\documentclass{beamer}

\input{hal_prefs.tex}

\title[Calcolo numerico di integrali definiti su intervalli limitati.\hspace{2em}\insertframenumber/
\inserttotalframenumber]{Calcolo numerico di integrali definiti su intervalli limitati}

\author{\bf{Alvise Sommariva}}
\date{Venezia, Ottobre 18, 2024 \\ {\footnotesize{Cinque incontri per i Lincei - Istituto veneto di Scienze, Lettere ed Arti}}}

\begin{document}

\frame{\titlepage}

\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Proposito}


{\small{

In questo incontro incardinato nella serie {\blues{\href{https://www.istitutoveneto.it/flex/cm/pages/ServeBLOB.php/L/IT/IDPagina/2040}{Cinque incontri per i Lincei - Istituto veneto di Scienze, Lettere ed Arti}}}, si desidera

\begin{itemize}
\item mostrare con esempi pratici e notevoli, l'importanza dell'integrazione simbolica e numerica;
\item introdurre esempi di integrazione numerica, mediante software simbolici.
\item citare alcuni ambienti numerici utili al calcolo di integrali definiti.

{\vspace{0.15cm}}

Di seguito

{\vspace{0.15cm}}

\item introduciamo il concetto di interpolazione polinomiale;
\item mostriamo come mediante interpolazione si ottengano formule di quadratura di tipo {\it{Newton-Cotes}}, di cui fanno parte le note regole del trapezio e di Cavalieri-Simpson;
\item descriviamo svantaggi delle formule di Newton-Cotes e i vantaggi delle formule composte;
\item mediante routines specifiche in Matlab/Octave, valutiamo su esempi pratici i metodi sopra citati.
\end{itemize}
 
 }}

\end{frame}

\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Calcolo di integrali definiti in intervalli limitati}

Il calcolo di integrali definiti  \'e di {\purples{interesse}} per la formazione e aggiornamento per gli insegnanti della Scuola secondaria di secondo grado, in quanto \'e un argomento tipicamente svolto nell'ultimo anno di alcuni corsi (ad esempio, ma non solo, nei licei scientifici).

\smsp

Come ben noto, il problema consiste nel calcolare la quantit\'a
\begin{tcolorbox}
$$\int_a^b f(x) dx$$
\end{tcolorbox}
dove l'integranda $f$ \'e una funzione che usualmente \'e {\purples{continua nell'intervallo limitato $[a,b]$}}. 

\end{frame}

\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Calcolo di integrali definiti in intervalli limitati}

\begin{nota}[Generalit\'a]

Ovviamente si possono studiare {\purples{esempi pi\'u generali}}, ad esempio $f$ potrebbe avere un numero finito di discontinuit\'a di salto, ma non prenderemo in considerazione queste evenienze.

\end{nota}

\begin{nota}[Funzioni continue patologiche]
Ricordiamo che gi\'a all'interno delle funzioni continue esistano esempi molto anomali, come la {\blues{\href{https://mathworld.wolfram.com/WeierstrassFunction.html}{\purples{funzione di Weierstrass}}}}
$$
f(x)=\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{\sin(\pi k^2 x)}{\pi k^2}
$$
\noindent continua ovunque ma differenziabile solo in un insieme di misura nulla (dimostrazione di Hardy).

\smsp

Poincar\'e la defin\'i \lq\lq{\it{un oltraggio contro il buon senso}}\rq\rq ed Hermite come \lq\lq{\it{una piaga deplorevole}}\rq\rq. 

\end{nota} 

\end{frame}

\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Calcolo di integrali definiti in intervalli limitati}

\begin{itemize}
\item In generale, in questa parte di programma, ci si focalizza sul calcolo di {\purples{integrali indefiniti}} (quello che gli studenti spesso chiamano un po' impropriamente delle {\purples{antiderivate}}, nonostante i docenti chiamino quest'ultime {\purples{primitive}}).

\smsp

\item Di seguito, dopo aver descritto cosa sia un integrale definito, si introduce il {\purples{teorema fondamentale del calcolo integrale}} (detto di Torricelli-Barrow) che permette facilmente di calcolare {\purples{molti integrali definiti}}.

\smsp

\item Si deve sottolineare la parola {\purples{molti}} perch\'e di molte funzioni non si conoscono le {\it{primitive in termini di funzioni elementari}} e quindi il teorema del calcolo integrale trova difficolt\'a nell'essere utilizzato.
\end{itemize}

\end{frame}

\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Funzioni che non hanno primitiva (in termini di funzioni elementari)}

Tra le funzioni che non ammettono primitive in termini di {\blues{\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Elementary_function}{funzioni elementari}}}, citiamo:

\begin{itemize}
\item La funzione $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definita come 
$$
g(x)=\exp(x^2)
$$
\item la funzione ${\tt{sinc}}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definita come 
$$
{\tt{sinc}}(x)=\left\{ 
\begin{array}{l} \frac{\sin(\pi t)}{\pi t}, \smhsp x \neq 0, \\ 1, \smhsp x = 0 \end{array} \right.
$$
\end{itemize}

\smsp

In entrambi i casi dimostrazione non \'e elementare ed \'e un corollario di un   {\blues{\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Liouville's_theorem_(differential_algebra)}{teorema di Liouville}}}.

\end{frame}




\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Utilizzo del calcolo simbolico per il calcolo di integrali}

Sono a disposizione vari ambienti per il {\purples{calcolo simbolico}}, che permettono il calcolo di integrali indefiniti e la valutazione di integrali definiti. 

\smsp

Tra i pi\'u noti citiamo in ordine alfabetico

\begin{itemize}
\item {\blues{\href{https://www.maplesoft.com/products/Maple/}{Maple}}}, a pagamento e in parte utilizzabile con Matlab, offre {\blues{\href{https://www.maplesoft.com/products/StudentApps/index.aspx}{servizi online}}};
\item {\blues{\href{https://www.wolfram.com/mathematica/}{Mathematica}}}, a pagamento, ma offre {\blues{\href{https://www.wolfram.com/mathematica/online/}{servizi online}}};
\item {\blues{\href{https://maxima.sourceforge.io}{Maxima}}}, gratuito, con interessanti {\blues{\href{https://www.cs.kent.edu/~pwang/m/research/demo.html}{demo online}}}.
\end{itemize}

\smsp

Cercheremo di utilizzarli per il calcolo di alcuni integrali.

\end{frame}




\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Utilizzo del calcolo simbolico per il calcolo di integrali}

\begin{enumerate}
\item Quale {\purples{primo esempio}} prendo in considerazione un esempio che viene da un potenziale esercizio per studenti del liceo scientifico, ovvero il calcolo dell'integrale di una funzione razionale, che tipicamente viene svolto mediante la {\blues{\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Partial_fraction_decomposition}{decomposizione in frazioni parziali}}}

\smsp

 \begin{tcolorbox}
\smnsp
$$
\int \frac{1+x-x^2}{1+x^2} dx =\frac{\log(x^2+1)}{2}-x+2\arctan(x)+C
$$
\end{tcolorbox}

\smsp

Questa tecnica \'e stata scoperta nel 1702 da Johann Bernoulli e Gottfried Leibniz, in modo indipendente e di solito richiede un po' di calcoli.

\item Quale {\purples{secondo esempio}} consideriamo il calcolo di una primitiva di $\exp(-x^2)$. 

\end{enumerate}

Di seguito per entrambe le integrande calcoleremo l'integrale definito in $[0,1]$.

\end{frame}


\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Maple per il calcolo di integrali}

Svolgiamo i calcoli con Maple (dalla shell di Matlab), per integrali indefiniti.

\begin{center}
\begin{figure}[H]
 \centering
 {\includegraphics[width=0.75\textwidth]{FIGS/maple_01.png}}

\smnsp
    \caption {\footnotesize{Integrali indefiniti in Maple (via shell Matlab).}}

    \end{figure}
\end{center}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Maple per il calcolo di integrali}

Svolgiamo ora i calcoli con Maple (dalla shell di Matlab), per integrali definiti.

\begin{figure}[H]
 \centering
 {\includegraphics[width=0.3\textwidth]{FIGS/maple_02.png}}
\smnsp
\caption {\footnotesize{Integrali definiti in Maple (via shell Matlab).}}
 \end{figure}

\end{frame}


\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Mathematica per il calcolo di integrali}

Svolgiamo ora i calcoli con Mathematica per integrali indefiniti, andando ad esempio al sito {\blues{\href{https://www.wolframalpha.com/calculators/integral-calculator}{Online Integral Calculator}}}. Per richiedere i calcoli si usi l'uguale a destra del campo di immissione.

\begin{figure}[H]
\centering
\center{\includegraphics[width=0.8\textwidth]{FIGS/mathematica_01.png}}
\smnsp
\caption {\footnotesize{Integrali indefiniti in Mathematica (via Online Integral Calculator).}}
 \end{figure}

\end{frame}

\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Mathematica per il calcolo di integrali}

Per quanto riguarda il secondo integrale, immettiamo la nuova integranda e digitiamo {\purples{=}} a destra della box.

\begin{figure}[H]
\center{\includegraphics[width=0.8\textwidth]{FIGS/mathematica_02.png}}
\smnsp
\caption {\footnotesize{Integrali indefiniti in Mathematica (via Online Integral Calculator).}}
 \end{figure}

\end{frame}


\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Mathematica per il calcolo di integrali}

Per quanto riguarda gli integrali definiti, immettendo i dati in Math Input, come si evince facilmente dai menu' sotto il campo di immissione, cliccando su {\it{more digits}}:

\begin{figure}[H]
\center{\includegraphics[width=0.8\textwidth]{FIGS/mathematica_03.png}}
\smnsp
\caption {\footnotesize{Integrali definiti in Mathematica (via Online Integral Calculator).}}
 \end{figure}

\end{frame}


\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Mathematica per il calcolo di integrali}

Come prima, ma questa volta per la funzione gaussiana.

\begin{figure}[H]
\center{\includegraphics[width=0.8\textwidth]{FIGS/mathematica_04.png}}
\smnsp
\caption {\footnotesize{Integrali definiti in Mathematica (via sito online).}}
 \end{figure}

\end{frame}


\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Maxima per il calcolo di integrali}

Rifacciamo gli esperimenti con Maxima, utilizzando il {\blues{\href{http://www.dma.ufv.br/maxima/index.php?}{sito dimostrativo}}}

\begin{figure}[H]
\center{\includegraphics[width=0.6\textwidth]{FIGS/maxima_01.png}}
\smnsp
\caption {\footnotesize{Integrali indefiniti in Maxima (via sito online).}}
 \end{figure}

\end{frame}

\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Maxima per il calcolo di integrali}

\begin{figure}[H]
\center{\includegraphics[width=0.45\textwidth]{FIGS/maxima_02.png}}
\smnsp
\caption {\footnotesize{Integrali indefiniti in Mathematica (via Online Integral Calculator).}}
 \end{figure}

\end{frame}

\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Maxima per il calcolo di integrali}

\begin{figure}[H]
\center{\includegraphics[width=0.6\textwidth]{FIGS/maxima_03.png}}
\smnsp
\caption {\footnotesize{Integrali definiti in Maxima (via sito online).}}
 \end{figure}

\end{frame}


\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Maxima per il calcolo di integrali}

\begin{figure}[H]
\center{\includegraphics[width=0.45\textwidth]{FIGS/maxima_04.png}}
\smnsp
\caption {\footnotesize{Integrali definiti in Maxima (via sito online).}}
 \end{figure}
 
 \begin{nota}
 L'installazione di Maxima su computers Apple \'e decisamente ostica. 
 \end{nota}
 
\end{frame}


\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Calcolo di integrali in ambiente Matlab/Octave}

Gli integrali indefiniti prima esposti, ovvero 
$$
\int_0^1 \frac{1+x-x^2}{1+x^2} dx \approx 0.917369917074869 
$$

$$
\int_0^1 \exp{(-x^2)} dx \approx 0.746824132812427
$$

\noindent possono anche essere approssimati in ambiente Matlab/Octave. 

\begin{itemize}
\item Per semplicit\'a li eseguiamo in {\blues{\href{https://octave.org}{Octave}}}, essendo tale software gratuito. La versione Matlab \'e identica. 
\item I comandi possono anche essere immessi nel sito {\blues{\href{https://octave-online.net}{OctaveOnline}}} oppure {\blues{\href{https://www.mycompiler.io/it/online-octave-matlab-compiler}{Compilatore online Octave (MATLAB)}}}.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Codice adattativo in Matlab/Octave}

{\small{
Mostriamo come in Matlab/Octave possiamo calcolare un integrale definito mediante un algoritmo adattativo via la routine {\purples{\tt{integral}}}, con un errore assoluto e/o relativo fissato dall'utente. Questo e' garantito numericamente ma non matematicamente (con esempi complicati si pu\'o far fallire il codice adattativo).

\smsp

La definizione della integranda richiede un po' di dimestichezza col comando \lq\lq{\purples{.}}\rq\rq di Matlab/Octave.
}}
\begin{figure}[H]
\center{\includegraphics[width=0.85\textwidth]{FIGS/octave_01.png}}
\smnsp
\caption {\footnotesize{Integrali definiti in Octave (via programma gratuito).}}
 \end{figure}


\end{frame}

\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Interpolazione polinomiale (sketch)}

{\small{
\begin{problema}[Interpolazione polinomiale]
Siano dati 
\begin{itemize}
\item {\purples{$n+1$}} punti $x_0,\ldots,x_n$ a due a due distinti, 
\item i valori $y_0,\ldots,y_n$ 
\end{itemize}

\smsp

Il problema dell'{\blues{\href{https://it.wikipedia.org/wiki/Interpolazione\_polinomiale}{interpolazione polinomiale}}} consiste nel calcolare 

\smnsp

$$p_n(x)=a_0+\ldots+a_n x^n$$ 

\smnsp

\noindent tale che

\smnsp

$$
{p_n(x_i)=y_i, \, \, i=0,\ldots,n.}
$$

\end{problema}

\begin{esempio}[Retta per due punti]
Dati $2$ punti distinti $x_0,x_1$ e i valori $y_0,y_1$, determinare $p_1 \in {\mathbb{P}}_1$ tale che

\smnsp

\begin{equation}
p_1(x_0)=y_0,  \,\,\,\, p_1(x_1)=y_1
\end{equation}
ovvero la retta che {\it{passa}} per le coppie $(x_0,y_0)$, $(x_1,y_1)$.
\end{esempio}

}}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Esistenza e unicit\mya del polinomio interpolatore}

 \begin{figure}\label{fig1aa8a}
 \centering
 {\includegraphics[scale=0.4,clip]{FIGS/esintp.eps}}
 \caption{Esempio di interpolazione della funzione $f(x)=\exp(x) \sin(x)+\cos(x)$ (in nero) mediante un polinomio di grado 3 (in rosso) in 4 punti equispaziati di $[0,\pi]$ (cerchietti in verde). Sono stati esposti i grafici delle funzioni e le coppie $\{(x_k,y_k)\}_{k=0,\ldots,3}$, ove $x_k=k\pi/3$ e $y_k=f(x_k)$, $k=0,\dots,3$.}
 \end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Esistenza e unicit\mya del polinomio interpolatore}

{\small{
\begin{teorema}[Esistenza e unicit\mya del polinomio interpolatore]
Dati $n+1$ punti distinti $x_0,x_1,\ldots,x_n$ e i valori $y_0,y_1,\ldots,y_n$, esiste ed \'e unico il polinomio $p_n \in {\mathbb{P}}_n$ tale che

\smnsp

$$
p_n(x_i)=y_i, \,\,\,\, i=0,\ldots,n.
$$

\smnsp 

Inoltre
$$
p_n(x)= \sum_{k=0}^n y_k L_k(x)=y_0 L_0(x)+ y_1 L_1(x) +\ldots + y_n L_n(x)
$$
dove 
$$
L_k(x):= \prod_{j=0, j\neq k}^n {\frac{x-x_j}{x_k-x_j}} =
{\frac{ (x-x_0)\ldots(x-x_{k-1})(x-x_{k+1}) \ldots (x-x_n) }{ (x_k-x_0)\ldots(x_k-x_{k-1})(x_k-x_{k+1}) \ldots (x_k-x_n)  }}
$$
\'e il $k$-simo polinomio di Lagrange, relativamente ai punti $\{x_k\}_{k=0,\ldots,n}$.

\end{teorema}
}}

\end{frame}




\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Nota storica}
I {\blues{\href{http://www.seminariomatematico.polito.it/rendiconti/70-4/347.pdf}{polinomi di Lagrange}}} furono scoperti da 
\begin{itemize}
\item {\purples{Waring}} in {\blues{\href{https://www.jstor.org/stable/106408}{Problems concerning interpolations}}} nel 1779, 
\item riscoperti da {\blues{\href{http://eulerarchive.maa.org/docs/originals/E555.pdf}{Eulero}}} nel 1783,
\item  finalmente pubblicati da {\purples{Lagrange}} in {\blues{\href{https://archive.org/details/oeuvresdelagrang07lagr/page/286/mode/1up?view=theater}{Leçon Cinquième. Sur l'usage des courbes dans la solution des problèmes}}} nel 1795 (volume 7, p.286).
\end{itemize}
Per una interessante nota storica, si veda {\blues{\href{https://bigwww.epfl.ch/publications/meijering0201.pdf}{A Chronology of Interpolation: From Ancient Astronomy to Modern Signal and Image Processing}}}.
\end{frame}



\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Nota storica}

\begin{figure}[H]
{\includegraphics[width=0.35\textwidth]{FIGS/Waring_01.png}}
{\includegraphics[width=0.35\textwidth]{FIGS/Waring_02.png}}
\smnsp
\caption {\footnotesize{Articolo di {\purples{Waring}} in cui sono introdotti i polinomi di {\purples{Lagrange}}.}}
\end{figure}
 
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Nota storica}

\begin{figure}[H]
{\includegraphics[width=0.45\textwidth]{FIGS/euler_intp.png}}
\smnsp
\caption {\footnotesize{Articolo di {\purples{Eulero}} in cui sono riottiene un concetto prossimo ai polinomi di {\purples{Lagrange}}.}}
\end{figure}
 
\end{frame}


\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Nota storica}

\begin{figure}[H]
{\includegraphics[width=0.8\textwidth]{FIGS/lagrange_01.png}}
\smnsp
\caption {\footnotesize{Opera di Lagrange in cui sono introdotti i polinomi che portano il suo nome.}}
\end{figure}
 
\end{frame}






\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Sulla scelta dei punti di interpolazione}

Viene da credere che se quali punti prendiamo {\purples{nodi equispaziati}} nell'intervallo $[a,b]$, ovvero

\begin{tcolorbox}
$$
x_k=a+ k \, {\frac {(b-a) } {n}   }, \, \, k=0,\ldots,n 
$$
\end{tcolorbox}

\noindent al crescere di $n$ il polinomio $p_n$ tende ad approssimare sempre meglio la funzione, ma non \'e cos\'i. 

\smsp

Esiste un famoso controesempio dovuto a Runge in {\blues{\href{https://history-of-approximation-theory.com/fpapers/run3.pdf}{Über die Darstellung willkrlicher Functionen und die Interpolation zwichen \"aquidistanten Ordinaten}}}, p.243, (1901), ovvero la funzione $f\in C^{\infty}([-5,5])$ definita da

\begin{tcolorbox}
$$
f(x)=\frac{1}{1+x^2}, \smhsp x \in [-5,5]
$$
\end{tcolorbox}

\noindent in cui {\purples{al crescere di $n$, $\max_{x \in [a,b]}|f(x)-p_n(x)|$ non converge a $0$}}.

\end{frame}



\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Controesempio di Runge}


 \begin{figure}\label{fig1}
 \centering
   {\includegraphics[scale=0.45,clip]{FIGS/runge_22.eps}}
   
\smnsp   
   
 \caption{\footnotesize{Grafico che illustra il polinomio interpolante di grado $12$ su $13$ nodi equispaziati della funzione di Runge. In rosso il polinomio interpolatore, in nero la funzione di Runge, i pallini verdi sono le coppie da interpolare. Si notino le forti differenze agli estremi. Al crescere del grado le cose non vanno meglio!}}
 \end{figure}
 \end{frame}
 
 
 \begin{frame}[fragile]
\frametitle{Controesempio di Runge}


 \begin{figure}\label{fig34}
 \centering
   {\includegraphics[width=0.475\textwidth,align=c]{FIGS/runge_paper_01.png}}
   {\includegraphics[width=0.475\textwidth,align=c]{FIGS/runge_paper_02.png}}
\smnsp   

 \caption{\footnotesize{Articolo sul fenomeno di Runge.}}
 \end{figure}
 
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Regole di quadratura interpolatoria}
{\small{
Vale il seguente teorema di facile dimostrazione.
\begin{teorema} [Stabilit\'a integrazione]
Se $\tilde{f}, f \in C([a,b])$, con $[a,b]$ intervallo limitato, allora
$$
\left| \int_a^b f(x) dx - \int_a^b {\tilde{f}}(x) dx \right| \leq (b-a) \max_{x \in [a,b]} | f(x) -  {\tilde{f}}(x)|.
$$
\end{teorema}

Quindi se supponiamo  
\begin{itemize}
\item che i punti $\{x_k\}_{k=0,\ldots,n} \subset [a,b]$ siano a due a due distinti, 
\item di sapere che il polinomio ${\tilde{f}}=p_n$ interpolante le coppie $(x_0,f(x_0)),\ldots,(x_n,f(x_n))$ sia una {\it{buona}} approssimazione di $f \in C([a,b])$.
\end{itemize}

\noindent allora pure $$I(p_n)=\int_a^b p_n(x) dx \approx I(f)=\int_a^b f(x) dx$$ con l'indubbio vantaggio che {\purples{il calcolo di $I(p_n)$ risulta usualmente pi\'u semplice in generale di quello di $I(f)$}}.
}}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Regole di quadratura interpolatoria}
{\small{
In virt\'u di quanto appena visto, indicato con $L_k$ i polinomi di Lagrange relativamente ai punti $\{x_k\}_{k=0,\ldots,n}$, allora definiti i {\purples{pesi}} $$w_k=\int_a^b  L_k(x) dx$$

\noindent ricaviamo

\begin{eqnarray}
{\reds{\int_a^b f(x) dx}} &{\reds{\approx}} & \int_a^b p_n(x) dx {\stackrel{}{=}} \int_a^b \sum_{k=0}^n f(x_k) L_k(x) dx  \nonumber \\ & {\stackrel{}{=}}& \sum_{k=0}^n  \int_a^b  f(x_k) L_k(x) dx
=  \sum_{k=0}^n f(x_k) \int_a^b  L_k(x) dx \nonumber \\ &=&
  {\reds{ \sum_{k=0}^n w_k f(x_k)}}. 
\end{eqnarray}

\noindent ovvero

$$
\int_a^b f(x) dx \approx \sum_{k=0}^n w_k f(x_k).
$$
}}
\end{frame}


\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Regole di quadratura interpolatoria}
{\small{
Notiamo che se {\purples{$f \in {\mathbb{P}}_n$}} allora essa {\purples{corrisponde}} col polinomio {\purples{$p_n$ interpolante}} le coppie $(x_k,f(x_k))$, $k=0,\ldots,n$ (cf. teorema di esistenza e unicit\'a del polinomio interpolatore) e quindi 
$$
{\reds{\int_a^b f(x) dx}} {\reds{=}}  \int_a^b p_n(x) dx = \int_a^b \sum_{k=0}^n f(x_k) L_k(x) dx =  \ldots =   {\reds{ \sum_{k=0}^n w_k f(x_k)}}. 
$$

Di conseguenza, per $f \in {\mathbb{P}}_n$ il risultato della formula di quadratura $\sum_{k=0}^n w_k f(x_k)$ \'e esattamente uguale al calcolo di $\int_a^b f(x) dx$.

\smsp

In linguaggio matematico si dice che {\purples{il grado di esattezza di una regola interpolatoria basata su $n+1$ nodi \'e almeno $n$}}.

\smsp

Quindi, una regola interpolatoria basata su

\begin{itemize}
\item $1$ nodo, sicuramente integra esattamente le costanti;
\item $2$ nodi, sicuramente integra esattamente i polinomi di grado 0 e 1;
\item $3$ nodi, sicuramente integra esattamente i polinomi di grado 0, 1 e 2.
\end{itemize}

Vedremo che in qualche caso le cose {\purples{vanno anche meglio di cos\'i}}.
}}
\end{frame}


\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Regole di quadratura interpolatoria}

Il fatto che 
$$
\int_a^b f(x) dx \approx \sum_{k=0}^n w_k f(x_k), \smhsp w_k=\int_a^b  L_k(x) dx
$$
dice che per approssimare l'integrale richiesto, non serve 
\begin{enumerate}
\item calcolare il polinomio interpolatore (costoso!), 
\item calcolare il suo integrale indefinito,
\item applicare il teorema fondamentale del calcolo integrale,
\end{enumerate}

\noindent bens\'i 

\begin{enumerate}
\item calcolare una volta per tutte i pesi $\{w_k\}_{k=0,\ldots,n}$ relativi all'insieme dei {\purples{nodi}} $\{x_k\}_{k=0,\ldots,n}$,
\item sfruttare direttamente le valutazioni $\{f(x_k)\}_{k=0,\ldots,n}$.
\end{enumerate}

\begin{nota}
{\small{
Quanto detto \'e importante, perch\'e se cambiamo integranda, i calcoli da fare per ottenere sono pochi, perch\'e i pesi $w_k$, $k=0,\ldots,n$ non cambiano visto che dipendono dai polinomi di Lagrange e quindi solo dai nodi!
}}
\end{nota}

\end{frame}

\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Regola del rettangolo}
\begin{definizione}[Regola del rettangolo]
Siano 
\begin{itemize}
\item $f \in C([a,b])$, $-\infty < a < b < +\infty$,
\item $x_0 \in [a,b]$.
\end{itemize}
La regola detta del {\reds{rettangolo}} \mye definita da
\bc
\btc[width=10cm]

\smnsp
\smnsp

\begin{equation}\label{rett}
\int_a^b f(x)dx \approx w_0 f(x_0)= (b-a) f(x_0):=S^*_0(f).
\end{equation}
\etc
\ec
\end{definizione}

Nel caso in cui $x_0=\frac{a+b}{2}$ abbiamo la cosidetta {\purples{regola del punto medio}}.

\end{frame}

\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Regola del punto medio}

Per la regola del punto medio vale la seguente stima d'errore

\begin{teorema}[Errore della regola del punto medio]
Se $f \in C^{(2)}([a,b])$ l'errore della regola del punto medio risulta
\bc
\btc[width=10cm]
\smnsp
\smnsp
$$E_0(f):= I(f) - S^*_0(f) = {\reds{\frac { (b-a)^3} {24}  \, f^{(2)}(\xi)}}, \,\,\, \xi \in (a,b).$$
\etc
\ec
\end{teorema}

Una lettura attenta dice che se $f \in {\mathbb{P}}_1$ allora $$E_0(f):= I(f) - S^*_0(f)=0$$ e quindi l'integrale e la formula del punto medio porgono lo stesso risultato.

\smsp

Ad un occhio attento questo fatto \'e un po' sorprendente perch\'e ci si aspetta che la regola integri bene le costanti ma non anche i polinomi di grado $1$.  

\end{frame}

\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Regola del rettangolo}
\begin{figure}
  \centering
   {\includegraphics[scale=0.35,clip]{FIGS/rett18.eps}}
 \caption{Regola del rettangolo con nodo $x_0=(a+b)/2$, $a=0$, $b=2\pi$, per il calcolo di 
$\int_{0}^{2 \pi} (3+\sin(2x)+\cos(x)+x) \, dx$ (la regola calcola l'area del rettangolo in celeste).}
\end{figure}



\end{frame}



\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Regola del trapezio.}

\smnsp

{\small{
\begin{definizione}[Regola del trapezio]
La regola del trapezio \mye definita da
\bc
\btc[width=10cm]
$$\int_a^b f(x)dx \approx S_1(f):= \frac{b-a}{2} \cdot  (f(a)+f(b)).$$
\etc
\ec
\end{definizione}
}}

\begin{figure}
  \centering
   {\includegraphics[scale=0.25,clip]{FIGS/tpz18.eps}}
 \caption{Regola del trapezio per il calcolo di 
$\int_{0}^{2 \pi} 3+\sin(2x)+\cos(x)+x \, dx$ (la regola calcola il volume dell'area in celeste).}
\end{figure}


\end{frame}

\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Regola del trapezio}

\begin{teorema}[Errore della regola del trapezio]
Se $f \in C^2([a,b])$ allora l'errore compiuto dalla formula del trapezio \mye

\bc
\btc[width=10cm]
\smnsp
\smnsp
$$E_1(f):= I(f) - S_1(f) = \frac {- (b-a)^3} {12}  \, f^{(2)}(\xi), \,\,\, \xi \in (a,b).$$
\etc
\ec

\end{teorema}


\begin{teorema}[Grado di precisione della regola dei trapezi]
Il grado di precisione della regola del trapezio \mye esattamente {\reds{1}}.
\end{teorema}

\end{frame}

\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Regola di Cavalieri-Simpson (o della parabola)}

\begin{definizione}[Regola di Cavalieri-Simpson]
La regola di Cavalieri-Simpson \mye definita da $\int_a^b f(x)dx \approx S_2(f)$ con

\smnsp

\bc
\btc[width=10cm]
\smnsp
$$S_2(f) :=  \frac{b-a}{6} \cdot f(a)+ \frac{2(b-a)}{3} \cdot f\left(\frac{a+b}{2}\right) +  \frac{b-a}{6} \cdot f(b).$$
\bignsp
\etc
\ec
\end{definizione}

\smsp

Tale formula interpolatoria corrisponde a integrare il polinomio interpolatore avente quali nodi i punti 
$a$, $b$ e il punto medio dell'intervallo $(a+b)/2$.

\smsp

Di conseguenza, essendo a tre punti, ha grado di precisione almeno 2.

\end{frame}





\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Regola di Cavalieri-Simpson (o della parabola)}
\begin{figure}
  \centering
   {\includegraphics[scale=0.3,clip]{FIGS/cs18.eps}}
 \caption{\footnotesize{Regola di Cavalieri-Simpson per il calcolo di 
$\int_{0}^{2 \pi} 3+\sin(2x)+\cos(x)+x \, dx$ calcola l'area del trapezio in celeste).}}
\end{figure}
\end{frame}






\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Regola di Cavalieri-Simpson (o della parabola)}

\smnsp

{\small{
\begin{teorema}[Errore Regola Cavalieri-Simpson]
Se $f \in C^4([a,b])$ allora l'errore compiuto dalla regola di Cavalieri-Simpson \mye 
\bc
\btc[width=10cm]
$${E_2(f):= I(f) - S_2(f) ={\reds{ \frac {- h^5 } {90} } \, f^{(4)}(\xi)}, \hspace{0.2cm} h= { \frac {b-a} {2}}}$$
\etc
\ec
in cui $\xi \in (a,b)$.
\end{teorema}

\smnsp

\begin{teorema}[Grado di precisione della regola di Cavalieri-Simpson]
Il grado di esattezza della regola di Cavalieri-Simpson \mye esattamente {\reds{3}}.
\end{teorema}
}}

\begin{nota}
Come nel caso della regola del punto medio, questo \'e sorprendente, perch\'e essendo la formula basata sull'interpolazione in 3 punti, ci si aspetta possa non essere in grado di integrare polinomi di terzo grado.
\end{nota}

\end{frame}



\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Note storiche}

Storicamente lo studio degli integrali ha seguito una strada un po' contorta.

\smsp

Si pensi che Cavalieri non aveva il concetto odierno di integrale, essendo stato attivo come ricercatore tra il 1629 e il 1647, mentre 
\begin{itemize}
\item il teorema fondamentale del calcolo integrale ({\blues{\href{https://archive.org/details/operageometrica00torr}{Torricelli}}}-{\blues{\href{https://archive.org/details/geometricallectu00barruoft}{Barrow)}}} appare in qualche forma primitiva in {\blues{\href{https://archive.org/download/geometricallectu00barr/geometricallectu00barr.pdf}{Lectiones geometricae}}} di Barrow (1670) e una qualche prova in {\blues{\href{https://archive.org/details/gregory_universalis/mode/1up?view=theater}{Geometriae pars universalis}}} di Gregory (1668), cf. {\cite{BRES}};
\item {\blues{\href{https://ia800700.us.archive.org/23/items/bub_gb__zcPAAAAQAAJ/bub_gb__zcPAAAAQAAJ.pdf}{l'integrale di Riemann}}} fu introdotto nel dicembre del 1853 (nella sua tesi di abilitazione);
\item {\blues{\href{https://ia902903.us.archive.org/25/items/leconegrarecher00leberich/leconegrarecher00leberich.pdf}{l'integrale di Lebesgue}}} fu introdotto nel 1904;
\end{itemize}

\smsp

In qualche modo, senza avere la teoria moderna, ma utilizzando una tecnica detta {\it{Il metodo degli indivisibili}}, Cavalieri fu in grado di {\blues{\href{https://keespopinga.blogspot.com/2017/07/gli-indivisibili-di-cavalieri.html}{calcolare per $n=1,\ldots,9$ quello che ora scriviamo $\int_a^b x^n dx$}}}.

\end{frame}

\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Nota storica}

\begin{figure}[H]
{\includegraphics[width=0.35\textwidth,align=c]{FIGS/torricelli_01.png}}
\smnsp
\caption {\footnotesize{Opera di {\purples{Torricelli}} in cui \'e introdotto in forma geometrica il teorema fondamentale del calcolo (legame tra spazio percorso su una linea retta e velocit\'a).}}
\end{figure}
 
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Nota storica}

\begin{figure}[H]
{\includegraphics[width=0.35\textwidth,align=c]{FIGS/barrow_01.png}}
{\includegraphics[width=0.425\textwidth,align=c]{FIGS/barrow_03.png}}
\smnsp
\caption {\footnotesize{Opera di {\purples{Barrow}} in cui \'e introdotto in forma geometrica il teorema fondamentale del calcolo, e nota moderna di Child sul suo contenuto. Interessante anche la nota {\blues{\href{https://arxiv.org/pdf/1111.6145}{Barrow and Leibniz on the fundamental theorem of the calculus.}}}}}
\end{figure}
 
\end{frame}


\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Note storiche}
\begin{figure}
  \centering
   {\includegraphics[scale=0.4,clip]{FIGS/gregory.png}}
 \caption{\footnotesize{{\it{Geometriae pars universalis}}, pubblicato a Padova nel 1668.}}
\end{figure}
\end{frame}



\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Note storiche}

Alla pagina web {\blues{\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_integral}{Riemann integral}}} troviamo scritta questa nota interessante:

\smsp

{\footnotesize{
\begin{tcolorbox}
\begin{citation}

The Riemann integral was introduced in Bernhard Riemann's paper "Über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe" (On the representability of a function by a trigonometric series; i.e., when can a function be represented by a trigonometric series). 

\smsp

This paper was submitted to the University of Göttingen in 1854 as Riemann's Habilitationsschrift (qualification to become an instructor). 

\smsp

It was published in 1868 in Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen (Proceedings of the Royal Philosophical Society at Göttingen), vol. 13, pages 87-132. 

\smsp

For Riemann's definition of his integral, see section 4, "Über den Begriff eines bestimmten Integrals und den Umfang seiner Gültigkeit" (On the concept of a definite integral and the extent of its validity), pages 101–103.
\end{citation}
\end{tcolorbox}
}}

\end{frame}
 
\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Note storiche}
\begin{figure}
  \centering
   {\includegraphics[scale=0.35,clip]{FIGS/riemann.png}}
 \caption{\footnotesize{La monografia in cui venne introdotto l'integrale di Riemann.}}
\end{figure}
\end{frame}


\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Note storiche}
\begin{figure}
  \centering
   {\includegraphics[scale=0.4,clip]{FIGS/lebesgue.png}}
 \caption{\footnotesize{La monografia in cui venne introdotto l'integrale di Lebesgue.}}
\end{figure}
\end{frame}


\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Regola di Cavalieri-Simpson (o della parabola)}

{\footnotesize{Sull'attribuzione a Cavalieri, scrive Peano in {\blues{\href{https://www.asut.unito.it/peano/pdf/opere/1916t.pdf}{Residuo in Formula de quadratura Cavalieri-Simpson}}} (1916), in un anomalo interlingua, attribuendo la formula a contributi di {\blues{\href{https://archive.org/details/bub_gb_ZdkAoCkhjfsC}{Cavalieri}}} (1639), {\blues{\href{https://archive.org/details/ita-bnc-mag-00001357-002}{Gregory}}} (1668), {\blues{\href{https://www.jstor.org/stable/41723298}{Cotes}}} (1722) e Simpson (1743).}}

\begin{figure}
  \centering
   {\includegraphics[scale=0.25,clip]{FIGS/peano_00.png}}
 \caption{\footnotesize{Articolo di Peano e nota storica sull'attribuzione della formula.}}
\end{figure}
\end{frame}


\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Regola di Cavalieri-Simpson (o della parabola)}

Risulta sorprendente a cosa servisse a Cavalieri una tale formula. 

\smsp

All'epoca studiavano molto i solidi di rotazione. Per esempio, {\purples{Keplero}} in {\blues{\href{https://archive.org/details/den-kbd-pil-21009000066F-001}{Nova stereometria doliorum vinariorum}}} ovvero {\it{Nuova misura del volume delle botti di vino}} cerc\'o di giustificare un {\purples{criterio empirico usato dai bottai austriaci}}. Utilizz\'o metodi geometrici per provvedere allo scopo.

\smsp

D'altra parte pare che anche {\purples{Cavalieri}} fosse interessato a questo. In {\blues{\href{https://iris.polito.it/bitstream/11583/2505638/1/13593471.pdf}{Note - Postille Matematiche}}} di Gabrio Piola, si parla del lavoro di Cavalieri {\it{Centuria di varii problemi}}. In particolare a pagina 83, si dice

\smsp

\begin{tcolorbox}
Il problema 80 per la misura delle botti ellittico-circolari, dove si dà una regola la quale \'e precisamente la medesima che oggidì si cava dalla nota formola del Rossi-Amulis dimostrata mediante il calcolo nel 1806.
\end{tcolorbox}

\end{frame}



\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Note storiche}

\begin{figure}
  \centering
   {\includegraphics[scale=0.325]{FIGS/keplero_botti.png}}
 \caption{\footnotesize{Copertina della pubblicazione di Keplero intitolata {\it{Nova stereometria doliorum vinariorum}} sul volume delle botti.}}
\end{figure}

\end{frame}




\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Note storiche}

\begin{figure}
  \centering
   {\includegraphics[scale=0.375,align=c]{FIGS/centuria.png}}
 \caption{\footnotesize{La copertina della pubblicazione di Cavalieri, suggerita da Peano.}}
\end{figure}

\end{frame}

\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Note storiche}

\begin{figure}
  \centering
    {\includegraphics[scale=0.25,align=c]{FIGS/peano_botti_L1.png}}
 \caption{\footnotesize{Nota di Peano sul volume delle botti di Cavalieri.}}
\end{figure}

\end{frame}


\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Note storiche}

\begin{figure}
  \centering
    {\includegraphics[scale=0.4,align=c]{FIGS/cavalieri_03.png}}
 \caption{\footnotesize{Nota ulteriore sul volume delle botti di Cavalieri.}}
\end{figure}

\end{frame}



\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Note storiche}

\begin{figure}
  \centering
   {\includegraphics[scale=0.45]{FIGS/CAV_originale.png}}
 \caption{\footnotesize{Il problema 80, a p.445 della {\sl{Centuria di varii problemi}} di Cavalieri.}}
\end{figure}

\end{frame}





\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Note storiche}

Lan stessa regola di quadratura si trova in {\blues{\href{https://ia601000.us.archive.org/12/items/RMSE006367_TO0324_PNI-3156_000000/RMSE006367_TO0324_PNI-3156_000000.pdf}{Mathematical dissertations On A Variety of Physical and Analytical subjects}}} di Thomas Simpson. Guardando la figura, T. Simpson pensa probabilmente a formula composte.

\begin{figure}
  \centering
   {\includegraphics[scale=0.25]{FIGS/simpson_01.png}}
    {\includegraphics[scale=0.25]{FIGS/simpson_02.png}}
 \caption{\footnotesize{Dal testo di Simpson {\it{Mathematical dissertations On A Variety of Physical and Analytical subjects}}.}}
\end{figure}

\end{frame}






\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Formule di Newton-Cotes}

\begin{considerazione}
Si supponga.che l'integranda $f \in C([a,b])$, con $[a,b]$ limitato.

\smsp

Per un teorema di Weierstrass, visto che una tale funzione \'e approssimabile {\it{uniformemente}} arbitrariamente bene da polinomi, {\purples{hanno fatto credere {\it{istintivamente}} che formule aventi grado di esattezza sempre pi\'u alto permettano di approssimare arbitrariamente bene l'integrale definito}}, ma cos\'i non \'e in generale. 

\smsp

Che in effetti sia cos\'i, viene da credere sia una conseguenza del controesempio di Runge. Una scelta cattiva dei nodi di integrazione $\{x_k\}_{k=0.\ldots,n}$ porta a volta a risultati catastrofici.

\smsp

Vediamo di seguito i dettagli.

\end{considerazione}

\end{frame}

\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Regole di Newton-Cotes}

{\small{
\begin{definizione}[Regole di Newton-Cotes chiuse, (Newton 1676, Cotes 1722)]
Sia  [$a,b$] un intervallo compatto di $\R$. Una regola 

\smnsp

$$
S_n(f)=\sum_{i=0}^n w_i f(x_i) \approx \int_{a}^b  f(x) dx
$$
si dice di tipo {\reds{Newton-Cotes chiusa}}
se 
\begin{itemize}
\item i nodi sono equispaziati, e comprendono gli estremi, cio\mye 

\smnsp

$$x_i=a+ {\frac {i \, (b-a)}{n} }, \,\, i=0,\ldots ,n,$$ 
\item i pesi sono 

\smnsp

$$
w_i=\int_a^b L_i(x) dx, \,\,i=0,\ldots,n, \,\,\,
L_i(x)=\prod_{j=0, \,  j\neq i}^n \frac{(x-x_i)}{x_j-x_i}.
$$
\end{itemize}

\end{definizione}
\smnsp

\begin{nota}[Grado di precisione Formule di Newton-Cotes chiuse]
Tale formula \mye interpolatoria a $n+1$ punti (attenzione alla sommatoria) e ha grado di precisione almeno $n$.
\end{nota}
}}
\end{frame}


\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Formule di tipo Newton-Cotes (aperte), facoltativo}

\smnsp

\begin{nota}[Facoltativa]

\begin{itemize}
\item Queste formule furono introdotte da Newton nel 1676, e descritte in {\blues{\href{https://link.springer.com/article/10.1007/s00407-013-0117-1}{Of Quadrature by Ordinates}}} nel 1695. La letteratura non \'e molto chiara, dicono che calcol\'o formule a 5 ordinate (grado 4?).

\item Furono di seguito perfezionate da Cotes, che era editore della seconda edizione dei Principia di Newton, probabilmente nel 1707 ma pubblicate nel 1722, che le calcol\'o fino a quelle con $11$ nodi. 

\smsp

Guardando {\blues{\href{https://www.e-rara.ch/download/pdf/1255698.pdf}{Harmonia mensurarum}}}, non \'e facile capire dove si trovino tali formule dovute a Cotes. Viene citato un {\it{opuscolo aggiuntivo}}, ma non \'e chiaro il riferimento.

\smsp

Cotes pare non sia stato citato o pagato per il lavoro nei Principia. Ci\'o nonostante era molto stimato da Newton, che alla morte di Cotes a 34 anni disse {\purples{If he had lived, we might have known something}}. 
\end{itemize}
\end{nota}
\end{frame}


\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Note storiche}
\begin{figure}
\centering
{\includegraphics[scale=0.35]{FIGS/cotes_10.png}}
 \caption{\footnotesize{Prima pagina dell'opera  {\it{Harmonia mensurarum}}}}
\end{figure}
\end{frame}




\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Regole di Newton-Cotes}

{\footnotesize{
Mostriamo sull'esempio di Runge il fenomeno di mancata convergenza. L'interpolante polinomiale in nodi equispaziati \'e molto diversa dalla funzione in Runge e quindi viene da credere che lo siano pure gli integrali definiti.
}}

{\fns{
\begin{table}[!ht]\label{tabexp1}
\begin{center}
\begin{tabular}{|| c | c | c ||}
\hline
$n$ & {\it{Integrale Intp. Pol.}} &   {\it{Err.Assoluto}} \\
\hline
\hline
$ 1$ & $3.846153846153846e-01$ & $2.362e+00$ \\
 $ 2$ & $6.794871794871796e+00$ & $4.048e+00$ \\
 $ 3$ & $2.081447963800905e+00$ & $6.654e-01$ \\
 $ 4$ & $2.374005305039788e+00$ & $3.728e-01$ \\
 $ 5$ & $2.307692307692308e+00$ & $4.391e-01$ \\
 $ 6$ & $3.870448673470800e+00$ & $1.124e+00$ \\
 $ 7$ & $2.898994409748379e+00$ & $1.522e-01$ \\
 $ 8$ & $1.500488907127907e+00$ & $1.246e+00$ \\
 $ 9$ & $2.398617897841837e+00$ & $3.482e-01$ \\
 $10$ & $4.673300555653490e+00$ & $1.926e+00$ \\
 $15$ & $4.155558992699889e+00$ & $1.409e+00$ \\
 $20$ & $-2.684955208653064e+01$ & $2.960e+01$ \\
  \hline
\end{tabular}

{{
\caption{{\footnotesize{Valore di $\int_{-5}^5 p_n(x) dx$  dove $p_n$ \mye il polinomio interpolante la funzione di Runge $f(x)=1/(1+x^2)$ in $n+1$ punti equispaziati di $[-5,5]$. Al crescere di $n$ i risultati non approssimano $\int_{-5}^5 1/(1+x^2)dx \approx {\purples{2.746801533890032}}$.}}}
}}
\end{center}
\end{table}
}}

\end{frame}



\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Formule composte (facoltativo)}



{\tiny{

Le formule composte sono  ottenute {\reds{integrando un interpolante polinomiale a tratti di grado fissato $m$}}.

\smsp

A tal proposito  
\begin{itemize}
\item suddividiamo l'intervallo $[a,b]$ in $L$ intervalli equispaziati $[t_0,t_1]$,$\ldots$,$[t_{L-1},t_L]$;
\item definiamo nel generico subintervallo $[t_{k-1},t_k]$ un insieme di $m+1$ punti equispaziati $x_{m{(k-1)}}<\ldots<x_{mk}$ con $t_{k-1}=x_{m{(k-1)}}$ e $t_{k}=x_{m{k}}$;
\item sia \lq\lq$s_m$\rq\rq un'{\purples{interpolante polinomiale a tratti di grado locale fissato $m$}}, relativa alla suddivisione $[t_{k},t_{(k+1)}]$, con $k=0,\ldots, L$, e alle coppie $(x_j,f(x_j))$, $j=0,\ldots,n=Lm$;
\item supponiamo che $S_m(f,t_{k-1},t_k)$ sia una formula interpolatoria di tipo Newton-Cotes chiusa, nell'intervallo $[t_{k-1},t_k]$, avente $m+1$ nodi (quindi con grado di precisione almeno $m$).
\end{itemize}

\smnsp

\frametitle{Formula composta del punto medio}
\begin{figure}
  \centering
   {\includegraphics[scale=0.25,clip]{FIGS/cubcomp.eps}}
   
   \smnsp
\smnsp
   
 \caption{{\tiny{{\purples{In nero}}: la funzione $f(x)=3+\sin(2x)+\cos(x)+x$. 
 
 \smsp
 
 {\purples{In rosso}}: la interpolante a tratti $s_m$ di grado $m=2$, relativa alla suddivisione $[t_k=x_{2k},t_{k+1}=x_{2(k+1)}]$, con $k=0,1, 2$, e alle coppie $(x_j,f(x_j))$, $j=0,\ldots,n=6$. 
 
 \smsp
 
 {\purples{In verde}}: le coppie  $(x_j,f(x_j))$, $j=0,\ldots,6$. }}}
\end{figure}

}}


\end{frame}




\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Formule composte}
\begin{itemize}
\item Essendo $s_m$ un polinomio di grado $m$ in ogni subintervallo $[t_{k},t_{k+1}]$, 
\item visto che ogni formula $S_m(f,t_{k},t_{(k+1))}$ ha grado di precisione $m$,
\end{itemize}
necessariamente, dalla propriet\'a di additivit\'a dell'operatore di integrazione:

\begin{eqnarray}
\int_a^b f(x) dx &\approx & \int_a^b s_m(x) dx \nonumber \\
&=& \int_{t_0=a}^{t_1} s_m(x) dx + \int_{t_1}^{t_2} s_m(x) dx+\ldots+ \int_{t_{L-1}}^{x_{L}=b} s_m(x) dx \nonumber \\
& = & S_m(f,t_0,t_1)+S_m(f,t_1,t_2)+\ldots+S_m(f,t_{L-1},t_{L}) \nonumber
\end{eqnarray}
Quindi abbiamo ottenuto l'approssimazione dell'integrale non con una regola di Newton-Cotes con alto grado di precisione \lq\lq$n$\rq\rq, ma {\purples{applicando una stessa regola con basso grado di precisione \lq\lq$m$\rq\rq in ogni subintervallo, sommando alla fine i contributi ottenuti}}.
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Formule composte}

\smnsp

{\small{
\begin{definizione}[Formula composta]
Sia 
\begin{enumerate}
\item $[a,b]$ un intervallo chiuso e limitato,
\item $t_j=a+jh$ con $h=(b-a)/N$, $j=0,\ldots,N$,
\item $S(f,\alpha,\beta))$ una regola di quadratura nel generico intervallo limitato $[\alpha,\beta]$. 
\end{enumerate}

La formula di quadratura 

\bignsp

\begin{equation}\label{composte}
S^{(c)}(f,a,b,N) = \sum_{j=0}^{N-1} S(f, {t_j}, {t_{j+1}} ) 
\end{equation}

\smnsp

\mye detta formula composta di $S$.
\end{definizione} 
}}

{\footnotesize{
\begin{nota}
In questa discussione i punti $x_j$, $j=0,\ldots,N$, sono {\reds{equispaziati}}, ma con qualche fatica si pu\myo effettuare nel caso generale di punti arbitrari.
In altri termini:
\begin{itemize}
\item Se $t_0=a<t_1<\ldots<t_N=b$, si partiziona l'intervallo $[a,b]$ come unione di subintervalli $[t_k,t_{k+1}]$, $k=0,\ldots,N-1$;
\item in ogni subintervallo si applica una formula di quadratura del grado desiderato.
\end{itemize}
\end{nota}

}}
\end{frame}



\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Formula composta del punto medio}
\smnsp
{\fns{
\begin{definizione}[Formula composta del punto medio]
La formula composta del punto medio \mye definita da

\smnsp

\bc
\btc[width=8cm]
\smnsp
\begin{equation}\label{rettcomp}
S_0^{(c)}(f,a,b,N)  :=\frac{b-a}{N} \sum_{k=0}^{N-1} f(x_k), 
\smnsp
\end{equation}
\etc
\ec

\smnsp

dove $x_k$ \mye il punto medio del $k+1$-simo subintervallo ovvero
$$
x_k=a+ \frac{2k+1}{2} \cdot \frac{b-a}{N}, k=0,\ldots,N-1.
$$
\end{definizione}

}}

{\tiny{

\begin{vuoto}[Determinazione della formula composta del punto medio, facoltativo]
Supponiamo di aver suddiviso $[a,b]$ in $N$ subintervalli equispaziati $[t_k,t_{k+1}]$, $K=0,\ldots,N-1$ con $t_j=a+jh$, $j=0,\ldots,N$, $h=(b-a)/N$. Il punto medio $x_k$ dell'intervallo  $[t_k,t_{k+1}]$ risulta
$$
x_k=\frac{t_k+t_{k+1}}{2}=\frac{a+kh+a+(k+1)h}{2}=a+\frac{(2k+1)h}{2}.
$$
Visto  $w_k=
t_{k+1}-t_k=a+(k+1)h-(a+kh)=h=(b-a)/N$ otteniamo 
$$
S_0^{(c)}(f,a,b,N)  := \sum_{k=0}^{N-1} \frac{b-a}{N} f(x_k)= \frac{b-a}{N} \sum_{k=0}^{N-1} f(x_k).
$$
\end{vuoto}
}}
\end{frame}







\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Formula composta del punto medio}
\begin{figure}
  \centering
   {\includegraphics[scale=0.35,clip]{FIGS/crett18.eps}}
 \caption{Formula del punto medio composta per il calcolo di 
$\int_{0}^{2 \pi} 3+\sin(2x)+\cos(x)+x \, dx$ (la formula composta calcola il volume dell'area in celeste).}
\end{figure}
\end{frame}






\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Formula composta del punto medio}


\smnsp



\begin{teorema}[Errore formula composta punto medio]
Se $[a,b]$ \mye suddiviso in $N$ subintervalli  equispaziati di passo $h=\frac {b-a} {N} $,  allora
\bc
\btc
\smnsp
$$
E_0^{(c)}(f):= I(f) - S_0^{(c)}(f,a,b,N)  =\frac { (b-a) } {24}  h^2 \, f^{(2)}(\xi^*), \,\, \xi^* \in (a,b) 
$$
\etc
\ec
\end{teorema}
\smnsp


\begin{nota}[Grado di precisione]
Con ragionamenti analoghi a quelli fatti per la formula del punto medio, si vede facilmente che grado di precisione \mye esattamente 1.
\end{nota}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Formula composta del punto medio}

\begin{nota}[Errore formula vs regola]
Relativamente alla regola del punto medio avevamo
$$E_0(f):= I(f) - S_0(f) = {\reds{\frac { (b-a)^3} {24}  \, f^{(2)}(\xi)}}, \,\,\, \xi \in (a,b),$$
ma si osservi che per $N > 1$
$$
{\reds{\frac { (b-a) } {24}  h^2}} = \frac { (b-a) } {24}  \left(\frac {b-a} {N} \right)^2 = \frac { (b-a)^3 } {24 N^2} {\reds{<  \frac { (b-a)^3 } {24 }}},
$$
e quindi ci si pu\'o aspettare un errore migliore dalla formula di tipo composta.
\end{nota}
\end{frame}

\smnsp

\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Formula composta dei trapezi}

{\footnotesize{
\begin{proposito}[Come si ottiene la formula dei trapezi composta]
Per introdurre la formula composta dei trapezi, supponiamo di aver suddiviso $[a,b]$ in $N=4$ subintervalli equispaziati $[t_k,t_{k+1}]$, $K=0,\ldots,N-1=3$ con $t_j=a+jh$, $j=0,\ldots,N=4$, $h=(b-a)/N=(b-a)/4$.

\smsp

Indicata con $S_1(f,\alpha,\beta)$ l'applicazione della regola del trapezio relativamente a $f$ e all'intervallo $[\alpha,\beta]$,

\smsp

\begin{itemize}
\item $S_1(f,t_0,t_1)=\frac{h}{2}(f(t_0)+f(t_1))$,
\item $S_1(f,t_1,t_2)=\frac{h}{2}(f(t_1)+f(t_2))$,
\item $S_1(f,t_2,t_3)=\frac{h}{2}(f(t_2)+f(t_3))$,
\item $S_1(f,t_3,t_4)=\frac{h}{2}(f(t_3)+f(t_4))$,
\end{itemize}
ricaviamo che essendo $N=4$
\begin{eqnarray}
S_1^{(c)}(f,a,b,4)&=& \frac{h}{2} (f(t_0)+f(t_1) + f(t_1) + f(t_2) +  f(t_2) +f(t_3) + f(t_3) + f(t_4)) \nonumber \\
&=& \frac{h}{2} (f(t_0)+2 f(t_1) + 2 f(t_2) +2 f(t_3) + f(t_4)) \nonumber \\
&=& \frac{b-a}{N} \left(\frac{1}{2} f(t_0)+ f(t_1) +  f(t_2) + f(t_3) +\frac{1}{2} f(t_4) \right) \nonumber
\end{eqnarray}
\end{proposito}
}}

\end{frame}









\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Formula composta dei trapezi}

\begin{definizione}[Formula dei trapezi composta]
Posti $x_k=a+kh$, $k=0,\ldots,N$, $h=(b-a)/N$, la formula {\reds{composta dei trapezi}} \mye definita da

\smnsp

\bc
\btc
{\small{
\smnsp
$$
S_1^{(c)}(f,a,b,N)  := \frac{b-a}{N} \, \left[ {\frac {f(x_0)} {2} } + f(x_1) + \ldots + 
f(x_{N-1}) + {\frac {f(x_N)} {2} }  \right],
$$
}}
\etc
\ec
\end{definizione}

\smnsp

\begin{teorema}[Errore formula dei trapezi composta]
Nelle precedenti ipotesi, l'errore compiuto \mye per un certo $\xi \in (a,b)$
\bc
\btc
{\small{
\smnsp
$$
{\reds{E_1^{(c)}(f)}}:= I(f) - S_1^{(c)}(f,a,b,N)  ={\reds{{{ \frac {- (b-a) } {12} } h^2 \, 
f^{(2)}(\xi)}}}, \,\, h ={ \frac {(b-a) } {N} }.  
$$
}}
\etc
\ec
\end{teorema}
\end{frame}









\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Formula composta dei trapezi}

\smnsp

{\small{
\begin{nota}[Grado di precisione]
Con ragionamenti analoghi a quelli fatti per la regola del trapezio, si vede facilmente che grado di precisione \mye esattamente 1, visto che l'errore assoluto risulta
$$
{\reds{|E_1^{(c)}(f)|}}:= |I(f) - S_1^{(c)}(f,a,b,N)|  ={\reds{{{ \frac { (b-a) } {12} } h^2 \, 
|f^{(2)}(\xi)|}}}, \,\, h ={ \frac {(b-a) } {N} },
$$
\end{nota}


\begin{nota}[Formula composta vs regola]
Relativamente alla regola del trapezio avevamo
$$
|E_1(f)|:= |I(f) - S_1(f)| = \frac { (b-a)^3} {12}  \, |f^{(2)}(\xi)|, \,\,\, \xi \in (a,b).
$$
ma si osservi che per $N > 1$
$$
\frac {(b-a) } {12} h^2 = \frac {(b-a) } {12} \left( \frac {(b-a) } {N}  \right)^2 = \frac {(b-a)^3 } {12 N^2} < \frac { (b-a)^3} {12},
$$
per cui ci si aspetta un errore {\reds{assoluto}} migliore dalla formula composta.
\end{nota}

}}
\end{frame}






\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Formula composta dei trapezi}
\begin{figure}
  \centering
   {\includegraphics[scale=0.35,clip]{FIGS/ctpz18.eps}}
 \caption{Formula dei trapezi composta per il calcolo di 
$\int_{0}^{2 \pi} 3+\sin(2x)+\cos(x)+x \, dx$ (la formula composta calcola l'area in celeste, ovvero l'integrale della funzione lineare a tratti il cui grafico \'e in rosso).}
\end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Note storiche}

{\small{La formula dei trapezi ha molte propriet\'a interessanti. In {\cite{TREF}} queste vengono esposte nel dettaglio. Accanto a una interessante nota storica.

In particolare sottolinea il lavoro di Poisson, in cui si nota la notevole performance in caso di funzioni periodiche.}}

\begin{figure}
  \centering
   {\includegraphics[scale=0.4,clip]{FIGS/trefethen.png}}
   
\end{figure}

\end{frame}

\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Formula di Eulero-Maclaurin}
{\footnotesize{Prendiamo quindi in considerazione una prima analisi dell'integranda
$$
{\frac{1}{2\pi}} \sqrt{1-0.36 \sin^2 \theta}
$$
e vediamo che \'e periodica in $[0,2\pi]$, con derivate successive periodiche. In effetti, sia la geometria (stiamo calcolando il perimetro di una ellisse), sia Maple suggeriscono questo.}}

{\footnotesize{
\begin{verbatim}
>> syms f(x)
>> f(x)=(1/(2*pi))*sqrt(1-0.36*(sin(x))^2);
>> g=diff(f,x,1); g(2*pi)-g(0)
ans = 0
>> g=diff(f,x,2); g(2*pi)-g(0)
ans = 0
>> g=diff(f,x,3); g(2*pi)-g(0)
ans = 0 
>> g=diff(f,x,4); g(2*pi)-g(0)
ans = 0 
>> g=diff(f,x,25); g(2*pi)-g(0)
ans = 0 
>> g=diff(f,x,30); g(2*pi)-g(0)
ans = 0
\end{verbatim}
}}


\end{frame}



\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Formula di Eulero-Maclaurin}


{\footnotesize{
Vale il seguente teorema in cui $h_N$ \'e l'ampiezza del generico subintervallo equispaziato che definisce la formula composta.

\begin{teorema}[Formula di {\reds{\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Euler–Maclaurin_formula}{Eulero-Mac Laurin}}}, 1735]
Se l'integranda $f \in C^{2M+2}([a,b])$ allora

\smnsp

\begin{center}
\begin{tcolorbox}
\smnsp
\smnsp
\bea
\int_a^b f(x) dx &=& S_1^{( c )}(f,N)  + \sum_{k=1}^M \frac{B_{2k} }{(2k)!} h_N^{2k} \left( f^{(2k-1)}(b) - f^{(2k-1)}(a)\right)\nonumber \\  &-&\frac{B_{2M+2}}{(2M+2)!} h_N^{(2M+2)} (b-a) f^{(2M+2)} (\xi), \,\, \xi \in (a,b) \nonumber
\eea
\end{tcolorbox}
\end{center}

\smnsp

dove $B_k$ sono i {\blues{\href{https://it.wikipedia.org/wiki/Numeri_di_Bernoulli}{numeri di Bernoulli}}} (Bernoulli, 1713). 
\end{teorema}

Se $f \in C^{2M+2}([a,b])$ e $f^{(2k-1)}(b) = f^{(2k-1)}(a) $, per $k=1,\ldots,M$
\begin{center}
\begin{tcolorbox}
\smnsp
$$
\int_a^b f(x) dx- S_1^{( c )}(f,N)  = - \frac{B_{2M+2}}{(2M+2)!} h_N^{(2M+2)} (b-a) f^{(2M+2)} (\xi), \nonumber
$$
\smnsp
\smnsp
\end{tcolorbox}
\end{center}

con $\xi \in (a,b)$
e da $h_N=(b-a)/N$, si ha che {\reds{$
{\cal{E}}_1^{(c)}(f) \approx { \frac {C} {N^{2M+2}} }
$}}.
}}


\end{frame}

\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Formula di Eulero-Maclaurin (numeri di Bernoulli)}


{\footnotesize{
I numeri di Bernoulli furono forse le prime quantit\'a per cui esista un codice per calcolarle da una macchina calcolatrice, la cosidetta {\purples{Analytical Engine}} nel 1842, considerato il primo prototipo di calcolatore generico complesso. 

\smsp

C'e' una {\blues{\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Ada_Lovelace#Controversy_over_contribution}{disputa}}} se il suo esecutore sia stato Babbage, il suo costruttore o Ada Lovelace, figlia di Lord Byron, come spesso viene affermato.
}}
\smsp

\begin{figure}
  \centering
   {\includegraphics[scale=0.08,clip]{FIGS/AE.jpg}}
 \caption{Una parte della macchina analitica. }
\end{figure}



\end{frame}


\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Formula di Eulero-Maclaurin}

{\small{
Visto che l'integranda ha derivate successive di ogni ordine che sono periodiche, dalla formula di Eulero-Mac Laurin ci aspettiamo una convergenza dell'errore $$|E_1^{(c)}(f)|:=|\int_a^b f(x) dx- S_1^{( c )}(f,N)|$$ pi\'u rapida di $N^{-M}$ per ogni $M$ (qui $N$ \'e il numero di intervalli equispaziati). 

\smsp

In effetti \'e di tipo {\it{geometrico}}, ovvero $|E_1^{(c)}(f)| \approx \alpha \gamma^{-N}$, per opportuni $\alpha$, $\gamma$  (cf. {\cite{TREF}}, p.387).}}

\begin{table}
\begin{center}
\begin{tabular}{|| c | c || c | c ||}
\hline
$N$&   $|E_1^{(c)}(f)|$ &  $N$&   $|E_1^{(c)}(f)|$ \\
\hline
 $             2  $&$   9.7e-02$  & $        32   $&$         0$\\
$            4  $&$ 2.8e-03$ &   $         64 $&$  0$\\
  $          8 $&$  1.1e-05$ & $       128   $&$         0$\\
  $         16$&$   5.4e-10$ & $        256 $&$  0 $\\
   $        32   $&$     1.1e-16$ &  $        512 $&$  0 $\\
  \hline
  
  	 
\end{tabular}
\caption{\scriptsize{Errore della formula dei trapezi composta, suddividendo $[a,b]$ in N subintervalli equispaziati}}
\end{center}
\end{table}


\end{frame}

\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Formula composta dei trapezi: applicazioni}

Integrali di questa struttura sono importanti nelle scienze applicate. 

\smsp

Ad esempio, la formula dei trapezi composta \'e alla base dell'{\purples{algoritmo FFT,}} che richiedi integrali con questa struttura. 

\smsp

La {\blues{\href{https://it.wikipedia.org/wiki/Trasformata_di_Fourier_veloce}{Fast Fourier Transform}}} viene utilizzata in applicazioni quali 
\begin{itemize}
\item elaborazione di segnali digitali ( \'e alla base della compressione {\blues{\href{https://www.math.utah.edu/~gustafso/s2012/2270/web-projects/Guckert-audio-compression-svd-mdct-MP3.pdf}{mp3}}}), 
\item soluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali, 
\item algoritmi per moltiplicare numeri interi di grandi dimensioni. 
\end{itemize}

\smsp

Originariamente fu scoperta da Cooley-Tukey nel 1965 (anche se secondo alcuni era noto a {\blues{\href{http://www.cis.rit.edu/class/simg716/Gauss_History_FFT.pdf}{Gauss}}}!).

\smsp

\begin{nota}
In {\blues{\href{https://www.computer.org/csdl/mags/cs/2000/01/c1022.html}{IEEE Guest Editors' Introduction: The Top 10 Algorithms.}}} si scrive:

\smsp

The FFT is perhaps the most ubiquitous algorithm in use today to analyze and manipulate digital or discrete data. 
\end{nota}

\end{frame}


\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Formula composta di Cavalieri-Simpson: derivazione}

\smnsp

{\scriptsize{
\begin{proposito}[Derivazione formula di Cavalieri-Simpson composta]
Per introdurre la formula composta di Cavalieri-Simpson, supponiamo di aver suddiviso $[a,b]$ in $N=4$ subintervalli equispaziati $[t_k,t_{k+1}]$, $k=0,\ldots,N-1=3$ con $t_j=a+jh$, $j=0,\ldots,N=4$, $h=(b-a)/N$.

\smsp

Indicata con $S_2(f,t_k,t_{k+1})$ l'applicazione della regola di Cavalieri-Simpson relativamente a $f$ e all'intervallo $[t_k,t_{k+1}]$, posto $c_k=\frac{t_k+t_{k+1}}{2}=a+ \frac{2k+1}{2} \cdot \frac{b-a}{N}$ il punto medio dell'intervallo $[t_k,t_{k+1}]$

\begin{itemize}
\item $S_2(f,t_0,t_1)= \frac{h}{6} ( f(t_0)+ 4\cdot f(c_0) + f(t_1) )$,
\item $S_2(f,t_1,t_2)=\frac{h}{6} ( f(t_1)+ 4\cdot f(c_1) + f(t_2))$,
\item $S_2(f,t_2,t_3)=\frac{h}{6} ( f(t_2)+ 4\cdot f(c_2) + f(t_3))$,
\item $S_2(f,t_3,t_4)=\frac{h}{6} ( f(t_3)+ 4\cdot f(c_3) + f(t_4))$,
\end{itemize}
ricaviamo che essendo $N=4$

\smnsp
\smnsp
\smnsp

\begin{eqnarray}
S_2^{(c)}(f,a,b,4)&=& \frac{h}{6} ( f(t_0)+ 4\cdot f(c_0) + f(t_1) ) + \frac{h}{6} ( f(t_1)+ 4\cdot f(c_1) + f(t_2))  \nonumber \\
&+& \frac{h}{6} ( f(t_2)+ 4\cdot f(c_2) + f(t_3)) + \frac{h}{6} ( f(t_3)+ 4\cdot f(c_3) + f(t_4)) =\ldots \nonumber \\
&=& \frac{h}{6} f(t_0)+ \frac{2h}{6} (f(t_1) +  f(t_2) + f(t_3)) + \frac{h}{6} f(t_4) \nonumber \\
&+& \frac{4h}{6} (f(c_0) + f(c_1) + f(c_2)+ f(c_3) ). 
\end{eqnarray}
\end{proposito}
}}

\end{frame}

\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Formula composta di Cavalieri-Simpson}
{\scriptsize{
\begin{vuoto}
Da
\begin{eqnarray}
S_2^{(c)}(f,a,b,4)&=& \frac{h}{6} f(t_0)+ \frac{2h}{6} (f(t_1) +  f(t_2) + f(t_3)) + \frac{h}{6} f(t_4) \nonumber \\
&+& \frac{4h}{6} (f(c_0) + f(c_1) + f(c_2)+ f(c_3) ). 
\end{eqnarray}

\smnsp

posto $t_0=x_0$, $c_0=x_1$, $t_1=x_2$, $c_1=x_3$, $t_2=x_4$, $c_2=x_5$, $t_3=x_6$,  $c_3=x_7$, $t_4=x_8$, ricaviamo per $N=4$ (ovvero il numero di suddivisioni)

\smnsp
\smnsp

\begin{eqnarray} 
{\purples{S_2^{(c)}(f,a,b,4)}}&=& {\purples{ { \frac {h} {6} } \, \left( f(x_0) + 2 \sum_{r=1}^{N-1} f(x_{2r})  + 4 \sum_{s=0}^{N-1} f(x_{2s+1})  +f(x_{2N}) \right) }}
\end{eqnarray}

Tale formula \'e facilmente generalizzabile a un numero di suddivisioni $N$ generico (anche diverso da $N=4$).
\end{vuoto}

\begin{figure}
  \centering
   {\includegraphics[scale=0.35,clip]{FIGS/pts_codSH.eps}}
   
   \smnsp
   \smnsp
   
 \caption{Relazione tra $t_k$, $c_k$ e $x_j$.}
\end{figure}





}}
\end{frame}







\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Formula composta di Cavalieri-Simpson}

\smnsp

{\fns{
\begin{definizione}[Formula di Cavalieri-Simpson composta]
Posti $x_k=a+kh/{\reds{2}}$, $k=0,\ldots,2N$, $h=(b-a)/N$, la formula composta di Cavalieri-Simpson \mye definita da

\bc
\btc
\smnsp
\smnsp
\begin{equation}\label{composte_sim}
S_2^{(c)}(f,a,b,N)  =
 { \frac {h} {6} } \, \left[ f(x_0) + 2 
\sum_{r=1}^{N-1} f(x_{2r})  
+ 4 \sum_{s=0}^{N-1} f(x_{2s+1})  +f(x_{2N}) \right]
\end{equation}
\etc
\ec
\end{definizione}

\smnsp

\begin{teorema}[Errore della formula di Cavalieri-Simpson composta]
Nelle ipotesi di suddivisione equispaziata di passo $h$, l'errore compiuto \mye

\bc
\btc
\smnsp
\smnsp
$${{E_2^{(c)}(f)}}:= I(f) - S_2^{(c)}(f,a,b,N)  ={\reds{{{ \frac {- (b-a) } {180} } \left({ \frac 
{h} {2} } \right)^4 \, f^{(4)}(\xi)  }}}, \smhsp \xi \in (a,b)$$
\etc
\ec
\end{teorema}

\smnsp

{\tiny{
\begin{nota}[Grado di precisione della formula di Cavalieri-Simpson composta]
II grado di precisione \mye quindi $3$, come la regola di Cavalieri-Simpson, ma se $N > 1$ allora il passo $h$ \mye minore e quindi, come nelle formule composte precedenti, ci si aspetta un errore assoluto inferiore dalle formula composte.
\end{nota}
}}
}}
\end{frame}






\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Formula composta di Cavalieri-Simpson}
\begin{figure}
  \centering
   {\includegraphics[scale=0.35,clip]{FIGS/ccs18.eps}}
 \caption{Formula di Cavalieri-Simpson composta per il calcolo di 
$\int_{0}^{2 \pi} 3+\sin(2x)+\cos(x)+x \, dx$ (la formula composta calcola il volume dell'area in celeste). }
\end{figure}

\end{frame}















\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Alcuni confronti numerici: esempio 1}

In questa sezione forniamo alcuni esempi in cui applichiamo le formule composte per integrare alcune funzioni $f \in C([a,b])$.

\begin{esempio}[1]
Approssimare l'integrale definito
$$
I=\int_0^{\pi} \exp(x) \cos(x) dx=-(\exp(\pi)+1)/2.
$$
mediante le formule composte note $S^{(c)}_k(f,0,\pi,N)$, $N=1,2,4,\ldots,512$, $k=0,1,2$.
\end{esempio}

\begin{nota}
Si osservi che l'integranda \mye una funzione appartenente a $C^{\infty}([0,2\pi])$ (\'e perfino {\blues{\href{https://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_intera}{intera}}}). Quindi abbiamo formule dell'errore compiuto per tutte le formule composte viste precedentemente.
\end{nota}

\end{frame}






\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Alcuni confronti numerici: esempio 1}
\begin{table}[!ht]\label{tabexp1}
\begin{center}
\begin{tabular}{| c | c c c | c c c |}
\hline
$N$&   $|E_0^{(c)}(f)|$ & $|E_1^{(c)}(f)|$&   $|E_2^{(c)}(f)|$ &   $\#^{\mbox{R}}_N$ & $\#^{\mbox{T}}_N$&   $\#^{\mbox{CS}}_N$ \\
\hline
 $ 1$ & $1.2e+01$ & $2.3e+01$ & $4.8e-01$ &$    1$ & $    2$ & $    3$ \\
 $ 2$ & $2.8e+00$ & $5.3e+00$ & $8.5e-02$ &$    2$ & $    3$ & $    5$ \\
 $ 4$ & $6.4e-01$ & $1.3e+00$ & $6.1e-03$ &$    4$ & $    5$ & $    9$ \\
 $ 8$ & $1.6e-01$ & $3.1e-01$ & $3.9e-04$ &$    8$ & $    9$ & $   17$ \\
 $16$ & $3.9e-02$ & $7.8e-02$ & $2.5e-05$ &$   16$ & $   17$ & $   33$ \\
 $32$ & $9.7e-03$ & $1.9e-02$ & $1.6e-06$ &$   32$ & $   33$ & $   65$ \\
 $64$ & $2.4e-03$ & $4.8e-03$ & $9.7e-08$ &$   64$ & $   65$ & $  129$ \\
 $128$ & $6.1e-04$ & $1.2e-03$ & $6.1e-09$ &$  128$ & $  129$ & $  257$ \\
 $256$ & $1.5e-04$ & $3.0e-04$ & $3.8e-10$ &$  256$ & $  257$ & $  513$ \\
 $512$ & $3.8e-05$ & $7.6e-05$ & $2.4e-11$ &$  512$ & $  513$ & $ 1025$ \\
  \hline
\end{tabular}
\caption{\scriptsize{Paragone delle formule del punto medio, trapezi e Cavalieri-Simpson composta, per $N$ subintervalli, relativamente al calcolo di $I=\int_0^{\pi}f(x) dx$ con {\purples{$f(x)= \exp(x) \cos(x) dx$}}, in cui si descrivono gli errori assoluti $|E_0^{(c)}(f)|=|I(f,a,b)-S^{(c)}_0(f,a,b,N)$, $|E_1^{(c)}(f)|=|I(f,a,b)-S^{(c)}_1(f,a,b,N)|$, $|E_2^{(c)}(f)|=|I(f,a,b)-S^{(c)}_2(f,a,b,N)|$, per ogni formula e rispettivi numeri di nodi $\#^{\mbox{R}}_N$, $\#^{\mbox{T}}_N$, $\#^{\mbox{CS}}_N$.}}
\end{center}
\end{table}
\end{frame}






\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Alcuni confronti numerici: esempio 1 (facoltativo)}
\begin{commento}[Facoltativo]
 Nella seconda tabella, mostriamo il rapporto tra 2 errori successivi per ogni formula ovvero se $(E_k^{(c)}(f))_N$, $k=0,1,2$, \mye l'errore compiuto dalla formula $S_k$, relativamente al calcolo di $\int_a^b f(x) dx$, utilizzando {\reds{$N$ suddivisioni}}, mostriamo
 {\reds{
 $$
 (r_k^{(c)}(f))_N=\frac{(E_k^{(c)}(f))_N}{(E_k^{(c)}(f))_{2N}}
 $$
 }}
 per $k=0,1,2$ (ossia per le formule composte del punto medio, dei trapezi e di Cavalieri-Simpson).
\end{commento}
\end{frame}






\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Alcuni confronti numerici: esempio 1 (facoltativo)}
\begin{table}[!ht]\label{tab2}
\begin{center}
\begin{tabular}{| c | c c c | }
\hline
$N$&   $ (r_0^{(c)}(f))_N$ & $ (r_1^{(c)}(f))_N$&   $ (r_2^{(c)}(f))_N$ \\
\hline
  $ 1$ & $4.33$ & $4.27$ & $5.59$ \\
 $ 2$ & $4.34$ & $4.20$ & $13.92$ \\
 $ 4$ & $4.10$ & $4.06$ & $15.54$ \\
 $ 8$ & $4.03$ & $4.02$ & $15.89$ \\
 $16$ & $4.01$ & $4.00$ & $15.97$ \\
 $32$ & $4.00$ & $4.00$ & $15.99$ \\
 $64$ & $4.00$ & $4.00$ & $16.00$ \\
 $128$ & $4.00$ & $4.00$ & $16.00$ \\
 $256$ & $4.00$ & $4.00$ & $16.00$ \\
   \hline
\end{tabular}
\caption{Decadimento degli errori delle formule del rettangolo, trapezi e Cavalieri-Simpson composta, per $N$ subintervalli, relativamente al calcolo di $I=\int_0^{\pi} f(x) dx$ con {\purples{$f(x)=\exp(x) \cos(x) dx$}}, in cui si descrivono i rapporti tra 2 errori successivi per ogni formula.}
\end{center}
\end{table}
\end{frame}



\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Alcuni confronti numerici: esempio 2}




\begin{esempio}[2]
Approssimare l'integrale definito
$$
I=\int_{-5}^{5} \frac{1}{1+x^2} dx \approx 2.7468015338900322319659608
$$
mediante le formule composte note $S^{(c)}_k(f,-5,5,N)$, $N=1,2,4,\ldots,1024$, $k=0,1,2$.
\end{esempio}


\begin{nota}
Si osservi che l'integranda \mye una funzione appartenente a $C^{\infty}([-5,5])$. Quindi abbiamo formule dell'errore compiuto per tutte le formule composte viste precedentemente.
\end{nota}


\end{frame}





\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Alcuni confronti numerici: esempio 2}
\begin{table}[!ht]\label{tabexp1}
\begin{center}
\begin{tabular}{| c | c c c | c c c |}
\hline
$N$&   $|E_0^{(c)}(f)|$ & $|E_1^{(c)}(f)|$&   $|E_2^{(c)}(f)|$ &   $\#^{\mbox{R}}_N$ & $\#^{\mbox{T}}_N$&   $\#^{\mbox{CS}}_N$ \\
\hline
 $ 1$ & $7.3e+00$ & $2.4e+00$ & $4.0e+00$ &$    1$ & $    2$ & $    3$ \\
 $ 2$ & $1.4e+00$ & $2.4e+00$ & $9.6e-02$ &$    2$ & $    3$ & $    5$ \\
 $ 4$ & $4.6e-01$ & $5.4e-01$ & $1.3e-01$ &$    4$ & $    5$ & $    9$ \\
 $ 8$ & $3.9e-02$ & $3.8e-02$ & $1.3e-02$ &$    8$ & $    9$ & $   17$ \\
 $16$ & $2.1e-04$ & $6.9e-04$ & $9.1e-05$ &$   16$ & $   17$ & $   33$ \\
 $32$ & $1.2e-04$ & $2.4e-04$ & $4.5e-08$ &$   32$ & $   33$ & $   65$ \\
 $64$ & $3.0e-05$ & $6.0e-05$ & $2.6e-09$ &$   64$ & $   65$ & $  129$ \\
 $128$ & $7.5e-06$ & $1.5e-05$ & $1.6e-10$ &$  128$ & $  129$ & $  257$ \\
 $256$ & $1.9e-06$ & $3.8e-06$ & $1.0e-11$ &$  256$ & $  257$ & $  513$ \\
 $512$ & $4.7e-07$ & $9.4e-07$ & $6.4e-13$ &$  512$ & $  513$ & $ 1025$ \\
 $1024$ & $1.2e-07$ & $2.4e-07$ & $4.0e-14$ &$ 1024$ & $ 1025$ & $ 2049$ \\
  \hline
\end{tabular}
\caption{\scriptsize{Paragone delle formule del punto medio, trapezi e Cavalieri-Simpson composta, per $N$ subintervalli, relativamente al calcolo di $I=\int_{-5}^{5}f(x) dx$ con {\purples{$f(x)= 1/(1+x^2)$}}, in cui si descrivono gli errori assoluti $|E_0^{(c)}(f)|=|I(f,a,b)-S^{(c)}_0(f,a,b,N)$, $|E_1^{(c)}(f)|=|I(f,a,b)-S^{(c)}_1(f,a,b,N)|$, $|E_2^{(c)}(f)|=|I(f,a,b)-S^{(c)}_2(f,a,b,N)|$, per ogni formula e rispettivi numeri di nodi $\#^{\mbox{R}}_N$, $\#^{\mbox{T}}_N$, $\#^{\mbox{CS}}_N$.}}
\end{center}
\end{table}
\end{frame}












\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Alcuni confronti numerici: esempio 3 (facoltativo)}




\begin{esempio}[3]
Approssimare l'integrale definito
$$
I=\int_0^{1} x^3 \sqrt{x} dx=2/9.
$$
mediante le formule composte note $S^{(c)}_k(f,0,1,N)$, $N=1,2,4,\ldots,1024$, $k=0,1,2$.
\end{esempio}


\begin{nota}
Si osservi che l'integranda \mye una funzione appartenente a $C^3([0,1])$. Quindi abbiamo formule dell'errore compiuto per tutte le formule viste ad eccezione di quella di Cavalieri-Simpson composta che richiede $f \in C^4([0,1])$
\end{nota}


\end{frame}






\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Alcuni confronti numerici: esempio 3}
\begin{table}[!ht]\label{tab3}
\begin{center}
\begin{tabular}{| c | c c c | c c c |}
\hline
$N$&   $|E_0^{(c)}(f)|$ & $|E_1^{(c)}(f)|$&   $|E_2^{(c)}(f)|$ &   $\#^{\mbox{R}}_N$ & $\#^{\mbox{T}}_N$&   $\#^{\mbox{CS}}_N$ \\
\hline
$ 1$ & $1.3e-01$ & $2.8e-01$ & $3.4e-03$ &$    1$ & $    2$ & $    3$ \\
 $ 2$ & $3.6e-02$ & $7.2e-02$ & $2.3e-04$ &$    2$ & $    3$ & $    5$ \\
 $ 4$ & $9.1e-03$ & $1.8e-02$ & $1.5e-05$ &$    4$ & $    5$ & $    9$ \\
 $ 8$ & $2.3e-03$ & $4.6e-03$ & $1.0e-06$ &$    8$ & $    9$ & $   17$ \\
 $16$ & $5.7e-04$ & $1.1e-03$ & $6.5e-08$ &$   16$ & $   17$ & $   33$ \\
 $32$ & $1.4e-04$ & $2.8e-04$ & $4.1e-09$ &$   32$ & $   33$ & $   65$ \\
 $64$ & $3.6e-05$ & $7.1e-05$ & $2.6e-10$ &$   64$ & $   65$ & $  129$ \\
 $128$ & $8.9e-06$ & $1.8e-05$ & $1.7e-11$ &$  128$ & $  129$ & $  257$ \\
 $256$ & $2.2e-06$ & $4.5e-06$ & $1.0e-12$ &$  256$ & $  257$ & $  513$ \\
 $512$ & $5.6e-07$ & $1.1e-06$ & $6.6e-14$ &$  512$ & $  513$ & $ 1025$ \\
 $1024$ & $1.4e-07$ & $2.8e-07$ & $4.1e-15$ &$ 1024$ & $ 1025$ & $ 2049$ \\
  \hline
\end{tabular}
\caption{\scriptsize{Paragone delle formule del punto medio, trapezi e Cavalieri-Simpson composta, per $N$ subintervalli, relativamente al calcolo di $I=\int_0^{1} f(x) dx$ con {\purples{$f(x)= x^3 \sqrt{x} dx$}}, in cui si descrivono gli errori assoluti $|E_0^{(c)}(f)|=|I(f,a,b)-S^{(c)}_0(f,a,b,N)$, $|E_1^{(c)}(f)|=|I(f,a,b)-S^{(c)}_1(f,a,b,N)|$, $|E_2^{(c)}(f)|=|I(f,a,b)-S^{(c)}_2(f,a,b,N)|$, per ogni formula e rispettivi numeri di nodi $\#^{\mbox{R}}_N$, $\#^{\mbox{T}}_N$, $\#^{\mbox{CS}}_N$.}}
\end{center}
\end{table}
\end{frame}






\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Alcuni confronti numerici: esempio 3 (facoltativo)}

\begin{commento}[Facoltativo]
 Nella prossima tabella, mostriamo il rapporto tra 2 errori successivi per ogni formula ovvero se $(E_k^{(c)}(f))_N$, $k=0,1,2$, \mye l'errore compiuto dalla formula $S_k$, relativamente al calcolo di $\int_a^b f(x) dx$, utilizzando $N$ suddivisioni, valutiamo
 $$
 (r_k^{(c)}(f))_N=\frac{|(E_k^{(c)}(f))_N|}{|(E_k^{(c)}(f))_{2N}|}
 $$
 per $k=0,1,2$ (ossia per le formule composte del punto medio, dei trapezi e di Cavalieri-Simpson).
 
\smsp

Dalle tabelle vedremo che i valori relativi 
\begin{itemize}
\item alle formule composte del {\reds{punto medio e dei trapezi tendono a 4}}, 
\item alla formula composta di {\reds{Cavalieri-Simpson tendono a 16}}, 
\end{itemize}
e quindi con errori rispettivamente del tipo $C^*h^2$ e $C^* h^4$. 
\end{commento}
\end{frame}






\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Alcuni confronti numerici: esempio 3 (facoltativo)}
\begin{table}[!ht]\label{tab4}
\begin{center}
\begin{tabular}{| c | c c c | }
\hline
$N$&   $ (r_0^{(c)}(f))_N$ & $ (r_1^{(c)}(f))_N$&   $ (r_2^{(c)}(f))_N$ \\
\hline
 $ 1$ & $3.76$ & $3.86$ & $14.56$ \\
 $ 2$ & $3.93$ & $3.96$ & $15.00$ \\
 $ 4$ & $3.98$ & $3.99$ & $15.31$ \\
 $ 8$ & $4.00$ & $4.00$ & $15.53$ \\
 $16$ & $4.00$ & $4.00$ & $15.67$ \\
 $32$ & $4.00$ & $4.00$ & $15.77$ \\
 $64$ & $4.00$ & $4.00$ & $15.84$ \\
 $128$ & $4.00$ & $4.00$ & $15.89$ \\
 $256$ & $4.00$ & $4.00$ & $15.92$ \\
 $512$ & $4.00$ & $4.00$ & $16.06$ \\
   \hline
\end{tabular}
\caption{Decadimento degli errori delle formule del rettangolo, trapezi e Cavalieri-Simpson composta, per $N$ subintervalli, relativamente al calcolo di $I=\int_0^{1} f(x) dx$ con {\purples{$f(x)= x^3 \sqrt{x} dx$}}, in cui si descrivono i rapporti tra 2 errori successivi per ogni formula.}
\end{center}
\end{table}
\end{frame}










\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Alcuni confronti numerici: esempio 4 (facoltativo)}



\begin{esempio}[4]
Approssimare l'integrale definito
$$
I=\int_0^{1} \sqrt{x} dx=2/3.
$$
mediante le formule composte note $S^{(c)}_k(f,0,1,N)$, $N=1,2,4,\ldots,2048$, $k=0,1,2$.
\end{esempio}

\begin{nota}
Si osservi che l'integranda \mye una funzione appartenente a $C([0,1])$ ma non a $C^1([0,1])$ (non derivabile in $0$). Quindi non abbiamo formule dell'errore compiuto per tutte le formule visto che richiedono a seconda dei casi $f \in C^2([0,1])$ oppure $f \in C^4([0,1])$.
\end{nota}
\end{frame}






\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Alcuni confronti numerici: esempio 4}
\begin{table}[!ht]\label{tab5}
\begin{center}
\begin{tabular}{| c | c c c | c c c |}
\hline
$N$&   $|E_0^{(c)}(f)|$ & $|E_1^{(c)}(f)|$&   $|E_2^{(c)}(f)|$ &   $\#^{\mbox{R}}_N$ & $\#^{\mbox{T}}_N$&   $\#^{\mbox{CS}}_N$ \\
\hline
$ 1$ & $4.0e-02$ & $1.7e-01$ & $2.9e-02$ &$    1$ & $    2$ & $    3$ \\
 $ 2$ & $1.6e-02$ & $6.3e-02$ & $1.0e-02$ &$    2$ & $    3$ & $    5$ \\
 $ 4$ & $6.3e-03$ & $2.3e-02$ & $3.6e-03$ &$    4$ & $    5$ & $    9$ \\
 $ 8$ & $2.4e-03$ & $8.5e-03$ & $1.3e-03$ &$    8$ & $    9$ & $   17$ \\
 $16$ & $8.7e-04$ & $3.1e-03$ & $4.5e-04$ &$   16$ & $   17$ & $   33$ \\
 $32$ & $3.2e-04$ & $1.1e-03$ & $1.6e-04$ &$   32$ & $   33$ & $   65$ \\
 $64$ & $1.1e-04$ & $4.0e-04$ & $5.6e-05$ &$   64$ & $   65$ & $  129$ \\
 $128$ & $4.1e-05$ & $1.4e-04$ & $2.0e-05$ &$  128$ & $  129$ & $  257$ \\
 $256$ & $1.5e-05$ & $5.0e-05$ & $7.0e-06$ &$  256$ & $  257$ & $  513$ \\
 $512$ & $5.2e-06$ & $1.8e-05$ & $2.5e-06$ &$  512$ & $  513$ & $ 1025$ \\
 $1024$ & $1.8e-06$ & $6.3e-06$ & $8.8e-07$ &$ 1024$ & $ 1025$ & $ 2049$ \\
 $2048$ & $6.5e-07$ & $2.2e-06$ & $3.1e-07$ &$ 2048$ & $ 2049$ & $ 4097$ \\

  \hline
\end{tabular}
\caption{{\scriptsize{Paragone delle formule del punto medio, trapezi e Cavalieri-Simpson composta, per $N$ subintervalli, relativamente al calcolo di $I=\int_0^{1} f(x) dx$ con {\purples{$f(x)=\sqrt{x} dx$}}, in cui si descrivono gli errori assoluti e rispettive cardinalit\'a.

Un effetto della bassa regolarit\'a della integranda \mye che la convergenza delle tre famiglie di formule \mye relativamente lenta, ci\myo nonostante risultano convergenti. 

}}}
\end{center}
\end{table}
\end{frame}






\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Alcuni confronti numerici: esempio 4 (facoltativo)}

\begin{commento}[Facoltativo]
 Nella tabella successiva, mostriamo il rapporto tra 2 errori successivi per ogni formula ovvero se $|(E_k^{(c)}(f))_N|$, $k=0,1,2$, \mye l'errore assoluto compiuto dalla formula $S_k$, relativamente al calcolo di $\int_a^b f(x) dx$, utilizzando $N$ suddivisioni, mostriamo
 $$
 (r_k^{(c)}(f))_N=\frac{|(E_k^{(c)}(f))_N|}{|(E_k^{(c)}(f))_{2N}|}
 $$
 per $k=0,1,2$ (ossia per le formule composte del punto medio, dei trapezi e di Cavalieri-Simpson).
 
\smsp
 
In particolare si vede che i valori relativi alle tre {\reds{formule composte del punto medio e dei trapezi tendono a $2.83 \approx 2^{1.5}$}} e quindi la convergenza \mye del tipo $C^*h^{1.5}$ (cf. {\cite[p262 e p.291]{ATK}}).
\end{commento}
\end{frame}






\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Alcuni confronti numerici: esempio 4 (facoltativo)}
\begin{table}[!ht]\label{tab6}
\begin{center}
\begin{tabular}{| c | c c c | }
\hline
$N$&   $ (r_0^{(c)}(f))_N$ & $ (r_1^{(c)}(f))_N$&   $ (r_2^{(c)}(f))_N$ \\
\hline
 $ 1$ & $2.47$ & $2.64$ & $2.82$ \\
 $ 2$ & $2.59$ & $2.70$ & $2.83$ \\
 $ 4$ & $2.67$ & $2.74$ & $2.83$ \\
 $ 8$ & $2.72$ & $2.77$ & $2.83$ \\
 $16$ & $2.75$ & $2.79$ & $2.83$ \\
 $32$ & $2.78$ & $2.80$ & $2.83$ \\
 $64$ & $2.79$ & $2.81$ & $2.83$ \\
 $128$ & $2.80$ & $2.81$ & $2.83$ \\
 $256$ & $2.81$ & $2.82$ & $2.83$ \\
 $512$ & $2.82$ & $2.82$ & $2.83$ \\
 $1024$ & $2.82$ & $2.82$ & $2.83$ \\
   \hline
\end{tabular}
\caption{Decadimento degli errori delle formule del rettangolo, trapezi e Cavalieri-Simpson composta, per $N$ subintervalli, relativamente al calcolo di $I=\int_0^{1} f(x) dx$ con {\purples{$f(x)=\sqrt{x} dx$}}, in cui si descrivono i rapporti tra 2 errori successivi per ogni formula.}
\end{center}
\end{table}
\end{frame}











\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Alcuni confronti numerici: esempio 5 (facoltativo)}





\begin{esempio}[5]
Approssimare l'integrale definito
$$
I=\int_0^{100} \exp(-x^2) \, dx =\frac{\sqrt{\pi}}{2} \cdot {\mbox{erf}}(100)
$$
dove ${\mbox{erf}}(x)$ \mye la funzione di errore,
mediante le formule composte note $S^{(c)}_k(f,0,1000,N)$, $N=1,2,4,\ldots,256$, $k=0,1,2$.
\end{esempio}

\begin{nota}
Ricordiamo che la funzione $\exp(-x^2)$ non ha primitiva e quindi non \mye applicabile il teorema fondamentale del calcolo integrale per determinare il valore di $I$.
\end{nota}

Nella prima tabella che segue esponiamo gli errori compiuti dalle regole composte per $N=1,2,4,\ldots,256$.
\end{frame}






\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Alcuni confronti numerici: esempio 5}

\begin{table}[!ht]\label{tab7}
\begin{center}
\begin{tabular}{| c | c c c | c c c |}
\hline
$N$&   $|E_0^{(c)}(f)|$ & $|E_1^{(c)}(f)|$&   $|E_2^{(c)}(f)|$ &   $\#^{\mbox{R}}_N$ & $\#^{\mbox{T}}_N$&   $\#^{\mbox{CS}}_N$ \\
\hline
 $ 1$ & $8.9e-01$ & $4.9e+01$ & $1.6e+01$ &$    1$ & $    2$ & $    3$ \\
 $ 2$ & $8.9e-01$ & $2.4e+01$ & $7.4e+00$ &$    2$ & $    3$ & $    5$ \\
 $ 4$ & $8.9e-01$ & $1.2e+01$ & $3.3e+00$ &$    4$ & $    5$ & $    9$ \\
 $ 8$ & $8.9e-01$ & $5.4e+00$ & $1.2e+00$ &$    8$ & $    9$ & $   17$ \\
 $16$ & $8.9e-01$ & $2.2e+00$ & $1.6e-01$ &$   16$ & $   17$ & $   33$ \\
 $32$ & $6.1e-01$ & $6.8e-01$ & $1.8e-01$ &$   32$ & $   33$ & $   65$ \\
 $64$ & $3.1e-02$ & $3.1e-02$ & $1.0e-02$ &$   64$ & $   65$ & $  129$ \\
 $128$ & $1.7e-07$ & $1.7e-07$ & $5.6e-08$ &$  128$ & $  129$ & $  257$ \\
 $256$ & $1.1e-16$ & $1.1e-16$ & $2.2e-16$ &$  256$ & $  257$ & $  513$ \\
  \hline
\end{tabular}
\caption{\scriptsize{Paragone delle formule del punto medio, trapezi e Cavalieri-Simpson composta, per $N$ subintervalli, relativamente al calcolo di $I=\int_0^{100} f(x) dx$ con {\reds{$f(x)=\exp(-x^2)  \, dx$}}, in cui si descrivono gli errori assoluti $|E_0^{(c)}(f)|=|I(f,a,b)-S^{(c)}_0(f,a,b,N)$, $|E_1^{(c)}(f)|=|I(f,a,b)-S^{(c)}_1(f,a,b,N)|$, $|E_2^{(c)}(f)|=|I(f,a,b)-S^{(c)}_2(f,a,b,N)|$, per ogni formula e rispettivi numeri di nodi $\#^{\mbox{R}}_N$, $\#^{\mbox{T}}_N$, $\#^{\mbox{CS}}_N$.}}
\end{center}
\end{table}
\end{frame}






\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Alcuni confronti numerici: esempio 5 (facoltativo)}
\begin{commento}[Facoltativo]
\begin{itemize}
\item Per $n \leq 64$ l'errore decresce lentamente, ed \mye comprensibile visto che l'intervallo ha ampiezza $100$ e quindi il numero di campionamenti delle formule composte sono troppo pochi, ossia il valore di  $h$ troppo grande.
\item Nella seconda tabella, mostriamo il rapporto tra 2 errori assoluti successivi per ogni formula ovvero se $|(E_k^{(c)}(f))_N|$, $k=0,1,2$, \mye l'errore compiuto dalla formula $S_k$, relativamente al calcolo di $\int_a^b f(x) dx$, utilizzando $N$ suddivisioni, valutiamo
 $$
 (r_k^{(c)}(f))_N=\frac{|(E_k^{(c)}(f))_N|}{|(E_k^{(c)}(f))_{2N}|}
 $$
 per $k=0,1,2$ (ossia per le formule composte del punto medio, dei trapezi e di Cavalieri-Simpson).
\end{itemize}
\end{commento}
\end{frame}






\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Alcuni confronti numerici: esempio 5 (facoltativo)}
\begin{table}[!ht]\label{tab8}
\begin{center}
\begin{tabular}{| c | c c c | }
\hline
$N$&   $ (r_0^{(c)}(f))_N$ & $ (r_1^{(c)}(f))_N$&   $ (r_2^{(c)}(f))_N$ \\
\hline
 $ 1$ & $1.00$ & $2.04$ & $2.12$ \\
 $ 2$ & $1.00$ & $2.08$ & $2.27$ \\
 $ 4$ & $1.00$ & $2.17$ & $2.74$ \\
 $ 8$ & $1.00$ & $2.40$ & $7.69$ \\
 $16$ & $1.44$ & $3.31$ & $0.85$ \\
 $32$ & $19.74$ & $21.74$ & $17.74$ \\
 $64$ & $184935.89$ & $184937.89$ & $184933.89$ \\
 $128$ & $1515188455.00$ & $1515188459.00$ & $252531408.50$ \\
\hline
\end{tabular}
\caption{Decadimento degli errori delle formule del rettangolo, trapezi e Cavalieri-Simpson composta, per $N$ subintervalli, relativamente al calcolo di $I=\int_0^{100} f(x) dx$ con {\reds{$f(x)=\exp(-x^2)  \, dx$}}, in cui si descrivono i rapporti tra 2 errori successivi per ogni formula.}
\end{center}
\end{table}

Osserviamo che dal caso precedente i valori relativi alle formule composte del punto medio e dei trapezi non tendono a 4, e quelli della formula composta di Cavalieri-Simpson non tendono a 16.


\end{frame}





\begin{frame}[fragile]
\frametitle{Bibliografia}

\begin{thebibliography}{99}

\bibitem{BRES}  {\sc{David M. Bressoud}}, {\it{Historical Reflections on Teaching the Fundamental Theorem of Integral Calculus}}, The American Mathematical Monthly , Vol. 118, No. 2 (February 2011), pp. 99-115.

\bibitem{TREF}  {\sc{Lloyd N. Trefethen}}, {\it{The Exponentially Convergent Trapezoidal Rule}}, SIAM review 2014, Vol. 56, No. 3, pp. 385–458.

\end{thebibliography}
\end{frame}



\end{document}


>> syms x;
>> int((1+x-x^2)/(1+x^2),x)
ans =
log(x^2 + 1)/2 - x + 2*atan(x)
>> int(exp(-x^2),x)
ans =
(pi^(1/2)*erf(x))/2
>> help erf
 erf Error function.
    Y = erf(X) is the error function for each element of X.  X must be
    real. The error function is defined as:
 
      erf(x) = 2/sqrt(pi) * integral from 0 to x of exp(-t^2) dt.
      ....
>>














\frame{\titlepage}


\begin{figure}[H]
%  % Requires \usepackage{graphicx}
 \center{\includegraphics[width=0.9\textwidth]{FIGS/ezio.jpg}}

 
    \caption {\footnotesize{From left to right: L. Bos, E. Venturino, A. De Rossi, A. Sommariva and R. Cavoretto (Matera 2022).}}

    \end{figure}


