

% Copyright (C) 2007 Alvise Sommariva. This is a free document; you can redistribute it and/or modify
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% NEW COMMAND.
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% DEF.
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  }}

\begin{document}

\title{\bf Numeri macchina \thanks{Ultima revisione: \today}}

\author{A. Sommariva\thanks{Dipartimento di Matematica Pura ed Applicata,
Universit\mya degli Studi di  Padova, stanza 419, via Trieste 63, 35121 Padova, Italia ({\tt 
alvise@euler.math.unipd.it}).} Telefono: +39-049-8271350.
}

\maketitle

\begin{knowledge}
Equazioni di secondo grado, successioni, formula di Taylor in una e due variabili, integrali di Riemann.
\end{knowledge}

\begin{achieved}
In questa sezione analizziamo la rappresentazione floating point di un numero. Di seguito introduciamo il concetto di errore assoluto e relativo, condizionamento, stabilit\mya e complessit\mya computazionale con esempi in Matlab.
\end{achieved}

\section{Numeri macchina}
Fissato un numero naturale $\beta > 1$ \mye possibile vedere che ogni numero reale $x \neq 0$ ha una unica rappresentazione del tipo
$$x=\sgn(x)  \beta^e  \sum_{k=1}^{+\infty} d_k \beta^{-k}, \hspace{0.3cm} 0 < d_1 , \, 0\leq d_k \leq \beta-1, \, e\in{\mathbb{Z}}$$
dove 
$$\sgn(y)=\left\{ \begin{array}{l}1, \hspace{0.575cm} y > 0 \\ -1, \hspace{0.3cm} y <0 \\ 0, \hspace{0.575cm} y = 0.  \end{array} \right.$$
\mye la funzione segno.
La particolarit\mya della sommatoria \mye ovviamente tale che $x$ potrebbe essere non rappresentabile esattamente dal calcolatore se esistono infiniti $d_k >0$, in quanto il calcolatore \mye capace di immagazzinare solo un numero finito di tali $d_k$. A tal proposito, definiamo il sottoinsieme $F(\beta,t,L,U)$ di $\mathbb{R}$, costituito da quei numeri $y$ che sono $0$ oppure sono rappresentati con il {\sl{sistema a virgola mobile normalizzata o floating point normalizzato}} da $$y=\sgn(y) \cdot (0.d_1 \ldots d_t) \beta^e= \sgn(y) \cdot \beta^e \sum_{k=1}^{t} d_k \beta^{-k}, \hspace{0.3cm} d_1 >0, \, 0\leq d_k \leq \beta-1$$
con $\beta > 1$ numero naturale detto {\sl{base}}, $t$ numero prefissato di cifre di {\sl{mantissa}},  e l'esponente intero $e \in \mathbb{Z}$ tale che $L \leq e \leq U$. Ogni elemento di $F(\beta,t,L,U)$ \mye detto {\sl{numero macchina}}. La parola {\sl{normalizzato}} sottolinea che $d_1 > 0$. Si pu\myo provare che $\sum_{k=1}^{t} d_k \beta^{-k}<1$ e quindi $e={\tt{floor}}(1+{\log_{\beta}}(x))$.

Vediamo un esempio. Supponiamo di voler vedere se $100$ appartiene a $F(10,6,-6,8)$. Essendo l'esponente corretto $e={\tt{floor}}(1+{\log_{10}}(100))=3$, si vede subito che $100=10^3 \cdot 0.1=10^3 \cdot (0.100000) \beta^e$.

La base utilizzata dalla maggior parte dei computer attuali \mye $\beta=2$, ma fino a non molti anni fa alcuni calcolatori usavano ancora la base $\beta=10$ come l'HP-15C ($\approx 1980$) o $\beta=16$ nel caso dell'IBM 3033  ($\approx 1977$) .

Di ogni numero macchina si immagazzinano una cifra per il segno, le cifre della mantissa e le cifre dell'esponente. Ognuna di queste cifre \mye detta {\sl{bit}}. Ogni numero \mye registrato in vettore detto {\sl{parola}} di un certo numero di $M$ {\sl{bits}}. Fissato $M$ per la precisione {\sl{singola}}, nel caso di precisione {\sl{doppia}} questo \mye usualmente composto da 2 parole di $M$ bits. Classici esempi sono per la precisione singola $F(2,24,-126,128)$ in cui ogni numero macchina occupa 32 bit (o 4 byte essendo un byte pari a 8 bit) e per la doppia $F(2,53,-1022,1024)$ in cui ogni numero macchina occupa $64$ bit. Per capirlo, vediamo cosa serva immagazzinare in precisione doppia. Essendo un numero non nullo di segno $+1$ o $-1$, basta un solo bit per il segno. Delle 53 cifre della mantissa, solo 52 devono essere ricordate (la prima per forza \mye $1$ in virt\myu della normalizzazione). Infine, per l'esponente, vista una trattazione particolare che tiene conto anche di possibili problemi, servono 11 bit.

Osserviamo che per $e \geq t$ con $t$ numero di cifre della mantissa, essendo $\beta > 1$ un numero naturale, allora 
$$\pm \beta^e \sum_{k=1}^{t} d_k \beta^{-k}=\pm \sum_{k=1}^{t} d_k \beta^{e-k}$$
\mye un numero intero, essendo $e-k>0$. Di conseguenza i numeri macchina pi\myu grandi in valore assoluto sono interi. Si vede facilmente che tutti gli interi in valore assoluto inferiori o uguali a $\beta^U \cdot (1-\beta^{-t})$ sono in particolare nell'insieme 
$F(\beta,t,L,U)$.

L'insieme dei numeri macchina $F(\beta,t,L,U)$ ha un numero finito di elementi e si pu\myo dimostrare che la sua cardinalit\mya \mye
$$2 (\beta-1) \beta^{t-1}(U-L+1)+1.$$
Di conseguenza in singola precisione i numeri sono circa $4.2789 \cdot 10^9$ mentre in precisione doppia sono circa $1.8438 \cdot 10^{19}$.
 Se $x$ \mye il numero reale $$x=\sgn(x)  (0.d_1, \ldots d_t,\ldots) \beta^e= \sgn(x)  \beta^e  \sum_{k=1}^{+\infty} d_k \beta^{-k}, \hspace{0.3cm} d_1 > 0$$ allora con $\myfl(x)$ denotiamo
 $$fl(x)=\sgn(x)  (0.d_1, \ldots,d_{t-1},\overline{d_t}) \beta^e= \sgn(x)  \beta^e  (\sum_{k=1}^{t-1} d_k \beta^{-k}+\overline{d_t} \beta^{-t})$$ in cui se si effettua il {\sl{troncamento}} $$\overline{d_t} = d_t, \,\,\, d_1 >0$$  mentre se viene effettuato l'{\sl{arrotondamento}}.
 $$\overline{d_t} =\left \{ \begin{array}{l} d_t, \, \hspace{0.75cm} d_{t+1} < \beta/2 \\   d_t+1, \, \hspace{0.17cm}  d_{t+1} \geq  \beta/2 \end{array} \right.$$  La scelta tra troncamento o arrotondamento \mye eseguita a priori dal sistema numerico utilizzato dal calcolatore. Attualmente la scelta di arrotondare \mye la pi\myu diffusa.

Se l'esponente $e$ del numero $x$ \mye minore di $L$ si commette un'errore di {\sl{underflow}}, mentre se \mye maggiore di $U$ si commette un'errore di {\sl{overflow}}. Se invece $e \in [L,U]$, $x= \pm \beta^e  \sum_{k=1}^{+\infty} d_k \beta^{-k}$ e per qualche $t^{\ast} > t$ si ha $d_{t^{\ast}} > 0$ allora si commette un errore di {\sl{troncamento}} o {\sl{arrotondamento}} a seconda si effettui l'uno o l'altro. 

Essendo un numero macchina del tipo
$$x = \pm \beta^e  \sum_{k=1}^{t} d_k \beta^{-k} $$
con $d_1 >0$ e $0 \leq d_k \leq \beta-1$ si vede subito che 
\begin{eqnarray}\label{bn}
|x|&=&\beta^e  \sum_{k=1}^{t} d_k \beta^{-k} \leq \beta^e \sum_{k=1}^{t} (\beta-1) \beta^{-k}  \nonumber \\
&=& \beta^e (\beta-1) \sum_{k=1}^{t}  \beta^{-k} = \beta^e (\beta-1)\left( \frac{1-\beta^{-(t+1)}}{1-\beta^{-1}}-1\right)  \nonumber \\
&=& \beta^e (\beta-1)\left( \frac{\beta(1-\beta^{-(t+1)})}{\beta-1}-1\right)  \nonumber \\
&=& \beta^e (\beta-1)\left( \frac{\beta(1-\beta^{-(t+1)})-(\beta-1)}{\beta-1}\right)  \nonumber \\
&=& \beta^e (1-\beta^{-t}) < \beta^e
\end{eqnarray}

In altri termini \mye minore di 1 la somma relativa alla mantissa, cio\mye $\sum_{k=1}^{t} d_k \beta^{-k} < 1$.

Poich\mye, dai calcoli eseguiti si vede che $\beta^e (1-\beta^{-t})$ \mye un numero macchina, si deduce che il massimo numero macchina rappresentabile \mye quindi
$$\beta^U (1-\beta^{-t}).$$
Si vede facilmente che il pi\myu piccolo numero macchina (e quindi normalizzato!) positivo rappresentabile \mye $\beta^{L-1}$.

Si dice {\sl{precisione di macchina}}, quel numero $\xi_m$ che rappresenta la distanza 
tra $1$ ed il successivo numero in virgola mobile.  
Calcoliamo tale valore. 
Necessariamente il numero successivo a $1$ ha per mantissa $d_1=0,\ldots,d_{t-1}=0,d_t=1$ e esponente $e=1$ (perch\mye deriva da (\ref{bn})?) e quindi \mye $x = \beta^1 \cdot \beta^{-t}=\beta^{1-t}$.
Si sottolinea che la precisione di macchina non coincide in generale con il pi\myu piccolo numero rappresentabile dal calcolatore.
Pi\myu in generale la distanza tra $x=\sgn(x)  \beta^e  \sum_{k=1}^{t} d_k \beta^{-k}$ e il floating point successivo \mye uguale a $\sgn(x) \beta^{e-t}$ e quindi i numeri floating point non sono equispaziati.


\vspace{0.3cm}
Fissato un vettore da approssimare $$x^{\ast}=(x^{\ast}_1,\ldots,x^{\ast}_n) \in {\mathbb R}^n,$$
si definisce
{\smsp}
\begin{enumerate}
\item errore {\sl{assoluto}} tra $x$ e $x^{\ast}$ la quantit\mya
$$\|x-x^{\ast}\|$$
dove $$\|y\|=\sqrt{\sum_{i=1}^n y_i^2}, \, \, y=(y_1,\ldots,y_n);$$
{\smsp}
\item errore {\sl{relativo}} tra $x$ e $x^{\ast} \neq 0$ la quantit\mya 
$$ {\frac{\|x-x^{\ast}\|}{\|x^{\ast}\|}}.$$
\end{enumerate}
Si noti che se ${\|x^{\ast}\|}=0$, cio\mye ${x^{\ast}}=0$ per la propriet\mya delle norme {\cite[p.481]{ATK}}, allora non ha senso la scrittura propria dell'errore relativo. Inoltre se il vettore ha un solo componente, allora la norma $\|\cdot\|$ coincide con l'usuale valore assoluto $|\cdot|$.

Sia $$x = \sgn(x) \beta^e  \sum_{k=1}^{+\infty} d_k \beta^{-k} \neq 0, \hspace{0.3cm} d_1 >0$$ un numero reale e $$fl(x)=\sgn(x)  (0.d_1, \ldots,d_{t-1},\overline{d_t}) \beta^e= \sgn(x)  \beta^e  (\sum_{k=1}^{t-1} d_k \beta^{-k}+\overline{d_t} \beta^{-t}), \hspace{0.3cm} d_1 >0$$ la sua approssimazione in virgola mobile.

L'errore relativo compiuto nell'approssimare $x$ con $fl(x)$, visto che $|x| \geq |{d_1} \beta^{e-1}| \geq |\beta^{e-1}|$ poich\mye $d_1 >0$, verifica
\begin{eqnarray}
\frac{|x-fl(x)|}{|x|} &\leq&  \frac{| \sgn(x) \beta^e  \sum_{k=1}^{+\infty} d_k \beta^{-k}-(\sgn(x)\beta^e  (\sum_{k=1}^{t-1} d_k \beta^{-k}+\overline{d_t} \beta^{-t}))|}{ |\beta^{e-1}| } \nonumber \\
&=& \beta \cdot \left| \sum_{k=t}^{+\infty} d_k \beta^{-k}-\overline{d_t} \beta^{-t} \right| 
\end{eqnarray}


Nel caso si effettui il troncamento abbiamo ${d_t} = \overline{d_t}$ e quindi, essendo $\xi_M=\beta^{1-t}$ la precisione di macchina
$$  \beta \cdot \left| \sum_{k=t}^{+\infty} d_k \beta^{-k}-\overline{d_t} \beta^{-t} \right|  =  \beta \cdot \left| \sum_{k=t+1}^{+\infty} d_k \beta^{-k}\right| \leq \beta \cdot(\beta \cdot \beta^{-t-1})=\beta^{1-t}=\xi_M$$
mentre se si effettua l'arrotondamento abbiamo dopo alcuni calcoli che 
$$\frac{|x-fl(x)|}{|x|} < \frac{\beta^{1-t}}{2}= \frac{\xi_M}{2}.$$

Il minor errore relativo compiuto nell'approssimare $x$ con $fl(x)$ via arrotondamento, suggerisce perch\mye quest'ultimo sistema sia pi\myu utilizzato.
Da questo si deduce che i 
numeri in virgola mobile non sono dunque un insieme denso, come sono 
invece i numeri reali, bens\myi un insieme discreto di valori sull'asse 
reale, in posizioni non equispaziate. 


\section{Facoltativo: Rappresentazione IEEE 754 dei numeri al calcolatore}

La rappresentazione numerica nei moderni calcolatori rispetta in genere lo standard IEEE 754 
che andiamo brevemente a descrivere.

Si intende per {\sl{bit}} una cifra nel sistema (usualmente binario) usato {\cite[p. 48]{COM}}, {\cite[p. 47]{MATNUM}}. 

Nello standard IEEE 754, i numeri in virgola mobile a  precisione singola  sono memorizzati in un vettore
detto {\sl{parola}} di 32 bits, mentre quelli a precisione doppia occupano 
due parole consecutive da 32 bits. Un numero {\sl{non nullo-normalizzato}} si scrive come 
\begin{equation}\label{1aa}
x = (-1)^S \cdot 2^{E-Bias} \cdot (1+F)
\end{equation}
dove $S=0$ oppure $S=1$ determina il {\sl{segno}}, $E-Bias$ \mye 
l'{\sl{esponente}} cui va sottratto il valore del BIAS ed $F$ la 
{\sl{mantissa}} con $F=\sum^{+\infty}_{k=1}a_k 2^{-k}$, con $a_k=0$ oppure $a_k=1$. Evidentemente, in un calcolatore non si possono immagazzinare un numero infinito di $a_k$, e ci si limita ai cosidetti {\sl{numeri macchina}}

\begin{equation}\label{1}
x = (-1)^S \cdot 2^{E-Bias} \cdot (1+F)
\end{equation}
con $E$ intero tale che $|E| < 2^{N_E}$ per un certo prefissato ${{N_E}}$ e  $F=\sum^{N_F}_{k=1}a_k 2^{-k}$,



Alcuni esempi
{\smsp}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
Precisione & $N_E$ & $N_F$ & {{Bias}} \\ 
\hline
Singola    & 8           & 23      & 127  \\
Doppia     & 11        & 52       & 1023   \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
{\smsp}
\noindent


Partiamo con un esempio semplice. Il numero $12$ corrisponde in singola precisione a
$$[0 \,|\, 10000010 \,|\, 10000000000000000000000]$$

\noindent
Cerchiamo di comprenderne il significato:
{\smsp}
\begin{enumerate}
\item $0$ determina il segno. Poich\mye $(-1)^0=1$ il segno \mye $+$.
{\smsp}
\item $10000010$ determina il valore della potenza di $2$. Essendo il BIAS uguale a 127 e (si 
legga da destra a sinistra!) 
$E=10000010=0 \cdot 2^0+1 \cdot 2^1+0 \cdot 2^2+0 \cdot 2^3+0 \cdot 2^4+0 \cdot 2^5+0 \cdot 2^6+1 \cdot 2^7=2+128=130$, 
l'esponente vale $130-127=3$. Quindi $2^{E-Bias}=2^3=8$.
{\smsp}
\item $F=10000000000000000000000$ \mye la componente relativa alla 
mantissa. La quantit\mya, letta da sinistra a destra, riguarda la parte 
decimale $F$ in (\ref{1}). Quindi $F=1 \cdot 2^{-1}+0 \cdot 2^{-2}+\ldots=0.5$. Ora 
($1+F$) si legge come $1+F=1.5$.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}
In altre parole la rappresentazione di $12$ \mye esatta ed il numero \mye 
rappresentato come $12=8 \cdot 1.5$.

Non convinti, proviamo un altro esempio, ad esempio 126 che corrisponde in 
singola precisione a 
$$[0 \,|\, 10000101\,|\, 11111000000000000000000]$$
{\smsp}
\begin{enumerate}
\item $0$ determina il segno. Poich\mye $(-1)^0=1$ il segno \mye $+$.
{\smsp}
\item $10000101$ determina il valore. Essendo il BIAS uguale a 127 e (si 
legga da destra a sinistra!) 
$E=10000101=1 \cdot 2^0+0 \cdot 2^1+1 \cdot 2^2+0 \cdot 2^3+0 \cdot 2^4+0 \cdot 2^5+0 \cdot 2^6+1 \cdot 2^7=1+4+128=133$, 
l'esponente vale $133-127=6$. Quindi $2^{E-Bias}=2^6=64$. Viene da chiedersi perch\mye introdurre il BIAS. La risposta \mye che rappresenta un alternativa all'introduzione di un bit di segno per l'esponente. 
{\smsp}
\item $F=11111000000000000000000$ \mye la componente relativa alla 
mantissa. La quantit\mya, letta da sinistra a destra, riguarda la parte 
decimale $F$ in (\ref{1}). Quindi $F= 1 \cdot 2^{-1}+1 \cdot 2^{-2}+ 
1 \cdot 2^{-3}+1 \cdot 2^{-4}+1 \cdot 2^{-1}+\ldots  
=0.5+0.25+0.125+0.0625+0.03125=0.96875$. Ora ($1+F$) si legge come 
$1+F=1.96875$.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}
In altre parole la rappresentazione di $126$ \mye esatta ed il numero \mye 
rappresentato come $126=64\,\cdot\,1.96875$.

La distanza tra un numero 
in virgola mobile $x^-$ ed il successivo $x^+$, \mye 
$$2^{-N_F}  \,\cdot\,  2^{{E-bias}}.$$
Per convincersene, supponiamo che siano 
$$x^-= (-1)^S \cdot 2^{E-Bias} \cdot (1+F^-), \,\, x^+= (-1)^S \cdot 2^{E-Bias} \cdot (1+F^+).$$
Allora, essendo $F^+-F-=2^{-N_F}$ (pensarci su!) facilmente $$|x^+-x^-|=2^{E-Bias} \cdot (F^+-F-)=2^{-N_F}  \,\cdot\,  2^{{E-bias}}.$$

La cardinalit\mya dei numeri macchina in IEEE 754 \mye piuttosto elevata. Ad esempio, in dop\-pia pre\-ci\-sio\-ne sono $$2^{64} \approx 1.844674407370955e+019.$$
La {\sl{precisione di macchina}}, cio\mye quel numero che rappresenta la distanza 
tra $1$ ed il successivo numero in virgola mobile. Per avere un'idea del suo ordine di grandezza, tale valore ${\tt{eps}}$ in Matlab 7.6.0 vale

\begin{Verbatim}[fontsize=\small, formatcom=\color{blue}] 

>> format long
>> eps
ans =
     2.220446049250313e-16
>> 

\end{Verbatim}

\section{Facoltativo: Su {\tt{eps}}, {\tt{realmax}}, {\tt{realmin}}, overflow e underflow}
I numeri nella rappresentazione floating-point stanno in un intervallo 
limitato, quindi l'{\sl{infinitamente piccolo}} e l'{\sl{infinitamente 
grande}} non sono rappresentabili come numeri in virgola mobile, nel 
calcolatore. Quando si raggiunge un valore talmente piccolo da non essere 
pi� distinto dallo zero, si parla di {\sl{underflow}}, mentre quando si 
eccede il massimo numero rappresentabile, si parla di {\sl{overflow}}.
Il limite inferiore (che non sia {\sl{denormalizzato}}!) \mye pari a $2^{ 1-{{bias}} } $ ed in Matlab \mye 
espresso dalla variabile {\tt{realmin}}.
Il limite superiore \mye pari a $2^{2^N_E-2-bias} \cdot (1+(1- 
2^{\mbox{-Fbits}} ))$ ed in Matlab \mye espresso dalla variabile 
{\tt{realmax}}.
Verifichiamolo.
{\smsp}
\begin{enumerate}
\item Dalla tabella, in precisione doppia, si ha che {\sl{bias}}=1023 e 
quindi $$2^{ 1-1023} =2^{ -1022 }=2.225073858507201e-308 $$
Se digitiamo nella shell di Matlab il comando {\tt{realmin}} otteniamo 
proprio questo valore.
{\smsp}
\item Dalla tabella, in precisione doppia, si ha che {\sl{bias}}$=1023$, 
$N_E=11$, ed $N_F=52$. Conseguentemente
\begin{eqnarray}
{\mbox{realmax}} & = & 2^{2^{N_E}-2-bias} \, \cdot \, (1+(1- 2^{N_F} )) \nonumber\\  
& = & 2^{2^{11}-2-1023} \, \cdot \, (1+(1- 2^{-52} )) \nonumber \\
& = & 2^{2^{11}-2-1023} \, \cdot \, (2- 2^{-52}) = \nonumber\\
& = & 1.797693134862316e+308 \nonumber
\end{eqnarray}

\noindent
Per convincercene, digitiamo nella shell di Matlab/Octave
\begin{Verbatim}[fontsize=\small, formatcom=\color{blue}] 

>> s=2^11-1025;
>> m=2-2^(-52)
m =
    2.0000
>> m=2-2^(-52);
>> t=(2^s)*m
t =
  1.7977e+308
>> realmax
ans =
  1.7977e+308
>> t-realmax
ans =
     0
>> 

\end{Verbatim}
Quindi digitando {\tt{realmax}} nella shell di Matlab otteniamo proprio questo 
valore.
\end{enumerate}

Osserviamo che in realt\mya {\tt{realmin}} non sembra essere il numero pi\myu piccolo in valore assoluto. Testiamolo sulla shell di Matlab.
\begin{Verbatim}[fontsize=\small, formatcom=\color{blue}] 

>> help realmax

 REALMAX Largest positive floating point number.
    x = realmax is the largest floating point number representable
    on this computer.  Anything larger overflows.
 
    See also EPS, REALMIN.

 Overloaded methods
    help quantizer/realmax.m

>> a=realmax \cdot 2
a =
   Inf
>> help realmin

 REALMIN Smallest positive floating point number.
    x = realmin is the smallest positive normalized floating point
    number on this computer.  Anything smaller underflows or is
    an IEEE "denormal".
 
    See also EPS, REALMAX.

 Overloaded methods
    help quantizer/realmin.m

>> realmin/(2^51) == 0
ans =
     0
>> realmin/(2^52) == 0
ans =
     0
>> realmin/(2^53) == 0
ans =
     1
>> 

\end{Verbatim}
\noindent
Siccome in un costrutto logico il valore $1$ corrisponde a {\tt{true}}, si ricava che 
$${\mbox{realmin}}/(2^{52}) \approx 4.940656458412465{\mbox{e}}-324$$ \mye ancora un numero macchina, ma che fa parte dei cosidetti {\sl{numeri denormalizzati}} (cf. {\cite{MATNUM}}, p.49) e cio\mye del tipo 
\begin{equation}\label{1a}
x = (-1)^S \, \cdot \, 2^{E-Bias} \, \cdot \, (0.F).
\end{equation}

Per curiosit\mya vediamo il codice Matlab che implementa {\tt{realmin}}:
\begin{Verbatim}[fontsize=\small, formatcom=\color{blue}] 

function xmin = realmin
%REALMIN Smallest positive floating point number.
%   x = realmin is the smallest positive normalized floating point
%   number on this computer.  Anything smaller underflows or is
%   an IEEE "denormal".
%
%   See also EPS, REALMAX.

%   C. Moler, 7-26-91, 6-10-92.
%   Copyright 1984-2001 The MathWorks, Inc. 
%   $Revision: 5.8 $  $Date: 2001/04/15 12:02:27 $

minexp = -1022;

% pow2(f,e) is f \cdot 2^e, computed by adding e to the exponent of f.

xmin = pow2(1,minexp);

\end{Verbatim}
Per quanto concerne {\tt{pow2}}:
\begin{Verbatim}[fontsize=\small, formatcom=\color{blue}] 

>> help pow2

 POW2   Base 2 power and scale floating point number.
    X = POW2(Y) for each element of Y is 2 raised to the power Y.
 
    X = POW2(F,E) for each element of the real array F and a integer
    array E computes X = F . \cdot  (2 .^ E).  The result is computed
    quickly by simply adding E to the floating point exponent of E.
    This corresponds to the ANSI C function ldexp() and the IEEE
    floating point standard function scalbn().
 
    See also LOG2, REALMAX, REALMIN.

>> 

\end{Verbatim}




\section{Operazioni con i numeri macchina}
Per quanto riguarda le operazioni aritmetiche fondamentali si pu\myo dimostrare che la somma, la divisione e la moltiplicazione producono un errore 
relativo piccolo, mentre la 
sottrazione pu\myo anche produrre un errore relativo grande rispetto al risultato (ci\myo avviene quando i due operandi sono molto vicini tra di loro 
e si ha dunque una perdita di cifre significative nel risultato).

\noindent
Pi\myu precisamente se ${\mbox{fl}}(x)$ \mye il numero macchina che {\sl{corrisponde}} a $x$, denotiamo con 

\begin{eqnarray}
x \oplus y &=& \myfl (\myfl(x)+\myfl(y)) \\
x \ominus y &=& \myfl (\myfl(x)-\myfl(y)) \\
x \otimes y &=& \myfl (\myfl(x) \, \cdot \, \myfl(y)) \\
x \oslash y &=& \myfl (\myfl(x):\myfl(y)) 
\end{eqnarray}

\noindent
e per ${\odot}$ una delle operazioni precedentemente introdotte, cio\mye una tra $\oplus$, $\ominus$, $\otimes$, $\oslash$ corrispondenti a {\tt{op}} cio\mye una tra $+$, $-$, $\cdot$, $:$, posto
\begin{eqnarray}
\epsilon_x=\frac{|x-\myfl(x)|}{|x|} \\
\epsilon_{x,y}^{\odot}=\frac{| (x \, {\mbox{op}}  \, y )-(x \, {\odot}  \, y )|}{|x \, {\mbox{op}} \, y|}
\end{eqnarray}

Per prima cosa osserviamo che alcune propriet\mya caratteristiche di $+$, $-$, $\cdot$ e $:$ non valgono per i corrispettivi $\oplus$, $\ominus$, $\otimes$, $\oslash$. Infatti per la somma $\oplus$ e il prodotto $\otimes$ vale la propriet\mya commutativa ma non vale quella associativa, e nemmeno quella distributiva.

Vediamo alcuni esempi. Mostriamo come non valga la propriet\mya associativa della somma. Consideriamo $F(10,4,-10,+10)$ con {\sl{fl}} basato sul troncamento. Sia $a=2000$, $b=2.5$, $c=7.8$. Allora:
\begin{eqnarray}
(a \oplus b) \oplus c &=& 0.2002 \cdot 10^4 \oplus 0.7800 \cdot 10^1 = 0.2009 \cdot 10^4 \nonumber \\
 a \oplus (b \oplus c)&=& 0.2000 \cdot 10^4 \oplus 0.1030 \cdot 10^2 = 0.2010 \cdot 10^4 \nonumber
\end{eqnarray}
e quindi $(a \oplus b) \oplus c \neq  a \oplus (b \oplus c)$.
Per quanto riguarda la propriet\mya distributiva, in $F(10,4,-10,+10)$, posti $a=0.800000 \cdot 10^9$, $b=0.500009 \cdot 10^4$, $c=0.500008 \cdot 10^4$
\begin{eqnarray}
a \otimes (b \ominus c) &=& 0.800000 \cdot 10^9 \otimes 0.1 \cdot 10^{-2} = 0.800000 \cdot 10^9 \nonumber \\
(a \otimes b) \ominus (a \otimes c) &=& (0.800000 \cdot 10^9 \otimes b=0.500009 \cdot 10^4) \ominus \nonumber \\ &&\ominus (0.800000 \cdot 10^9 \otimes b=0.500008 \cdot 10^4) \rightarrow {\mbox{overflow}}
\end{eqnarray}
(l'overflow \mye dovuto alla sequenza di operazioni da compiere).

\subsubsection{Errori nelle operazioni e loro propagazione}
Consideriamo ora come si propagano gli errori in $\oplus$, $\ominus$, $\otimes$, $\oslash$. Dopo qualche tedioso conto (cf. {\cite[p.78]{COM}})
\begin{eqnarray}
\epsilon_{x,y}^{\oplus} &\leq&  \mylbar {\frac{x}{x+y} } \myrbar \epsilon_x + \mylbar {\frac{y}{x+y} } \myrbar \epsilon_y \\
\epsilon_{x,y}^{\ominus} &\leq&  \mylbar {\frac{x}{x-y} } \myrbar \epsilon_x + \mylbar {\frac{y}{x-y} } \myrbar \epsilon_y \\
\epsilon_{x,y}^{\otimes} &\lessapprox& \epsilon_x + \epsilon_y \\
\epsilon_{x,y}^{\oslash} &\leq& \mylbar \epsilon_x - \epsilon_y \myrbar
\end{eqnarray}

\noindent
il che mostra il pericolo di perdita di accuratezza nella somma e nella sottrazione qualora rispettivamente $x+y \approx 0$ e $x-y \approx 0$ (fenomeno di {\sl{cancellazione}}). Proviamo di seguito il caso della somma e della moltiplicazione, lasciando al lettore quelli di sottrazione e divisione. Con $a \lessapprox b$ si intende $a$ {\sl{inferiore}} o uguale circa a $b$.

Per quanto riguardo la somma, supposti $x+y \neq 0$, $x \neq 0$, $y \neq 0$, e $\myfl (\myfl(x)+\myfl(y))= \myfl(x)+\myfl(y)$ (cio\mye $\myfl(x)+\myfl(y)$ numero macchina, richiesta non eccessiva), abbiamo
\begin{eqnarray}
\epsilon_{x,y}^{\oplus}&=&\frac{|(x+y)-(x \oplus y)|}{|x+y|}=\frac{|(x+y)-\myfl (\myfl(x)+\myfl(y))|}{|x+y|}=\frac{|(x-\myfl(x))+(y-\myfl(y))|}{|x+y|} \nonumber \\
&\leq& \frac{|x|}{|x+y|}  \cdot  \frac{|x-\myfl(x)|}{|x|}+  \frac{|y|}{|x+y|} \cdot \frac{|y-\myfl(y)|}{|y|}   =  \mylbar {\frac{x}{x+y} } \myrbar \epsilon_x + \mylbar {\frac{y}{x+y} } \myrbar \epsilon_y
\end{eqnarray}

Nel caso del prodotto, supposti $x+y \neq 0$, $x \neq 0$, $y \neq 0$, e $\myfl (\myfl(x) \cdot \myfl(y))= \myfl(x) \cdot \myfl(y)$ (cio\mye $\myfl(x) \cdot \myfl(y)$ numero macchina), abbiamo
\begin{eqnarray}
\epsilon_{x,y}^{\otimes}&=&\frac{|x\cdot y-x \otimes y|}{|x \cdot y|}=\frac{|x\cdot y-\myfl (\myfl(x) \cdot \myfl(y))|}{|x\cdot y|}=\frac{|x\cdot y - \myfl(x) \cdot \myfl(y)|}{|x\cdot y|} \nonumber \\
&=& \frac{|x\cdot y - x\cdot \myfl (y)+ x\cdot \myfl (y)- \myfl(x) \cdot \myfl(y)|}{|x\cdot y|} \nonumber \\
&\leq&  \frac{| x\cdot (y-\myfl (y))|+|\myfl(y) \cdot (x-\myfl(x)) | }{|x\cdot y|}  \nonumber \\
&=& \frac{| y-\myfl (y)|}{| y|} + \frac{|\myfl(y) \cdot (x-\myfl(x)) | }{|x\cdot y|} \nonumber \\
& \approx &  \epsilon_x + \epsilon_y
\end{eqnarray}

\noindent 
dove si ricorda che $$ \frac{|\myfl(y)| }{|x\cdot y|}  \approx  \frac{1}{|x|} .$$

\begin{remark}
Osserviamo che dalla formula di Taylor in due variabili, posto per brevit\mya di notazione $f^{\prime}_x=\partial f / \partial x$, $f^{\prime}_y=\partial f / \partial y$,
\begin{equation}\label{T2D}
f(x,y) \approx f({\overline{x}},{\overline{y}})+f_x^{\prime}({\overline{x}},{\overline{y}}) (x-\overline{x})+f_y^{\prime}({\overline{x}},{\overline{y}}) (y-\overline{y}) 
\end{equation}
necessariamente, se $x,y,f(x,y) \neq 0$ allora posti $\epsilon_x=|x-\overline{x}|/|x|$, $\epsilon_y=|y-\overline{y}|/|y|$ gli errori relativi sui dati
\begin{eqnarray}\label{T2D1}
\frac
{|f(x,y)- f( {\overline{x}} , {\overline{y}})|}
{|f(x,y)|}  
&\lessapprox& 
\frac{|f_x^{\prime}({\overline{x}},{\overline{y}})||x-\overline{x}||x|}
{|f(x,y)||x|}+\frac{ |f_y^{\prime}({\overline{x}},{\overline{y}})||y-\overline{y}||y|}{|f(x,y)||y|} \nonumber \\
&=&\frac{|f_x^{\prime}({\overline{x}},{\overline{y}})||x|}
{|f(x,y)|} \cdot \epsilon_x+\frac{ |f_y^{\prime}({\overline{x}},{\overline{y}})||y|}{|f(x,y)|} \cdot \epsilon_y
\end{eqnarray}
Da (\ref{T2D1}), si possono ottenere risultati simili ai precedenti per $\oplus$, $\otimes$.
\end{remark}





\section{Valutazione di una funzione}
Nel valutare una funzione continua $f: \Omega \subseteq \mathbb{R}  \rightarrow \mathbb{R} $ in un punto $x \in \Omega$ bisogna tener conto di vari dettagli. Per prima cosa il dato $x$ pu\myo essere per varie ragioni affetto da errori, tipicamente di misura o di rappresentazione al calcolatore e conseguentemente approssimato con un certo ${\overline{x}}$. Di conseguenza, spesso invece di $f(x)$ si valuta $f({\overline{x}})$. Ci si domanda se ci siano considerevoli differenze nel valutare la funzione in $\overline{x}$ invece che in $x$.

Una funzione $f$ risulta difficile da valutare al calcolatore nel punto $x \neq 0$ in cui $f(x) \neq 0$ qualora a piccoli errori (relativi) sui dati  $$|x-x_c|/|x|$$ corrispondano grandi errori (relativi) sui risultati $$|f(x)-f(x_c)|/|f(x)|.$$  Di conseguenza \mye importante discutere la quantit\mya
$$ {\cal{K}}(f,x,x_c)=\frac{ |f(x)-f(x_c)|/|f(x)|}{|x-x_c|/|x|}.$$
La sua valutazione in un punto $x$ si dice {\sl{bencondizionata}} se a piccole variazioni relative sui dati corrispondono piccole variazioni sui risultati,  {\sl{malcondizionata}}  se ci\myo non avviene.
Se $f$ \mye derivabile con continuit\mya nel pi\myu piccolo intervallo $\cal{I}$ aperto contenente $x$ ed $x_c$, per il teorema della media, essendo $$f(x)-f(x_c)=f^{\prime}(\xi) \cdot (x-x_c), \,\, \xi \in {\cal I},$$ e quindi da $|f(x)-f(x_c)|/|x-x_c| = f^{\prime}(\xi) \approx f^{\prime}(x)$ ricaviamo facilmente che
$$ {\cal{K}}(f,x,x_c) \approx {\cal{K}}(f,x) := \frac{|  x \cdot f^{\prime}(x)|}{|f(x)|} .$$
La quantit\mya ${\cal{K}}(f,x)$ si chiama {\sl{condizionamento}} di $f$ nel punto $x$. Pi\myu piccola risulta ${\cal{K}}(f,x)$ e meno la funzione amplifica un piccolo errore sul dato $x$. Naturalmente la funzione pu\myo essere {\sl{bencondizionata}} su un certo dato $x_1 \in \Omega$ e {\sl{malcondizionata}} su un certo altro $x_2  \in \Omega$.
Osserviamo che il condizionamento di una funzione non dipende dall'algoritmo con cui viene valutata, ma \mye inerente alla funzione stessa $f$ e al dato $x$.

\subsection{Esercizio sul condizionamento}
Date le funzioni
$$f_1(x)=1-\sqrt{1-x^2}$$
$$f_2(x)=1-x$$
si calcoli analiticamente il {\sl{condizionamento}}
$${\cal{K}}(f_1,x)=\frac{|  x \cdot f_1^{\prime}(x)|}{|f_1(x)|} $$
$${\cal{K}}(f_2,x)=\frac{|  x \cdot f_2^{\prime}(x)|}{|f_2(x)|} $$
Utilizzando Matlab/Octave, si plottino in scala semilogaritmica  i grafici di ${\cal{K}}(f_1,\cdot)$ e ${\cal{K}}(f_2,\cdot)$ nel set di punti $x=-1+10^{(-3)},-1+2\cdot10^{(-3)},\ldots,1-2 \cdot 10^{(-3)},1-10^{(-3)},$. Si pu\myo dire da questi dove la funzione \mye malcondizionata (cio\mye assume valori di condizionamento {\sl{alti}})?





\section{Stabilit\mya}
Nella sezione precedente abbiamo analizzato il condizionamento di una funzione continua $f$ in un punto $x$ del suo dominio. In particolare, abbiamo supposto che $f$ sia valutabile esattamente e quindi il bencondizionamento dipende esclusivamente da $f$ e dal dato $x$ e non dall'algoritmo utilizzato.
Un algoritmo per la risoluzione di un certo problema si dice {\sl{stabile}} se amplifica {\sl{poco}} gli errori di arrotondamento introdotti dalle singole operazioni. 
Il problema non \mye necessariamente la valutazione di una funzione continua in un punto, ma pu\myo essere la risoluzione di una equazione di secondo grado, il calcolo di $\pi$ greco, la valutazione di una successione, etc. Osserviamo inoltre che nel caso della valutazione in un punto $x$ di una funzione $f$ bencondizionata, si possono ottenere risultati non sufficientemente corretti se il problema \mye affrontato con un algoritmo instabile. 

\subsection{Consistenza, stabilit\mya e convergenza}
Vediamo i dettagli del concetto di stabilit\mya e li legheremo ad altre due propriet\mya, quelle di {\sl{consistenza}} e {\sl{convergenza}} (cf.{\cite[p.39-41]{MATNUM}}).
Supponiamo di voler risolvere il problema 
\begin{equation}\label{stprob}
F(x,d)=0, 
\end{equation} 
e che questo sia ben posto, cio\mye a piccole variazioni di $d$ corrispondano piccole variazioni di $x$. Nella precedente scrittura, la variabile $d$ \mye fissata e si cerca $x$ che risolva il problema (\ref{stprob}).

Un metodo numerico per la soluzione approssimata di $F(x,d)$ costruisce una successione di problemi $$F_n(x_n,d_n)=0, \hsp n \geq 1$$
dipendenti da $n$, col desiderio che sia $$x_n \rightarrow x, \hsp n \rightarrow \infty.$$
Se il dato $d$ \mye ammissibile per $F_n$, cio\mye ha senso risolvere $F_n(x,d)=0$, si dice che il metodo \mye {\sl{consistente}} se per $x$ soluzione del problema $F(x,d)=0$ si ha
$$F_n(x,d)=F_n(x,d)-F(x,d) \rightarrow 0, \hsp n \rightarrow \infty.$$
Il metodo si dice {\sl{fortemente consistente}} se in particolare 
$$F_n(x,d)=F_n(x,d)-F(x,d) = 0, \hsp \forall n.$$

Come detto in precedenza, un metodo \mye stabile (talvolta si dice {\sl{ben posto}}) se per ogni $n$ fissato esiste e sia unica la soluzione $x_n$ del problema $F(x_n,d_n)=0$ e che $x_n$ dipenda con continuit\mya dai dati cio\mye
$$\forall \eta > 0, \hsp \exists K_n(\eta,d_n): \hsp \|\delta d_n\| < \eta \Rightarrow  \|\delta x_n\| \leq K_n(\eta,d_n)\|\delta d_n\|.$$

Il proposito di un metodo 	\mye ovviamente di costruire, attraverso problemi numerici$$F_n(x_n,d_n)=0,$$ una successione di $x_n$ che si avvicinino sempre pi\myu a $x$ al crescere di $n$, cio\mye il metodo sia {\sl{convergente}}. In termini pi\myu rigorosi, se $F(x(d),d)=0$ e $F_n(x_n(d+\delta d_n),d+\delta d_n)=0$
\begin{eqnarray}
\forall \epsilon &> 0& \hsp  \exists n_0(\epsilon), \exists \delta(n_0,\epsilon) > 0: \forall n > n_0(\epsilon), \forall \|\delta d_n\| < \delta(n_0,\epsilon) \nonumber \\ &\hsp& \Rightarrow \|x(d) -x_n(d+\delta d_n)\| \leq \epsilon.
\end{eqnarray}

\noindent Il teorema di Lax-Richtmyer mostra come queste tre propriet\mya siano interconnesse, cio\mye 
\vspace{0.3cm}
\begin{theorem}
Per un metodo numerico consistente, la stabilit\mya \mye equivalente alla convergenza.
\end{theorem}
\vspace{0.3cm}
\subsection{Esempio 1: Calcolo di una radice in una equazione di secondo grado}

Vediamo un esempio concreto in cui l'introdurre una sottrazione potenzialmente pericolosa conduce effettivamente a problemi di 
instabilit\mya della soluzione e come rimediare.
Dato il polinomio di secondo grado $x^2 + 2\,p x -q$, con 
${\sqrt{p^2+q}}\geq 0$ calcoliamo la 
radice 
\begin{equation}\label{quadeq}
y=-p+{\sqrt{p^2+q}}.
\end{equation}

\noindent
Osserviamo che essendo ${\sqrt{p^2+q}}\geq 0$ le radici 
\begin{equation}\label{quadeq2}
y=-p \pm {\sqrt{p^2+q}}.
\end{equation}
dell'equazione sono reali. La soluzione descritta in (\ref{quadeq}) \mye la maggiore delle 2, ed \mye non negativa se e solo se $q \geq 0$. Consideriamo la funzione che fissato $q \geq 0$, mappa un numero reale $p$ in $-p \pm {\sqrt{p^2+q}}$.
Si osserva subito che (\ref{quadeq}) \mye potenzialmente instabile per $p \gg q$ a causa della sottrazione tra $p$ e $ {\sqrt{p^2+q}} $. A tal proposito, dopo averla implementata in Matlab, verificheremo numericamente la perdita di accuratezza per opportune scelte dei 
coefficienti $p$ e $q$. 
Ripetiamo poi lo stesso tipo di indagine con una formula alternativa (e stabile) che si ottiene razionalizzando la formula ({\ref{quadeq}}). 
In altri termini
\begin{equation}\label{quadeqr}
y=-p+{\sqrt{p^2+q}}={\frac{(-p+{\sqrt{p^2+q}})(p+{\sqrt{p^2+q}})}{(p+{\sqrt{p^2+q}})}}={\frac{q} {(p+{\sqrt{p^2+q}})} }
\end{equation}

\noindent
Ricordiamo ora che un problema si dice {\sl{bencondizionato}} (o {\sl{malcondizionato}}) a seconda che nel particolare contesto le perturbazioni sui dati non influenzino (o influenzino) eccessivamente i risultati. Nel caso di un algoritmo, per indicare un simile comportamento rispetto alla propagazione degli errori dovute alle perturbazioni sui dati, si parla di {\sl{algoritmo bencondizionato}} (o {\sl{algoritmo malcondizionato}}) anche se \mye pi\myu usuale il termine di stabilit\mya 
{\cite[p. 66]{COM}}.

Seguendo 
{\cite[p. 10]{COM}}, {\cite[p. 78]{COM}}, il problema (e non l'algoritmo!) \mye {\sl{bencondizionato}}  per $q>0$ e {\sl{malcondizionato}} per $q \approx -p^2$. 

\noindent
Usando dei classici ragionamenti dell'analisi numerica si mostra che (cf. {\cite{STO}}, p. 21, {\cite{COMESE}}, p. 11)
{\smsp}
\begin{enumerate}
\item il primo algoritmo (\ref{quadeq2}) non \mye {\sl{numericamente stabile}} qualora $p \gg q > 0$; 
{\smsp}
\item  il secondo algoritmo (\ref{quadeqr}) \mye {\sl{numericamente stabile}} qualora $p \gg q  > 0$. 
\end{enumerate}

\noindent
In {\cite[p.22]{STO}}, si suggerisce un test interessante per $$p=1000, \, q=0.018000000081$$ la cui soluzione esatta \mye $0.9 \,\cdot\,10^{-5}$. 
Secondo {\cite{COMESE}}, p. 11 \mye notevole l'esperimento in cui $$p=4.999999999995 \, 10^{+4}, \, q=10^{-2}$$ avente soluzione esatta $10^{-7}$.
Si osservi che in entrambi i casi effettivemente $p \gg q$.

\noindent
Passiamo ora all'implementazione e verifica numerica di questi due tests, osservando che i problemi relativi sono comunque ben condizionati.

{\subsection{Implementazione in Matlab}}
Scriviamo un programma {\tt{radicesecgrado.m}} in Matlab che illustri i due algoritmi.
{\vspace{0.3cm}}
\begin{Verbatim}[fontsize=\small, formatcom=\color{blue}] 

% p=4.999999999995 \cdot 10^(+4); q=10^(-2); sol=10^(-7);
p=1000; q=0.018000000081; sol=0.9*10^(-5);

% ALGORITMO 1
s=p^2;
t=s+q;
if t >=0
   u=sqrt(t);
else
   fprintf('\n \t [RADICI COMPLESSE]');
end
s1=-p+u;

% ALGORITMO 2
s=p^2;
t=s+q;
if t >=0
   u=sqrt(t);
else
   fprintf('\n \t [RADICI COMPLESSE]');
end
v=p+u;
t1=q/v;

fprintf('\n \t [ALG.1] [1]: %10.19f',s1);
fprintf('\n \t [ALG.2] [1]: %10.19f',t1);
if length(sol) > 0 & (sol ~= 0)
    relerrs1=abs(s1-sol)/abs(sol);
    relerrt1=abs(t1-sol)/abs(sol);
    fprintf('\n \t [REL.ERR.][ALG.1]: %2.2e',relerrs1);
    fprintf('\n \t [REL.ERR.][ALG.2]: %2.2e',relerrt1);
end

\end{Verbatim} 
\noindent
Digitiamo quindi da shell Matlab/Octave il comando {\tt{radicesecgrado}} e otteniamo 
\begin{Verbatim}[fontsize=\small, formatcom=\color{blue}] 

>> radicesecgrado

 	 [ALG.1] [1]: 0.0000089999999772772
 	 [ALG.2] [1]: 0.0000090000000000000
 	 [REL.ERR.][ALG.1]: 2.52e-009
 	 [REL.ERR.][ALG.2]: 0.00e+000

\end{Verbatim}
\noindent
Come previsto, il secondo algoritmo si comporta notevolmente meglio del primo, che compie un errore relativo dell'ordine di circa $10^{-9}$. 

{\vspace{0.3cm}}

\noindent
{\bf{Esercizio veloce}}. Testare il codice {\tt{radicesecgrado.m}} per l'esempio in cui
\begin{Verbatim}[fontsize=\small, formatcom=\color{blue}] 

p=4.999999999995 \cdot 10^(+4); q=10^(-2); sol=10^(-7);

\end{Verbatim}

\subsection{Esempio 2: Approssimazione numerica di $\pi$}

Storicamente sono state scoperte diverse successioni convergenti sempre pi\myu rapidamente a $\pi$ (cf. {\cite{WIKPI}}).
In questa sezione ci interesseremo a 3 di queste mostrando sia come le velocit\mya di convergenza possano essere diverse, sia come possano insorgere questioni di instabilit\mya {\cite[p. 16]{FRO}}.

\noindent
Si implementino le successioni $\{u_n\}$, $\{z_n\}$, definite 
rispettivamente come
$$\left\{ \begin{array} {l}  
s_1=1, \, \, s_2=1+{\frac {1}{4}} \\
u_1=1, \, \, u_2=1+{\frac {1}{4}} \\
s_{n+1} = s_{n} +{\frac {1}{(n+1)^2}} \\
u_{n+1} = {\sqrt {6 \, s_{n+1} }} 
\end{array} \right.$$
e
$$\left\{ \begin{array} {l}  
z_1=1, \, \, z_2=2 \\
z_{n+1} = 2^{n- { \frac {1} {2} } }      { \sqrt { 1 - \sqrt{1-4^{1-n} 
\cdot z_n^2}   } } 
\end{array} \right.$$
che {\sl{teoricamente}} convergono a $\pi$.
Si implementi poi la successione, diciamo $\{y_{n}\}$, che si ottiene 
{\sl{razionalizzando}}, cio\mye moltiplicando numeratore e denominatore 
per 
$$ { \sqrt { 1 + \sqrt{1-4^{1-n} \cdot z_n^2}   } } $$
e si calcolino $u_m$, $z_m$ e $y_m$ per $m=2,3,\ldots,40$ (che teoricamente dovrebbero approssimare $\pi$).

\noindent
Si disegni in un unico grafico l'andamento dell'errore relativo di $u_n$, 
$z_n$ e $y_n$ rispetto a $\pi$. A tal proposito 
ci si aiuti con l'help di Matlab relativo al comando {\tt{semilogy}}. I 
grafici devono avere colori o patterns 
diversi.

{\vspace{0.2cm}}

\noindent
{\bf{Facoltativo}}: in un riquadro mettere un legame tra colore (e/o pattern) e 
successione, usando il comando Matlab {\tt{legend}} (aiutarsi con l'help). 
Ricordiamo che tale comando non esiste in vecchie versioni di GNU Octave. Un esempio del suo utilizzo in Octave \mye (cf. {\cite{OBI}}
\begin{Verbatim}[fontsize=\small, formatcom=\color{blue}] 

legend ("sin (x)");

\end{Verbatim}
{\vspace{0.3cm}}

{\subsection{Risoluzione}} 

In seguito scriviamo un'implementazione di quanto richiesto commentando i 
risultati. Si salvi in un file {\tt{pigreco.m}} il codice
\begin{Verbatim}[fontsize=\small, formatcom=\color{blue}] 

% SEQUENZE CONVERGENTI "PI GRECO".

% METODO 1.

s(1)=1; u(1)=1;
s(2)=1.25; u(2)=s(2);
for n=2:40
    s(n+1)=s(n)+(n+1)^(-2);
    u(n+1)=sqrt(6*s(n+1));
    fprintf('\n \t [SEQ.1][INDEX]: %3.0f', n);
    fprintf(' [REL.ERR]: %2.2e', abs(u(n+1)-pi)/pi);
end
rel_err_u=abs(u-pi)/pi;


fprintf('\n');

% METODO 2.
format long
z(1)=1; 
z(2)=2;
for n=2:40
    c=(4^(1-n)) * (z(n))^2; inner_sqrt=sqrt(1-c);
    z(n+1)=(2^(n-0.5))*sqrt( 1-inner_sqrt );
    fprintf('\n \t [SEQ.2][N]: %3.0f', n);
    fprintf(' [REL.ERR]: %2.2e', abs(z(n+1)-pi)/pi);
end
rel_err_z=abs(z-pi)/pi;

fprintf('\n');

% METODO 3.
y(1)=1; 
y(2)=2;
for n=2:40
    num=(2^(1/2)) * abs(y(n)); 
    c=(4^(1-n)) * (z(n))^2;
    inner_sqrt=sqrt(1-c);
    den=sqrt( 1+inner_sqrt );
    y(n+1)=num/den;
    fprintf('\n \t [SEQ.3][N]: %3.0f',n);
    fprintf(' [REL.ERR]: %2.2e', abs(y(n+1)-pi)/pi);
end
rel_err_y=abs(y-pi)/pi;


% SEMILOGY PLOT.
hold on;
semilogy(1:length(u),rel_err_u,'k.'); 
semilogy(1:length(z),rel_err_z,'m+'); 
semilogy(1:length(y),rel_err_y,'ro'); 
hold off;

\end{Verbatim}
 \begin{figure}\label{fig1}
 \centering
   {\includegraphics[scale=0.5,clip]{plot_pigreco.eps}}
 \caption{Grafico che illustra le 3 successioni, rappresentate rispettivamente da {\tt{.}}, {\tt{+}} e {\tt{o}}.}
 \end{figure}


{\subsection{Commenti alla Risoluzione}} 
{\smsp}
\begin{enumerate}
\item Non tutti i programmi sono functions. Alcuni sono semplicemente un 
codice che viene interpretato da Matlab (il cosidetto {\sl{programma 
principale}}). Usiamo funzioni solo quando vogliamo introdurre porzioni di 
codice che possono tornare utili a pi\myu programmi principali, o che 
semplificano la loro lettura.
{\smsp}
\item Pi\'u assegnazioni possono essere scritte in una stessa riga. Per convincersene si osservi la prima riga del file {\tt{pigreco.m}} dopo i 
commenti.
{\smsp}
\item L'istruzione descritta dopo {\tt{for n=2:40}} non richiede l'incremento della 
variabile $n$, in quanto ci\myo \mye automatico.
{\smsp}
\item Non serve il {\tt{;}} dopo l'{\tt{end}} che chiude il ciclo 
{\tt{for}}.   
{\smsp}
\item Con un po' di tecnica il ciclo {\tt{for}} \mye sostituibile col un 
ciclo {\tt{while}}. In questo caso per\myo bisogna incrementare la variabile $n$.
{\smsp}
\item Nel denominatore riguardante l'errore relativo scriviamo {\tt{pi}} e 
non {\tt{abs(pi)}} in quanto $\pi=|\pi|$. 
{\smsp}
\item Nel comando {\tt{fprintf}}, utilizziamo {\tt{$\backslash$n}} che manda a capo e {\tt{$\backslash$t}} che 
esegue un 
{\sl{tab}} 
(uno spazietto in avanti). Se non si scrive {\tt{$\backslash$n}}, Matlab 
scriver\mya di seguito l'output sulla stessa riga, rendendo difficile la lettura dell'errore 
relativo.
{\smsp}
\item Nel comando {\tt{fprintf}} alcune parti vengono scritte come testo 
altre come contenuto di una variabile. Consideriamo ad esempio gli
{\tt{fprintf}} nella prima successione:
\begin{Verbatim}[fontsize=\small, formatcom=\color{blue}] 

fprintf('\n \t [SEQ.1][INDEX]: \%3.0f',n+1); 
fprintf('\n \t [REL.ERR.]: \%2.2e \n', relerru(n+1) );

\end{Verbatim}
Dopo essere andati a capo e spaziato a destra, Matlab scrive sul monitor 
\begin{Verbatim}[fontsize=\small, formatcom=\color{blue}]
 
{\tt {[SEQ.1][INDEX]: } } 

\end{Verbatim}
e quindi valuta {\tt {n+1}} che viene stampato 
con {\sl{tre cifre decimali prima della virgola}} in notazione decimale. 
Scrive poi sul monitor {\tt {[REL.ERR.]:}}, e accede alla {\sl{cella di 
memoria}}
della variabile {\sl{relerru}} di cui considera la componente $n+1$-sima.
Di seguito stampa su monitor il suo valore con {\sl{due cifre decimali 
prima della 
virgola}}, {\sl{due cifre decimali dopo la virgola}} in notazione 
esponenziale.  
{\smsp}
\item Il comando {\tt{semilogy}} ha come primo argomento l'ascissa (che in 
questo caso sono gli indici di iterazione {\tt {1:41}}) e quale secondo 
argomento l'ordinata {\tt {relerru}}. Nel grafico (in scala logaritmica 
nelle ordinate $y$), vengono disegnate l'$i$-sima componente dell'ascissa 
e l'$i$-sima componente delle ordinate per $i=1$, $\ldots$, 
dim( {\tt{relerru}}). Il grafico viene {\sl {tenuto}} grazie al comando 
di {\tt {hold on}} e di seguito si ripete il procedimento per {\tt {relerrz}} e {\tt {relerry}}. Si osservi 
che i vettori {\sl {ascissa}} e {\sl {ordinata}} devono essere della 
stessa dimensione e dello stesso tipo (cio\mye entrambi vettori riga o 
entrambi vettori colonna).
{\smsp}
\item Dall'help di {{semilogy}} si evince che se la variabile {\sl {ascissa}} non viene 
scritta allora Matlab indicizza automaticamente col vettore di naturali da 
1 alla dimensione del vettore {\sl {ordinata}}.
\end{enumerate}

\noindent
Per il risultato del plot si consideri la prima figura. Abbiamo indicato la prima successione con {\tt{.}}, la 
seconda con {\tt{+}} e la terza successione con {\tt{o}}. Osserviamo che in Octave, i grafici vengono rappresentati differentemente in quanto invece di un cerchietto viene talvolta disegnato un rombo.

\noindent
Dal punto di vista dell'analisi numerica si vede che 
{\smsp}
\begin{enumerate}
\item La prima successione converge molto lentamente a $\pi$, la seconda 
diverge mentre la terza converge velocemente a $\pi$. 
{\smsp}
\item Per alcuni valori $\{z_n\}$ e $\{y_n\}$ coincidono per alcune 
iterazioni per poi 
rispettivamente divergere e convergere a $\pi$. Tutto ci\myo \mye naturale 
poich\mye le 
due sequenze sono analiticamente (ma non numericamente) equivalenti.
{\smsp}
\item Dal grafico dell'errore relativo, la terza successione, dopo aver 
raggiunto errori relativi prossimi alla precisione di macchina, si assesta 
ad un errore relativo di circa $10^{-15}$ (probabilmente per questioni di 
arrotondamento).
\end{enumerate}

\subsection{Esempio 3: Successione ricorrente}

In questa sezione mostriamo come alcune formule di ricorrenza in avanti possano essere instabili, mentre d'altro canto le relative versioni all'indietro possono essere stabili {\cite[Esercizio 1.9, p.35]{QUA}}. Problemi simili con una precisa discussione della propagazione dell'errore sono trattati pure in {\cite[p. 23, problema 11]{FRO}}

Sia 
\begin{equation}\label{321}
I_n=e^{-1} \int_0^1 x^n \, e^x \, dx
\end{equation}

\noindent
Per $n=0$ si ha $$I_0=e^{-1} \int_0^1 \, e^x \, dx=e^{-1}(e^{1}-1).$$
Per $n=1$, \mye facile verificare che, essendo
$$\int x \, \exp(x) dx=(x-1)\, \exp(x)+c,$$
dal secondo teorema del calcolo integrale (cf. {\cite{WIKCI}})
si ha che $I_1=e^{-1}$ e pi\myu in generale integrando per parti che
\begin{equation}\label{322}
I_{n+1}=e^{-1} \left( x^{n+1} \, e^x \mid_0^1 - (n+1) \int_0^1 x^n \, e^x 
\, dx  \right) =1-(n+1)\, I_n. 
\end{equation}

\noindent
Da (\ref{321}) essendo l'integranda $x^n \exp{x} >0 $ per $x \in (0,1]$
si ha $$I_n >0.$$ Inoltre $x \leq 1$ implica $x^2 \leq x$ e pi\myu in generale $x^{n+1} \leq x^n$ da cui $x^{n+1} \exp(x) \leq x^n \exp(x)$ e quindi $$I_{n+1} \leq I_n.$$
La successione $I_n$ \mye positiva e non crescente e quindi ammette limite $L$ finito.
Da ({\ref{322}}), calcolando il limite $L$ per $n \rightarrow \infty$ 
ad ambo i membri si ottiene portando $1$ a primo membro
$$L-1=-\lim_n  (n+1)\, I_n.$$
L'unica possibilit\mya affinch\mye $\lim_n  (n+1)\, I_n$ esista e sia finito \mye che sia
$$L=\lim_n I_n=0.$$
Infatti se il limite $L$ fosse non nullo, si avrebbe $$L-1=\lim_n  (n+1)\, I_n=\lim_n  (n+1)\, \lim_n I_n=+\infty,$$ il che \mye assurdo essendo $L < + \infty$ e quindi $L-1 < +\infty$.
{\smsp}
\begin{enumerate}
\item Si calcoli $I_n$ per $n=1,\ldots, 99$ mediante la successione {\sl{in avanti}}
$$\left\{ \begin{array}{l}  
s_1=e^{-1}\\
s_{n+1} = 1-(n+1) \, s_{n}
\end{array} \right.$$
{\smsp}
\item Fissato $m=500$, si calcoli la successione {\sl{all'indietro}}
$\{t_n\}_{n=1,\ldots,100}$ definita come 
$$\left\{ \begin{array}{l}  
t_{2m}=0\\
t_{n-1} = {\frac {1-t_n} {n}}
\end{array} \right.$$
Si osservi che per raggiungere tale obiettivo bisogna calcolare i termini 
$$t_m, \,t_{m-1},\ldots,t_{100},t_{99},\ldots,t_2,t_1.$$
{\bf{Nota}}: la successione all'indietro deriva dall'osservare che per $n$ sufficientemente grande $I_n \approx 0$. Quindi, posto per $n$ sufficientemente grande $I_n=0$ riscrivendo la successione in avanti come successione all'indietro (cio\mye $I_n$ in funzione di $I_{n+1}$), abbiamo 
$$I_{n} = {\frac {1-I_{n+1}} {n+1}}.$$
{\smsp}
\item Si disegni in un unico grafico semi-logaritmico (usare 
{\tt{semilogy}} e 
{\tt{subplot}}) l'andamento di $|s_n|$ e  
$|t_n|$ per $n=1,\ldots,100$.
{\smsp}
\item Si calcoli il valore di $t_1$ per diversi valori di $m$, da $m=1$ a 
$m=10$ e lo si confronti con $I_1$.
{\smsp}
\item (Esercizio non banale). Si calcolino a mano 
$e^{(s)}_m:=I_m-s_m$ in funzione di $e^{(s)}_1$ e $e^{(t)}_1:=I_1-t_1$ in 
funzione di 
$e^{(t)}_{m}$. Infine si spieghi l'andamento oscillante della successione 
$\{s_n\}$.

\noindent
Suggerimento: si scriva $e^{(s)}_1=\delta$ (o equivalentemente $s_1=e^{-1}+\delta$) ed in seguito si esprima $e^{(s)}_m:=I_m-s_m$ in funzione di $\delta$.
Da questi conti si vede il motivo del cattivo comportamento della successione in avanti: un piccolo errore sul dato iniziale, ha effetti catastrofici sul risultato al crescere di $m$. 

\end{enumerate}

{\vspace{0.3cm}}

{\subsection{Risoluzione}}
Di seguito vediamo un'implementazione di quanto richiesto. L'ultimo punto del problema lo lasciamo al lettore.
Scriviamo il codice in un file {\tt{succricorrente.m}}:

{\vspace{0.3cm}}
\begin{Verbatim}[fontsize=\small, formatcom=\color{blue}] 

% SUCCESSIONE RICORRENTE.

% SUCCESSIONE "s_n".
s(1)=exp(-1);   
for n=1:99
    s(n+1)=1-(n+1)*s(n);
end

% SUCCESSIONE "t_n".
m=500; M=2*m; 
t=zeros(M,1); % INIZIALIZZAZIONE "t".
for n=M:-1:2
    j=n-1;
    t(j)=(1-t(n))/n;
end

% PLOT SEMI-LOGARITMICO.            
subplot(2,1,1)
semilogy(1:length(s),abs(s),'k-'); hold on;
semilogy(1:length(s),abs(t(1:length(s))),'m-');
hold off;

% ANALISI DI t(1) PER VALORI DIFFERENTI DI "m".
t_1_exact=exp(-1);
for m=1:10
    
    M(m)=2*m;
    t=zeros(M(m),1); % INIZIALIZZAZIONE "t".
    
    for n=M(m):-1:2  % SI OSSERVI CHE IL CICLO VA DA "M" A 2.
        t(n-1)=(1-t(n))/n;
    end
    
    val_t_1(m)=t_1_exact-t(1);
    fprintf('\n \t [M]: %2.0f [VAL.]: %10.15f',M(m),val_t_1(m));
    
end

subplot(2,1,2)
semilogy(M,abs(val_t_1),'k-');

\end{Verbatim} 
{\subsection{Commenti alla Risoluzione}} 

 \begin{figure}\label{fig2}
 \centering
   {\includegraphics[scale=0.5,clip]{ricorrente.eps}}
 \caption{Grafico che illustra i valori assoluti assunti dalla successione in avanti (in nero) e all'indietro (in rosa magenta)}
 \end{figure}

\noindent
Alcune osservazioni sul codice
{\smsp}
\begin{itemize}
\item abbiamo usato un comando del tipo {\tt {for n=M:-1:2}} cosicch\mye il ciclo for parte da
$M$ e arriva a 2, sottraendo di volta in volta $1$;
\item abbiamo inizializzato con un comando del tipo {\tt {zeros(M,1)}} il
vettore colonna $t$, che altrimenti non \mye in memoria (e quindi le componenti pi\myu piccole di
{\tt{t(n-1)}} sarebbero inaccessibili poich\mye indefinite);
{\smsp}
\item abbiamo applicato un grafico semilogaritmico poich\'e quello usuale non dice granch\mye (sperimentarlo).
{\smsp}
\item in figura abbiamo plottato le successioni $\{|s_i|\}$, $\{|t_i|\}$ e non $\{s_i\}$, $\{t_i\}$. Questo non \mye un problema in quanto 
$$s_i \rightarrow 0 \Leftrightarrow |s_i| \rightarrow 0$$
$$t_i \rightarrow 0 \Leftrightarrow |t_i| \rightarrow 0.$$
D'altro canto la prima successione diverge assumendo anche valori negativi, rendendo difficile la comprensione del grafico.
{\smsp}
\item Il comando {\tt{subplot}} permette di plottare pi\myu grafici nella stessa finestra di Matlab/Octave, senza sovrapporli. Per ulteriori informazioni, dall'help di Matlab:
\begin{Verbatim}[fontsize=\small, formatcom=\color{blue}] 

 SUBPLOT Create axes in tiled positions.
    H = SUBPLOT(m,n,p), or SUBPLOT(mnp), breaks the Figure window
    into an m-by-n matrix of small axes, selects the p-th axes for 
    for the current plot, and returns the axis handle.  The axes 
    are counted along the top row of the Figure window, then the
    second row, etc.  For example,
  
        SUBPLOT(2,1,1), PLOT(income)
        SUBPLOT(2,1,2), PLOT(outgo)
  
    plots income on the top half of the window and outgo on the
    bottom half.

\end{Verbatim}
\end{itemize}

\noindent
Numericamente, dopo aver digitato sulla shell di Matlab/Octave {\tt{succricorrente}} otteniamo con un po' di attesa due grafici e i seguenti risultati.
Il primo grafico (si veda la Figura 4) mostra un confronto tra i risultati della successione in avanti (quella plottata in nero) e quelli 
della successione all'indietro 
(in rosa magenta). Dai ragionamenti qualitativi, \mye evidente che la prima non fornisce la soluzione, mentre la seconda sembra convergere a $0$.

\noindent
Il secondo grafico (si veda la Figura 5) per vari $M=2 \cdot m$ mostra il comportamento del metodo all'indietro nell'appossimare il valore iniziale 
$\exp{-1}$. Evidentemente, al crescere di $m$, l'approssimazione diventa sempre pi\myu accurata. In particolare l'errore assoluto compiuto \mye stampato 
nel display dal programma {\tt{succricorrente.m}} come segue:
\begin{Verbatim}[fontsize=\small, formatcom=\color{blue}] 

>> succricorrente

 	 [M]:  2 [VAL.]: 0.132120558828558
 	 [M]:  4 [VAL.]: 0.007120558828558
 	 [M]:  6 [VAL.]: 0.000176114384113
 	 [M]:  8 [VAL.]: 0.000002503273002
 	 [M]: 10 [VAL.]: 0.000000023114272
 	 [M]: 12 [VAL.]: 0.000000000149839
 	 [M]: 14 [VAL.]: 0.000000000000720
 	 [M]: 16 [VAL.]: 0.000000000000003
 	 [M]: 18 [VAL.]: 0.000000000000000
 	 [M]: 20 [VAL.]: 0.000000000000000

>> 

\end{Verbatim} 
 \begin{figure}\label{fig3}
 \centering
   {\includegraphics[scale=0.5,clip]{ricorrente2.eps}}
 \caption{Grafico che illustra il valore assoluto della successione
all'indietro nell'approssimare $\exp{(-1)}$.}
 \end{figure}

\section{Complessit\mya computazionale}
Ricordato che un {\sl{algoritmo}} \mye una successione finita di istruzioni assegnate in modo non ambiguo, la cui esecuzione consenta di passare da una situazione iniziale (dati) ad una finale (risultati) in un tempo finito, viene naturale richiedere che esso sia adatto a risolvere una classe di problemi e che sia {\sl{ottimale}} rispetto al tempo, al numero di operazioni, alla stabilit\mya e all'accuratezza. Ovviamente ad un maggior numero di operazioni non \mye detto che corrisponda una miglior accuratezza dei risultati. La complessit\mya computazionale conta il numero di operazioni necessarie per fornire l'approssimazione desiderata.

\subsection{Esempio: algoritmo di Horner.}
Ci poniamo il problema di valutare il polinomio
\begin{equation}\label{f1}
p(x)=a_0+a_1 \cdot x+ \ldots + a_n \cdot x^n
\end{equation}
in un punto $x$. 

Osserviamo che 
\begin{equation}\label{f2}
p(x)= a_0+x\cdot(a_1+x\cdot(a_2+\ldots+x\cdot(a_{n-1}+x\cdot a_n)))
\end{equation}

Supponiamo sia $a=(a_0,\ldots,a_n)$ il vettore di dimensione $n+1$ delle componenti del polinomio. Possiamo valutare il polinomio tramite i seguenti due algoritmi, il primo che valuta direttamente il polinomio secondo quanto descritto in ({\ref{f1}}), il secondo che effettua la stessa operazione come descritto in ({\ref{f2}}) calcolando dapprima $s_1=a_{n-1} + x \cdot a_n$, poi  $s_2=a_{n-2} + x \cdot s_1$ e cos\myi via. In Matlab avremo allora 

\begin{Verbatim}[fontsize=\small, formatcom=\color{blue}] 

function s=algoritmo1(a,x)

xk=1;
for i=2:length(a)
   xk=xk*x;
   s=s+a(i)*xk;
end

\end{Verbatim}
e
\begin{Verbatim}[fontsize=\small, formatcom=\color{blue}] 

L=length(a);
s=a(L); % COMPONENTE a_n IMMAGAZZINATA IN a(n+1).
for i=L-1:-1:1
      s=a(i)+x*s;
end

\end{Verbatim}

Se lanciamo il codice {\tt{demo\_horner}} per la valutazione di $p(x)=1+2 \cdot x + 3 \cdot x^2 +4 \cdot x^3$ in $x=\pi$
\begin{Verbatim}[fontsize=\small, formatcom=\color{blue}] 

clear all;

a=[1 2 3 4];
x=pi;


y1=algoritmo1(a,x);
y2=algoritmo2(a,x);

format long;
y1
y2

\end{Verbatim}
otteniamo
\begin{Verbatim}[fontsize=\small, formatcom=\color{blue}] 

>> demo_horner
ans =
     1.609171052316469e+02
y1 =
     1.609171052316469e+02
y2 =
     1.609171052316469e+02
>> 

\end{Verbatim}

La differenza sta nella complessit\mya computazionale e non nel risultato numerico. Il primo codice richiede $2n$ moltiplicazioni e $n$ somme, mentre il secondo algoritmo  $n$ moltiplicazioni e $n$ somme.


\section{Facoltativo: Un esempio sulla soluzione delle equazioni di secondo grado}

Consideriamo l'equazione di secondo grado
\begin{equation}\label{eq.st.1}
x^2 - 2\sqrt{3} x + 3 = 0
\end{equation}

\noindent
Si nota subito che 
\begin{equation}\label{eq.st.1}
x^2 - 2\sqrt{3} x + 3 = (x-\sqrt{3})^2
\end{equation}

\noindent
e quindi (\ref{eq.st.1}) ha un'unica soluzione $\sqrt{3}$ con molteplicit\mya 2, poich\mye la derivata di $x^2 - 2\sqrt{3} x + 3$ \mye la funzione  $2 x - 2\sqrt{3} x$ si annulla in $\sqrt{3}$ (cf. {\cite[p.420]{COM}}).

Per quanto riguarda il condizionamento di una radice $\alpha$ (cf. {\cite[p.420]{COM}}), si prova che se $\alpha({\epsilon})$ \mye la radice di 
\begin{equation}\label{eq.st.2}
P_{\epsilon}(z)=P(z)+\epsilon g(z), \,\,\, \epsilon>0
\end{equation}
allora se $\alpha$ \mye semplice
\begin{equation}\label{eq.st.3}
\alpha({\epsilon}) \approx \alpha + \epsilon \left(    \frac{ -g(\alpha)}{P^1(\alpha)}\right)
\end{equation}
mentre se $\alpha$ \mye multipla con moltiplicit\mya $m$, cio\mye 
$$P(\alpha)= \ldots=P^{(m-1)}(\alpha)=0 \,\,\, P^{(m)}(\alpha) \neq 0$$
allora esiste una radice $\alpha({\epsilon})$ di $P_{\epsilon}$ tale che
\begin{equation}\label{eq.st.4}
\alpha({\epsilon}) \approx \alpha + \epsilon^{1/m} \left(    \frac{ -m!g(\alpha)}{P^{(m)}(\alpha)}\right)
\end{equation}

Approssimiamo in (\ref{eq.st.1}) il valore $\sqrt{3}$ con $1.7321$ fornito da Matlab usando il cosidetto {\tt{format short}}. In questo caso, posto $g(z)=2z$, $$\epsilon=-(\sqrt{3}-1.7321) \approx 4.9192 \cdot 10^{-5} \approx 5 \cdot 10^{-5}$$ abbiamo che 
\begin{equation}\label{eq.st.5}
\alpha({\epsilon}) \approx \alpha + \epsilon^{1/m} \left(    \frac{ -m!\alpha}{P^{(2)}(\alpha)}\right)
\end{equation}
\noindent
ed essendo $P^{(2)}(z)=2$, $m=2$ (molteplicit\mya della radice $\alpha=\sqrt{3}$), ricaviamo
\begin{equation}\label{eq.st.5}
\alpha({\epsilon}) \approx \alpha + (5 \cdot 10^{-5})^{1/2} \left(    \frac{ -2! 2 \sqrt{3}}{2}\right)
\end{equation}
in cui 
$$|(5 \cdot 10^{-5})^{1/2} \left(    \frac{ -2! 2\sqrt{3}}{2}\right)^{1/2} |\approx 0.02449489742783$$
Quindi ci si aspetta che una delle radici di 
$$P_{\epsilon}(z)=x^2 - 2 \cdot 1.7321 \cdot x + 3$$
disti circa $0.02449489742783$ da $\sqrt{3}$.

In effetti, utilizzando semplici modifiche del programma {\tt{radicisecondogrado}}, si hanno due radici,
$$x_1 \approx 1.7451541181241765000, \,\,\, x_2 \approx 1.7190458818758234000.$$
ed \mye, come si vede facilmente dalla shell di Matlab/Octave:
\begin{Verbatim}[fontsize=\small, formatcom=\color{blue}] 

>> 1.7451541181241765000-sqrt(3)
ans =
    0.0131
>> 1.7190458818758234000-sqrt(3)
ans =
   -0.0130
>> 

\end{Verbatim}


\section{Esercizio}
Date le funzioni 
$$f_1(x)=1-\sqrt{1-x^2}$$
$$f_2(x)=1-x$$
si calcoli analiticamente il {\sl{condizionamento}}
$${\cal{K}}_1(x)=\frac{|  x \cdot f_1^{\prime}(x)|}{|f_1(x)|} $$
$${\cal{K}}_2(x)=\frac{|  x \cdot f_2^{\prime}(x)|}{|f_2(x)|} $$
Utilizzando Matlab/Octave, si plottino in scala semilogaritmica  i grafici di ${\cal{K}}_1$ e ${\cal{K}}_2$ nel set di punti $x=-1+10^{(-3)},-1+2\cdot10^{(-3)},\ldots,1-2 \cdot 10^{(-3)},1-10^{(-3)},$. Si pu\myo dire da questi dove la funzione \mye malcondizionata (cio\mye assume valori di condizionamento {\sl{alti}})?

\section{Alcuni esercizi}
{\smsp}
\begin{enumerate}

% ESERCIZIO 1

\item {\bf{Esercizio facile}}. Si calcoli l'errore relativo tra $1$ e il valore che si ottiene
valutando in Matlab/Octave
$${\frac {(1+\eta)-1} {\eta} }$$   
con $\eta=10^{-1}, 10^{-2}, \ldots, 10^{-15}$. Si consideri poi 
$\eta=8.8817841970012523E-16$ e si calcoli la medesima quantit\'a, 
giustificando i risultati ottenuti {\cite[p. 5, problema 3]{FRO}}. 

\noindent
Suggerimento: quanto vale {\tt{eps}}?
{\smsp}
% ESERCIZIO 2

\item {\bf{Esercizio facile}}. Siano $f:=\tan$ e $g:=\arctan$. Si consideri la funzione composta $$f 
\cdot 
g(x):=f(g(x))=\tan(\arctan(x))=x, \,\,x \in (-\infty,+\infty).$$ Si 
calcolino
$$x=10^{k}, {\mbox{ per }}  k=-20+40h, {\mbox{ e }} 
h=0,0.01,0.02,\ldots,1$$ 
e si valuti l'errore relativo compiuto. Si pu\'o dire che anche 
{\sl{numericamente}} $\tan(\arctan(x))=x$?
{\smsp}
% ESERCIZIO 4

\item {\bf{Esercizio facoltativo di media difficolt\mya}}. Esistono pi\myu successioni che approssimano $\pi$ e sono attribuite ad Archimede. Ad esempio, osservato che questi non \mye altro che l'area del cerchio avente raggio $1$, si inscrivono nel cerchio al variare di $p=2,3,\ldots$ dei poligoni regolari aventi $2^p$ lati. Osserviamo che per $p=2$, si deve determinare l'area del quadrato inscritto, che con facili conti \mye uguale a $2$.

Nel caso generale, si osserva che il poligono consiste di $2^p$ triangoli in cui un lato corrisponde ad un lato del poligono e un vertice con il centro del cerchio (si confronti con le figure).

 \begin{figure}\label{fig1s}
 \centering
   {\includegraphics[scale=0.35,clip]{archimede_8.eps}}
   {\includegraphics[scale=0.35,clip]{archimede_16.eps}}
 \caption{Grafico che illustra le suddivisioni considerate dall'algoritmo di Archimede, per $p=3$, $p=4$.}
 \end{figure}

Se indichiamo con $\theta$ l'angolo al centro di ogni triangolo, si verifica che la sua area \mye $\frac{\sin {(\theta)}}{2}$. In particolare per un poligono di $2^p$ lati, si ha $\theta_p=\frac{2\pi}{2^p}$ e l'area del poligono inscritto, costituito da $2^p$ triangoli uguali, \mye 
$$I_p=2^p \, \frac{\sin {(\theta_p)}}{2} = 2^p \, \frac{\sin {(\frac{2\pi}{2^p})}}{2}.  $$
In realt\mya Archimede us\myo questa ed altre idee per cercare di approssimare $\pi$ con stime dall'alto e dal basso, via anche poligoni circoscritti. Come citato in {\cite{WIKAR}}:

{\sl{Nel breve lavoro {\rm{La misura del cerchio}} viene dimostrato anzitutto che un cerchio � equivalente a un triangolo con base eguale alla circonferenza e altezza eguale al raggio. Tale risultato \mye ottenuto approssimando arbitrariamente il cerchio, dall'interno e dall'esterno, con poligoni regolari inscritti e circoscritti. Con lo stesso procedimento Archimede espone un metodo con il quale pu\myo approssimare arbitrariamente il rapporto tra circonferenza e diametro di un cerchio dato, rapporto che oggi si indica con $\pi$. Le stime esplicitamente ottenute limitano questo valore fra 22/7 e 3 + 10/71}}.

Secondo {\cite{WOL}}, Archimede us\myo un altro algoritmo per approssimare $\pi$. Visto che $2\pi $ non \mye altro che la lunghezza della circonferenza del cerchio avente raggio uguale a $1$ e questa \mye maggiore del perimetro $a_k$ di un qualsiasi poligono regolare di $n=6 \cdot 2^k$ lati inscritto e minore del perimetro di un qualsiasi poligono regolare di $n=6 \cdot 2^k$ lati circoscritto $b_k$, misurando $a_k$ e $b_k$ si pu\myo affermare che $$a_k \leq 2\pi \leq b_k. $$

\noindent
Si pu\myo inoltre provare che 
$$a_k=2n \,  \sin {\left(\frac{\pi}{n} \right)},$$
$$b_k=2n \, \tan {\left(\frac{\pi}{n}\right)}.$$
Stimare $\pi$ come $$a_k \leq 2 \, \pi \leq b_k.$$ 

\noindent
Per quale $n$ si riesce a determinare $\pi$ con $10$ cifre decimali esatte? Pensare se sia giusto dire $b_k-a_k < 10^{-10}$ allora $\pi$ \mye approssimato da $a_k$ con 10 cifre decimali esatte.

 \begin{figure}\label{fig_archimede}
 \centering
   {\includegraphics[scale=10.0,clip]{stamp_italian_small_gimp.eps}}
 \caption{Un francobollo raffigurante Archimede (287ac-212ac).}
 \end{figure}

\noindent
{\bf{A.}} Si approssimi $\pi$ usando il primo algoritmo di Archimede (basato sull'area di poligoni regolari inscritti) per $p=2:20$. Si stampi l'errore assoluto e relativo compiuto.

\noindent
{\bf{B.}} Stimare $\pi$ come $$a_k \leq \pi \leq b_k$$ mediante l'algoritmo di Archimede basato sulla valutazione dei perimetri $a_k$, $b_k$ di alcuni poligoni regolari. Per quale $n$ si riesce a determinare $\pi$ con $10$ cifre decimali esatte? Per $k=0,\ldots,4$ si ha
\begin{eqnarray}
3.00000 & \leq \pi \leq & 3.46410 \\	
3.10583 & \leq \pi \leq & 3.21539 \\
3.13263 & \leq \pi \leq & 3.15966 	\\
3.13935 & \leq \pi \leq & 3.14609 	\\
3.14103 & \leq \pi \leq & 3.14271
\end{eqnarray}

\noindent
{\bf{Osservazione}}: il fatto che ci sia un $\pi$ nei secondi membri di alcune espressioni non \mye {\sl{un gatto che si morde la coda}}. Infatti \mye solo una trascrizione in radianti di un angolo che ha un significato geometrico indipendente dalla quantit\mya $\pi$. In questi esercizi, per semplificare la questione si usa per\myo $\pi$ per calcolare $\pi$, cosa che dimostra una volta in pi\myu l'abilit\mya di Archimede, che calcol\myo tali quantit\mya con metodi elementari e geometrici.

Si cita il fatto che per $k=4$ Archimede riusci' ad affermare che 
$$\frac{223}{71} \leq \pi \leq \frac{22}{7}.$$
{\smsp}
% ESERCIZIO 5.
\item {\bf{Esercizio, facile facoltativo}}. Posto $h=10^{-1},10^{-2},\ldots,10^{-15}$, si approssimi la derivata di $\exp{(1)}$ con il rapporto incrementale
$$ \frac {\exp{(1+h)}-\exp{(1)}} {h}$$
e quindi si valuti l'errore assoluto compiuto (rispetto alla soluzione $\exp{(1)}$). L'approssimazione migliora al diminuire di $h$?
{\smsp}
% ESERCIZIO 6.
\item {\bf{Esercizio, facile facoltativo}}. Si esegua una tabella in cui si studino a due a due le somme, prodotti, divisioni di NaN, Inf, 0, 1 e confrontarle con i noti risultati di indeterminazione della teoria dei limiti.
{\smsp}
% ESERCIZIO 7.
\item {\bf{Esercizio, facile facoltativo}}. Fissato $\theta=0:(2\pi / 1001):2 \pi$, si valuti $\sin^2{(\theta)} + \cos^2{(\theta)}$ e si calcoli l'errore assoluto rispetto il valore $1$.
\end{enumerate}




























\section{Alcune frasi celebri}

In {\cite{UNIPO}}, oltre a varie curiosit\mya su $\pi$ si cita un curioso aneddoto riguardante il noto matematico J. H. Conway:


``{\sl{Un giorno decisi di imparare a memoria le prime mille cifre del pi greco}} - ricorda Conway - {\sl{stimolato da mia moglie Larissa, una matematica di origine russa, che aveva bisogno del valore di pi e non ricordava che 3,14. Le insegnai le prime cento cifre che ricordavo gi\mya a memoria. Ma questo a lei non bastava e, visto che anch'io non sapevo andare oltre, decidemmo insieme di programmare lo studio di cento nuove cifre ogni giorno, per arrivare almeno a mille, da imparare nei momenti in cui eravamo insieme, al di fuori del nostro lavoro}}''.


``{\sl{E' stato divertente}} - continua Conway - {\sl{perch\mye ogni domenica facevamo una passeggiata fino a Grantchester, una graziosa, piccola cittadina vicino a Cambridge e lungo il percorso recitavamo a turno i gruppi successivi di 20 cifre del pi, come fossero piccole poesie. Venti cifre io e venti cifre mia moglie e cos\myi di seguito, alternandoci nella recita: in questo modo siamo arrivati a memorizzare le mille cifre del pi greco}}''.


Pure la morte di Archimede \mye coperta dalla leggenda {\cite{WIKAR}}:

{\sl{Ad un tratto entr\myo nella stanza un soldato e gli ordin\myo di andare con lui da Marcello. Archimede rispose che sarebbe andato dopo aver risolto il problema e messa in ordine la dimostrazione. Il soldato si adir\myo, sguain\myo la spada e lo uccise}}.

\noindent
Frasi celebri attribuite ad Archimede 
{\smsp}
\begin{itemize}
\item {\sl{Noli turbare circulos meos}} cio\mye {\sl{Non turbare i miei cerchi}}.
{\smsp}
\item le sue ultime parole pare furono {\sl{Soldato, stia lontano dal mio disegno}}.
\end{itemize}



\section{Online}
Alcuni siti utili per la comprensione della lezione:
{\smsp}
\begin{enumerate}
\item \href{http://it.wikipedia.org/wiki/Archimede}{http://it.wikipedia.org/wiki/Archimede}
{\smsp}
\item \href{http://utenti.quipo.it/base5/numeri/pigreco.htm}{http://utenti.quipo.it/base5/numeri/pigreco.htm}
{\smsp}
\item \href{http://it.wikipedia.org/wiki/Pi\_greco}{http://it.wikipedia.org/wiki/Pi\_greco}
{\smsp}
\item \href{http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema\_fondamentale\_del\_calcolo\_integrale}{http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema\_fondamentale\_del\_calcolo\_integrale}
{\smsp}
\item \href{http://it.wikipedia.org/wiki/Floating\_point}{http://it.wikipedia.org/wiki/Floating\_point}
{\smsp}
\item \href{http://it.wikipedia.org/wiki/IEEE\_754r}{http://it.wikipedia.org/wiki/IEEE\_754r}
{\smsp}
\item \href{http://it.wikipedia.org/wiki/IEEE\_754}{http://it.wikipedia.org/wiki/IEEE\_754}
{\smsp}
\item \href{http://mathworld.wolfram.com/ArchimedesAlgorithm.html}{http://mathworld.wolfram.com/ArchimedesAlgorithm.html}
\end{enumerate}

\begin{thebibliography}{99} 
\bibitem{ATK} K. Atkinson, {\em An Introduction to Numerical Analysis\/}, Wiley, (1989).
\bibitem{COM} V. Comincioli, {\sl{Analisi Numerica, metodi modelli applicazioni}}, Mc Graw-Hill, 1990. 
\bibitem{COMESE} V. Comincioli, {\sl{Problemi di analisi numerica}}, Mc Graw-Hill, 1991.
\bibitem{FRO} M. Frontini e E. Sormani, {\sl{Fondamenti di Calcolo Numerico, problemi in laboratorio}}, Apogeo, 2005.
\bibitem{HUC} T. Huckle , {\href{http://wwwzenger.informatik.tu-muenchen.de/persons/huckle/bugse.html}{http://wwwzenger.informatik.tu-muenchen.de/persons/huckle/bugse.html}}. 
\bibitem{MF} J.H. Mathews e K.D. Fink, {\sl{Numerical Methods using Matlab}}, Prentice Hall, 1999. 
\bibitem{OBI} Network Theory, {\sl{GNU Octave Manual Version}}, {\href{http://www.network-theory.co.uk/docs/octave3/octave\_160.html}{http://www.network-theory.co.uk/docs/octave3/octave\_160.html}}. 
\bibitem{QUA} A. Quarteroni e F. Saleri, {\sl{Introduzione al calcolo scientifico}}, Springer Verlag, 2006. 
\bibitem{MATNUM} A. Quarteroni, R. Sacco e F. Saleri, {\sl{Matematica Numerica}}, Springer Verlag, 1998. 
\bibitem{STO} J. Stoer, {\sl{Introduzione all'analisi numerica}}, Zanichelli, 1984. 
\bibitem{MOL} The MathWorks Inc., {\sl{Numerical Computing with Matlab}},{\href{http://www.mathworks.com/moler}{http://www.mathworks.com/moler}}.
\bibitem{UNIPO} Web Page , \\ {\href{http://utenti.quipo.it/base5/numeri/pigreco.htm}{http://utenti.quipo.it/base5/numeri/pigreco.htm}}.
\bibitem{WIKAR} Wikipedia (Archimede), \\ {\href{http://it.wikipedia.org/wiki/Archimede}{http://it.wikipedia.org/wiki/Archimede}}
\bibitem{WIKCI} Wikipedia (Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale), \\ \href{http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema\_fondamentale\_del\_calcolo\_integrale}{http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema\_fondamentale\_del\_calcolo\_integrale}
\bibitem{WIKFL} Wikipedia (Floating Point), \\ \href{http://it.wikipedia.org/wiki/Floating\_point}{http://it.wikipedia.org/wiki/Floating\_point}
\bibitem{WIKFL2} Wikipedia (IEEE 754), \\ \href{http://it.wikipedia.org/wiki/IEEE\_754}{http://it.wikipedia.org/wiki/IEEE\_754}
\bibitem{WIKFL3} Wikipedia (IEEE 754r), \\ \href{http://it.wikipedia.org/wiki/IEEE\_754r}{http://it.wikipedia.org/wiki/IEEE\_754r}
\bibitem{WIKPI} Wikipedia (Pi Greco), \\ {\href{http://it.wikipedia.org/wiki/Pi\_greco}{http://it.wikipedia.org/wiki/Pi\_greco}}
\bibitem{WOL} Wolfram (Archimedes' Algorithm), \\ \href{http://mathworld.wolfram.com/ArchimedesAlgorithm.html}{http://mathworld.wolfram.com/ArchimedesAlgorithm.html}
\end{thebibliography}
\end{document}































D'altro canto, spesso la funzione $f$ non \mye valutabile esattamente ma approssimata da una certa $g$. Il valore 
$$\frac{g({x})-f(x)}{f(x)}$$
si chiama  {\sl{errore relativo analitico o di troncamento}}.

Una volta definita $g$, il suo calcolo viene effettuato da un certo algoritmo ottenendo una approssimazione ${\overline{g}}$. Per $g(x) \neq 0$, la quantit\mya 
 $$\frac{{\overline{g}}({x})-{\overline{g}}(x)}{g(x)}$$
si chiama  {\sl{errore relativo algoritmico}}.

Da questa analisi, si capisce che usualmente, dovendo calcolare $f(x)$ si ottiene, per varie ragioni, la quantit\mya ${\overline{g}}({\overline{x}})$.

\section{Condizionamento e stabilit\mya}

Supponiamo che la funzione scalare $f$ sia valutabile esattamente.  La sua valutazione in un punto $x$ si dice {\sl{bencondizionata}} se a piccole variazioni relative sui dati corrispondono piccole variazioni sui risultati. In altre parole, se $x \neq 0$ e $f(x) \neq 0$ si ha 
  $$\frac{|f({\overline{x}})-f(x)|}{|f(x)|} \approx \frac{|({\overline{x}})-(x)|}{|(x)|}.$$
Osserviamo che abbiamo supposto che $f$ sia valutabile esattamente e quindi il bencondizionamento dipende esclusivamente da $f$ e dal dato $x$ e non dall'algoritmo utilizzato.
Sottolineiamo che la valutazione di $f$ pu\myo essere malcondizionata per certi dati $x$ e bencondizionata per altri $x$.

Un algoritmo per la valutazione di $f$ si dice {\sl{stabile}} se amplifica {\sl{poco}} gli errori di arrotondamento introdotti dalle singole operazioni. Osserviamo che la valutazione di una funzione $f$ bencondizionata, pu\myo dare risultati non sufficientemente corretti se effettuata da un algoritmo instabile. 


