Equazione di Keplero (eqz. nonlineari).

Risolvere col metodo di Newton, col metodo di bisezione e di punto fisso l’equazione di Keplero:

E = M + e · sin (E)

dove e è l’eccentricità del pianeta, M l’anomalia media del pianeta ad un dato istante e E l’anomalia eccentrica.

Dati: e = 0.100, M = 5 gradi. Risolvere con una precisione di 0.000001 gradi. Attenzione: M, E sono in radianti!

Equazione di Keplero (eqz. nonlineari). Note.

▶ L’equazione è in radianti, ma i dati sono in gradi. ▶ La funzione dipende dai parametri M, e. Se si usa inline, si

osservi che possono essere descritti subito:

>> % f ( x )=A∗x+s i n (B∗x ) con A=2, B=3.
>> f=inline ( ’ 2∗x+s i n (3∗x ) ’ )
f = Inline f u n c t i o n :
f ( x ) = 2∗x+s i n (3∗x )

>>

Se si usa una function g.m:

f u n c t i o n y=g ( x )
M = …; e= …; y = …;

▶ Se usiamo bisezione per calcolare gli zeri di g descritta in

  g.m

   [ aa , bb , ko]=bisezione ( a , b , tinv , tres , maxit , ’ g ’ ) ;

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Sulla distanza Marte/Terra (interpolazione).

Consideriamo la distanza di Marte dalla Terra dal 4 all’8 agosto 1969 a 0^{h} TD. I valori sono dati in unità astronomiche.

4 agosto 0.659441
5 agosto 0.664531
6 agosto 0.669651
7 agosto 0.674800
8 agosto 0.679978

Dalla tavola calcolare la distanza di Marte dalla Terra il 7 agosto 1969 a 4^{h}21^{m}.

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Sulle macchie solari.

Consideriamo la tabella proposta dalla rivista belga Heelal del settembre 1978, che per ognuno dei venti massimi di macchie solari avvenuti tra il 1761 ed il 1969, propone intervallo di tempo x e la media mensile più alta y:

\begin{matrix}x & 73 & 38 & 35 & 42 & 78 & 68 & 74 & 42 & 52 & 54 \\ y & 90.4 & 125.3 & 161.8 & 143.4 & 52.5 & 50.8 & 71.5 & 152.8 & 131.3 & 98.5 \end{matrix}

\begin{matrix}x & 39 & 61 & 42 & 49 & 50 & 62 & 44 & 39 & 43 & 54 \\ y & 144.8 & 78.1 & 89.5 & 63.9 & 112.1 & 82.0 & 119.8 & 161.2 & 208.4 & 111.6 \end{matrix}

Dalla tavola e dalla retta di miglior approssimazione y = a + b · x dedurre se è vero che più lunga è la durata dell’aumento da un minimo al prossimo massimo di attività solare, minore è , in generale, tale massimo. Eseguire grafico dei dati e della retta di miglior approssimazione.

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Su un’orbita ellittica.

Nel file ellipse data.m sono salvati dei vettori di ascisse e ordinate che rappresentano un’ellisse (del piano cartesiano xy) centrata nell’origine, ma con piccole perturbazioni sui dati. Per ottenere un simile file, basta eseguire il codice

f u n c t i o n [ x , y]=ellipse_data

theta = 0 : 0 . 1 : 2 ∗ p i ;
a=3; b=5;
x=a∗cos ( theta ’ ) +10ˆ (−2)∗rand ( l e n g t h ( theta ) , 1 ) ;
y=b∗ s i n ( theta ’ ) +10ˆ (−2)∗rand ( l e n g t h ( theta ) , 1 ) ;

od aprire un file precedentemente salvato

f u n c t i o n [ x , y]=ellipse_data

data =[3.005211358308040  0.004537977087269
. . . . . .
2.997629596823176 −0.413185137289955];
x=data ( : , 1 ) ; y=data ( : , 2 ) ;

Su un’orbita ellittica.

Ricordato che l’ellisse ha equazione

Ax^{2} + By^{2} = 1

ed equazione parametrica

(x, y) = (a · cos (t), b · sin (t))

calcolare con il metodo dei minimi quadrati A, B e di conseguenza a, b (qual’e’ il legame tra A e a, B e b?). Di seguito eseguire il grafico dei dati e dell’ellisse ottenuta con il metodo dei minimi quadrati.

Suggerimento: nel grafico, usare punti test in [0,2π] e la rappresentazione parametrica.

Facoltativo: Su un’orbita ellittica.

Dopo la prima parte del problema si sono ottenuti dei valori a, b cosicchè l’ellisse ha eqz. parametriche

(x, y) = (a cos (t), b sin (t)), t ∈ [0, 2π].

Siano t_{k} = (k − 1)h con h = 2π/20 e k = 1, …, 21. Si calcolino le splines lineari e cubiche s_{x}, s_{y} interpolanti risp. {(t_{k}, u(t_{k}))}_{k}, {(t_{k}, v(t_{k}))}_{k}, con u, v le funzioni

\{ \begin{matrix}u(t) = a · cos (t) \\ v(t) = b · sin (t) \end{matrix}

Usare non solo splines not-a-knot ma anche splines vincolate (scegliere il vincolo!). Quindi, utilizzando 1000 nodi test equispaziati in [0, 2π], eseguire il grafico dell’ellisse (u(t), v(t)) e (s_{x}(t), s_{y}(t)). Confrontare i risultati ottenuti. Era possibile prevedere l’errore fornito dalle splines lineari?

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Quadratura numerica.

Calcolare per n = 1, …, 100 il valore di

I_{n} = exp (−1) · ∫_{0}^{1} x^{n} exp (x)dx

utilizzando la formula di Cavalieri-Simpson su 1000 intervalli equispaziati. Confrontare il risultato con quello fornito da una particolare successione ricorsiva all’indietro. Eseguire il grafico degil errori assoluti compiuti.

Suggerimento: fare una routine che risolva il problema per un certo n ed un programma principale che gestisca la sequenza di integrali.