Presentazione del corso di Calcolo Numerico, canale A Ingegneria dell’Energia. ^{1}

A. Sommariva^{2}

Abstract

Presentazione del corso.

Ultima revisione: 5 gennaio 2019

1. Presentazione sintetica del corso

Esistono molte definizioni di cosa sia il calcolo numerico ed in [1] ve ne è data una ampia discussione.

Tra le varie, diremo che

Il Calcolo Numerico (o Analisi Numerica) è la disciplina che sviluppa ed analizza metodi per la risoluzione di problemi della matematica e delle Scienze applicate.

Per fornire una soluzione approssimata a tali problemi, si usano algoritmi, che in questo corso implementeremo in linguaggio Matlab.

Per capire meglio l’ambito dell’Analisi Numerica, forniamo qualche esempio.

• Si consideri l’equazione

x^{2} − 3 sin(x) = log(x).

Non è semplice determinare quale sia un valore di x^{∗} che risolve tale problema (ammesso ce ne sia uno).

Stessa cosa dicasi per l’equazione

exp(x − 2) = \sqrt{x^{2} + 1}

Ciò nonostante è possibile approssimare numericamente, se esiste, un tale x^{∗}.

• Si desideri determinare

I = ∫_{0}^{1} exp(−x^{2})dx

Visto che non è nota una primitiva di exp(−x^{2}), non possiamo utilizzare le comuni tecniche che valutano I mediante il teorema fondamentale del calcolo integrale. Ciò nonostante è possibile approssimare numericamente tale quantità .

• In fluidodinamica la correlazione di Colebrookè un equazione che permette di ottenere il coefficiente di attrito di Darcy λ di un generico fluido in tubi lisci o ruvidi. Questo legame matematico nasce dalla combinazione di risultati empirici a studi di flusso laminare e turbolento nelle tubatire e fu sviluppata nel 1939 da Colebrook e White. L’equazione in oggetto è

\frac{1}{\sqrt{λ}} = −2 log_{10} (\frac{e}{3.51d} + \frac{2.52}{N_{R}\sqrt{λ}})

dove

– e è la scabrezza del tubo (in metri),

– d è il diametro del tubo (in metri),

– N_{R} è il numero di Reynolds (cf. [3]).

e non esiste in generale una soluzione esplicita del problema.

• In ottica, per il progetto di una camera a raggi infrarossi si è interessati a calcolare l’energia emessa da un corpo nero nello spettro (infrarosso) compreso tra le lunghezze d’onda 3μm e 14μm. La risoluzione di questo problema si ottiene calcolando il valore del seguente integrale

I = E(T) = 2.39·10^{−11} ∫_{3·10^{−4}}^{14·10^{−4}} \frac{1}{x^{5} (exp(\frac{1.432}{T x})) − 1}dx

che rappresenta l’equazione di Plank per l’energia, dove

– x è la lunghezza d’onda,

– T è la temperatura in gradi Kelvin del corpo nero.

Fissato T_{0}, ad esempio 215, si vuole calcolare E(T_{0}). Nuovamente, non esistendo una primitiva esplicità dell’integranda, non è facile valutare esattamente il valore di E(T_{0}), mentre numericamente richiede in computer moderni una frazione di secondo, con molte cifre decimali esatte.

In generale, come vedremo durante il corso, il calcolo numerico fornisce soluzioni approssimate a questi ed altri problemi della Matematica e delle Scienze Applicate.

2. Dettagli del corso

2.1. Argomenti del corso Il corso prevede i seguenti argomenti:

• Aritmetica di macchina e analisi degli errori. Stabilità e malcondizionamento.

• Metodi iterativi per la risoluzione di equazioni nonlineari.

• Approssimazione ed interpolazione polinomiale.

• Quadratura numerica.

• Algebra lineare numerica. Soluzione di sistemi lineari mediante metodi diretti ed iterativi.

2.2. Pagina web

Nella pagina web del docente http://www.math.unipd.it/ alvise/didattica.html si possono trovare tutte le informazioni sul corso, in particolare

• i .pdf relativi alle slides e alle note del corso,

• le soluzioni agli esercizi di laboratorio,

• i testi suggeriti,

• il registro delle lezioni,

• le istruzioni per l’esame di teoria e di laboratorio,

• come contattare il docente,

• i manuali suggeriti.

2.3. Testi di riferimento Quali testi di riferimento, si suggeriscono:

• Quarteroni-Saleri: Introduzione al Calcolo scientifico. Esercizi e problemi risolti con Matlab.

• G. Rodriguez: Algoritmi Numerici.

• K.E. Atkinson: Elementary Numerical Analysis (in inglese).

• K.E. Atkinson: An Introduction to Numerical Analysis (in inglese).

• A. Martinez, Calcolo Numerico con Matlab. Temi d’esame di laboratorio. Testi e soluzioni. Edizioni Libreria Progetto, 2017.

• Per alcune tracce di calcolo numerico, si consideri

  https://www.math.unipd.it/~marcov/studenti.html

2.4. Modalità d’esame Relativamente all’esame:

• Per superare l’esame, gli studenti devono avere un voto sufficiente sia sulla prova di teoria che di laboratorio.

• I voti di entrambe restano validi per l’intero accademico.

• La prova di teoria consiste in una o più domande di teoria, mentre quella di Laboratorio nell’implementazione di una o più funzioni Matlab.

• Il voto della prova di laboratorio (se sufficiente) produce inoltre una possibile aggiunta al voto dello scritto, se maggiore o uguale a 18, al più di due punti.

Più in dettaglio si osservera’ la seguente tabella:

Voto in trentesimi della prova di Laboratorio 18-22 23-26 27-30

Aggiunta al voto in trentesimi della prova di teoria  0  1  2

Bibliografia

[1] L.N. Trefethen, The definition of numerical analysis. http://people.maths.ox.ac.uk/trefethen/publication/PDF/1992 55.pdf

[2] Wikipedia, Equazione di Colebrook, https://it.wikipedia.org/wiki/Equazione di Colebrook

[3] Wikipedia, Numero di Reynolds, https://it.wikipedia.org/wiki/Numero di Reynolds