Istituzioni di Matematiche I (CH-CI-MT)

prova scritta del 30 gennaio 1997 – Compito A

ESERCIZIO 1. Si determini il raggio di convergenza della serie di potenze

∑_{n=1}^{∞} \frac{n! (x − 2)^{n}}{3^{2n−1}n^{n}} .

Si dica se la serie converge assolutamente per x = 2i − 1 ∈ ℂ.

ESERCIZIO 2. Si enunci il cosiddetto ‘criterio dei carabinieri’ per i limiti di successioni e si mostri come si possa utilizzarlo per calcolare il limite della successione (a_{n})_{n∈ℕ} definita ricorsivamente ponendo

\{ \begin{matrix}a_{0} = \frac{π}{4} \\ a_{n+1} = ∫_{0}^{a_{n}} \frac{\sqrt{x^{3}}[1 − cos(x^{2})]}{2 + sin x} dx. \end{matrix}

La serie ∑_{n=0}^{∞} a_{n} converge?

ESERCIZIO 3. Si calcoli

lim_{x→0} \frac{sin x − sinh x}{tg x − x}.

ESERCIZIO 4. Al variare di c tra i numeri reali positivi, si dica quante soluzioni ha l’equazione

log c = \frac{2 sinh x − 3}{1 − e^{−x}}.

ESERCIZIO 5. Si disegni nel piano di Argand-Gauss l’insieme dei numeri complessi z, soddisfacenti alla condizione

|\frac{2i − z}{z̄ + i − 1}| > 2.

ESERCIZIO 6. Si determino gli autovalori ed i relativi sottospazi di autovettori dell’endomorfismo ϕ : ℝ^{3} → ℝ^{3}, di matrice

A = ( \begin{matrix}0 & −\sqrt{2} & \sqrt{6} \\ −\sqrt{2} & 1 & \sqrt{3} \\ \sqrt{6} & \sqrt{3} & −1 \end{matrix} ) ,

rispetto alla base canonica.

ESERCIZIO 7. Nello spazio euclideo tridimensionale si considerino i piani π_{1} e π_{2} e la retta r, di equazioni

π_{1} : x − 2y + z = 2,  π_{2} : x − 2y + z = −2,  r : \{ \begin{matrix}x + y = 0 \\ z = 0 \end{matrix} .

(a) Si determinino i punti {P_{1}} = r ∩ π_{1} e {P_{2}} = r ∩ π_{2} di intersezione tra la retta r ed i due piani.

(b) Si determini l’angolo α tra la retta r ed il piano π_{2}, e si determini la retta s, passante per P_{2}, parallela al piano π_{2} e formante angolo α con r.

(c) Si fissi su s un punto P_{3}, a distanza 1 da P_{2} e si calcoli l’area del triangolo P_{1}P_{2}P_{3}.

ESERCIZIO 8. Si dica se converge

∫_{1}^{+∞} \frac{2e^{x} − e^{2x}}{1 − e^{3x}} dx

e, in caso affermativo, lo si calcoli ESERCIZIO 9. Si dica per quali valori del parametro α converge l’integrale

∫_{1}^{+∞} x^{α} (\frac{1 − cosh(1/x)}{\sqrt{1/x} − log(1 + \sqrt{1/x})}) dx.

ESERCIZIO 10. Si calcoli

∫_{0}^{π^{2}/4} x sin \sqrt{x} dx.

Istituzioni di Matematiche I (CH-CI-MT)

prova scritta del 30 gennaio 1997 – Compito B

ESERCIZIO 1. Si determini il raggio di convergenza della serie di potenze

∑_{n=1}^{∞} \frac{(2n)! (x + 1)^{n}}{n^{2n}} .

Si dica se la serie converge assolutamente per x = \frac{i}{4} ∈ ℂ.

ESERCIZIO 2. Si enunci il cosiddetto ‘criterio dei carabinieri’ per i limiti di successioni e si mostri come si possa utilizzarlo per calcolare il limite della successione (a_{n})_{n∈ℕ} definita ricorsivamente ponendo

\{ \begin{matrix}a_{0} = \frac{π}{4} \\ a_{n+1} = ∫_{0}^{a_{n}} \frac{x^{3} sin(x^{2})}{2 + cos x} dx. \end{matrix}

La serie ∑_{n=0}^{∞} a_{n} converge?

ESERCIZIO 3. Si calcoli

lim_{x→0} \frac{x cos x − lg(1 + x) cosh x}{x^{2} log(1 − x)}.

ESERCIZIO 4. Al variare di a tra i numeri reali, si dica quante soluzioni ha l’equazione

e^{a} = \frac{2 cosh x − 5}{e^{x} − 2}.

ESERCIZIO 5. Si disegni nel piano di Argand-Gauss l’insieme dei numeri complessi z, soddisfacenti alla condizione

|\frac{2z̄ − i}{z + 2i + 1}| > 1.

ESERCIZIO 6. Si determino gli autovalori ed i relativi sottospazi di autovettori dell’endomorfismo ϕ : ℝ^{3} → ℝ^{3}, di matrice

A = ( \begin{matrix}0 & −\frac{1}{\sqrt{2}} & \begin{matrix}√ & \overline{3} \\ √ & \overline{2} \end{matrix} \\ −\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \begin{matrix}√ & \overline{3} \\ √ & \overline{2} \end{matrix} & \frac{\sqrt{3}}{2} & −\frac{1}{2} \end{matrix} ) ,

rispetto alla base canonica.

ESERCIZIO 7. Nello spazio euclideo tridimensionale si considerino i piani π_{1} e π_{2} e la retta r, di equazioni

π_{1} : x − 2y + z = 2,  π_{2} : x − 2y + z = −2,  r : \{ \begin{matrix}x + y = 0 \\ z = 0 \end{matrix} .

(a) Si determinino i punti {P_{1}} = r ∩ π_{1} e {P_{2}} = r ∩ π_{2} di intersezione tra la retta r ed i due piani.

(b) Si determinino le rette contenute nel piano π_{1}, passanti per P_{1} e formanti un angolo di \frac{π}{6} con la retta r.

(c) Detta s una delle rette del punto precedente, si fissi su di essa un punto P_{3}, a distanza 1 da P_{1} e si calcoli l’area del triangolo P_{1}P_{2}P_{3}.

ESERCIZIO 8. Si dica se converge

∫_{2}^{+∞} \frac{e^{x} − 4}{e^{2x} − e^{−x}} dx

e, in caso affermativo, lo si calcoli. ESERCIZIO 9. Si dica per quali valori del parametro α converge l’integrale

∫_{1}^{+∞} x^{α} (\frac{1 − cos(1/x)}{tg \sqrt{1/x} − \sqrt{1/x}}) dx.

ESERCIZIO 10. Si calcoli

∫_{−π^{2}/4}^{π^{2}/4} x cos \sqrt{x} dx.

Istituzioni di Matematiche I (CH-CI-MT)

prova scritta del 17 giugno 1997

ESERCIZIO 1. Si mostri che la serie

∑_{n=0}^{∞} \frac{tg(1 + n\frac{π}{2} )}{2^{n} n!}

converge. Si dica se la serie converge assolutamente e se ne calcoli la somma.

ESERCIZIO 2. Si consideri la successione (a_{n})_{n∈ℕ} definita ricorsivamente ponendo

\{ \begin{matrix}a_{0} = 3 \\ a_{n+1} = \frac{a_{n}}{2} + \frac{3}{a_{n}} \end{matrix} .

Si mostri che la successione è a termini positivi e decrescente e se ne calcoli il limite.

Si dica se esiste un valore del termine iniziale a_{0}, positivo e tale che la successione (a_{n})_{n∈ℕ} diventi costante. In caso affermativo, si determini tale valore.

ESERCIZIO 3. Si calcoli

lim_{x→0^{+}} \frac{tg x \sqrt{x − sin x}}{(cosh x − 1)\sqrt{log(1 + x)}}.

ESERCIZIO 4. Si studi l’andamento della funzione

f(x) = \frac{2e^{\frac{x+2}{x−3}}}{x − 3} ,

e se ne tracci un grafico indicativo, facendo particolare attenzione al comportamento della funzione al bordo del dominio di definizione.

Si determinino, se esistono, il valore minimo ed il valore massimo di tale funzione.

ESERCIZIO 5. Si disegni nel piano di Argand-Gauss il triangolo avente come vertici le soluzioni dell’equazione

z^{3} + (3 − 2i)z + 4 − 2i = 0,

e se ne determini il baricentro. [Sugg. Si osservi che il polinomio dato è divisibile per z + 1.]

ESERCIZIO 6. Si determino gli autovalori ed i relativi sottospazi di autovettori dell’endomorfismo ϕ : ℝ^{3} → ℝ^{3}, di matrice

A = ( \begin{matrix}0 & 1 & −1 \\ 2 & 0 & −2 \\ 1 & 1 & −2 \end{matrix} ) ,

rispetto alla base canonica.

Si dica se ϕ è diagonalizzabile.

ESERCIZIO 7. Nello spazio euclideo tridimensionale si considerino il piano π e la retta r, di equazioni

π : x + 4y − z = 3  ed  r : \{ \begin{matrix}x + y = 0 \\ z = 0 \end{matrix} .

Si determinino le rette passanti per il punto P = π ∩ r, contenute nel piano π e formanti un angolo di ampiezza \frac{π}{4} con la retta r. ESERCIZIO 8. Si dica se converge

∫_{0}^{+∞} \frac{1 − e^{−x}}{2 sinh x − 3e^{x}} dx

e, in caso affermativo, lo si calcoli ESERCIZIO 9. Si dica per quali valori del parametro α converge l’integrale

∫_{1}^{+∞} x^{−α^{2}} (\frac{sin(1/x)}{tg \sqrt{1/x} − \sqrt{1/x}}) dx.

ESERCIZIO 10. Si determini la funzione y : (0, +∞) → ℝ, che soddisfa alle condizioni

\{ \begin{matrix}xy′ − y + \frac{x^{2}}{cosh^{2} x} = 0 \\ y(1) = 0 \end{matrix}

e si calcoli lim_{x→+∞} \frac{y(x)}{2x}.

Istituzioni di Matematiche I (CH-CI-MT)

prova scritta del 30 giugno 1997

ESERCIZIO 1. Si enunci il criterio di Leibniz per la convergenza delle serie a termini di segno alterno e lo si applichi per studiare la convergenza della serie

∑_{n=1}^{∞} n sinh (\frac{(−1)^{n}}{n^{2}} ) .

ESERCIZIO 2. Si considerino il polinomio P (X) = X − X^{2} e la funzione composta f(x) = P (x − [x]), ove, come di consueto, [x] indica la parte intera del numero reale x.

(a) Si calcoli esplicitamente il termine generale della successione definita ponendo

a_{n} = ∫_{0}^{n+ \frac{1}{2}} f(x)dx, per n = 0, 1, 2, ....

(b) Si determini il raggio di convergenza della serie di potenze

∑_{n=0}^{∞} a_{n}(x − 2)^{n}.

ESERCIZIO 3. Si dica per quali valori del parametro β converge la serie

∑_{n=0}^{∞} \frac{n^{n}}{n! e^{n(β^{2}−1)}} .

ESERCIZIO 4. Si studi l’andamento della funzione

f(x) = \frac{e^{sin x} − 1}{2}, per x ∈ [0, 2π]

e se ne tracci un grafico indicativo.

In particolare, si mostri che esiste una costante c ∈ (0, 1) tale che f(x) ≤ cx per ogni x ∈ (0, \frac{π}{6} ).

ESERCIZIO 5. Si disegni nel piano di Argand-Gauss il triangolo avente come vertici le radici del polinomio

f(z) = z^{3} + (2 + 3i)z + 3 − i,

e se ne determini l’area. [Sugg. Si osservi che f(i) = 0.]

ESERCIZIO 6. Si determino gli autovalori ed i relativi sottospazi di autovettori dell’endomorfismo ϕ : ℝ^{3} → ℝ^{3}, di matrice

A = ( \begin{matrix}2 & 1 & −1 \\ 2 & 2 & −2 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix} ) ,

rispetto alla base canonica.

Si dica se ϕ è diagonalizzabile.

ESERCIZIO 7. Nello spazio euclideo tridimensionale si considerino le rette r_{1} ed r_{2}, di equazioni

r_{1} : \{ \begin{matrix}x + 4y − z = 3 \\ x − y = 2 \end{matrix}  ed  r_{2} : \{ \begin{matrix}x + y = 0 \\ z = 0 \end{matrix} .

(a) Si verifichi che le due rette sono sghembe e si calcoli la distanza tra r_{1} ed r_{2}.

(b) Si scrivano le equazioni cartesiane di una retta s, perpendicolare sia ad r_{1} che ad r_{2} ed incidente entrambo le rette.

ESERCIZIO 8. Si dica se converge

∫_{0}^{+∞} \frac{2 − e^{−x}}{2 cosh x + 3e^{−x}} dx

e, in caso affermativo, lo si calcoli

ESERCIZIO 9. Si dica per quali valori del parametro α converge l’integrale

∫_{1}^{+∞} x^{−α} (\frac{cos(1/x) − 1}{sinh \sqrt{1/x} − \sqrt{1/x}}) dx.

ESERCIZIO 10. Si determini (se esiste) la funzione y : (−1, 1) → ℝ, che soddisfa alle condizioni

\{ \begin{matrix}xy′ − y = \frac{x^{2}}{x−1} \\ y(0) = π \end{matrix} .

Inoltre, si determini (se esiste) un esponente α ∈ ℝ tale che lim_{x→0} \frac{y(x) − π}{x^{α}} sia finito e diverso da zero.

Istituzioni di Matematiche I (CH-CI-MT)

prova scritta del 11 settembre 1997

ESERCIZIO 1. Si dica se la serie

∑_{n=0}^{∞} \frac{sin (\frac{(2+3n)π}{3} )}{3^{n} n!}

converge assolutamente ed, in caso affermativo, se ne calcoli la somma.

Svolgimento. Si osservi che sin (\frac{(2+3n)π}{3} ) = (−1)^{n} \frac{\sqrt{3}}{2} e quindi la serie in questione si può scrivere nella forma

\frac{\sqrt{3}}{2} ∑_{n=0}^{∞} \frac{(−1/3)^{n}}{n!} ,

che converge assolutamente al valore \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt[3]{e}}, perchè la serie esponenziale ∑_{n=0}^{∞} \frac{x^{n}}{n!} converge assolutamente per

ogni x ∈ ℝ. □

ESERCIZIO 2. Si consideri il polinomio P (X) = X^{2} − X + 6 e la funzione composta ϕ(x) = P (x − [x]), ove, come di consueto, [x] indica la parte intera del numero reale x.

Posto

a_{n} = \frac{1}{n} ∫_{0}^{n+1/2} ϕ(x) dx,

si calcolino lim_{n→+∞} a_{n} e lim_{n→+∞} ϕ(n + \frac{1}{n}).

Svolgimento. Si osservi che ϕ è una funzione periodica, di periodo 1, ed è continua, essendo

lim_{x→n^{+}} ϕ(x) = P (0) = 6 = P (1) = lim_{x→n^{−}} ϕ(x), per ogni n ∈ ℤ.

Si ha quindi

a_{n} = \frac{1}{n} (∫_{0}^{1/2} ϕ(x) dx + n ∫_{0}^{1} ϕ(x) dx) ,

da cui si deduce che

lim_{n→+∞} a_{n} = ∫_{0}^{1} ϕ(x) dx = ∫_{0}^{1} P (x) dx = \frac{35}{6}.

Inoltre, per la detta periodicità di ϕ, si ha

ϕ(n + \frac{1}{n}) = ϕ(\frac{1}{n}) = P (\frac{1}{n}) per ogni n ∈ ℕ;

e quindi lim_{n→∞} ϕ(n + \frac{1}{n}) = lim_{n→∞} P (\frac{1}{n}) = P (0) = 6. □

ESERCIZIO 3. Si calcoli

lim_{x→0^{+}} \frac{lg(1 − x^{2}) \sqrt{x(1 − cos x)}}{(sinh x − x)\sqrt{tg x}}.

Svolgimento. Utilizzando le formule di McLaurin delle funzioni coinvolte, ovvero

lg(1 − x^{2}) = −x^{2} + o(x^{2}), cos x = 1 − \frac{x^{2}}{2!} + o(x^{2}), sinh x = x + \frac{x^{3}}{3!} + o(x^{3}), tg x = x + o(x),

si ottiene che il limite in questione è equivalente a

lim_{x→0^{+}} −\frac{6x^{7/2}}{\sqrt{2}x^{7/2}} = −\frac{6}{\sqrt{2}},

e ciò conclude la discussione. □

ESERCIZIO 4. Al variare del parametro a ∈ ℝ \ {0}, si determini il numero di soluzioni dell’equazione

2 log(ax) = x^{2} + 3x − 10.

Svolgimento. Poniamo f(x) = x^{2} + 3x − 10 − 2 log(ax), ed andiamo a determinare il numero di zeri di questa funzione. Per prima cosa, osserviamo che il problema dipende dal segno del parametro a e distinguiamo quindi i due casi. (a < 0). La funzione è definita per x ∈ (−∞, 0) e

lim_{x→−∞} f(x) = +∞,  lim_{x→0^{−}} f(x) = +∞.

Essendo f′(x) = \frac{2x^{2}+3x−2}{x}, si conclude che f è decrescente in (−∞, −2) e crescente in (−2, 0). Dunque, il numero di zeri dipende dal valore minimo (relativo ed assoluto) della funzione, ovvero f(−2) = −2[6 + log(−2a)]; e quindi

• vi sono due zeri se f(−2) < 0, ovvero a < −2e^{6},

• vi è uno zero (doppio) se f(−2) = 0, ovvero a = −2e^{6},

• non vi sono zeri se f(−2) > 0, ovvero 0 > a > −2e^{6}.

(a > 0). La funzione è definita per x ∈ (0, ∞) e

lim_{x→∞} f(x) = +∞,  lim_{x→0^{+}} f(x) = +∞.

Essendo f′(x) = \frac{2x^{2}+3x−2}{x}, si conclude che f è decrescente in (0, \frac{1}{2}) e crescente in (\frac{1}{2}, +∞). Dunque, il numero di zeri dipende dal valore minimo (relativo ed assoluto) della funzione, ovvero f(1/2) = −\frac{33}{4} − 2 log(a/2); e quindi

• vi sono due zeri se f(1/2) < 0, ovvero a > \frac{2}{e^{33/8}} ,

• vi è uno zero (doppio) se f(−2) = 0, ovvero a = \frac{2}{e^{33/8}} ,

• non vi sono zeri se f(−2) > 0, ovvero 0 < a < \frac{2}{e^{33/8}} . Ciò conclude la discussione. □

ESERCIZIO 5. Si disegni nel piano di Argand-Gauss il triangolo avente come vertici le soluzioni dell’equazione

z^{3} − iz^{2} + (5 + 2i)z + 6 + 3i = 0,

e si determinino il centro ed il raggio della circonferenza passante per i tre vertici del triangolo.

Svolgimento. Il polinomio dato è divisibile per z + 1 e quindi si ha

z^{3} − iz^{2} + (5 + 2i)z + 6 + 3i = (z + 1)(z − 3i)(z + 2i − 1),

da cui si conclude che i vertici del triangolo sono i punti P_{1} = ( \begin{matrix}−1 \\ 0 \end{matrix} ), P_{2} = ( \begin{matrix}0 \\ 3 \end{matrix} ) e P_{3} = ( \begin{matrix}1 \\ −2 \end{matrix} ). Il

centro della circonferenza circoscritta al triangolo è il punto di intersezione delle rette perpendicolari ai lati, passanti per il punto medio degli stessi (gli assi di tali segmenti); Dunque considerando i lati P_{1}P_{2} e P_{1}P_{3}, si determinano le equazioni degli assi

a_{1} : x + 3y = 4 = 0  ed  a_{2} : x − y = 1.

Il centro della circonferenza cercata è quindi il punto C = ( \begin{matrix}7/4 \\ 3/4 \end{matrix} ) e quindi il raggio è uguale alla distanza

di C dai tre vertici del triangolo, ovvero: r = d(P_{1}, C) = d(P_{2}, C) = d(P_{3}, C) = \frac{\sqrt{130}}{4}. □

ESERCIZIO 6. Si determinino gli autovalori ed i relativi sottospazi di autovettori dell’endomorfismo ϕ : ℝ^{3} → ℝ^{3}, di matrice

A = ( \begin{matrix}3 & 2 & −2 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} ) ,

rispetto alla base canonica.

Si determinino quindi (se esistono) una base V = {v_{1}, …, v_{3}} di ℝ^{3} e delle costanti c_{1}, c_{2}, c_{3} tali che ϕ(v_{i}) = c_{i}v_{i}, per i = 1, 2, 3.

Svolgimento. Il polinomio caratteristico è p_{ϕ}(X) = X(X − 2)(X − 3) e quindi vi sono tre autovalori distinti per ϕ e perciò, necessariamente, tre sottospazi di autovettori ciascuno di dimensione 1. Precisamente, si ha

Autovalori  0  2  3
Autovettori  ⟨2e_{1} + 3e_{3}⟩  ⟨2e_{1} − 2e_{2} − e_{3}⟩  ⟨e_{1}⟩

Quindi i tre vettori v_{1} = 2e_{1} + 3e_{3}, v_{2} = 2e_{1} − 2e_{2} − e_{3}, v_{3} = e_{1} e le costanti c_{1} = 0, c_{2} = 2 e c_{3} = 3 sono le quantità cercate. □

ESERCIZIO 7. Nello spazio euclideo tridimensionale si considerino le rette

r : \{ \begin{matrix}y − x = 1 \\ z = 0 \end{matrix}  e  s : \{ \begin{matrix}x + y = 0 \\ z = 2 \end{matrix} .

(a) Si mostri che le due rette sono sghembe.

(b) Si scriva l’equazione cartesiana del luogo Q dei punti dello spazio equidistanti da r ed s.

(c) Si mostri che l’intersezione tra Q ed il piano π, di equazione z = 1, è una coppia di rette perpendicolari e si determinino le equazioni cartesiane di tali rette.

Svolgimento. (a). La retta r passa per il punto R = ( \begin{matrix}−1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) ed è parallela al vettore v = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ), mentre la

retta s passa per il punto S = ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 2 \end{matrix} ) ed è parallela al vettore w = ( \begin{matrix}1 \\ −1 \\ 0 \end{matrix} ). Dunque le due rette non sono

parallele tra loro ed ovviamente non hanno punti in comune, perchè r giace nel piano z = 0, mentre s giace nel piano z = 2.

(b). Un punto X = ( \begin{matrix}x \\ y \\ z \end{matrix} ) è equidistante dalle due rette se, e solo se, \frac{∥\overrightarrow{RX} × v∥}{∥v∥} = \frac{∥\overrightarrow{SX} × w∥}{∥w∥}; quindi le

coordinate di un punto X ∈ Q devono soddisfare l’equazione Q : 4xy − 2x + 2y − 8z + 7 = 0.

(c). I punti di intersezione tra Q e π sono soluzioni del sistema (di secondo grado)

\{ \begin{matrix}z = 1 \\ 4xy − 2x + 2y − 8z + 7 = 0 \end{matrix}  ovvero  \{ \begin{matrix}z = 1 \\ (2x + 1)(2y − 1) = 0 \end{matrix}

ed è chiaro perciò che Q ∩ π si decompone nel prodotto delle due rette t_{1} e t_{2}, di equazioni

t_{1} : \{ \begin{matrix}z = 1 \\ 2x + 1 = 0 \end{matrix}  e  t_{2} : \{ \begin{matrix}z = 1 \\ 2y − 1 = 0 \end{matrix} .

La prima è parallela al vettore ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ), mentre la seconda è parallela al vettore ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) e quindi si tratta di

due rette perpendicolari che si intersecano nel punto Q = ( \begin{matrix}−1/2 \\ 1/2 \\ 1 \end{matrix} ). □

ESERCIZIO 8. Si calcoli

∫_{0}^{4} x sinh \sqrt{x} dx.

Svolgimento. Dopo il cambiamento di variabile y = \sqrt{x}, ci si riduce a calcolare

∫_{0}^{2} 2y^{3} sinh y dy = [2y^{3} cosh y − 6y^{2} sinh y + 12y cosh y − 12 sinh y]_{0}^{2} = 2e^{2} + \frac{38}{e^{2}};

ove la primitiva è stata determinata integrando per parti. □

ESERCIZIO 9. Si calcoli

∫_{1}^{+∞} \frac{2e^{x} − 6e^{2x}}{e^{3x} − 7e^{x} + 6} dx.

Svolgimento. Dopo il cambiamento di variabile y = e^{x}, l’integrale assume la forma

∫_{e}^{+∞} \frac{2 − 6y}{y^{3} − 7y + 6} dy

ed osservando che

\frac{2 − 6y}{y^{3} − 7y + 6} = \frac{1}{y − 1} − \frac{2}{y − 2} + \frac{1}{y + 3},

si conclude che una primitiva della funzione integranda è la funzione lg \frac{(y − 1)(y + 3)}{(y − 2)^{2}} e quindi l’integrale

proposto è uguale a

lim_{b→∞} lg \frac{(b − 1)(b + 3)}{(b − 2)^{2}} − lg \frac{(e − 1)(e + 3)}{(e − 2)^{2}} = lg \frac{(e − 2)^{2}}{(e − 1)(e + 3)}.

□

ESERCIZIO 10. Si determinino tutte le funzioni y : ℝ → ℝ, soddisfacenti alle condizioni

\{ \begin{matrix}y′′ − y′ − 6y = 8 − 16x − 12x^{2} \\ lim_{x→+∞} \frac{y(x)}{2x^{2}} = 1 \end{matrix} .

Si determini, se esiste, una funzione soddisfacente alle condizioni dette e che si annulli nell’origine assieme alla sua derivata prima.

Svolgimento. La soluzione generale dell’equazione differenziale è uguale a (2x^{2} + 2x − 1) + c_{1}e^{3x} + c_{2}e^{−2x} e la condizione sul limite impone che si abbia c_{1} = 0. Dunque le funzioni cercate sono tutte e sole quelle del tipo y_{c}(x) = (2x^{2} + 2x − 1) + ce^{−2x}, al variare di c ∈ ℝ.

Una tale funzione si annulla nell’origine se, e solo se, c = 1; e si verifica con un calcolo diretto che anche la derivata prima di y_{1}(x) = (2x^{2} + 2x − 1) + e^{−2x} si annulla nell’origine. □

Istituzioni di Matematiche I (CH-CI-MT)

prova scritta del 30 settembre 1997

ESERCIZIO 1. Si dica se la serie

∑_{n=0}^{∞} \frac{cos (\frac{(1+2n)π}{4} )}{5^{n}}

converge assolutamente ed, in caso affermativo, se ne calcoli la somma.

ESERCIZIO 2. Siano dati due numeri reali 0 < a ≤ b e si considerino le due successioni (x_{n})_{n∈ℕ} ed (y_{n})_{n∈ℕ}, definite ponendo

\{ \begin{matrix}x_{1} = a \\ x_{n+1} = \sqrt{x_{n}y_{n}} \end{matrix}  e  \{ \begin{matrix}y_{1} = b \\ y_{n+1} = \frac{x_{n}+y_{n}}{2} \end{matrix} .

Si mostri che, per ogni n ∈ ℕ, si ha x_{n} ≤ x_{n+1} ≤ y_{n+1} ≤ y_{n} e si deduca da ciò che lim_{n→∞} x_{n} = lim_{n→∞} y_{n}.

ESERCIZIO 3. Si calcoli

lim_{x→0^{+}} \frac{(e^{x^{2}} − 1) \sqrt{x(cosh x − 1)}}{(sin x − x)\sqrt{log(1 + x)}}.

ESERCIZIO 4. Si studi l’andamento della funzione

f(x) = cos (\frac{x}{x^{2} + 1})

e se ne tracci un grafico indicativo.

ESERCIZIO 5. Si disegni nel piano di Argand-Gauss il triangolo avente come vertici le soluzioni dell’equazione

z^{3} − (2 + i)z^{2} + (7i − 1)z = 0,

e si determini l’area di tale triangolo.

ESERCIZIO 6. Si determinino gli autovalori ed i relativi sottospazi di autovettori dell’endomorfismo ϕ : ℝ^{3} → ℝ^{3}, di matrice

A = ( \begin{matrix}3 & 0 & −1 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & −1 & 4 \end{matrix} ) ,

rispetto alla base canonica.

Si dica se esiste una base V = {v_{1}, …, v_{3}} di ℝ^{3} e delle costanti c_{1}, c_{2}, c_{3} tali che ϕ(v_{i}) = c_{i}v_{i}, per i = 1, 2, 3.

ESERCIZIO 7. Nello spazio euclideo tridimensionale si considerino le rette

r : \{ \begin{matrix}y − x = 0 \\ z = 0 \end{matrix}  e  s : \{ \begin{matrix}x + y = 1 \\ z = 2 \end{matrix} .

(a) Si mostri che le due rette sono sghembe.

(b) Si scriva l’equazione cartesiana del luogo Q dei punti dello spazio equidistanti da r ed s.

(c) Si mostri che l’intersezione tra Q ed il piano π, di equazione z = 1, è una coppia di rette perpendicolari e si determinino le equazioni cartesiane di tali rette.

ESERCIZIO 8. Si determini il volume del solido che si ottiene facendo ruotare la porzione di piano posta al di sotto della curva y = \frac{1}{2x} e limitata dalle curve y = x^{2} ed y = \sqrt{x}.

ESERCIZIO 9. Si dica per quali valori del parametro α converge l’integrale

∫_{1}^{+∞} \frac{sin(1/x)}{(1 + x^{2})^{1/α}} dx.

ESERCIZIO 10. Si determini la soluzione del problema

\{ \begin{matrix}y′′ + y′ + 2y = 2x^{2} + 2x + 4 \\ y(0) = 2 \\ y′(0) = 0 \end{matrix} .