Simpson.
\begin{lstlisting}
function [x,w]=trapezi_composta(N,a,b)

% FORMULA DEI TRAPEZI COMPOSTA.
% INPUT:
% N: NUMERO SUBINTERVALLI.
% a, b: ESTREMI DI INTEGRAZIONE.
% OUTPUT:
% x: NODI INTEGRAZIONE.
% w: PESI INTEGRAZIONE (INCLUDE IL PASSO!).

h=(b-a)/N;             % PASSO INTEGRAZIONE.
x=a:h:b; x=x';         % NODI INTEGRAZIONE.
w=ones(N+1,1);         % PESI INTEGRAZIONE.
w(1)=0.5; w(N+1)=0.5;
w=w*h;

\end{lstlisting}
\end{frame}




\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Implementazione Matlab di alcune formule composte}
La funzione {\tt{trapezi\_composta}} appena esposta calcola i nodi e i 
pesi della omonima formula composta.

\noindent
L'unica difficolt\mya del codice consiste nel calcolo dei pesi {\tt{w}}. Essendo per loro definizione
\begin{equation}\label{1rep}
I(f) \approx S_1^{c}(f):=\sum_{i=0}^N w_i f(x_i)
\end{equation}

\noindent
come pure per (\ref{composte_trap})
\begin{equation}\label{composte_trap_r}
S_1^{(c)} := h \, \left[ {\frac {f(x_0)} {2} } + f(x_1) + \ldots + 
f(x_{N-1}) + {\frac {f(x_N)} {2} }  \right] 
\end{equation}

\noindent
deduciamo che $w_0=w_N=h/2$ mentre $w_1=\ldots=w_{N-1}=h$, cosa che giustifica le ultime linee della function {\tt{trapezi\_composta}}.

\end{frame}






\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Implementazione Matlab di alcune formule composte:  {\tt{trapz}}}
Si potrebbe usare il comando Matlab {\tt{trapz}} nella sua implementazione
\begin{lstlisting}
>> help trapz
 TRAPZ  Trapezoidal numerical integration.
    Z = TRAPZ(Y) computes an approximation of the integral of Y via
    the trapezoidal method (with unit spacing).  To compute the integral
    for spacing different from one, multiply Z by the spacing increment.
 
    For vectors, TRAPZ(Y) is the integral of Y.
    ... ... ...
\end{lstlisting}
e sostituire la parte relativa al calcolo dei pesi con 
\begin{lstlisting}
I=h*trapz(fx);
\end{lstlisting}

\end{frame}




\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Implementazione Matlab di alcune formule composte}
Vediamone i dettagli in Matlab (versione 6.1) per il calcolo di 
\begin{eqnarray}
\int_{0}^{1} \sin(x) dx &=&-\cos(1)-(-\cos(0))=-\cos(1)+1 \nonumber \\ &\approx& 0.45969769413186. \nonumber
\end{eqnarray} 
\noindent 
sia utilizzando la funzione {\tt{trapz}} che  {\tt{trapezi\_composta}} 
\begin{lstlisting}
>> format long; 
>> [x,w]=trapezi_composta(10,0,1);
>> fx=sin(x);
>> I_trapezi_composta=w'*fx
I_trapezi_composta =
   0.45931454885798
>> h=(1-0)/10;
>> I_trapz=h*trapz(fx)
I_trapz =
   0.45931454885798
>> 
\end{lstlisting}

\end{frame}




\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Implementazione Matlab di alcune formule composte}
\begin{nota}
\begin{itemize}
\item Per implementare la regola \mye del tutto equivalente usare la function {\tt{trapezi\_composta}} o {\tt{trapz}}. 
\item Si osserva che \mye sbagliato chiamare {\tt{trapz}} senza il passo $h$ (nell'esempio non si dividerebbe per 10, e invece di $0.45931454885798$ avremmo $4.5931454885798$). 
\item Evitiamo il diretto utilizzo di {\tt{trapz}} perch\mye non presente in alcune vecchie versioni 
di Octave (ma non nella pi\myu recente 2.1.73). 
\end{itemize}
\end{nota}
\end{frame}




\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Implementazione Matlab di alcune formule composte}
Per quanto riguarda la formula di Cavalieri-Simpson composta
\begin{lstlisting}
function [x,w]=simpson_composta(N,a,b)
% FORMULA DI SIMPSON COMPOSTA.
% INPUT:
% N: NUMERO SUBINTERVALLI.
% a, b: ESTREMI DI INTEGRAZIONE.
% OUTPUT:
% x: INTEGRAZIONE.
% w: PESI INTEGRAZIONE (INCLUDE IL PASSO!).
h=(b-a)/N;             % AMPIEZZA INTERVALLO.
x=a:(h/2):b; x=x';     % NODI INTEGRAZIONE.
w=ones(2*N+1,1);           % PESI INTEGRAZIONE.
w(3:2:2*N-1,1)=2*ones(length(3:2:2*N-1),1);
w(2:2:2*N,1)=4*ones(length(2:2:2*N),1);
w=w*h/6;
\end{lstlisting}

\end{frame}




\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Implementazione Matlab di alcune formule composte}
Una volta noti il vettore (colonna) $x$ dei nodi e $w$ dei pesi di 
integrazione, se la funzione $f$ \mye richiamata da un m-file {\sl{f.m}}, 
basta 
\begin{lstlisting}
fx=f(x);                 % VALUT. FUNZIONE.
I=w'*fx;                 % VALORE INTEGRALE.
\end{lstlisting}

\smnsp \smnsp \smnsp
per calcolare il risultato fornito dalla formula di quad. composta.

\smsp
Ricordiamo che se ${\bf{w}}=({\bf{w}}_k)_{k=1,\ldots,M}$, ${\bf{fx}}=(f(x_k))_{k=1,\ldots,M}$ sono due vettori colonna allora il prodotto scalare
\bbcb
$${\bf{w}}*{\bf{fx}}:=\sum_{k=1}^M {\bf{w}}_k \cdot {\bf{fx}}_k:=\sum_{k=1}^M {\bf{w}}_k \cdot f(x_k)$$
\ebcb

si scrive in Matlab/Octave come {\tt{w'*fx}} (dimensionalmente il prodotto di un vettore $1 \times M$ con un vettore $M \times 1$ d\mya uno scalare (cio\mye un vettore $1 \times 1$)).
\end{frame}




\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Implementazione Matlab di alcune formule composte}
Applichiamo ora la formula composta di Cavalieri-Simpson all'esempio precedente in cui $$\int_{0}^{1} \sin(x) dx \approx 0.45969769413186$$
ottenendo
\begin{lstlisting}
>> format long;
>> [x,w]=simpson_composta(5,0,1);
>> fx=sin(x);
>> I_simpson=w'*fx
I_simpson =
   0.45969794982382
>> length(x)
ans =
    11
>> 
\end{lstlisting}

\end{frame}




\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Implementazione Matlab di alcune formule composte}
Facciamo ora un altro esempio. Calcoliamo numericamente utilizzando le formule composte sopra citate 
{\vspace{-0.1cm}}
$$\int_{-1}^1 x^{20} dx = (1^{21}/21)-(-1)^{21}/21=2/21 \approx 0.09523809523810.$$

{\vspace{-0.1cm}}
A tal proposito scriviamo il seguente codice {\tt{demo\_composte}}.
\begin{lstlisting}
a=-1; b=1; N=11;    %SCEGLIERE N DISPARI.
N_trap=N-1;
[x_trap,w_trap]=trapezi_composta(N_trap,a,b);
fx_trap=x_trap.^20;                 % VALUT. FUNZIONE.
I_trap=w_trap'*fx_trap;             % TRAPEZI COMPOSTA.
N_simpson=(N-1)/2;
[x_simp,w_simp]=simpson_composta(N_simpson,a,b)
fx_simp=x_simp.^20;                 % VALUT. FUNZIONE.
I_simp=w_simp'*fx_simp;             % SIMPSON COMPOSTA.
fprintf('\n\t [TPZ COMP][PTS]:%4.0f',length(x_trap));
fprintf('\n\t [TPZ COMP][RIS]:%14.14f',I_trap);
fprintf('\n\t [SIMPS.COMP][PTS]:%4.0f',length(x_simp));
fprintf('\n\t [SIMPS.COMP][RIS]:%14.14f',I_simp);
\end{lstlisting}

\end{frame}




\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Implementazione Matlab di alcune formule composte}
ottenendo
\begin{lstlisting}
 	 [TPZ COMP] [PTS]:   11
 	 [TPZ COMP] [RIS]: 0.20462631505024
 	 [SIMPS.COMP] [PTS]:   11
 	 [SIMPS.COMP] [RIS]: 0.13949200364447 
\end{lstlisting}

\smnsp \smnsp
Si pu\myo vedere che usando formule di tipo {\reds{gaussiano}} (cf. \cite{WIKQGI}) o di tipo {\reds{Clenshaw-Curtis}} (cf. \cite{WIKCC}, \cite{TRE}, \cite{WAL}) a parit\mya di valutazioni della funzione $f$ avremmo ottenuto 
\begin{lstlisting}
 	 [GAUSS-LEGENDRE  ]: 0.095238095238095649
 	 [CLENSHAW-CURTIS ]: 0.094905176204004307
\end{lstlisting}

\smnsp 
\smnsp
\smnsp
col costo aggiuntivo di dover calcolare tramite complicati algoritmi i pesi e i nodi di Gauss o i nodi di Clenshaw-Curtis via un IFFT.

\end{frame}










\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Esercizio}
Usando la formula composta dei trapezi e di Cavalieri-Simpson, con $n=2,4,8,\ldots,512$ suddivisioni equispaziate dell'intervallo di integrazione, calcolare
\begin{itemize}
 \item $\int_0^{\pi} {\exp{(x)}} \cdot {\cos{(4x)}} dx={\frac {\exp{(\pi)}-1} {17}   }$;
\item $\int_0^{1} x^{5/2} dx={\frac {2} {7}   }$;
 \item $\int_{-\pi}^{\pi} {\exp{(\cos{(x)})}} dx=7.95492652101284$;
 \item $\int_{0}^{\pi/4} {\exp{(\cos{(x)})}} dx=1.93973485062365$;
\item $\int_0^{1} x^{1/2} dx={\frac {2} {3}   }$.
\end{itemize}
Descrivere come decresce l'errore in scala semilogaritmica e quale sia l'andamento del rapporto $E_n(f)/E_{n+1}(f)$, dove $E_n=|I(f)-I_n(f)|$ con $I(f)$ integrale esatto e $I_n(f)$ valore fornito dalla formula di quadratura.
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Esercizio facoltativo (non facile)}
Aiutandosi con quanto fornito online relativamente al metodo di Romberg, fornirne una implementazione e testarla sulle funzioni, utilizzando $n=2,4,8,\ldots,512$ suddivisioni equispaziate dell'intervallo di integrazione, calcolando
\begin{itemize}
 \item $\int_0^{\pi} {\exp{(x)}} \cdot {\cos{(4x)}} dx={\frac {\exp{(\pi)}-1} {17}   }$;
\item $\int_0^{1} x^{5/2} dx={\frac {2} {7}   }$;
 \item $\int_{-\pi}^{\pi} {\exp{(\cos{(x)})}} dx=7.95492652101284$;
 \item $\int_{0}^{\pi/4} {\exp{(\cos{(x)})}} dx=1.93973485062365$;
\item $\int_0^{1} x^{1/2} dx={\frac {2} {3}   }$.
\end{itemize}
Lo si pu\myo applicare in tutti i casi considerati?
\end{frame}


\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Formule gaussiane}
Nelle formule interpolatorie di Newton-Cotes (come ad esempio la regola 
del Trapezio o di Cavalieri-Simpson) i nodi $x_1,\ldots , x_n$ sono 
equispaziati e il grado di precisione $\delta$ \mye generalmente uguale almeno a $n-1$ ma in alcuni casi, come per la regola di Cavalieri-Simpson, uguale al numero di nodi $n$. 

{\vspace{0.3cm}}
Consideriamo ora {\reds{\bf{formule che a parit\mya di nodi hanno grado di precisione maggiore di $n$}}}.
\end{frame}




\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Formule gaussiane}
Sia $w:(a,b) \rightarrow \R$ (non necessariamente limitato) 
\mye una funzione peso, cio\mye tale che (cf. {\cite[p.206, p.270]{ATK}})

\smsp

\begin{enumerate}
\item $w$ \mye nonnegativa in ($a,b$);
\item $w$ \mye integrabile in $[a,b]$;
\item esista e sia finito
$$\int_a^b |x|^n w(x) \, dx$$
per ogni $n \in \N$;
\item se 
$$\int_a^b g(x) w(x) \, dx$$
per una qualche funzione nonnegativa $g$ allora $g \equiv 0$ in ($a,b$).
\end{enumerate}

\end{frame}




\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Formule gaussiane}
Tra gli esempi pi\myu noti ricordiamo
\smsp

\begin{enumerate}
\item {\sl{Legendre}}: $w(x) \equiv 1$ in [$a,b$] limitato;
\item {\sl{Jacobi}}: $w(x) = (1-x)^{\alpha} \, (1+x)^{\beta}$ in ($-1,1$) 
per $\alpha$, $\beta \geq -1$;
\item {\sl{Chebyshev}}: $w(x) = { \frac {1} {\sqrt{1-x^2}}   }$ in 
($-1,1$);
\item {\sl{Laguerre}}: $w(x) = { \exp {(-x)}}   $ in [$0,\infty$);
\item {\sl{Hermite}}: $w(x) = { \exp {(-x^2)}}   $ in ($-\infty,\infty$);
\end{enumerate}
\end{frame}




\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Formule gaussiane}
Si supponga ora di dover calcolare per qualche funzione $f:(a,b) 
\rightarrow \R$
$$I_w(f):=\int_a^b f(x) w(x) \, dx.$$
{\reds{\bf{ Il problema \mye evidentemente pi\myu generale}}} di quello di calcolare un integrale del tipo $\int_a^b f(x)dx$ con $f \in C([a,b])$, [$a,b$] limitato,
visto che 
\begin{itemize}
\item l'integranda $fw$ non \'e necessariamente continua in [$a,b$] 
(si consideri ad esempio il peso di Chebyshev che ha una singolarit\mya in $a=-1$, $b=1$)  
\item oppure pu\myo succedere che 
l'intervallo sia illimitato come nel caso del peso di Laguerre o Hermite.
\end{itemize}
\end{frame}




\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Formule gaussiane}
Esistono nodi $x_1,\ldots , x_n$ e pesi $w_1,\ldots , w_n$ (detti di 
{\sl{Gauss-nome funzione peso}}) per cui le relative formule di quadratura di tipo interpolatorio
abbiano grado di precisione $\delta=2n-1$, cio\mye calcolino esattamente
$$\int_a^b p(x) w(x) \, dx$$
per ogni polinomio $p$ il cui grado \mye minore o uguale a $2n-1$?

La risposta \mye affermativa, come si pu\myo vedere in 
{\cite[p.272]{ATK}}. 
\end{frame}




\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Formule gaussiane}
\begin{teorema}
Per ogni $n \geq 1$ esistono e sono unici dei nodi 
$x_1,\ldots , x_n$ e pesi $w_1,\ldots , w_n$ per cui il grado di 
precisione sia almeno $2n-1$. I nodi sono gli zeri del polinomio ortogonale di grado $n$,
$$\phi_n(x)=A_n \cdot (x-x_1) \cdot \ldots \cdot (x-x_n)$$
e i corrispettivi pesi sono
$$w_i=\int_a^b L_i(x) w(x) dx=\int_a^b L_i(x) w(x) dx, \, i=1,\ldots,n.$$
\end{teorema}
\end{frame}




\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Formule gaussiane}
\begin{dimostrazione}
Tratta da {\cite[p.209]{COM}}. Per prima cosa mostriamo che in effetti con tale scelta dei nodi la formula interpolatoria ha grado di precisione almeno $2n-1$, che i pesi sono univocamente determinati e positivi.
 \noindent
Siano $p_{2n-1} \in {\cal{P}}_{2n-1}$ e $q_{n-1}, r_{n-1} \in {\cal{P}}_{n-1}$ tali che 

{\vspace{-0.3cm}}
$$p_{2n-1}=q_{n-1} \phi_n +r_{n-1}.$$

{\vspace{-0.3cm}}
\begin{itemize}
 \item $\int_a^b q_{n-1}(x) \phi_n(x)w(x) dx=(q_{n-1},\phi_n)_{w}=0$, poich\mye $\phi_n$ \mye il polinomio ortogonale rispetto $w$ di grado $n$; infatti essendo 
 
 {\vspace{-0.3cm}}
$$(\phi_{k},\phi_n)_{w}=0, \, k=0 < n$$
necessariamente da $q_{n-1}=\sum_{k=0}^{n-1} \gamma_k \phi_{k}$ abbiamo

{\vspace{-0.5cm}}
$$
(q_{n-1},\phi_n)_{w}=(\sum_{k=0}^{n-1} \gamma_k \phi_{k},\phi_n)_w=\sum_{k=0}^{n-1} \gamma_k( \phi_{k},\phi_n)_w=0
$$
\end{itemize}
\end{dimostrazione}
\end{frame}




\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Formule gaussiane}
\begin{dimostrazione}
\begin{itemize}
\item la formula \mye interpolatoria per costruzione (vedere la definizione dei pesi!), per cui esatta per ogni polinomio di grado $n-1$ in quanto basata su $n$ punti a due a due distinti;
\item se $x_k$ \mye uno zero di $\phi_n$ allora $$p_{2n-1}(x_k)=q_{n-1}(x_k) \phi_n(x_k) +r_{n-1}(x_k)=r_{n-1}(x_k).$$
\end{itemize}
\end{dimostrazione}
\end{frame}



\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Formule gaussiane}
\begin{dimostrazione}
Quindi, abbiamo

{\vspace{-0.4cm}}
\begin{eqnarray}
 \int_a^b p_{2n-1}(x)w(x) dx 
&=& \int_a^b q_{n-1}(x) \phi_n(x)w(x) dx +\nonumber \\ 
&+& \int_a^b r_{n-1}(x) w(x) dx \nonumber \\ 
&=& 0 + \int_a^b r_{n-1}(x) w(x) dx \nonumber \\
&=& \sum_{k=1}^n w_k r_{n-1}(x_k) = \sum_{k=1}^n w_k p_{2n-1}(x_k) 
\end{eqnarray}

\noindent per cui la formula di Gauss ha grado di precisione almeno $2n-1$. 
\end{dimostrazione}
\end{frame}



\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Formule gaussiane}
\begin{dimostrazione}
Inoltre, come dimostrato da Stieltjes nel 1884, i pesi sono positivi, poich\mye in particolare la formula \mye esatta per ognuno dei quadrati dei polinomi di Lagrange relativo ai punti $x_1,\ldots,x_n$ per cui

$$0 < \int_a^b L^2_{j}(x)w(x) dx = \sum_{k=1}^n w_k L^2_{j} (x_k) = w_j. $$

\noindent
in quanto deg($L^2_i$)=$2(n-1)$ e la formula ha grado di precisione almeno $2n-1$. 


\end{dimostrazione}
\end{frame}



\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Formule gaussiane}
\begin{dimostrazione}
Se esistesse un'altra formula interpolatoria con grado di precisione almeno $2n-1$ e avesse nodi $\{ {\tilde{x}}_j \}_{j=1,\ldots,n}$ e pesi $\{ {\tilde{w}}_j \}_{j=1,\ldots,n}$ per prima cosa i pesi sarebbero positivi poich\mye il grado di precisione \mye almeno $2n-1$ e quindi sarebbe esatta per il $j$-simo polinomio di Lagrange $ {\tilde{L}}_j $ da cui

$$0 < \int_a^b {\tilde{L}}^2_j(x)w(x) dx = \sum_{k=1}^n {\tilde{w}}_k {\tilde{L}}^2_j ({\tilde{x}}_k) = {\tilde{w}}_j. $$
\end{dimostrazione}
\end{frame}



\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Formule gaussiane}
\begin{proof}
\noindent D'altra parte se ${\tilde{L}}_j$ \mye il $j$-simo polinomio di Lagrange (avente grado $n-1$), poich\mye $\phi_n$ \mye il polinomio ortogonale di grado $n$ rispetto al peso $w$, e ${\tilde{w}}_j > 0$ abbiamo che da

{\vspace{-0.4cm}}
\begin{eqnarray}
0&=&(\phi_n,{\tilde{L}}_j)_w=\int_a^b  \phi_n(x){\tilde{L}}_j(x) w(x) dx=  \sum_{k=1}^n {\tilde{w}}_k {\tilde{L}}_j ({\tilde{x}}_k) {\phi}_n ({\tilde{x}}_k) \nonumber \\
&=& {\tilde{w}}_j \cdot {\phi}_n ({\tilde{x}}_j)
\end{eqnarray}
necessariamente $x_j={\tilde{x}}_j$ e visto che questo implica $L_j={\tilde{L}}_j$ ricaviamo anche 
$$w_j = \int_a^b L^2_{j} (x)w(x) dx=\int_a^b {\tilde{L}}^2_j (x)w(x) dx={\tilde{w}}_j$$ 
per cui la formula gaussiana cercata \mye unica. 

\end{proof}
\end{frame}




\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Sull'errore di quadratura delle formule di Newton-Cotes e di Gauss}
Riguardo gli errori compiuti da alcune formule di quadratura (cf.\cite[p.264]{ATK})

\begin{teorema}\label{polya_pre_pre}
Sia la regola di Newton-Cotes {\reds{\bf{$I(f) \approx I_n(f)=\sum_{i=0}^n w_{i,n} f(x_{i,n})$}}}. 

\begin{itemize}
 \item se {\reds{\bf{n \mye pari}}} e $f \in C^{(n+2)}([a,b])$ allora
 
{\vspace{-0.4cm}}
$$I(f)-I_n(f)={\cyans{\bf{C_n \, h^{n+3}f^{(n+2)}(\eta)}}}, \,\,\eta \in (a,b)$$

{\vspace{-0.4cm}} 
\noindent con 
$$C_n=   \frac{1}{(n+2)!}  \int_0^n \mu^2 (\mu-1) \ldots (\mu-n) d\mu;$$
\item se {\reds{\bf{n \mye dispari}}} e $f \in C^{(n+1)}([a,b])$ allora

{\vspace{-0.4cm}} 
$$I(f)-I_n(f)={\cyans{\bf{C_n \, h^{n+2}f^{(n+1)}(\eta)}}}, \,\,\eta \in (a,b)$$ 

{\vspace{-0.4cm}} 
\noindent con 

{\vspace{-0.4cm}} 
$$C_n=   \frac{1}{(n+1)!}  \int_0^n \mu (\mu-1) \ldots (\mu-n) d\mu;$$
\end{itemize}
\end{teorema}
Si osserva facilmente che quanto visto in precedenza per la regola del trapezio e la regola di Cavalieri-Simpson, \mye consistente con questi due teoremi. Inoltre, da questi ultimi, si ottengono gli errori di regole composte da un numero di punti minore o uguale a 7 (per motivi di stabilit\mya non si suggeriscono regole con pi\myu punti).
\end{frame}





\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Sull'errore di quadratura delle formule di Newton-Cotes e di Gauss}
Per quanto concerne le formule gaussiane (cf.\cite[p.272]{ATK}, cf.\cite[p.264]{COM}, cf.\cite[p.344]{DAV}) ricordiamo il seguente teorema di Markov

\smsp

\begin{teorema}\label{gss}
Sia $f \in C^{(2n)}(a,b)$ con ($a,b$) compatto e supponiamo $$I_w(f)=\int_a^b f(x)w(x)dx \approx I_n(f)=\sum_{i=1}^n w_{i,n} f(x_{i,n})$$ \noindent sia una formula gaussiana rispetto alla funzione peso $w$.  Allora
$$E_n(f):=I_w(f)-I_n(f)=    \frac{\gamma_n}{A_n^2 (2n)!} f^{(2n)} (\eta), \,\,\eta \in (a,b)$$
dove $A_n$ \mye il coefficiente di grado massimo del polinomio ortogonale $\phi_n$ di grado $n$, $\gamma_n=\int_a^b \phi^2_n(x)w(x) dx$.
\end{teorema}

\end{frame}



\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Sull'errore di quadratura delle formule di Newton-Cotes e di Gauss}

 {\vspace{-0.3cm}}
\begin{figure}[h!]
  \centering
   {\includegraphics[scale=0.45,clip]{grafico_fattoriale.eps}}
 \caption{Grafico in scala semilogaritmica della funzione $\frac{2^{2n+1} (n!)^4}{(2n+1) [(2n)!]^3} $.}
 \end{figure}
 
 {\vspace{-0.3cm}}
 In particolare, se $w \equiv 1$, $[a,b] \equiv [-1,1]$ allora $$E_n(f)=\frac{2^{2n+1} (n!)^4}{(2n+1) [(2n)!]^3} f^{(2n)}(\eta), \,\,\eta \in (-1,1).$$
\end{frame}



\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Stabilit\mya di una formula di quadratura}
Sia ($a,b$) un intervallo non necessariamente compatto e $w$ una funzione peso in ($a,b$). Inoltre supponiamo

 {\vspace{-0.3cm}}
\begin{equation}\label{In}
I_w(f):=\int_a^b f(x) w(x) \, dx \approx I_n(f):=\sum_{j=1}^{\eta_n} w_{j} f_j, \,\, {\mbox{ con }}f_j=f(x_{j})
\end{equation}

\noindent e che invece di $\{f_j\}_j$ si disponga di una loro approssimazione $ \{{\tilde{f}}_{j}\}_{j}$. 
\end{frame}



\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Stabilit\mya di una formula di quadratura}
Di conseguenza al posto di $I_n(f)$ si calcola 
$${\tilde{I}}_n(f)=\sum_{j=1}^{\eta_n} w_{j} {\tilde{f}}_{j},$$
\noindent ed \mye
\begin{eqnarray}
|I_n(f)-{\tilde{I}}_n(f)| &=& |\sum_{j=1}^{\eta_n} w_{j}(f_j - {\tilde{f}}_{j})|
 \leq \sum_{j=1}^{\eta_n} |w_{j}||f_j - {\tilde{f}}_{j}| \nonumber \\
 &\leq& \left(\sum_{j=1}^{\eta_n} |w_{j}| \right) \cdot \max_j |f_j - {\tilde{f}}_{j}|
\end{eqnarray}
Quindi la quantit\mya 

{\vspace{-0.3cm}}
\begin{center}
\begin{beamercolorbox}{verdemio}
$$\sum_{j=1}^{\eta_n} |w_{j}|$$
\end{beamercolorbox}
\end{center}

{\vspace{-0.3cm}}
 \mye un {\reds{\bf{indice di stabilit\mya}}} della formula di quadratura. 
\end{frame}



\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Stabilit\mya di una formula di quadratura}
Supponiamo che alcuni pesi siano negativi e che la formula abbia almeno grado di precisione $0$. Siano $\{w_j^+\}_{j=1,\ldots,{\eta_n}_+}$ e $\{w_l^-\}_{l=1,\ldots,{\eta_n}_-}$ rispettivamente i pesi positivi e negativi. Di conseguenza

 \begin{eqnarray}
 \int_a^b w(x) dx &=& \sum_{k=1}^{\eta_n} w_k = \sum_{j=1}^{{\eta_n}_+} w_j^+ + \sum_{l=1}^{{\eta_n}_-}  w_l^- \\
  \sum_{k=1}^{\eta_n} |w_k| & = & \sum_{j=1}^{{\eta_n}_+} |w_j^+| + \sum_{l=1}^{{\eta_n}_-}  |w_l^- | =  \sum_{j=1}^{{\eta_n}_+} w_j^+ - \sum_{l=1}^{{\eta_n}_-}  w_l^-
\end{eqnarray}
\end{frame}



\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Stabilit\mya di una formula di quadratura}
\noindent da cui essendo $w_l^- < 0$
\begin{eqnarray}
    \sum_{k=1}^{\eta_n} |w_k|&=&  \sum_{j=1}^{{\eta_n}_+} w_j^+ - \sum_{l=1}^{{\eta_n}_-}  w_l^- \nonumber \\
    &=& \left( \int_a^b w(x) dx - \ \sum_{j=1}^{{\eta_n}_-} w_j^- \right) - \sum_{l=1}^{{\eta_n}_-}  w_l^- \nonumber \\
    &=& \int_a^b w(x) dx -2 \sum_{l=1}^{{\eta_n}_-}  w_l^- \geq \int_a^b w(x) dx
    \end{eqnarray}
\end{frame}



\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Stabilit\mya di una formula di quadratura}
mentre se i pesi fossero tutti positivi avremmo

$$  \sum_{k=1}^{\eta_n} |w_k| =  \sum_{j=1}^{{\eta_n}_+} w_j^+ - \sum_{l=1}^{{\eta_n}_-}  w_l^- =  \sum_{j=1}^{{\eta_n}_+} w_j^+ = \int_a^b w(x) dx$$

\noindent per cui maggiore \mye $-2 \sum_{l=1}^{{\eta_n}_-}  w_l^- > 0$ e peggiore \mye la stabilit\mya della formula di quadratura. 
\end{frame}



\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Alcune norme di operatori}
{\reds{\bf{Se ($a,b$) \mye limitato allora l'operatore lineare $I_n: C([a,b]) \rightarrow \R$ \mye continuo}}} in quanto per il teorema di 
Weierstrass esiste $\|f\|_{\infty}$ ed \mye
\begin{eqnarray}
|I_n(f)| &=& \left|\sum_{j=1}^{\eta_n} w_{j}f_j \right|
 \leq \sum_{j=1}^{\eta_n} |w_{j}||f_j| \nonumber \\
 &\leq& \left(\sum_{j=1}^{\eta_n} |w_{j}| \right) \cdot \max_j |f_j | 
 \leq \left(\sum_{j=1}^{\eta_n} |w_{j}| \right) \cdot \|f\|_{\infty}
\end{eqnarray}
\end{frame}



\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Alcune norme di operatori}
In particolare, scegliendo opportunamente $f$ si prova che {\reds{\bf{la norma dell'operatore di quadratura

{\vspace{-0.3cm}}
$$\|I_n\|_{\infty} = \max_{f \in C([a,b]), f \neq 0} \frac{|I_n(f)|}{\|f\|_{\infty}}$$
coincide con $\sum_{j=1}^{\eta_n} |w_{j}|$}}}.  

\thsp
Inoltre se ($a,b$) \mye limitato
{\vspace{-0.3cm}}
$$\|I\|_{\infty} = \max_{f \in C([a,b]), f \neq 0} \frac{|I(f)|}{\|f\|_{\infty}}=\int_a^b w(x) dx=\|w\|_{\infty}$$

{\vspace{-0.3cm}}
in quanto 

{\vspace{-0.6cm}}
\begin{eqnarray}
|I(f)|&=&\left|\int_a^b f(x) w(x) dx \right| \leq \int_a^b| f(x) |w(x) dx \nonumber \\ &\leq& \int_a^b w(x) dx \cdot \|f\|_{\infty} = \|w\|_{\infty}  \|f\|_{\infty}
\end{eqnarray}
e 

{\vspace{-0.3cm}}$$|I(1)|=\|w\|_{\infty}.$$
\end{frame}



\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Teorema di Stieltjes: legame tra errore di quadratura e miglior approssimazione polinomiale}
Mostriamo il seguente teorema (di Stieltjes), che lega l'errore delle formule di quadratura a quello di miglior approssimazione. Con ${\cal{P}}_n$ denotiamo i polinomi di grado al pi\myu $n$.

{\vspace{-0.2cm}}

\begin{teorema}\label{STT}
Sia ($a,b$) un intervallo limitato e si supponga $w:(a,b) \rightarrow \R$ sia una funzione peso e 
{\vspace{-0.3cm}}
$$I_n(f)=\sum_{j=1}^{\eta_n} w_{j} f_j, \,\, {\mbox{ con }} f_j=f(x_{j})$$ 

{\vspace{-0.3cm}}
\noindent una formula di quadratura avente grado di precisione almeno $n$. Allora posto ${\cal{E}}_n(f)=I(f)-I_n(f)$ si ha

{\vspace{-0.3cm}}
\begin{equation}\label{7.3p}
|{\cal{E}}_n(f)| \leq  \left(\|w\|_1 + \sum_{j=1}^{\eta_n} |w_{j}| \right) \cdot \min_{q_n \in {\cal{P}}_n} \|f-q_n\|_{\infty}.
\end{equation}
\end{teorema}
\end{frame}




\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Teorema di Stieltjes: legame tra errore di quadratura e miglior approssimazione polinomiale}
\begin{dimostrazione}
Se $q \in {\cal{P}}_n$ \mye un polinomio arbitrario di grado $n$ ed $I(q)=I_n(q)$ avendo la formula di quadratura grado di precisione almeno $n$.

\smsp
Ricordiamo inoltre che gli operatori $I$ ed $I_n$ sono lineari e quindi 
$$I_n(f-q)=I_n(f)-I_n(q),$$
$$I(f-q)=I(f)-I(q).$$
\end{dimostrazione}
\end{frame}




\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Teorema di Stieltjes: legame tra errore di quadratura e miglior approssimazione polinomiale}
\begin{proof}
Per quanto visto

{\vspace{-0.5cm}}
$$|I_n(f)| \leq \|I_n\|_{\infty} \|f\|_{\infty}, \,\,|I(f)| \leq \|f\|_{\infty} \|w\|_1$$

{\vspace{-0.3cm}}
\noindent poich\mye per ogni polinomio di grado $n$ si ha che $I_n(q)=I(q)$,

{\vspace{-0.7cm}}
\begin{eqnarray}
|I(f)-I_n(f)| &=&  |I(f)-I_n(q)+I_n(q)-I_n(f)|\nonumber \\
 &\leq& |I(f)-I_n(q)|+|I_n(q)-I_n(f)| \nonumber \\
 &\leq& |I(f)-I(q)|+|I_n(q-f)| \nonumber \\
 &\leq& |I(f-q)|+|I_n(f-q)| \nonumber \\
 &\leq& \|w\|_1 \|f-q\|_{\infty} +\|I_n\|_{\infty} \|f-q\|_{\infty} \nonumber \\
 &=& \left(\|w\|_1 + \|I_n\|_{\infty} \right) \cdot \|f-q\|_{\infty} \,\,\,\,\nonumber \\
 &=& \left(\|w\|_1 + \sum_{j=1}^{\eta_n} |w_{j}| \right) \cdot \|f-q\|_{\infty}
\end{eqnarray} 

\end{proof}
\end{frame}




\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Teorema di Stieltjes: legame tra errore di quadratura e miglior approssimazione polinomiale}
L'interesse di questo teorema \mye il legame col polinomio di miglior approssimazione. Risulta importante osservare che in (\ref{7.3p}) contribuiscono i prodotti di due termini.
\begin{enumerate}
\item Il primo \mye dovuto alla funzione peso e alla stabilit\mya della formula di quadratura.
\item  Il secondo \mye dato esclusivamente dalla miglior approssimazione di $f$ (e non $fw$).
\end{enumerate}
\end{frame}




\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Teorema di Stieltjes: legame tra errore di quadratura e miglior approssimazione polinomiale}
Quindi se $w$ \mye una funzione peso con {\reds{\bf{$fw$ non regolare}}} ma {\reds{\bf{$f$ regolare}}} allora l'utilizzo di formule gaussiane rispetto alla funzione peso $w$, come anticipato prima, offre risultati {\sl{potenzialmente migliori}}, come suggerito dai teoremi di Jackson sulla miglior approssimante polinomiale di una funzione $f$, che forniscono stime di $$ \min_{q_n \in {\cal{P}}_n} \|f-q_n\|_{\infty}$$ con $f \in C([a,b])$ (dotando $C([a,b]))$ della norma infinito).
\end{frame}




\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Teorema di Stieltjes: legame tra errore di quadratura e miglior approssimazione polinomiale}
Quale esempio consideriamo una formula a pesi positivi e grado di precisione $n \geq 0$. Necessariamente $\|I_n\|_{\infty}=\|w\|_1=\int_a^b w(x) dx$, in quanto la formula integra esattamente la costante $1$ ed \mye  $$|I(f)-I_n(f)| \leq   2 \|w\|_1  \min_{q_n \in {\cal{P}}_n} \|f-q_n\|_{\infty}.$$ 
Quindi, se usiamo la funzione peso di Legendre $w \equiv 1$ nell'intervallo ($-1,1$) si ha che 
$$|I(f)-I_n(f)| \leq   4 \cdot \min_{q_n \in {\cal{P}}_n} \|f-q_n\|_{\infty}.$$
\end{frame}




\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Teorema di Stieltjes: legame tra errore di quadratura e miglior approssimazione polinomiale}
{\bf{Esercizio.}} Si calcoli l'integrale $$\int_{-1}^1 \exp{(x)} {\sqrt{1-x^2}} dx$$ con la formula di Gauss-Legendre e una formula di Gauss-Jacobi con esponenti $\alpha=1/2$ e $\beta=0$. Quale delle due sar\mya da usare e perch\mye?
\end{frame}




\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Teorema di Polya-Steklov, sulla convergenza delle formule di quadratura}
Consideriamo una formula di quadratura del tipo

\begin{equation}\label{polya_pre}
I_w(f):=\int_a^b f(x) w(x) dx \approx I_n(f) := \sum_{i=0}^{\eta_n} w_{i,n} f(x_{i,n})
\end{equation}

\noindent con al solito $w$ una funzione peso definita nell'intervallo ($a,b$). Se tale intervallo \mye limitato ed $f$ continua in [$a,b$] allora per quanto visto in precedenza si ha $fw \in L^1(a,b)$. Sia $${\cal{E}}_n(f):=\int_a^b f(x) w(x) dx - \sum_{i=0}^{\eta_n} w_{i,n} f(x_{i,n}).$$ 

\noindent Risulta importante sottolineare che $n$ non \mye il grado di precisione della formula, bens\myi l'indice che contraddistingue l'$n$-simo elemento della sequenza di formule $\{I_n\}_n=1,\ldots,$. 
\end{frame}




\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Teorema di Polya-Steklov, sulla convergenza delle formule di quadratura}
Dimostriamo ora il teorema di Polya-Steklov {\cite[p.202]{COM}}.
\smsp

\begin{teorema}
Sia un intervallo compatto [$a,b$], e  $Q_n(f)=\sum_{i=0}^{\eta_n} w_{i,n} f(x_{i,n})$ una sequenza di formule di quadratura tale che $I_w(f) \approx Q_n(f)$. Condizione necessaria e sufficiente affinch\mye per ogni $f \in C([a,b])$  

{\vspace{-0.4cm}}
$$\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal{E}}_n(f)=0$$

{\vspace{-0.1cm}}
con $ {\cal{E}}_n(f):=I_w(f)-Q_n(f)$ \mye che  

\begin{enumerate}
\item esista $M \in \R$ indipendente da $n$ per cui si abbia 

{\vspace{-0.4cm}}
$$ \sum_{i=1}^{\eta_n} |w_{i,n}| \leq M; $$
\item per ogni $k \in \N$ si abbia 

{\vspace{-0.5cm}}
$$\lim_{k \rightarrow +\infty} {\cal{E}}_n(x^k)=0.$$
\end{enumerate}

\end{teorema}

\end{frame}




\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Teorema di Polya-Steklov, sulla convergenza delle formule di quadratura}
\begin{dimostrazione}
$\Leftarrow$ Supponiamo che 
\begin{enumerate}
\item esista $M \in \R$ tale che per ogni $n$ si abbia $$ \sum_{i=1}^{\eta_n} |w_{i,n}| \leq M; $$
\item per ogni $k \in \N$ si abbia $$\lim_{k \rightarrow +\infty} E_n(x^k)=0.$$
\end{enumerate}
Per un teorema di densit\mya dovuto a Weierstrass, per ogni $\tau_1 > 0$ esiste un polinomio $p$ tale che $\|f-p\|_{\infty} \leq \tau_1$. 
\end{dimostrazione}
\end{frame}




\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Teorema di Polya-Steklov, sulla convergenza delle formule di quadratura}
\begin{vuoto}
Fissato $n$,  ricordato che per la definizione di norma degli operatori, si ha che 
$$\|I\|_{\infty}=\sup_{g \in C([a,b]), g \neq 0} {\frac{|I(g)|} {\|g\|_{\infty}} }$$
implica, dato che $\|I\|_{\infty}=\|w\|_1$, per ogni $g \in C([a,b])$
\begin{equation}\label{I29}
|I(g)| \leq \|I\|_{\infty} \|g\|_{\infty}=\|w\|_1\|g\|_{\infty}
\end{equation}
\end{vuoto}
\end{frame}




\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Teorema di Polya-Steklov, sulla convergenza delle formule di quadratura}
\begin{vuoto}
Similmente 
$$\|I_n\|_{\infty}=\sup_{g \in C([a,b]), g \neq 0} {\frac{|I_n(g)|} {\|g\|_{\infty}} }$$
implica, ricordando che $\|I_n\|_{\infty}=\sum_{i=1}^{\eta_n} |w_{i,n}| $,
\begin{equation}\label{I29a}
|I_n(g)| \leq \|I_n\|_{\infty} \|g\|_{\infty} =\sum_{i=1}^{\eta_n} |w_{i,n}|  \|g\|_{\infty}.
\end{equation}
\end{vuoto}
\end{frame}




\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Teorema di Polya-Steklov, sulla convergenza delle formule di quadratura}
\begin{vuoto}
Quindi, per $g=f-p$ in ({\ref{I29}}) e  ({\ref{I29a}})
\begin{eqnarray}
|{\cal{E}}_n(f-p)| &=& |I(f-p) - I_n(f-p) | \leq  |I(f-p)| +| I_n(f-p) |  \nonumber \\
&\leq& \|w\|_1\|f-p\|_{\infty} + \sum_{i=1}^{\eta_n} |w_{i,n}|  \|f-p\|_{\infty} \nonumber \\ & =& \left(\|w\|_1+\sum_{i=1}^{\eta_n} |w_{i,n}| \right) \cdot \|f-p\|_{\infty} \nonumber \\
& \leq & \left(\|w\|_1+M \right) \cdot \tau_1.
\end{eqnarray}
Di conseguenza $|{\cal{E}}_n(f-p)|  \leq \left(\|w\|_1+M \right) \cdot \tau_1 $, per ogni $n \in {\mathbb{N}}$. Si osservi che il secondo membro della precedente disuguaglianza non dipende da $n$.

\end{vuoto}
\end{frame}




\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Teorema di Polya-Steklov, sulla convergenza delle formule di quadratura}
\begin{vuoto}
Poich\mye $\lim_{n\rightarrow \infty} {\cal{E}}_n(p) = 0$, per ogni $\tau_2 >0$ esiste ${\tilde{\cal{N}}} (\tau_2) \in {\mathbb{N}}$ tale che se $n \geq {\tilde{\cal{N}}}(\tau_2)$ allora $|{\cal{E}}_n(p)| \leq \tau_2$.

 Di conseguenza fissato $\epsilon >0 $ e posto
 \begin{itemize}
\item $\tau_1=\epsilon/(2\cdot (\|w\|_1+M ))$, 
\item $\tau_2=\epsilon/2$,
 \end{itemize}
 abbiamo che esiste $N(\epsilon)={\tilde{\cal{N}}}(\epsilon/2)$ tale che se $n \geq {{{N}}}(\epsilon)$ allora 
 $$|{\cal{E}}_n(f-p)|  \leq  \left(\|w\|_1+M \right) \cdot \tau_1 =  {\frac{(\|w\|_1+M ) \cdot \epsilon}{2\cdot (\|w\|_1+M )}}= \epsilon/2$$
 e 
 $$|{\cal{E}}_n(p)| \leq \tau_2 =\epsilon/2.$$
 \end{vuoto}
\end{frame}




\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Teorema di Polya-Steklov, sulla convergenza delle formule di quadratura}
\begin{vuoto}
 Quindi, dalla linearit\mya di ${\cal{E}}_n$, per $n \geq N(\epsilon) = {\tilde{\cal{N}}}(\tau_2) $
\begin{eqnarray}
|{\cal{E}}_n(f)| &\leq& |{\cal{E}}_n(f)-{\cal{E}}_n(p)| + |{\cal{E}}_n(p)| = |{\cal{E}}_n(f-p)| + |{\cal{E}}_n(p)| \nonumber \\
&\leq& {\frac{\epsilon}{2}} +{\frac{\epsilon}{2}} = \epsilon 
\end{eqnarray}
che permette di concludere dalla definizione di limite che $\lim_n {\cal{E}}_n(f)=0$.
\end{vuoto}
\end{frame}




\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Teorema di Polya-Steklov, sulla convergenza delle formule di quadratura}
\begin{vuoto}
$\Rightarrow$ Mostriamo il primo punto dell'asserto. Supponiamo che per ogni $f\in C([a,b])$ sia $\lim_n {\cal{E}}_n(f)=0$. Per definizione di ${\cal{E}}_n(f)$ abbiamo $I_n(f)=I(f)-{\cal{E}}_n(f)$ e quindi per la disuguaglianza triangolare $$|I_n(f)| \leq |I(f)|+|{\cal{E}}_n(f)| \leq \|w\|_1  \|f\|_{\infty} +|{\cal{E}}_n(f)|.$$
Poich\mye $\lim_n {\cal{E}}_n(f) = 0$ necessariamente $\lim_n |{\cal{E}}_n(f) |= 0$ e quindi, dalla definizione di limite, segue facilmente che esiste $M(f) \in {\mathbb{R}}$ (indipendente da $n$, ma dipendente da $f$) tale che $I_n(f) \leq M(f)  < \infty$. 
\end{vuoto}
\end{frame}




\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Teorema di Polya-Steklov, sulla convergenza delle formule di quadratura}
\begin{vuoto}
Il teorema di uniforme limitatezza (talvolta citato come di Banach-Steinhaus) \cite[p.58]{ATKHAN} stabilisce che
\begin{itemize}
\item se $L_n$ \mye una sequenza di operatori lineari limitati da uno spazio di Banach $V$ a uno spazio di Banach $W$,
\item per ogni $v \in V$ la sequenza $ \{L_n(v)\}_n$ \mye limitata,
\end{itemize}
 allora $$\sup_n \|L_n\| < +\infty.$$

\end{vuoto}
\end{frame}




\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Teorema di Polya-Steklov, sulla convergenza delle formule di quadratura}
\begin{vuoto}
Nel nostro caso

\vspace{0.25cm}

\begin{itemize}
\item $V \equiv (C([a,b]), \|\cdot\|_{\infty})$, $W\equiv\R$ sono spazi di Banach,
\item posto $L_n \equiv I_n$, operatore lineare limitato con norma $\|I_n\|_{\infty}=\sum_{i=0}^{\eta_n} |w_{i,n}|$, se $f \in C([a,b])$ abbiamo che la sequenza $\{I_n(f)\}_n$ \mye limitata in quanto esiste $M(f) < \infty$ indipendente da $n$ tale che $I_n(f) \leq M(f)  < \infty$. 
\end{itemize}
\end{vuoto}
\end{frame}




\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Teorema di Polya-Steklov, sulla convergenza delle formule di quadratura}
\begin{vuoto}
Conseguentemente per il teorema di Banach-Steinhaus, ricordando che $$\|I_n\|_{\infty}=\sum_{i=0}^{\eta_n} |w_{i,n}|$$ si ha  $$\sup_n \left( \sum_{i=0}^{\eta_n} |w_{i,n}| \right)=\sup_n \|I_n\|_{\infty} < +\infty.$$
e quindi esiste $M$ finito tale che 
$$\sum_{i=0}^{\eta_n} |w_{i,n}| \leq M < +\infty, \,\,\, \forall n \in {\mathbb{N}}. $$
\smsp

\noindent
Il secondo punto da dimostrare \mye ovvio in quanto per ogni $k$, si ha $x^k \in C([a,b])$.
\end{vuoto}
\end{frame}




\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Alcune conseguenze e osservazioni sul Teorema di Polya-Steklov}
\begin{itemize}
\item L'intervallo $[a,b]$ \mye limitato per cui il teorema di Polya {\reds{\bf{non \mye applicabile per funzioni peso quali Gauss-Laguerre e Gauss-Hermite}}}.

\smsp

\item Si osservi che in generale le formule di errore introdotte nei capitoli precedenti, implicavano la convergenza in caso l'integranda $f$ fosse sufficientemente regolare. Nel teorema di Polya-Steklov si chiede {\reds{\bf{esclusivamente che $f \in C([a,b])$}}}, senza per\myo offrire stime dell'errore compiuto.
\end{itemize}
\end{frame}




\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Alcune conseguenze e osservazioni sul Teorema di Polya-Steklov}

\begin{teorema}
Consideriamo una formula su un dominio limitato, con i pesi $w_{i,n}$ positivi, e g.d.p. almeno $0$. Essa \mye convergente per ogni $f \in C([a,b])$ se e solo se \mye convergente per ogni polinomio $p$.
\end{teorema}

\begin{proof}
Infatti se \mye convergente per polinomi in particolare lo \mye per $f(x)=1$, cio\mye $\lim_n E_n(1)=0$. Visto che $$E_n(1)=\int_a^b w(x) dx -\sum_{k=1}^{\eta_n} w_k \rightarrow 0$$ necessariamente $\sum_{k=1}^{\eta_n} w_k \leq M < + \infty$.
\end{proof}
\end{frame}




\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Alcune conseguenze e osservazioni sul Teorema di Polya-Steklov}
\begin{teorema}
Una formula gaussiana su un dominio limitato \mye convergente.
\end{teorema}

\begin{proof}
Sia una {\reds{\bf{formula di Gauss}}}, su un dominio limitato, con $n$ nodi $\{w_{i,n}\}_{i=1,\ldots,n}$ positivi. Per quanto detto, \mye convergente per ogni $f \in C([a,b])$ se e solo se \mye convergente per ogni polinomio $p$. Ma ci\myo \mye verificato banalmente in quanto essendo il grado di precisione almeno $2n-1$, fissato $k$, per $n \geq {\mbox{ceil}}((k+1)/2)$ si ha $E_n(x^k)=0$.

{\vspace{0.2cm}}
Quindi, essendo tutti gli zeri contenuti in ($a,b$), possiamo applicare il teorema di Polya-Steklov e dedurre che al crescere del numero di punti $n$ della formula gaussiana si ha che {\cyans{$$\lim_{n \rightarrow +\infty} E_n(f)=0$$ \noindent qualsiasi sia la funzione continua $f \in C(a,b)$}}.
\end{proof}

\end{frame}




\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Alcune conseguenze e osservazioni sul Teorema di Polya-Steklov}
\begin{teorema}
Una sequenza di formule composte, basate su regole a pesi positivi e g.d.p. $n \geq 0$, risulta convergente qualora l'ampiezza delle suddivisioni tenda a 0.
\end{teorema}

\begin{dimostrazione}
Si consideri la suddivisione $\Delta_m=\{\tau_{i}\}_{i=0,\dots,m}$ dell'intervallo ($a,b$) con $$\tau_i < \tau_{i+1}, {\hspace{0.3cm}} \tau_0=a, {\hspace{0.3cm}}\tau_m=b$$ nodi della formula in questione.

{\vspace{0.3cm}}
Visto che la formula composta ha pesi positivi, risulta convergente
 per ogni $f \in C([a,b])$ se e solo se \mye convergente per ogni polinomio $p$.
\end{dimostrazione}
\end{frame}




\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Alcune conseguenze e osservazioni sul Teorema di Polya-Steklov}
\begin{vuoto}
Mostriamo che \mye convergente per qualsiasi polinomio $p$.

{\vspace{0.5cm}}
Osserviamo che tale formula composta integra esattamente ogni funzione polinomiale a tratti di grado $n$ su $\Delta$ e che se $s_{\Delta_m,n}$ \mye l'interpolante polinomiale a tratti di grado $n$  della funzione $f$ relativamente alla suddivisione $\Delta_m$ e ai nodi di quadratura,
\begin{eqnarray}
\int_a^b f(x) dx &=& \int_a^b (f(x)-s_{\Delta_m,n}) dx +  \int_a^b s_{\Delta_m,n} dx \nonumber \\
&=& \int_a^b (f(x)-s_{\Delta_m,n}) dx +  \sum_{i=0}^{\eta_n} w_{i,n} f(x_{i,n}) dx 
\end{eqnarray}
\end{vuoto}
\end{frame}




\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Alcune conseguenze e osservazioni sul Teorema di Polya-Steklov}
\begin{vuoto}
da cui se $f \in C^{(n+1)}([a,b])$
\begin{eqnarray}
|{\cal{E}}_n(f)|&=&\left|\int_a^b f(x) dx - \sum_{i=1}^{\eta_n} w_{i,n} f(x_{i,n})\right|\nonumber \\
&=& \left|\int_a^b (f(x)-s_{\Delta_m,n}) dx\right| \nonumber \\
&\leq & \left|\int_a^b 1 \cdot dx\right| \cdot \|f-s_{\Delta_m,n}\|_{\infty}  \nonumber \\
&\leq & (b-a) \cdot \|f-s_{\Delta_m,n}\|_{\infty}  \nonumber \\
&\leq & (b-a) \cdot \frac{h^{(n+1)} \|f^{(n+1)}\|_{\infty}} {(n+1)!}  \nonumber \\
\end{eqnarray}
\end{vuoto}
\end{frame}




\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Alcune conseguenze e osservazioni sul Teorema di Polya-Steklov}
\begin{vuoto}
Siccome un polinomio $f(x)=x^k$ \mye infinitamente derivabile, $f^{(n+1)}$ \mye continua in [$a,b$] e quindi per il teorema di Weierstrass $\|f^{(n+1)}\|_{\infty}$ \mye finito. 

\smsp
Di conseguenza, se la successione di formule composte \mye tale che la massima ampiezza $h$ della suddivisione tende a $0$ allora ${\cal{E}}_n(x^k) \rightarrow 0$. Per il teorema di Polya-Steklov si ha cos\myi che la formula composta a pesi positivi 
\begin{equation}\label{polya_pre1}
\int_a^b f(x) w(x) dx \approx \sum_{i=1}^{\eta_n} w_{i,n} f(x_{i,n})
\end{equation}

\noindent \mye tale che qualsiasi sia la funzione continua $f$, ${\cal{E}}_n(f) \rightarrow 0$ quando la massima ampiezza dei subintervalli tende a $0$.
\end{vuoto}
\end{frame}




\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Alcune conseguenze e osservazioni sul Teorema di Polya-Steklov (facoltativo)}
{\reds{\bf{[Facoltativo]}}} {\cyans{\bf{Una formula $I_n(f) \approx \int_a^b f(x)w(x) dx:=I(f)$ a pesi positivi convergente sui polinomi e avente grado di precisione almeno $0$ risulta convergente sulle funzioni continue a tratti in $[a,b]$}}}. Se $f$ \mye tale funzione, si dimostra che per ogni $\epsilon > 0$ esistono due funzioni $f_1$, $f_2 \in C([a,b])$ tali che $f_1 \leq f \leq f_2$ e $$\|f_1-f_2\|_{\infty} \leq \epsilon.$$

Osserviamo che
\begin{itemize}
\item Poich\mye la formula \mye a pesi positivi, $f_1 \leq f \leq f_2$ implica che $I_n(f_1) \leq I_n(f) \leq I_n(f_2)$. 
\item Essendo $f_1 \leq f \leq f_2$, 
$$\int_a^b f_1(x) w(x) dx \leq \int_a^b f(x) w(x) dx \leq \int_a^b f_2(x) w(x) dx.$$
\item Per il teorema di Polya-Steklov abbiamo inoltre che essendo $f_1,f_2 \in C([a,b])$ allora $\lim_n {\cal{E}}_n(f_1) =0$ e $\lim_n {\cal{E}}_n(f_2) =0$.
\end{itemize}
\end{frame}




\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Alcune conseguenze e osservazioni sul Teorema di Polya-Steklov (facoltativo)}
Ora notiamo che 
\begin{equation}\label{tratti1}
I(f_1)-I_n(f_2) \leq I(f)-I_n(f) \leq I(f_2)-I_n(f_1).
\end{equation}
Per la linearit\mya degli operatori $I$, $I_n$
\begin{equation}\label{tratti2}
{\cal{E}}_n(f_1)+I_n(f_1-f_2)=(I(f_1)-I_n(f_1))+I_n(f_1-f_2) =I(f_1)-I_n(f_2) 
\end{equation}
\vspace{-0.75cm}
\begin{equation}\label{tratti3}
{\cal{E}}_n(f_2)+I_n(f_2-f_1)=(I(f_2)-I_n(f_2))+I_n(f_2-f_1) = I(f_2)-I_n(f_1)
\end{equation}
Inoltre
\begin{equation}\label{tratti4}
I_n(f_2-f_1)=\sum_{k=1}^{\eta_n} w_k (f_2(x_k)-f_1(x_k)) \leq \sum_{k=1}^{\eta_n} w_k \|f_2-f_1\|_{\infty} 
\end{equation}

\vspace{-0.5cm}
\begin{equation}\label{tratti5}
I_n(f_1-f_2)=-I_n(f_2-f_1) \geq -\sum_{k=1}^{\eta_n} w_k \|f_2-f_1\|_{\infty} 
\end{equation}
\end{frame}




\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Alcune conseguenze e osservazioni sul Teorema di Polya-Steklov (facoltativo)}
Quindi da (\ref{tratti1}), in virt\myu di (\ref{tratti3}), (\ref{tratti4})
$${\cal{E}}_n(f) \leq I(f_2)-I_n(f_1) = {\cal{E}}_n(f_2)+I_n(f_2-f_1)  \leq {\cal{E}}_n(f_2)+\sum_{k=1}^{\eta_n} w_k \|f_2-f_1\|_{\infty} $$
mentre da  (\ref{tratti1}), in virt\myu di (\ref{tratti2}), (\ref{tratti5})
$$  {\cal{E}}_n(f_1) -\sum_{k=1}^{\eta_n} w_k \|f_2-f_1\|_{\infty} \leq {\cal{E}}_n(f_1)+I_n(f_1-f_2)= I(f_1)-I_n(f_2)  \leq {\cal{E}}_n(f)$$
cio\mye
$$  {\cal{E}}_n(f_1) -\sum_{k=1}^{\eta_n} w_k \|f_2-f_1\|_{\infty} \leq {\cal{E}}_n(f) \leq  {\cal{E}}_n(f_2)+\sum_{k=1}^{\eta_n} w_k \|f_2-f_1\|_{\infty}$$
Dal fatto che $\sum_{k=1}^{\eta_n} w_k =\int_a^b w(x) dx< +\infty$, $\lim_n {\cal{E}}_n(f_1)=\lim_n {\cal{E}}_n(f_2)=0$ e $\|f_2-f_1\|_{\infty} \leq \epsilon$, dall'arbitrariet\mya di $\epsilon$ deduciamo che ${\cal{E}}_n(f) \rightarrow 0$.
\end{frame}









\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Formule gaussiane in Matlab} 
Eccetto che in pochi casi (come ad esempio per la 
funzione peso di Chebyshev), non esistono formule esplicite per 
l'individuazione di tali nodi e pesi. 

\smsp
Una volta venivano tabulati, oggi si 
consiglia di applicare del software che si pu\myo trovare ad esempio nella 
pagina di Walter Gautschi

\smsp

\bbcb
\begin{center}
{\tt{http://www.cs.purdue.edu/people/wxg}}
\end{center}
\ebcb
\end{frame}




\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Formule gaussiane in Matlab} 
Fissato un peso, ad esempio quello di Jacobi, si cercano per prima cosa i 
{\sl{coefficienti di ricorrenza}}, che possono essere calcolati con l' 
m-file {\sl{r\_jacobi.m}} nel sito di W. Gautschi. 

La sintassi \mye la 
seguente

\bbcb
\begin{center}
{\tt{ab=r\_jacobi(n,a,b) }}
\end{center}
\ebcb

Come si vede dai commenti al file, genera i primi $n$ coeff. di ricorrenza dei polinomi ortogonali {\underline{monici}} relativamente alla funzione peso di Jacobi
$$w(x)=(1-x)^a \, (1+x)^b.$$
\end{frame}




\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Formule gaussiane in Matlab: sulla ricorrenza} 
Quindi
\begin{itemize}
\item $a$, $b$ corrispondono rispettivamente all'$\alpha$ e $\beta$ delle 
formule di Jacobi (e non agli estremi di integrazione!).
\item I coefficienti di 
ricorrenza sono immagazzinati nella variabile $ab$. 
\end{itemize}

\begin{nota}
Ricordiamo che se 
$\{\phi_n(x)\}$ \mye una famiglia di polinomi ortogonali su [$a,b$], rispetto ad una funzione peso $w(x)$, allora per $n \geq 1$ 
{\vspace{-0.2cm}}
$$\phi_{n+1}(x)=\alpha_n (x-\beta_n) \phi_n(x)-\gamma_n \phi_{n-1}(x)$$ 
ove, detto $A_n$ il coefficiente di grado $n$ in $\phi_n$, si ha $\alpha_n=A_{n+1}/A_{n}$,
{\vspace{-0.2cm}}
$$\beta_n={\frac{(x \phi_n, \phi_n)}{\|\phi_n\|^2}}, \, \gamma_n={\frac{(\phi_n, x \phi_{n-1})}{\|\phi_n\|^2}},$$
con $(f,g)=\int_a^b f(x) g(x) \, dx$.
\end{nota}

\end{frame}




\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Formule gaussiane in Matlab: sulla ricorrenza} 

\begin{vuoto}
 Nel caso di {\tt{r\_jacobi}}  si usa la formula ricorsiva dei polinomi ortogonali (monici!) {\cite[p.216]{GAUJCAM}}
\begin{eqnarray}
&& \phi_{n+1}(x)=(x-{\overline{\alpha}}_n) \phi_n(x)-{\overline{\beta}}_n \phi_{n-1}(x), \,\, k=1,2,\ldots \nonumber \\
&& \phi_{-1}(t) = 0, \, \phi_{0}(t)=1.
\end{eqnarray}

\smnsp
Osserviamo che, 
\begin{itemize}
\item essendo i polinomi ortogonali definiti a meno di una costante moltiplicativa non nulla (se ($\phi_k$,$\phi_j$)$=0$ per ogni $j< k$ pure ($ \tau \phi_k$,$\phi_j$)$=0$
per ogni $j< k$, per ogni $\tau \neq 0$), si pu\myo richiedere che la famiglia triangolare di polinomi ortogonali sia di polinomi monici (cio\mye con coefficienti di grado massimo uguali a $1$).
\item Il vettore $ab$ ha quale prima colonna il vettore dei coefficienti $\{ {\overline{\alpha}}_k \}$ e quale seconda colonna il vettore dei coefficienti $\{ {\overline{\beta}}_k \}$.
\end{itemize}
\end{vuoto}
\end{frame}





\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Formule gaussiane in Matlab} 
A questo punto si 
chiama la funzione {\sl{gauss.m}} (reperibile nuovamente presso lo stesso 
sito di W. Gautschi) 

\bbcb
\begin{center}
{\tt{xw=gauss(N,ab) }}
\end{center}
\ebcb

definita da

\begin{lstlisting}
function xw=gauss(N,ab)
N0=size(ab,1); if N0<N, error('input array ab too short'), end
J=zeros(N);
for n=1:N, J(n,n)=ab(n,1); end
for n=2:N
  J(n,n-1)=sqrt(ab(n,2));
  J(n-1,n)=J(n,n-1);
end
[V,D]=eig(J);
[D,I]=sort(diag(D));
V=V(:,I);
xw=[D ab(1,2)*V(1,:)'.^2];
\end{lstlisting}

\end{frame}





\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Formule gaussiane in Matlab} 
\begin{itemize}
\item Tale routine, che per un certo $N$, uguale al massimo al numero di righe della matrice 
di coefficienti di ricorrenza {\tt{ab}}, fornisce {\reds{\bf{N nodi $x$ e i corrispettivi pesi $w$}}}
immagazzinati in una matrice {\tt{xw}} che ha quale prima colonna $x$ e quale 
seconda colonna $w$. 

\smsp
Osserviamo che in tale codice i polinomi ortogonali sono monici e quindi compatibili con quelli {\sl{forniti}} da {\tt{r\_jacobi}}.

\item La descrizione di perch\mye tale software fornisca il 
risultato desiderato \mye complicata ma pu\myo essere trovata nella 
monografia di W. Gautschi sui polinomi ortogonali, per Acta Numerica.
\end{itemize}
\end{frame}





\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Formule gaussiane in Matlab} 

 \begin{figure}
  \centering
   {\includegraphics[scale=0.35,clip]{testquad2.eps}}
 \caption{Grafico che illustra la distribuzione dei 20 nodi di
Gauss-Legendre
nell'intervallo [$1,1$]}.
 \end{figure}

\end{frame}



\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Formule gaussiane in Matlab} 

 \begin{figure}
  \centering
   {\includegraphics[scale=0.35,clip]{testquad3.eps}}
 \caption{Grafico che illustra la distribuzione dei 20 pesi di 
Gauss-Legendre
nell'intervallo [$1,1$]}.
 \end{figure}

\end{frame}





\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Una demo di Gauss-Jacobi} 

Salviamo nel file {\tt{integrazione\_gauss\_jacobi.m}}
\begin{lstlisting}
function [I,x,w]=integrazione_gauss_jacobi(N,alpha,beta,a,b,f)
% INPUT:
% N: NUMERO NODI.
% alpha,beta: w(x)=((1-x)^alpha)*((1+x)^beta)
% a,b: SE alpha=0, beta=0, SONO ESTREMI DI INTEGRAZIONE, 
%    ALTRIMENTI a=-1, b=1.
% f: INTEGRANDA (RISPETTO w).
% OUTPUT:
% I: APPROSSIMAZIONE DI \int_a^b f(x) w(x) dx
% x,w: NODI/PESI UTILIZZATI.
\end{lstlisting} 
\end{frame}





\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Una demo di Gauss-Jacobi} 
\begin{lstlisting}
ab=r_jacobi(N,alpha,beta); %TERM.RICORSIVI
xw=gauss(N,ab); %NODI/PESI IN MATRICE .
x=xw(:,1);w=xw(:,2);%NODI/PESI GAUSS JAC.[-1,1].
if (alpha == 0) & (beta == 0) & ((a~=-1)|(b~=1))
 x=((a+b)/2)+((b-a)/2)*x;%NODI GAUSS-LEG.[a,b].
 w=((b-a)/2)*w;%PESI GAUSS-LEG.[a,b].
end
fx=feval(f,x);%VALUTAZIONE FUNZIONE.
I=w'*fx;%VALORE INTEGRALE.
\end{lstlisting} 

\end{frame}





\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Una demo di Gauss-Jacobi} 
e nel file {\sl{f.m}} delle funzioni su cui effettueremo dei test. Un 
esempio \mye 
\begin{lstlisting}
function fx=f(x)
fx=x.^20;
% ALCUNE FUNZIONI TRATTE DA 
% "IS GAUSS QUADRATURE BETTER THAN CLENSHAW-CURTIS?" 
% DI L.N. TREFETHEN.
% fx=exp(x);
% fx=exp(-x.^2);
% fx=1./(1+16*(x.^2));
% fx=exp(-x.^(-2));
% fx=abs(x); fx=fx.^3;
% fx=x.^(0.5);
% fx=exp(x).*(sqrt(1-x));
    
\end{lstlisting}


\end{frame}





\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Una demo di Gauss-Jacobi} 
Le funzioni test {\cite{TRE}} 
{\tiny{
\begin{enumerate}
 \item $f(x) = x^{20}$; 
 \item $  f(x)  = \exp(x) $; 
  \item $ f(x)  = \exp(-x^2)$; 
  \item $ f(x)  = 1./(1+16*{x^2})$; 
 \item $  f(x)  = \exp(-x^{-2})$; 
  \item $ f(x)  = |x|^3$; 
  \item $ f(x) =x^{0.5}$; 
 \item $  f(x) =\exp(x)*(\sqrt{1-x})$; 
\end{enumerate}
}}
con $a=-1$, $b=1$ possono essere valutate a scelta cencellando $\%$ riponendolo altrove.

Scaricando dalla pagina web del corso 
\bbcb
\begin{center}
{\reds{\tt{integrazione\_gauss\_jacobi.m}}, {\tt{f.m}}} 
\end{center}
\ebcb

e da quella di W. Gautschi 
\bbcb
\begin{center}
{\reds{\tt{r\_jacobi.m}}},
{\reds{\tt{gauss.m}}} 
\end{center}
\ebcb

possiamo fare quindi alcuni esperimenti. 
\end{frame}





\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Una demo di Gauss-Jacobi: scalatura} 
L'idea della scavatura consiste nel modificare la formula di quadratura relativa ad un intervallo $[a,b]$ di riferimento cos\myi da poterla utilizzare in un intervallo 
generico $[\alpha,\beta]$, cambiando esclusivamente nodi e pesi.

\smsp
Si osservi che per ottenere i nodi e pesi di Gauss-Legendre in 
($a,b$) da quelli di Gauss-Legendre in ($-1,1$) abbiamo effettuato uno 
{\bf{\reds{scalatura}}}.

\begin{itemize}
\item se $x_{i,[-1,1]}$ sono i nodi di Gauss-Legendre in [$-1,1$] allora i nodi 
di Gauss-Legendre $ x_{i,[a,b]} $ in [$a,b$] sono 
$$ x_{i,[a,b]} =((a+b)/2)+((b-a)/2) \cdot x_{i,[-1,-1]};$$

\item se $ w_{i,[-1,1]} $ sono i pesi di Gauss-Jacobi in [$-1,1$] allora i 
pesi di Gauss-Jacobi $ w_{i,[a,b]} $ in [$a,b$] sono 
$$ w_{i,[a,b]} =((b-a)/2) \cdot w_{i,[-1,1]}.$$
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Formule gaussiane in Matlab: scalatura}
Specialmente per le formule con peso $w(x) \equiv 1$ si ha spesso da effettuare l'integrale $\int_{a}^{b} f(x) dx$ con $(a,b)$ diverso da $(-1,1)$. 

\thsp
In tal caso si osserva che se {\reds{$\gamma(t)=(a(1-t)/2)+(b(1+t)/2)$}}, per $\{t_k\}$ e $\{w_k\}$ nodi e pesi della formula di Gauss-Legendre,
\bbcb
$$
\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{-1}^{1} {\frac{b-a}{2}}f(\gamma(t)) dt \approx \sum_{k=1}^n  {\frac{b-a}{2}} w_k f(\gamma(t_k))
$$
\ebcb
  
  e quindi
  $$\int_{a}^{b} f(x) dx \approx \sum_{k=1}^n  w^{\ast}_k f(x^{\ast}_k)$$
  con {\reds{$w^{\ast}_k={\frac{b-a}{2}} w_k$, $x_k=\gamma(t_k)=(a(1-t_k)/2)+(b(1+t_k)/2)$}}.
  
  \thsp
  Questo processo si chiama {\it{scalatura}} dei nodi e dei pesi.
\end{frame}


\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Esempio 1} 
{\vspace{-0.1cm}}
Se ora testiamo il primo esempio, cio\mye il calcolo di 

{\vspace{-0.3cm}}
$$\int_{-1}^1 x^{20} \, dx \approx 0.09523809523809523300$$
otteniamo

{\vspace{-0.1cm}}
\begin{lstlisting}
>> format long;
>> N=11; ajac=0; bjac=0; a=-1; b=1;
>> [I_jac,x_jac,w_jac]=integrazione_gauss_jacobi(N,ajac,bjac,a,b,@f);
>> I_jac
I_jac =
   0.09523809523810
>> length(x_jac)
ans =
    11
>> fprintf('\n \t [GAUSS-LEGENDRE]: \%15.20f',I_jac);
 	 [GAUSS-LEGENDRE]: 0.09523809523809564900
>> 0.09523809523809523300-0.09523809523809564900
ans =
   -4.163336342344337e-016
\end{lstlisting}
\end{frame}






\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Esempio 2}
Consideriamo ora l'integrale 
\begin{equation}\label{test_rad}
\int_{-1}^1   \exp{(x)}  \sqrt{1-x} 	\, dx = 
1.7791436546919097925911790299941.
\end{equation}
Tale risultato \mye stato ottenuto usando il comando simbolico di Matlab 
6.5 (non funziona in Octave, vedere in alternativa il programma Maxima!!)
\begin{lstlisting}
>> syms x
>> int('(exp(x)) * ( (1-x)^(0.5) )',-1,1)
ans =
1.7791436546919097925911790299941
\end{lstlisting}
\end{frame}



\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Esempio 2}
Si capisce che 
\begin{enumerate}
\item {\tt{syms x}} rende la variabile {\tt{x}} di tipo simbolico (e non 
numerico!);
\item il termine 
\bbcb
\begin{center}
{\tt{int('(exp(x)) * ( (1-x)}}  \^  {\tt{(0.5) )',-1,1)}}
\end{center}
\ebcb

\smsp
calcola simbolicamente l'integrale $$\int_{-1}^1 \exp{(x)} \sqrt{1-x} \, dx.$$
\end{enumerate}
\end{frame}


\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Esempio 2}
 \begin{figure}\label{fig2}
 \centering
{\includegraphics[scale=0.4,clip]{test_8.eps}}
 \caption{Grafico che illustra l'errore delle formule di quad. dei 
trap. composta, Cav.-Simpson comp., Gauss-Legendre e 
Clenshaw-Curtis relativamente a {\reds{$\int_{-1}^1 \exp{(x)} \sqrt{1-x} \, dx.$}}.}
 \end{figure}
\end{frame}


\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Esempio 2}
E' immediato osservare che $w(x)=\sqrt{1-x}$ \mye un peso di Gauss-Jacobi 
$$w(t)=(1-t)^{\alpha} (1+t)^{\beta}$$
per ${\alpha}=1/2$ e ${\beta}=0$.

Infatti se $w(x)=\sqrt{1-x}$, allora $g(x)=\exp{(x)}  \, w(x) $ il che corrisponde 
a usare Gauss-Jacobi con $f(x)=\exp{(x)}$. Quindi paragoniamo le formule gaussiane
(il codice funziona in Matlab 6.1 come pure nella release 2.1.73 di Octave).
\end{frame}






\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Esempio 2}
\begin{lstlisting}
>> a=-1; b=1;
>> [I_jac,x_jac,w_jac]=integrazione_gauss_jacobi(10,1/2,0,a,b,@exp);
>> fprintf('\n \t [GAUSS-JACOBI]: %15.20f',I_jac);
 	 [GAUSS-JACOBI]: 1.77914365469190930000
>>1.77914365469190979259117902999-1.779143654691909300
ans = 4.440892098500626e-016
>> length(x_jac)
ans = 10
>> [I_jac,x_jac,w_jac]=...
 integrazione_gauss_jacobi(10,0,0,-1,1,inline('exp(x).*sqrt(1-x)'));
>> fprintf('\n \t [GAUSS-LEGENDRE]: %15.20f',I_jac)
 	 [GAUSS-LEGENDRE]: 1.77984112101478020000
>>1.77914365469190979259117902999-1.779841121014780200
ans =-6.9747e-004
>> length(x_jac)
ans =  10
>>  
\end{lstlisting} 
\end{frame}











\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Esempio 2}
Entrambe le formule hanno lo stesso numero di nodi (e pesi), come si vede dalla riga di comando  
\begin{lstlisting}
>> length(x_jac)
ans =
    10
\end{lstlisting}

{\vspace{-0.4cm}}
\noindent
ma offrono risultati diversi, con un errore assoluto di circa  $4.44 \cdot 10^{-16}$ per Gauss-Jacobi con $a=1/2$, $b=0$ e di $2.52 \cdot 10^{-3}$ per Gauss-Legendre (cio\mye Gauss-Jacobi con $a=0$, $b=0$).
\end{frame}



\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Esercizio}
Usando una opportuna formula gaussiana, con $n=10,20,30$ punti, calcolare
\begin{itemize}
 \item $\int_0^{\pi} {\exp{(x)}} \cdot {\cos{(4x)}} dx={\frac {\exp{(\pi)}-1} {17}   }$;
\item $\int_0^{1} x^{5/2} dx={\frac {2} {7}   }$;
 \item $\int_{-\pi}^{\pi} {\exp{(\cos{(x)})}} dx=7.95492652101284$;
 \item $\int_{0}^{\pi/4} {\exp{(\cos{(x)})}} dx=1.93973485062365$;
\item $\int_0^{1} x^{1/2} dx={\frac {2} {3}   }$.
\end{itemize}
Descrivere come decresce l'errore in scala semilogaritmica. 

\smsp
{\reds{\bf{NB}}}: {\underline{Non serve vedere}} quale sia l'andamento del rapporto $E_n(f)/E_{n+1}(f)$, dove $E_n=|I(f)-I_n(f)|$ con $I(f)$ integrale esatto e $I_n(f)$ valore fornito dalla formula di quadratura.
\end{frame}



\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Esercizio (facoltativo)} 
Si calcolino per $N=10,20$ con la formula composta dei trapezi, di Cav.-Simpson e un'appropriata formula gaussiana 
{\tiny{
\begin{eqnarray}  
&& \int_{-1}^1 x^{20}\, dx = 2/21 \approx 0.095238095238096801 \\
&& \int_{-1}^1 e^x \, dx = e-e^{-1} \approx 2.3504023872876032 \\
&& \int_{-1}^1 e^{-x^2}\, dx = {\mbox{erf}}(1) {\cdot \sqrt{\pi}} \approx 1.4936482656248538 \\
&& \int_{-1}^1 1/(1+16 x^2) \, dx = 1/2 \cdot {\mbox{atan}} (4) \approx 0.66290883183401628 \\
&& \int_{-1}^1 e^{-1/x^{2}}\, dx \approx 0.17814771178156086 \\
&& \int_{-1}^1 |x|^3\, dx = 1/2 \\
&& \int_{0}^1 \sqrt x\, dx = 2/3 \\
&&  \int_{-1}^1 e^{x} {\sqrt{1-x}} \, dx \approx 1.7791436546919095
\end{eqnarray}
}}
\end{frame}


\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Esercizio (facoltativo)} 
\begin{enumerate}
\item Quali delle due formule ha errori relativi inferiori? 
\item Quali funzioni risultano pi\myu difficili da integrare numericamente? 
\item La scelta $N=10,20$ nei singoli codici a quanti nodi corrisponde?
\item Suggerimento: ricordarsi che il peso $w(x) \equiv 1$ corrisponde ad un'opportuna scelta del peso di Jacobi. 
\end{enumerate}

\end{frame}






\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Esercizio (facoltativo)} 
\begin{enumerate}
\item Quali delle due formule ha errori relativi inferiori? 
\item Quali funzioni risultano pi\myu difficili da integrare numericamente? 
\item La scelta $N=10,20$ nei singoli codici a quanti nodi corrisponde?
\item Suggerimento: ricordarsi che il peso $w(x) \equiv 1$ corrisponde ad un'opportuna scelta del peso di Jacobi. 
\end{enumerate}
\end{frame}






\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Esercizio (facoltativo)} 
Calcolare con una opportuna formula gaussiana basata su 11 nodi:
\begin{enumerate}
\item $$\int_{-1}^1 x^{20} {\sqrt{1-x^2}} dx$$
\item $$\int_{-1}^1 {\exp{(x^{2})}} \cdot (1-x)^{0.5} \cdot (1+x)^{1.5} dx$$
\end{enumerate}

Il primo integrale, pu\myo essere calcolato {\sl{esattamente}} con Mathematica, Maple (da Matlab, aiutarsi con Google) o {\tt{quadgk}} di Matlab, una toolbox di Matlab specifica per l'integrazione numerica, con un errore assoluto di $10^{-15}$
\begin{lstlisting}

>> Q = quadgk(@(x)(x.^20).*(1-x.^2).^(0.5) ,-1,1,'AbsTol',10^(-15))
Q =
   0.025160880188796
>> 

\end{lstlisting}

\end{frame}





\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Esercizio (facoltativo)} 
In alternativa usando online il Wolfram Integrator, e ricordando che devo integrare in $(-1,1)$, dal teorema fondamentale del calcolo si vede che si tratta di valutare
$${\frac{14549535}{1816657920}} \cdot ({\arcsin{(1)}}-{\arcsin{(-1)}}).$$

Utilizzando la shell di Matlab

\begin{lstlisting}

>> c=14549535/1816657920;
>> s=asin(1)-asin(-1);
>> I=s*c;
>> format long;
>> I
I =
   0.025160880188796
>> 

\end{lstlisting}
\end{frame}






\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Esercizio (facoltativo)} 
Il secondo integrale non \mye integrabile col Wolfram integrator e nemmeno col calcolo simbolico di Matlab.
\begin{lstlisting}

>> syms x
>> int((exp(-x.^2)).*((1-x).^(0.5)).*((1+x).^(1.5)),-1,1)
Warning: Explicit integral could not be found.
> In sym.int at 58
ans =
int(exp(-x^2)*(1-x)^(1/2)*(1+x)^(3/2),x = -1 .. 1)

 \end{lstlisting}
 
\end{frame}






\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Esercizio (facoltativo)} 
Utilizzando la shell di Matlab e {\tt{quadgk}} con un errore assoluto di $10^{-15}$
\begin{lstlisting}

>> format long;
>> I=quadgk(@(x)(exp(x.^2)).*((1-x).^(0.5)).*((1+x).^(1.5)),-1,1,...
       'AbsTol',10^(-15))
I =
   2.086318843895086
>> 

\end{lstlisting}

\end{frame}


\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Bibliografia}
{\tiny{
\begin{thebibliography}{99} 
\bibitem{ATK} K. Atkinson, {\sl{Introduction to Numerical Analysis}}, 
Wiley, 1989.
\bibitem{ATKHAN} K. Atkinson e W. Han, {\sl{Theoretical Numerical Analysis}}, 
Springer, 2001.
\bibitem{COM} V. Comincioli, {\sl{Analisi Numerica, metodi modelli applicazioni}}, Mc Graw-Hill, 1990.
\bibitem{CON} S.D. Conte e C. de Boor, {\sl{Elementary Numerical Analysis, 3rd Edition}}, Mc Graw-Hill, 1980.
\bibitem{DAV} P.J. Davis, {\sl{Interpolation and Approximation}}, Dover, 1975.
\bibitem{GAUH} W. Gautschi, personal homepage, {\href{http://www.cs.purdue.edu/people/wxg}{http://www.cs.purdue.edu/people/wxg}}.
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\bibitem{TRE} L.N. Trefethen, {\sl{Is Gauss quadrature better than Clenshaw-Curtis?}}, SIAM Reviews,  (2007).
\bibitem{WAL} J. Waldvogel, {\sl{"Fast Construction of the Fejer and Clenshaw-Curtis Quadrature Rules"}},BIT 46 (2006),no. 1,195--202.
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\bibitem{WIKQGI} Wikipedia, Quadratura gaussiana, {\href{http://it.wikipedia.org/wiki/Quadratura\_di\_Gauss}{http://it.wikipedia.org/wiki/Quadratura\_di\_Gauss}}.
\bibitem{WIKQRT} Wikipedia, Regola del trapezio,{\href{http://it.wikipedia.org/wiki/Regola\_del\_trapezio}{http://it.wikipedia.org/wiki/Regola\_del\_trapezio}}.
\bibitem{WIKQRCS} Wikipedia, Regola di Cavalieri-Simpson, {\href{http://it.wikipedia.org/wiki/Regola\_di\_Cavalieri-Simpson}{http://it.wikipedia.org/wiki/Regola\_di\_Cavalieri-Simpson}}.
\end{thebibliography}
}}
\end{frame}






\end{document}
