Calcolo NumericoLaurea Triennale, primo anno, a.a. 2021-2022 Ing. Energia Canale B e Ing. Meccanica Canale 3, Docente: Alvise Sommariva Corso in collaborazione con Francesco Marchetti Videolezioni del corso per il 2020-2021
Argomenti: » Introduzione al corso (1h). » Rappresentazione dei numeri reali. » Un esempio. » Numeri macchina. » Alcune proprieta' numeri macchina (minimo, massimo). Accenno. Video (A.A. 2021-2022): » Videolezione in streaming (Mediaspace) Argomenti: » Alcune proprieta' numeri macchina (cardinalita', spaziatura). » Precisione singola e doppia. » Troncamento e arrotondamento (con esempi e osservazioni). » Precisione di macchina. » Errori relativi e assoluti (per numeri e vettori), con esempi. » Errori relativi e assoluti per troncamento/arrotondamento (parte I). Video (A.A. 2021-2022): » Videolezione in streaming (Kaltura), » Videolezione in streaming (Mediaspace) » Matlab e Octave. » Interfaccia grafica di Matlab. » Command Window. » Variabili. » Valori che possono assumere le variabili (scalari, vettori, matrici, stringhe). » Operazioni e funzioni elementari predefinite (con esempi). » Alcune costanti. » Help di Matlab. » Assegnazioni. » Il comando "whos". » Vettori riga e colonna in Matlab. » Comandi "length" e "size", "zeros", "ones". » Vettori equispaziati come "a:h:b" o con "linspace" (parte I). Video (A.A. 2021-2022): » Videolezione in streaming (Mediaspace), » Videolezione in streaming (mirror), » Errori relativi e assoluti per troncamento/arrotondamento (parte II). » Unita' di arrotondamento. » Operazioni con i numeri macchina. » Proprieta' commutativa, associativa e distributiva delle operazioni floating point (con esempi). » Errori nelle operazioni e loro propagazione. » Il caso della somma, con dimostrazione. » Esempio sulla cancellazione. » Il caso del prodotto, con dimostrazione. Video (A.A. 2021-2022): » Videolezione in streaming (Mediaspace), » Videolezione in streaming (Kaltura), » Videolezione in streaming (Mediaspace) » Alcune problematiche numeriche. » Valutazione di una funzione (condizionamento di una funzione). » Alcuni esempi del condizionamento. » Stabilita' di un algoritmo. » Calcolo di una radice di secondo grado. » Approssimazione di pi greco. » Una successione ricorrente (parte I). Video (A.A. 2021-2022): » Videolezione in streaming (Kaltura) » Videolezione in streaming (Mediaspace) » Accesso alle componenti di un vettore. » Operazioni elementari di tipo vettoriale. » Funzioni elementari e loro applicazione a vettori. » Note sulle operazioni moltiplicative. » Somma tra scalari e vettori. » Operazioni moltiplicative tra scalari e vettori. » Definizione di funzioni matematiche. » La grafica di Matlab e il comando plot. Video (A.A. 2021-2022): » Videolezione in streaming (Kaltura), » » Videolezione in streaming (Mediaspace) » Una successione ricorrente (parte II). » Sulla somma ((1+x)-1)/x. » Sulla valutazione di f(x)=x come tan(arctan(x)). » Valutazione di polinomi: complessita' computazionale. » Potenza di un numero. » Esponenziale di un numero. » Determinanti: confronto della regola di Laplace e metodo con fattorizzazione LU (cenno). Video (A.A. 2021-2022): » Videolezione in streaming (Kaltura), » Videolezione in streaming (Mediaspace) » Soluzione numerica di equazioni nonlineari esempi, grafici e metodi iterativi. » Ordine di convergenza, con esempio. » Metodo di bisezione. » Convergenza del metodo di bisezione (con dimostrazione, parte I). Video (A.A. 2021-2022): » Videolezione in streaming (Kaltura), » Videolezione in streaming (Mediaspace) » La scala semilogaritmica » Altri comandi per grafici » I comandi legend e title » Le stringhe di testo » I comandi format, disp, fprintf » Le matrici: definizione. » Operazioni elementari con Matrici. Video (A.A. 2021-2022): » Videolezione in streaming (Kaltura), » Videolezione in streaming (Mediaspace) » Test di arresto per il metodo di bisezione (con esempi). » Metodo di Newton. » Interpretazione grafica del metodo di Newton. » Test di arresto per il metodo di Newton. » Un teorema di convergenza locale per il metodo di Newton (asserto). Video (A.A. 2021-2022): » Videolezione in streaming (Mediaspace) » Videolezione in streaming (Mediaspace) » Un teorema di convergenza locale per il metodo di Newton (dimostrazione). » Un teorema di convergenza globale per il metodo di Newton (con dimostrazione). » Newton e zeri multipli. » Newton: alcuni esempi (casi semplici e multipli). Video (A.A. 2021-2022): » Videolezione in streaming (Kaltura) » Videolezione in streaming (Mediaspace) » Alcune funzioni matriciali di Matlab. » Prodotto matrice vettore » Soluzione di sistemi lineari. » Le matrici: gestione di matrici particolari con [A; B] e [A B]. » Definizione di una funzione » Definizione di una funzione: le directories » Definizione di una funzione: variabili locali » Definizione di una funzione: piu variabili in input e output » Operatori di relazione e condizionali (con esempi) » Le istruzioni condizionali: if then else (con esempi) Video (A.A. 2021-2022): » Videolezione in streaming (Kaltura), » Videolezione in streaming (Mediaspace) » Newton: alcuni esempi (casi semplici e multipli). » Newton: radici quadrate ed n-sime. » Metodo delle secanti. » Metodo delle secanti: un teorema di convergenza. » Metodo delle secanti: un esempio. » Metodi di punto fisso: introduzione. » Teorema di punto fisso di Banach (asserto). Video (A.A. 2021-2022): » Videolezione in streaming (Kaltura), » Videolezione in streaming (Mediaspace) » Teorema di punto fisso di Banach (dimostrazione punto 3 (ordine convergenza)). » Un teorema di punto fisso di convergenza locale (senza dimostrazione). » Un teorema di punto fisso di convergenza locale (ordine p, senza dimostrazione). » Metodo di Newton come metodo di punto fisso. » Metodo di Newton e teorema di punto fisso di convergenza locale (traccia della dimostrazione). » Calcolo di radice di 5 mediante 4 successioni di punto fisso. » Interpolazione: introduzione. Video (A.A. 2021-2022): » Videolezione in streaming (Kaltura), » Videolezione in streaming (Mediaspace) » Le istruzioni condizionali: switch (con esempi) » Ciclo For (con esempi) » Ciclo While (con esempi) » Relazioni tra ciclo for e ciclo while (con esempi) » Gestione dei files dei dati. Salvare dati su file. » Altri comandi. Video (A.A. 2021-2022): » - Video (A.A. 2019-2020): » Video (Download).
» Esistenza e unicita' del polinomio interpolatore (con dimostrazione) » Errore di interpolazione (senza dimostrazione) » Esempio di stima dell'errore di interpolazione. Video (A.A. 2021-2022): » Videolezione in streaming (Kaltura), » Videolezione in streaming (Mediaspace) » Convergenza dell'interpolazione polinomiale: nodi equispaziati e di tipo Chebyshev; » Convergenza uniforme: una stima uniforme dell'errore tra funzione e polinomio interpolatore; » Teorema di Faber e di Bernstein; » Controesempio di Runge: comportamento dell'interpolante in nodi equispaziati e di Chebyshev; » Stabilita' dell'interpolazione polinomiale. » Costante di Lebesgue per nodi equispaziati e di Chebyshev. Video (A.A. 2021-2022): » Videolezione in streaming (Kaltura), » Videolezione in streaming (Mediaspace) » Radici di Secondo grado in Matlab: metodo stabile e instabile. » Calcolo di pi greco mediante successioni. » Una successione ricorrente. Video (A.A. 2019-2020): » Argomento 2. Parte 1. (Radici di Secondo grado in Matlab: metodo stabile e instabile ↦ Calcolo di pi greco mediante successioni) [18:09] ✔ ↓ » Argomento 2. Parte 2. (Evitare un'amplificazione indesiderata degli errori ↦ complessita' computazionale) [49:27] (l'autrice del video e' la Dott.ssa Giulia Sarego) ✔ ↓ Per gli studenti che vogliono cominciare a provare le loro competenze in Matlab, si suggerisce di svolgere i seguenti esercizi. » Esercizi Matlab: [PDF, esercizi (testo)] » Esercizi Matlab Correzione: [PDF, esercizi (testo e correzione)] » Streaming delle correzioni degli esercizi.
» Un problema dell'interpolazione polinomiale. » Funzioni polinomiali a tratti. Funzioni polinomiali a tratti, interpolanti e di grado "s". » Esistenza e unicita' delle funzioni polinomiali a tratti, interpolanti e di grado "s" su dati che sono multiplo di "s". » Errore dell'interpolante polinomiale a tratti di grado 1 (con dimostrazione). » Convergenza uniforme delle funzioni polinomiali a tratti, interpolanti e di grado "1". » Splines. » Differenza tra splines e interpolanti polinomiali a tratti. » Splines cubiche interpolanti. Video (A.A. 2021-2022): » Videolezione in streaming (Kaltura), » Videolezione in streaming (Mediaspace) » Metodo di bisezione in Matlab (con demo). » Metodo di Newton in Matlab (con cicli while). » Metodo di Newton in Matlab (con cicli for, esercizio). Video (A.A. 2019-2020): » Argomento 3. (il metodo di bisezione ↦ il metodo di punto fisso) [44:11] (l'autrice del video e' la Dott.ssa Giulia Sarego) ✔ ↓ (102 Mb) » Analisi dell'unicita' delle splines cubiche. » Splines naturali, vincolate e periodiche. » Splines not-a-knot. » Convergenza delle splines cubiche. » Osservazione sulla convergenza uniforme. » Esperimento di Runge con splines. » Problema ai minimi quadrati: definizione e motivazioni. Video (A.A. 2021-2022): » Videolezione in streaming (Kaltura). » Videolezione in streaming (Mediaspace) » Teorema che lega il numero di campionamenti all'errore dei minimi quadrati. » Curve fitting. » Regressione lineare (con esempio). » Minimi quadrati e ricostruzione di funzione da dati perturbati.. » Derivazione e un risultato negativo di convergenza uniforme. » Rapporto incrementale. Video (A.A. 2021-2022): » Videolezione in streaming (Kaltura). » Videolezione in streaming (Mediaspace) » Interpolazione in Matlab: polyfit e polyval. » La funzione di Runge in Matlab (esempio, con demo). » Esercizi. Video (A.A. 2020-2021): » Videolezione in streaming (parte I), » Videolezione in streaming (parte II), Video (A.A. 2019-2020): » Argomento 4. Parte 1. (l'interpolazione polinomiale in Matlab tramite le funzioni "polyfit" e "polyval" ↦ esercizi relativi all'interpolazione al variare del grado del polinomio) [41:14] (l'autrice del video e' la Dott.ssa Giulia Sarego) ↓ » Analisi del rapporto incrementale (con dimostrazione). » Instabilita' del rapporto incrementale (asserto). » Instabilita' del rapporto incrementale (con dimostrazione). » Esempi. » Analisi del metodo del rapporto incrementale simmetrico (con dimostrazione). » Instabilita' del metodo del rapporto incrementale simmetrico (con dimostrazione). » Esempi. Video (A.A. 2021-2022): » Videolezione in streaming (Kaltura), » Videolezione in streaming (Mediaspace) » Integrazione numerica: stabilita' e convergenza uniforme (con dimostrazione). » Formule interpolatorie. » Grado di precisione. » Grado di precisione delle formule interpolatorie. » Regole del rettangolo: definizione ed errore. » Regola midpoint: definizione ed errore. » Formule di Newton-Cotes chiuse. » Regola del trapezio ed errore. » Regola di Cavalieri-Simpson ed errore. Video (A.A. 2021-2022): » Videolezione in streaming (Mediaspace, parte I), » Videolezione in streaming (Mediaspace, parte II), » Splines in Matlab: interp1 e spline. » Alcuni esempi. » Esercizi. Video (A.A. 2020-2021): » Videolezione in streaming, Video (A.A. 2019-2020): » Argomento 5. Parte 1. (spline lineari ↦ esercizi relativi) [42:45] (l'autrice del video e' la Dott.ssa Giulia Sarego) ↓ » Formule composte e interpolanti a tratti. » Formula composta midpoint, errore, grado di precisione, esempio. » Formula composta trapezi, errore, grado di precisione, esempio. » Formula composta Cavalieri-Simpson, errore, grado di precisione, esempio. » Formule composte: esempi e rapporti di convergenza. Video (A.A. 2021-2022): » Videolezione in streaming (Mediaspace), » Videolezione in streaming (Kaltura), » Videolezione in streaming (Mediaspace) » Norma di vettori (definizione) » Norme "p" e infinito. » Esempi. » Norme indotte di matrici (definizione). » Raggio spettrale. » Norme indotte di matrici (esempi p=1, p=2, p=inf). » Risoluzione di sistemi lineari con termini noti perturbati. » Sistemi perturbato Ax=b e numero di condizionamento (dimostrazione caso perturbazione termine noto, con dimostrazione). Video (A.A. 2021-2022): » Download (Kaltura). » Videolezione in streaming (Mediaspace) » Regola dei trapezi e di Cavalieri-Simpson; » Una demo di esempio sulla regola dei trapezi e di Cavalieri-Simpson; » Formula dei trapezi composta; » Formula dei trapezi composta: implementazione in Matlab; » Formula dei Cavalieri-Simpson composta; » Formula dei Cavalieri-Simpson composta: implementazione in Matlab; » Una demo di esempio sulla formula composta dei trapezi e di Cavalieri-Simpson; » Esercizio assegnato. Video (A.A. 2020-2021): » Videolezione in streaming, Video (A.A. 2019-2020): » Argomento 6. Parte 1. (formula regola dei trapezi ↦ formule composte) [51:36] (l'autrice del video e' la Dott.ssa Giulia Sarego) ✔ ↓ (1.37GB) » Un esempio (sistema lineare e perturbazione termine noto). » Sistemi perturbato Ax=b e numero di condizionamento (dimostrazione caso perturbazione matrice, senza dimostrazione). » Sistemi perturbati Ax=b e numero di condizionamento (dimostrazione caso generale, solo asserto). » Sistemi lineari. Un esempio. » Matrici triangolari. » Risoluzione numerica di sistemi Ax=b con A matrice triangolare. » Risoluzione numerica di sistemi Ax=b con A matrice triangolare: complessita' computazionale. » Risoluzione di sistemi lineari (esempio matriciale). » Fattorizzazione LU. » Risoluzione di sistemi lineari e loro legame con la fattorizzazione LU. Video (A.A. 2021-2022): » Videolezione in streaming (Kaltura). » Videolezione in streaming (Mediaspace) » Problematiche della fattorizzazione LU e della risoluzione dei sistemi lineari. » Risoluzioni di sistemi lineari con pivoting. » Fattorizzazione PA=LU. » Matrici cui a priori non serve pivoting: a predominanza diagonale, simmetriche definite positive. » Pseudocodice A=LU. » Complessita' computazionale A=LU (senza dimostrazione). » Tempi di calcolo. » Risoluzione del sistema Ax=b, nota PA=LU. Video (A.A. 2021-2022): » Videolezione in streaming (Kaltura). » Videolezione in streaming (Mediaspace) » Fattorizzazione LU ed eliminazione gaussiana in Matlab. » Il comando {\tt{mldivide}} (backslash); » Soluzione di sistemi lineari con » Fattorizzazione LU; » Fattorizzazione LU (esempi); » Soluzione di sistemi lineari nota la fattorizzazione LU; » Esercizi. Video (A.A. 2020-2021): » Argomento 8. Parte 2 (update: 19 maggio 2022) Video (A.A. 2019-2020): » Argomento 8. Parte 2 (update: 19 maggio 2022) » Fattorizzazione Cholesky e sua complessita'. » Determinante di una matrice: complessita' Laplace vs LU. » Inversa: cofattori vs LU. » Metodi iterativi e metodi diretti: breve introduzione. » Splitting A=D-E-F. » Splitting A=P-N. » Metodi iterativi stazionari: x^(k+1)=Bx^(k)+c. » Splitting A=P-N: caso Jacobi. » Metodo di Jacobi (esempio matrice 3 x 3). Video (A.A. 2021-2022): » Videolezione in streaming (Kaltura). » Videolezione in streaming (Mediaspace) » Splitting A=P-N: caso Gauss-Seidel. » Metodo di Gauss-Seidel (esempio matrice 3 x 3). » Metodi iterativi: alcuni teoremi di convergenza globale. » Convergenza di Jacobi per matrici a pred. diag. stretta (senza dimostrazione). » Metodi iterativi e loro convergenza: esempi. » Test di arresto. Video (A.A. 2021-2022): » Videolezione in streaming (Kaltura). » Videolezione in streaming (Mediaspace) » Preparazione ai compiti di teoria e laboratorio. Video (A.A. 2021-2022): » Videolezione in streaming (Kaltura), » Videolezione in streaming (Mediaspace) » Martedi' 8 giugno, ore 10.30, Preparazione Compito Laboratorio: appello 3, 2020 (senza video). |