Prerequisiti Programma del corso Testi consigliati English




Descrizione del corso

Insegnamento obbligatorio per la laurea triennale
primo anno di corso, primo semestre
5 crediti di teoria (40 ore), 2 crediti di esercitazioni (32 ore).

La parte principale del corso è costituita dal Calcolo Differenziale e Integrale per funzioni reali di una variabile reale (più semplicemente «calcolo»). Il calcolo è uno strumento indispensabile per studiare tutte quelle situazioni in cui è coinvolto il concetto di variazione delle grandezze. L'evoluzione delle popolazioni, il movimento dei corpi, il decadimento radioattivo, il moto dei fluidi, le leggi dell'elettromagnetismo sono solo alcuni dei fenomeni che possono essere correttamente indagati attraverso gli strumenti matematici.

Una delle più utili applicazioni del calcolo è la determinazione dei massimi e dei minimi delle funzioni. L'esperienza quotidiana è costellata da tali problemi: un uomo d'affari desidera massimizzare i profitti, una compagnia aerea è interessata a minimizzare i tempi di volo e i consumi di carburante, eccetera. Per questo è importante formalizzare i principi di massimo e di minimo in termini di variabili e di funzioni.

Il concetto di derivata è strettamente legato al problema della velocità di un oggetto in moto, o più in generale del tasso di variazione di una quantità variabile in funzione del tempo.

L'interpretazione della derivata come coefficiente angolare della retta tangente permette di scoprire l'andamento della funzione in esame fino a disegnarne il grafico. La capacità di tracciare con disinvoltura un grafico è molto importante non solo in biologia e nelle scienze esatte, ma anche in altre discipline (ad esempio in economia).

Il problema delle aree fu di grande interesse fin dall'antichità. I matematici dell'antica Grecia sapevano calcolare l'area di triangoli, di cerchi e di figure geometriche collegate, ma la determinazione dell'area di una figura qualsiasi costituiva un problema complesso. Archimede, con il cosiddetto «metodo di esaustione», riuscì a calcolare l'area di un segmento di parabola e di alcune altre figure, ma i suoi geniali risultati rimasero conquiste isolate per ben duemila anni. Il problema di calcolare aree, volumi e lunghezze di curve fu definitivamente risolto nella seconda metà del XVII secolo da Newton e Leibniz: essi formularono indipendentemente il «teorema fondamentale del calcolo», che stabilisce una stretta connessione fra il problema delle tangenti e il problema delle aree.

La parte finale del corso è dedicata ad alcuni elementi di base della geometria analitica dello spazio tridimensionale: vettori, prodotto scalare, prodotto vettoriale, rette e piani.

Prerequisiti

Per seguire il corso, lo studente deve avere conoscenza e padronanza dei seguenti argomenti svolti nella scuola secondaria:

Programma del Corso

Funzioni reali di una variabile reale. Grafici di funzioni elementari: modulo, esponenziale, logaritmo, seno, coseno, tangente. Funzione inversa. Le funzioni arccos, arcsen, arctg, loro grafici.

Definizione di limite. Interpretazione grafica del concetto di limite e delle sue proprietā. Operazioni con i limiti. Forme indeterminate. Successioni numeriche e limiti delle successioni (cenni).

Funzioni continue. Illustrazione con esempi grafici dei teoremi di Weierstrass, degli zeri e di tutti i valori. Cambio di variabile in un limite. Limiti fondamentali. Il numero e e il logaritmo naturale.

Derivata: significato geometrico e fisico. Derivata delle funzioni elementari. Operazioni con le derivate. Teoremi di Rolle e di Lagrange, conseguenze. Regola di L'Hopital. Derivata di ordine superiore. Massimi e minimi relativi e assoluti. Concavitā, convessitā, flessi. Asintoti. Studio di funzione e disegno del suo grafico.

Applicazioni delle derivate. Problemi di velocitā collegate. Problemi di massimo e minimo.

Il concetto di differenziale. Primitive di una funzione. Integrale indefinito. Integrazione per sostituzione, per parti. Integrazione delle funzioni razionali e metodo dei coefficienti indeterminati.

L'integrale definito. Teorema della media e teorema fondamentale del calcolo integrale. Calcolo di aree piane mediante integrazione. Volume dei solidi di rotazione. Esempi di integrali in senso generalizzato.

Calcolo vettoriale. Somma, multiplo di un vettore, prodotto scalare. Determinante di una matrice. Prodotto vettoriale. Prodotto misto. Equazione del piano. Vari tipi di equazioni di una retta. Fascio di piani. Distanza di un punto da un piano e da una retta. Distanza fra due rette.

Su tutti gli argomenti del corso vengono svolti numerosi esercizi, per un totale di 2 crediti di esercitazioni.

Testi consigliati per seguire il corso:

Per un ripasso degli argomenti dati per noti:

Course outline

The course provides the basics of differential and integral calculus for functions of one real variable and the main elements of geometric vectors, lines and planes in three dimensional space.

Prerequisites.

To follow the course, the students must be familiar with the following topics from secondary school.

Course Schedule

Real functions of a single real variable. Graphs of elementary functions: absolute value, exponential, logarithm, sine, cosine, tangent. The concept of inverse function. The functions arccos, arcsin, arctg, their graphs.

Definition of limit. Graphic interpretation of the concept of limit and of its properties. Working with limits. Forms that are not determined. Sequences and limits of numerical sequences (outline).

Continuous functions. Illustration with graphic examples of Weierstrass theorem, zeros theorem and all values theorem. Change of variable within a limit. Two crucial limits. The number e and the natural logarithm.

Derivative: geometrical and physical meaning. Derivatives of elementary functions. Working with derivatives. Rolle and Lagrange theorems, consequences. The L'Hopital rule. Derivative of higher order. Local and absolute maximum and minimum. Convexity. Inflection points. Asymptotes. Studying a function and drawing its graph.

Applications of derivatives. Speed and related rates problems. Max/min problems.

The concept of differential. Primitives of a function. The indefinite integral. Integration by parts and by substitution. Integration of rational functions and the method of undetermined coefficients.

The definite integral. The mean value theorem and the fundamental theorem of calculus. Calculation of areas by integration. Volume of rotation solids. Examples of generalized integrals.

Vector calculus. Sum and multiple of a vector. Scalar product. Determinant of a matrix. Vector product. Mixed product. Equation of the plane. Various types of equations of a straight line. Bundle of plans. Distance between a point and a plane. Distance between a point and a line. Distance between two lines.

Several exercises are carried out on all topics of the course for a total of 2 credits of tutorials.

course taught in Italian



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