Istituzioni di Matematiche I (CH-CI-MT)

prova scritta del 3 febbraio 1998

ESERCIZIO 1. Si calcoli, al variare di x in ℝ il limite della successione (a_{n})_{n∈ℕ}, di termine generale^{(†)}

a_{n} = \frac{1}{n^{x}} ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}} .

ESERCIZIO 2. Si mostri che, per |x| < 1, si ha

∑_{n=1}^{∞} nx^{n−1} = \frac{1}{(1 − x)^{2}} ;

e se ne deduca la somma della serie ∑_{n=1}^{∞} \frac{2n − 1}{2^{n}}.

ESERCIZIO 3. Si calcoli

lim_{x→0} \frac{x^{2} sin(1/x)}{sin x}.

ESERCIZIO 4. Si studi l’andamento della funzione

f(x) = arctg (\frac{1 + x}{1 − x})

e se ne tracci un grafico indicativo.

ESERCIZIO 5. Si disegnino nel piano di Argand-Gauss i quattro punti corrispondenti alle soluzioni dell’equazione

z^{4} + 4(1 + i)z^{2} + 3 + 4i = 0,

e si determini l’area del quadrilatero (convesso) avente tali punti come vertici.

ESERCIZIO 6. Sia ϕ : ℝ^{3} → ℝ^{3}, l’endomorfismo di matrice

A = ( \begin{matrix}3 & 0 & −1 \\ 1 & 2 & −1 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix} ) ,

rispetto alla base canonica.

Si determinino gli autovalori di ϕ e si trovi (se esiste) una base di ℝ^{3} rispetto alla quale ϕ abbia matrice diagonale.

∫_{1}^{n+1} \frac{dx}{\sqrt{x}} ≤ ∫_{1}^{n+1} \frac{dx}{\sqrt{[x]}} ≤ 1 + ∫_{1}^{n} \frac{dx}{\sqrt{x}} .

(†) Suggerimento: Si osservi che ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}} = ∫_{1}^{n+1} \frac{dx}{\sqrt{[x]}} e si utilizzi la disuguaglianza

ESERCIZIO 7. Nello spazio euclideo tridimensionale si considerino il punto P = ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ), la retta r, passante

per R = ( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix} ) e parallela al vettore \overrightarrow{v} = ( \begin{matrix}2 \\ 0 \\ 2 \end{matrix} ), ed il piano π : x − y + 2z = 0.

(a) Si determinino le rette per P, parallele a π, e distanti 1 da r.

(b) Si scriva il vettore \overrightarrow{v} come somma di un vettore \overrightarrow{u} parallelo al piano π e di un vettore \overrightarrow{w} perpendicolare a π.

ESERCIZIO 8. Si disegni la porzione di piano determinata dalle condizioni

\{ \begin{matrix}1 − y2^{x} < 0 \\ 0 ≤ 2x < 3 \\ y ≤ cos \frac{πx}{3} \end{matrix} ,

e si determini il volume del solido che si ottiene facendo ruotare tale regione attorno all’asse x. ESERCIZIO 9. Si dica per quali valori del parametro α converge l’integrale

∫_{1}^{+∞} \frac{cosh(1/x) − 1}{(1 + x)^{1/α}} dx.

ESERCIZIO 10. Si calcoli

∫ cos(lg x) dx.

Istituzioni di Matematiche I (CH-CI-MT)

prova scritta del 18 febbraio 1998

ESERCIZIO 1. Si consideri la funzione f(x) = 3x log(cos x) e siano (x_{n})_{n∈ℕ} ed (y_{n})_{n∈ℕ} le successioni così definite.

\{ \begin{matrix}x_{0} = −\frac{π}{4} \\ x_{n+1} = \frac{x_{n} + (π/4)}{2} \end{matrix}  ed  y_{n} = \frac{f(π/4) − f(x_{n})}{(π/4) − x_{n}}.

Si calcoli (se esiste) lim_{n→∞} y_{n}.

ESERCIZIO 2. Si dica se converge la serie ∑_{n=3}^{∞} \frac{4 − n}{n^{3} − 3n^{2} + 2n} e se ne calcoli la somma.

ESERCIZIO 3. Si considerino il polinomio P (X) = 1 + X − X^{3} e la funzione composta f(x) = P (x − [x]), ove [x] denota, come di consueto, la parte intera del numero reale x.

Posto

a_{n} = \frac{1}{3^{n}} ∫_{0}^{3n} f(x)dx,

si calcoli ∑_{n=1}^{∞} a_{n}.

ESERCIZIO 4. Si studi l’andamento della funzione

f(x) = x^{2} + 2 − |1 − \sqrt{|x|}|

e se ne tracci un grafico indicativo.

ESERCIZIO 5. Si consideri l’insieme

I = \{ z^{i} ∈ ℂ | z^{4} + 2 + 2i\sqrt{3}, i = 1, 2, 3, 4 \} .

Si disegni il poligono convesso avente come vertici gli elementi di V = \{ z ∈ I | |z| = 2\sqrt{2} \} e se ne calcoli il perimetro.

ESERCIZIO 6. Si discutano, al variare del parametro λ ∈ ℝ, le soluzioni del sistema

Σ_{λ} : \{ \begin{matrix}λx − λz = 1 \\ x + (λ − 1)y − z = λ \\ −x + y + (λ + 1)z = λ − 1 \end{matrix} .

ESERCIZIO 7. Si determini la retta s, simmetrica della retta r : \{ \begin{matrix}x − y = 0 \\ 2x + z + 1 = 0 \end{matrix} rispetto al piano

π : x + y = 2. Si calcoli inoltre il coseno dell’angolo tra r ed s.

ESERCIZIO 8. Si calcoli

∫_{π/2}^{+∞} [\frac{cos x}{x(2 + sin x)} − \frac{lg(2 + sin x)}{x^{2}}] dx.

ESERCIZIO 9. Sia S la porzione di piano comune al cerchio di centro P = ( \begin{matrix}0 \\ 8 \end{matrix} ) e raggio 5 ed al cerchio di ugual raggio, centrato nell’origine.

Si disegni S e si determini il volume del solido che si ottiene ruotando S attorno all’asse delle ascisse.

ESERCIZIO 10. Si calcoli

∫_{0}^{+∞} \frac{6 − 7x}{x^{3} + 2x^{2} + x + 2} dx.

Istituzioni di Matematiche I (CH-CI-MT)

prova scritta del 18 giugno 1998

ESERCIZIO 1. Si consideri la funzione f(x) = 2e^{cos x−sin x} e siano (x_{n})_{n∈ℕ} ed (y_{n})_{n∈ℕ} le successioni così definite.

\{ \begin{matrix}x_{0} = −\frac{π}{4} \\ x_{n+1} = \frac{x_{n} + (π/4)}{2} \end{matrix}  ed  y_{n} = \frac{f(π/4) − f(x_{n})}{(π/4) − x_{n}}.

Si calcoli (se esiste) lim_{n→∞} y_{n}.

Svolgimento. La successione (x_{n})_{n∈ℕ} è caratterizzata dal fatto che il punto x_{n+1} è il punto medio tra x_{n} e π/4 è quindi chiaro che la successione tende (crescendo) al punto π/4. Inoltre f(x) è derivabile indefinitamente su tutta la retta reale e quindi, ricordando il Teorema del valor medio, si può affermare che y_{n} = f′(ξ_{n}) per qualche punto ξ_{n}, compreso tra x_{n} e π/4. Si conclude quindi che

lim_{n→∞} y_{n} = lim_{x→ \frac{π}{4} ^{−}} f′(x) = f′(π/4) = −2\sqrt{2};

e ciò conclude la discussione. □

ESERCIZIO 2. Si mostri che, per |x| < 1, si ha

∑_{n=1}^{∞} nx^{n−1} = \frac{1}{(1 − x)^{2}} ;

e se ne deduca la somma della serie ∑_{n=0}^{∞} \frac{3n − 1}{3^{n}}.

Svolgimento. Per valori di x ∈ ℂ nel disco |x| < 1 la serie di potenze ∑_{n=0}^{∞} x^{n} converge assolutamente e coincide

con la funzione f(x) = \frac{1}{1 − x}. La serie che si ottiene derivando termine a termine la serie detta, converge

quindi alla derivata della funzione f(x) e si ottiene così l’uguaglianza richiesta.

Infine, per quanto riguarda la somma della serie, si ha

∑_{n=0}^{∞} \frac{3n − 1}{3^{n}} = ∑_{n=1}^{∞} \frac{n}{3^{n−1}} − ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{3^{n}} = \frac{1}{(1 − \frac{1}{3})^{2}} − \frac{1}{(1 − \frac{1}{3})} = \frac{3}{4};

ove la prima uguaglianza ha senso perchè entrambo le serie a destra del segno di uguale convergono. □

ESERCIZIO 3. Si calcoli

lim_{x→0} \frac{x^{3} cos(1/x)}{1 − cos x}.

Svolgimento. Il limite vale 0. Infatti, si ha

\frac{x^{3} cos(1/x)}{1 − cos x} = \frac{x^{2}}{1 − cos x} x cos(1/x)

ed è immediato verificare che il primo fattore tende a 2 (tramite lo sviluppo di McLaurin, ad esempio), mentre il secondo tende a zero perchè è prodotto di una funzione limitata (cos(1/x)) con la funzione x, che tende a zero. □

6 MAURIZIO CANDILERA

ESERCIZIO 4. Si studi l’andamento della funzione

f(x) = \frac{2 sinh x − 3}{e^{x} − e^{2}}

e se ne tracci un grafico indicativo. Svolgimento. Ricordando che 2 sinh x = e^{x} − e^{−x}, si verifica facilmente che f(x) è la funzione composta g(h(x)), ove h(x) = e^{x} e g(y) = \frac{y^{2}−3y−1}{y(y−e^{2})}. In particolare, f è definita per x ≠ 2. Si ha

lim_{x→−∞} f(x) = lim_{y→0^{+}} g(y) = +∞,  lim_{x→+∞} f(x) = lim_{y→+∞} g(y) = 1,
lim_{x→2^{−}} f(x) = lim_{y→e^{2−}} g(y) = −∞,  lim_{x→2^{+}} f(x) = lim_{y→e^{2+}} g(y) = +∞.

Inoltre, f′(x) = g′(h(x))h′(x) e g′(y) = −\frac{(e^{2} − 3)y^{2} − 2y + e^{2}}{y^{2}(y − e^{2})^{2}} , da cui si deduce che f(x) è decrescente nelle due semirette (−∞, 2) e (2, ∞). Si può quindi tracciare un grafico indicativo dell’andamento della funzione.

{2 \atop 0}

La risposta è ora completa. □

ESERCIZIO 5. Si disegnino nel piano di Argand-Gauss i quattro punti corrispondenti alle soluzioni dell’equazione

z^{4} + 7 − 24i = 0,

e si determinino il perimetro e l’area del quadrilatero (convesso) avente tali punti come vertici.

Svolgimento. Si tratta di determinare le quattro radici quarte del numero complesso −7 + 24i.

Se z_{1} è una di queste radici, i quattro numeri cercati sono z_{1}, iz_{1}, −z_{1}, −iz_{1}, che formano i vertici di un quadrato, centrato nell’origine e con la diagonale uguale a 2|z_{1}|. Dunque, l’area ed il perimetro del quadrato sono rispettivamente 2|z_{1}|^{2} e 4\sqrt{2}|z_{1}|.

Non ci resta quindi altro da fare che determinare z_{1} = 2+i, tramite due successive estrazioni di radice quadrata, e concludere che Area = 10, Perimetro = 4\sqrt{10}. A fianco tracciamo il disegno della situazione. La risposta è ora completa.

z_{1}

□

ESERCIZIO 6. Sia ϕ : ℝ^{3} → ℝ^{3}, l’endomorfismo di matrice

A = ( \begin{matrix}3 & 0 & −1 \\ −3 & 0 & 4 \\ 1 & 1 & −2 \end{matrix} ) ,

rispetto alla base canonica.

Si determinino gli autovalori di ϕ e si trovi (se esiste) una base di ℝ^{3} rispetto alla quale ϕ abbia matrice diagonale.

Svolgimento. Il polinomio caratteristico è (3 − x)(x + 3)(x − 1), e si ha

Autovalori  −3  1  3
Autovettori  ⟨e_{1} − 7e_{2} + 6e_{3}⟩  ⟨e_{1} + 5e_{2} + 2e_{3}⟩  ⟨e_{1} − e_{2}⟩

□

ESERCIZIO 7. Nello spazio euclideo tridimensionale si considerino i piani π_{1} : x − y + 2z = 0 e π_{2} : x + 2y − z = 0.

(a) Si determinino (se esistono) le rette aventi distanza \frac{1}{\sqrt{6}} da entrambo i piani.

(b) Fissato un piano τ, perpendicolare alla retta π_{1} ∩ π_{2}, si determini il perimetro del poligono avente come vertici le intersezioni di τ con le rette del punto precedente.

Svolgimento. Le rette cercate sono le intersezioni tra i piani che hanno distanza 1/\sqrt{6} dai piani dati. Poichè

la distanza tra due piani paralleli, ax + by + cz = d_{1} e ax + by + cz = d_{2}, è uguale a δ = \frac{|d_{2} − d_{1}|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}

(perchè?), si conclude che dobbiamo considerare le intersezioni tra i quattro piani

σ_{1} : x − y + 2z = 1, τ_{1} : x − y + 2z = −1, σ_{2} : x + 2y − z = 1, τ_{2} : x + 2y − z = −1.

Le quattro rette così ottenute sono parallele alla retta π_{1} ∩ π_{2} e quindi tagliano su ogni piano perpendicolare a π_{1} ∩ π_{2} la stessa figura (cf. il disegno indicativo di una tale sezione qui a fianco). Dalla costruzione si conclude che si tratta di un parallelogramma ed in particolare di un rombo, perchè le due altezze del parallelogramma sono entrambo uguali a 2/\sqrt{6}, dovendo coincidere con le distanze tra σ_{1} e τ_{1} e tra σ_{2} e τ_{2}. Si conclude così che il lato del rombo è uguale a |AB| = \frac{|BH|}{sin θ}, ove θ è uguale all’angolo tra i due piani π_{1} e π_{2}. Indicati con n_{1} ed n_{2} dei vettori ortogonali ai piani π_{1} e π_{2}, rispettivamente, si ha

cos θ = \frac{|⟨n_{1},n_{2}⟩|}{∥n_{1}∥ ∥n_{2}∥} = \frac{1}{2}, |AB| = \frac{2/\sqrt{6}}{\sqrt{1−cos^{2} θ}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}.

B  A  D C π_{1}  π_{2} H θ

Il perimetro del rombo è quindi 4|AB| = \frac{8\sqrt{2}}{3}. □

ESERCIZIO 8. Si indichi con V (α) il volume del solido ottenuto ruotando il sottografico della funzione x^{α} per 0 ≤ x ≤ 2. Si dia una formula esplicita per la funzione V (α) e se ne determinino i punti di massimo e di minimo, al variare di α in [0, 1].

Svolgimento. Si ha

V (α) = π ∫_{0}^{2} x^{2α}dx = π [\frac{x^{2α+1}}{2α + 1}]_{0}^{2} = π \frac{2^{2α+1}}{2α + 1}, se α ≠ −\frac{1}{2}.

Dunque, V (α) è una funzione continua e derivabile per α ∈ [0, 1], e si ha V′(α) = \frac{2^{2α+2}}{(2α+1)^{2}} (2α log 2+log 2−1), che si annulla in α_{0} = \frac{1−log 2}{2 log 2} ∈ (0, 1) che è un punto di minimo relativo (ed assoluto) per V (α). Calcolando V (0) = 2π e V (1) = \frac{8}{3}π, si vede che il punto di massimo assoluto è α_{1} = 1. □

ESERCIZIO 9. Si dica per quali valori del parametro α converge l’integrale

∫_{1}^{+∞} \frac{1 − x arctg(1/x)}{x(1 + x)^{1/α}} dx.

Svolgimento. L’integrale converge per α < −\frac{1}{2} oppure per α > 0, perchè la funzione integranda è asintoti-

camente equivalente ad \frac{1}{x^{3+ \frac{1}{α}}} . Infatti, si ha lim_{x→∞} \frac{\frac{1}{x} − arctg(1/x)}{\frac{1}{x^{3}}} = \frac{1}{3}. □

ESERCIZIO 10. Si calcoli

∫ sin(lg x) dx.

Svolgimento. Applicando due volte il metodo di integrazione per parti, si ottiene

∫ sin(lg x) dx = \frac{x}{2}[sin(log x) − cos(log x)] + c.
□

Istituzioni di Matematiche I (CH-CI-MT)

prova scritta del 8 luglio 1998

ESERCIZIO 1. Si consideri la successione definita ricorsivamente ponendo

\{ \begin{matrix}x_{0} = 1 \\ x_{n+1} = log(1 + |x_{n}|) \end{matrix}

Si mostri che la successione è a termini positivi e decrescente e se ne calcoli il limite.

Svolgimento. Si veda la figura qui a lato.

Il logaritmo di 1 + x è positivo se, e solo se, x > 0; quindi, per la formula ricorsiva, se il termine x_{n} è positivo, tale deve essere anche x_{n+1}. Poichè x_{0} = 1 > 0, si conclude per induzione che tutti i termini della successione sono positivi. In particolare, ciò significa che x_{n+1} = log(1 + x_{n}) e ricordando che log(1 + x) ≤ x per ogni numero reale x > −1, si conclude che la successione è decrescente. Dunque, essendo una successione monotòna e limitata deve convergere ed indichiamo con ℓ il suo limite. Per la continuità della funzione logaritmo, ed il teorema di unicità del limite, si ricava dalla relazione ricorsiva che ℓ = log(1 + ℓ) e quindi ℓ = 0 essendo questo l’unico punto di intersezione tra il grafico della funzione concava log(1 + x) e la sua tangente nell’origine y = x.

−1  0  y = x log(1 + x)

Ciò conclude la discussione. □

ESERCIZIO 2. Si dica se converge la serie

∑_{n=1}^{∞} \frac{cos(\frac{π}{5n} + nπ)}{n}

.

Svolgimento. Dalla formula di addizione per la funzione coseno e dall’osservazione che cos(nπ) = (−1)^{n}, si

deduce che il termine generale della serie è uguale a (−1)^{n} \frac{cos(\frac{π}{5n})}{n}. Si tratta quindi di una serie a termini di segno alterno, ed il termine generale è decrescente in valore assoluto. Infatti,

\frac{cos(\frac{π}{5n})}{n} ≥ \frac{cos(\frac{π}{5(n+1)})}{n + 1}  ⟺  \frac{n + 1}{n} ≥ \frac{cos(\frac{π}{5(n+1)})}{cos(\frac{π}{5n})};

e

\frac{cos(\frac{π}{5(n+1)})}{cos(\frac{π}{5n})} ≤ \frac{1}{cos(\frac{π}{5n})} ≤ \frac{1}{1 − \frac{(π/5n)^{2}}{2}} ≤ 1 + (\frac{π}{5n})^{2} < \frac{n + 1}{n}.

Dunque, si può applicare il Criterio di Leibniz, e si ha che la serie converge se, e solo se, lim_{n→∞} \frac{cos(π/5n)}{n} = 0. Ciò è vero perchè il numeratore è una successione limitata (convergente ad 1), mentre il denominatore è una successione divergente. □

ESERCIZIO 3. Si calcoli

lim_{x→0^{+}} \frac{x^{3} sinh x − (tg x)^{2}\sqrt{x^{5}}}{cos x + cosh x − 2} .

Svolgimento. Ricordando che

sinh x = x + o(x), cosh x = 1 + \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{4!} + o(x^{4}),

tg x = x + o(x), cos x = 1 − \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{4!} + o(x^{4})

si ha che il limite in questione coincide, per il Principio di cancellazione degli infinitesimi superiori, con il

limite lim_{x→0^{+}} \frac{x^{4}}{x^{4}/12} = 12. □

ESERCIZIO 4. Si determinino (se esistono) delle costanti reali a e b per cui la funzione

f(x) = \{ \begin{matrix}\sqrt{|x|} − 2 & se |x| ≤ 4 \\ ax^{2} + b & se |x| > 4 \end{matrix}

sia continua e derivabile in ℝ \ {0} e si tracci un grafico indicativo dell’andamento di tale funzione.

Svolgimento. Qualunque siano a e b, si ha f(x) = f(−x) e quindi è sufficiente studiare il problema sulla semiretta (0, +∞). La funzione \sqrt{|x|} − 2 è continua per ogni numero reale x ed è derivabile per x ≠ 0. Quindi restringendoci all’intervallo [0, 4], si ha che f è continua in tale intervallo e derivabile in (0, 4), con derivata uguale a \frac{1}{2\sqrt{x}}. In particolare, si ha f(4) = 0 ed f′_{−}(4) = lim_{x→4^{−}} f′(x) = 1/4.

D’altro canto, qualsiasi siano a e b, il polinomio ax^{2} + b è una funzione continua e derivabile su tutta la retta reale, con derivata uguale a 2ax. Dunque si ha

lim_{x→4^{+}} f(x) = 16a + b  e  lim_{x→4^{+}} f′(x) = 8a,

e si conclude che, affinchè f sia continua e derivabile in ℝ \ {0}, deve aversi a = 1/32, e b = −1/2.

−4  −2  4

Qui sopra abbiamo tracciato un grafico indicativo dell’andamento di f(x). □

ESERCIZIO 5. Si disegnino nel piano di Argand-Gauss i quattro punti corrispondenti alle soluzioni dell’equazione

z^{4} + 3iz^{2} − 2 = 0,

e si determini il raggio del più piccolo disco chiuso, centrato nell’origine, contenente i quattro punti.

Svolgimento. Si tratta di un’equazione biquadratica.

Posto w = z^{2}, deve aversi, w^{2} + 3iw − 2 = 0, e

quindi w = \frac{−3i ± i}{2}.

Si ha così z^{2} = −i, oppure z^{2} = −2i, e le

soluzioni di queste due ultime equazioni sono

z_{1} = \frac{1}{\sqrt{2}}(1 − i), z_{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}(i − 1),

z_{3} = 1 − i, z_{4} = i − 1.

I quattro punti sono tutti multipli di 1 − i e quindi sono allineati e determinano così un quadrilatero di area nulla, contenuto nel disco di raggio \sqrt{2}. Si veda il disegno qui a fianco.

z_{4} z_{2} z_{1} z_{3}

Ciò conclude la discussione. □

ESERCIZIO 6. Per ogni α ∈ ℝ, sia ϕ_{α} : ℝ^{3} → ℝ^{3} l’endomorfismo di matrice

A_{α} = ( \begin{matrix}2 & −α & 0 \\ 0 & α + 1 & 0 \\ 1 & α & α \end{matrix} )

rispetto alla base canonica.

(a) Si dica per quali valori di α ∈ ℝ l’endomorfismo ϕ_{α} ha tre autovalori distinti.

(b) Si trovi una base di ℝ^{3} rispetto a cui ϕ_{3} abbia matrice diagonale.

Svolgimento. Sviluppando il determinante di A_{α} − x1 relativamente alla seconda riga, si ottiene il polinomio caratteristico di ϕ_{α}

((α + 1) − x)(2 − x)(α − x)

che ammette radici tutte distinte per α ≠ 1 e α ≠ 2. In particolare per α = 3 si hanno i tre autovalori distinti 2, 3, 4 con i relativi sottospazi di autovettori, generati da e_{1} − e_{3}, e_{3}, 3e_{1} − 2e_{2} − 3e_{3}. □

ESERCIZIO 7. Nello spazio euclideo tridimensionale si considerino i punti A = ( \begin{matrix}−1 \\ 0 \\ 3 \end{matrix} ), B = ( \begin{matrix}3 \\ −4 \\ 5 \end{matrix} ) e la

retta r : \{ \begin{matrix}x − z = 0 \\ y + 2 = 0 \end{matrix} .

Si determinino i punti C ∈ r per cui il triangolo ABC risulti rettangolo in C e si calcoli l’area di tali triangoli.

Svolgimento. Equazioni parametriche per r sono \{ \begin{matrix}x = t \\ y = −2 \\ z = t \end{matrix} . Dunque se C = ( \begin{matrix}t \\ −2 \\ t \end{matrix} ) è il generico punto su r,

il triangolo ABC risulta rettangolo in C se e solo se ⟨\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{BC}⟩ = ⟨( \begin{matrix}t + 1 \\ −2 \\ t − 3 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}t − 3 \\ 2 \\ t − 5 \end{matrix} )⟩ = 2t^{2} − 10t + 8 = 0.

Si trovano le due soluzioni t_{1} = 1 e t_{2} = 4, alle quali corrispondono i due punti C_{1} = ( \begin{matrix}1 \\ −2 \\ 1 \end{matrix} ) e C_{2} = ( \begin{matrix}4 \\ −2 \\ 4 \end{matrix} ).

Infine l’area è data da 1/2 ||\overrightarrow{AC}|| ||\overrightarrow{BC}|| = 1/2 [(t + 1)^{2} + 4 + (t − 3)^{2}]^{1/2} [(t − 3)^{2} + 4 + (t − 5)^{2})]^{1/2}, perciò si trova che l’area di ABC_{1} è 6\sqrt{2} e quella di ABC_{2} è 3\sqrt{5}. □

ESERCIZIO 8. Si consideri il cono ottenuto ruotando attorno all’asse delle ascisse il grafico della funzione f(x) = \frac{3x}{4} sull’intervallo [0, 12]. Si inserisca all’interno del cono una sfera di raggio 5, facendola aderire alle pareti e si determinino le ascisse del centro della sfera e dei punti di contatto tra la sfera ed il cono. Si misuri infine il volume compreso tra la superficie esterna della sfera e la base del cono.

Svolgimento. Tracciamo un disegno della situazione descritta nel problema.

O  H  C  Q K  P

Per determinare il centro C della sfera, si possono considerare i due triangoli simili OP Q ed OCK, da cui si ottiene che C è il punto di ascissa \frac{25}{3}. Analogamente, considerando i triangoli simili OP Q ed HCK, si ricava che il punto H ha ascissa \frac{16}{3}.

Il volume cercato si ottiene facendo ruotare la porzione di piano al di sotto del grafico di f(x) = \frac{3x}{4} ed al di sopra della semicirconferenza –grafico di g(x) = \sqrt{25 − (x − \frac{25}{3})^{2}}– quando x ∈ [\frac{16}{3}, 12]. Si tratta quindi di calcolare

V = π ∫_{16/3}^{12}[f(x)^{2} − g(x)^{2}]dx = 25π ∫_{16/3}^{12} (\frac{1}{16}x^{2} − \frac{2}{3}x + \frac{16}{9}) dx = \frac{1300}{3}π.

Ciò conclude la discussione. □

ESERCIZIO 9. Si dica per quali valori del parametro α converge l’integrale

∫_{1}^{+∞} \frac{x sinh(1/x) − 1}{x^{2}(1 + x)^{1/α}} dx.

Svolgimento. Osservando che

lim_{x→∞} \frac{\frac{x sinh(1/x)−1}{x^{2}(1+x)^{1/α}}}{\frac{1}{x^{4+1/α}}} = lim_{y→0^{+}} \frac{sinh y − y}{y^{3}} \frac{1}{y + 1} = \frac{1}{3!},

ed applicando il criterio del confronto asintotico, si conclude che l’ integrale in questione converge se, e solo se, 4 + \frac{1}{α} > 1 e quindi per α > 0, oppure per α < −\frac{1}{3}. □

ESERCIZIO 10. Si calcoli

∫ x^{2} cos(lg x) dx.

Svolgimento. Integrando due volte per parti, si ha

∫ x^{2} cos(lg x) dx = \frac{x^{3}}{10} [3 cos(log x) + sin(log x)]) + c.
□

Istituzioni di Matematiche I (CH-CI-MT)

prova scritta del 10 settembre 1998

ESERCIZIO 1. Al variare di t tra i numeri reali non negativi, si calcoli il limite

lim_{n→∞} n log (1 + \frac{\sqrt{t}}{n}) .

Svolgimento. Osserviamo che

n log (1 + \frac{\sqrt{t}}{n}) = log (1 + \frac{\sqrt{t}}{n})^{n}

e che, per ogni numero reale c, si ha

lim_{n→∞} (1 + \frac{c}{n})^{n} = e^{c}.

Per la continuità della funzione logaritmo, si conclude che

lim_{n→∞} n log (1 + \frac{\sqrt{t}}{n}) = \sqrt{t}

per ogni t ≥ 0. □

ESERCIZIO 2. Si dica se converge la serie

∑_{n=1}^{∞} [sin (\frac{1}{n} + \frac{nπ}{2} ) + sin (\frac{1}{n} − \frac{nπ}{2} )] .

Svolgimento. Dalle formule di prostaferesi, si ricava che il termine generale della serie è uguale a

sin (\frac{1}{n} + n\frac{π}{2} ) + sin (\frac{1}{n} − n\frac{π}{2} ) = 2 sin (\frac{1}{n}) cos (n\frac{π}{2} ) = \{ \begin{matrix}2(−1)^{k} sin (\frac{1}{2k} ) & se n = 2k \\ 0 & altrimenti \end{matrix} .

Si tratta quindi di studiare la convergenza della serie

∑_{k=1}^{∞} 2(−1)^{k} sin (\frac{1}{2k} ) .

La serie ha i termini di segno alterno, ed il termine generale è decrescente in valore assoluto, perchè la funzione sin x è strettamente crescente nell’intervallo [0, 1]. Dunque, si può applicare il Criterio di Leibniz,

e si ha che la serie converge se, e solo se, lim_{k→∞} sin (\frac{1}{2k} ) = 0 e ciò è vero. □

ESERCIZIO 3. Si calcoli

lim_{x→0^{+}} \frac{sin x(tg x − sinh x) − log(1 − x)\sqrt{2x^{7} + x^{11}}}{1 − cos x cosh x} .

Svolgimento. Ricordando che

log(1 − x) = x + o(x),  sinh x = x + \frac{x^{3}}{3!} + o(x^{3}),  cosh x = 1 + \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{4!} + o(x^{4}),
tg x = x + \frac{x^{3}}{3} + o(x^{3}),  sin x = x + o(x),  cos x = 1 − \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{4!} + o(x^{4})

ed osservando che, per x tendente a 0, la funzione log(1−x)\sqrt{2x^{7} + x^{11}} è un infinitesimo trascurabile rispetto ad x^{4}, si ha che il limite in questione coincide, per il Principio di cancellazione degli infinitesimi superiori

con il limite lim_{x→0^{+}} \frac{x^{4}/3!}{x^{4}/3!} = 1. □

ESERCIZIO 4. Si determinino (se esistono) delle costanti reali a e b per cui la funzione

f(x) = \{ \begin{matrix}log \frac{1+x^{2}}{5} & se |x| ≤ 2 \\ ax^{2} + b & se |x| > 2 \end{matrix}

sia continua e derivabile su tutta la retta reale e si tracci un grafico indicativo dell’andamento di tale funzione.

Svolgimento. La funzione log \frac{1+x^{2}}{5} è continua e derivabile per ogni numero reale x. Quindi, restringendoci all’intervallo [−2, 2], si ha che f è continua in tale intervallo e derivabile in (−2, 2), con derivata uguale a \frac{2x}{1+x^{2}} . In particolare, si ha

f(±2) = 0,  f′_{−}(2) = lim_{x→2^{−}} f′(x) = 4/5,  f′_{+}(−2) = lim_{x→−2^{+}} f′(x) = −4/5

D’altro canto, qualsiasi siano a e b, il polinomio ax^{2} + b è una funzione continua e derivabile su tutta la retta reale, con derivata uguale a 2ax; e si ha

lim_{x→2^{+}} f(x) = lim_{x→−2^{−}} f(x) = 4a + b,  e  lim_{x→2^{+}} f′(x) = 4a, lim_{x→−2^{−}} f′(x) = −4a.

Si conclude che, affinchè f sia continua e derivabile su tutto ℝ, deve aversi a = 1/5, e b = −4/5.

−2  − log 5  2

Qui sopra abbiamo tracciato un grafico indicativo dell’andamento di f(x). □

ESERCIZIO 5. Sia P (z) = z^{4} + 3z^{2} − 6z + 10.

(a) Si determini il polinomio Q(z) tale che P (z) = Q(z)(z^{2} − 2z + 2).

(b) Si disegni nel piano di Argand-Gauss il quadrilatero avente come vertici le soluzioni dell’equazione P (z) = 0.

(c) Si determini il volume del solido che si ottiene ruotando il quadrilatero detto attorno all’asse delle ascisse.

Svolgimento. Osserviamo che P (z) è un polinomio a coefficienti reali e quindi che, se z_{0} è una radice di P (z) anche \overline{z}_{0} è radice di P (z).

(a). Applicando l’algoritmo euclideo di divisione, si ottiene che Q(z) = z^{2} + 2z + 5. (b). le radici di Q(z) sono

z_{1} = −1 + 2i e \overline{z}_{1} = −1 − 2i,

mentre le radici di z^{2} − 2z + 2 sono

z_{2} = 1 + i e \overline{z}_{2} = 1 − i.

Dunque i quattro punti sono i vertici di un trapezio isoscele, simmetrico rispetto all’asse delle ascisse. Tracciamo qui a fianco un disegno del quadrilatero. (c). Si tratta di determinare il volume del solido (tronco di cono) che si ottiene ruotando attorno all’asse delle ascisse il grafico della funzione f(x) = \frac{3−x}{2} sull’intervallo [−1, 1]. Dunque

Vol = π ∫_{−1}^{1} \frac{(3 − x)^{2}}{4} dx = \frac{3π}{2} .

z_{1} z_{2}

Ciò conclude la discussione. □

ESERCIZIO 6. Si consideri l’endomorfismo ϕ_{α} : ℝ^{3} → ℝ^{3} di matrice

A = ( \begin{matrix}2 & 1 & −1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} )

rispetto alla base canonica.

(a) Si determinino gli autovalori di ϕ.

(b) ϕ risulta diagonalizzabile?

Svolgimento. Sviluppando il determinante di A − x1 relativamente alla terza riga, si ottiene il polinomio caratteristico di ϕ

(1 − x)[(2 − x)^{2} − 1] = (1 − x)[(2 − x) + 1][(2 − x) − 1] = (1 − x)^{2}(3 − x).

Gli autovalori di ϕ sono dunque 1 con molteplicitá due, e 3 con molteplicitá uno.

L’autospazio V_{1} relativo all’autovalore 1 si determina risolvendo il sistema omogeneo di matrice

( \begin{matrix}1 & 1 & −1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) ,

e si ottiene quindi lo spazio monodimensionale V_{1} = ⟨(1, −1, 0)⟩. Perció ϕ non è diagonalizzabile. □

ESERCIZIO 7. Nello spazio euclideo tridimensionale si considerino il piano π : x + y − 2 = 0 e la retta r : 2x = 2y = −z − 1.

16 MAURIZIO CANDILERA

(a) Si determini la retta r′ proiezione ortogonale di r su π.

(b) Si calcoli il coseno dell’angolo tra le rette r ed r′. Svolgimento. Poiché equazioni parametriche per r sono \{ \begin{matrix}x = t \\ y = t \\ z = −1 − 2t \end{matrix} , il generico punto su r è P_{λ} = ( \begin{matrix}λ \\ λ \\ 1 − 2λ \end{matrix} ), con λ reale. Inoltre, un vettore normale al piano π è n^{→} = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ). La retta per P_{λ} e normale a π è dunque s_{λ} : \{ \begin{matrix}x = λ + t \\ y = λ + t \\ z = −1 − 2λ \end{matrix} . Perció il punto s_{λ}∩π si ottiene su s_{λ} per l’ascissa t tale che (λ+t)+(λ+t)−2 = 0, cioè t = 1 − λ. Si ottiene così la retta r′ : \{ \begin{matrix}x = 1 \\ y = 1 \\ z = −1 − 2t \end{matrix} .

Infine, poichè vettori paralleli ad r ed r′ sono, rispettivamente, v^{→} = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ −2 \end{matrix} ) e w^{→} = ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ −2 \end{matrix} ), si ottiene

cos α(r, r′) = \frac{|⟨ v^{→},w^{→}⟩|}{|| v^{→}||,||w^{→}||} = 2/\sqrt{6} □

ESERCIZIO 8. Si calcolino la lunghezza dell’arco della parabola y = x^{2} + 1, quando x varia in [0, 1], ed il volume del solido prodotto dalla rotazione di tale arco attorno all’asse delle ascisse. Svolgimento. Indicati rispettivamente con L e V la lunghezza ed il volume cercati, si ha

\begin{aligned}L & = ∫_{0}^{1} \sqrt{1 + (2x)^{2}} dx = \frac{1}{16} (4 log(2 + \sqrt{5}) + (2 + \sqrt{5})^{2} − \frac{1}{(2 + \sqrt{5})^{2}} ); \\ V & = π ∫_{0}^{1}(1 + x^{2})^{2} dx = \frac{28}{15}π. \end{aligned}

Il primo integrale può essere calcolato, ad esempio, tramite la sostituzione 2x = sinh t e si ha

∫_{0}^{1} \sqrt{1 + (2x)^{2}} dx = \frac{1}{2} ∫_{0}^{log(2+\sqrt{5})}(cosh t)^{2} dt e ∫ (cosh t)^{2} dt = \frac{1}{2}(t + sinh t cosh t) + c.

Il secondo integrale non presenta nessuna difficoltà di calcolo. □ ESERCIZIO 9. Si dica per quali valori del parametro α converge l’integrale

∫_{1}^{+∞} \frac{1 − x log(\frac{x+1}{x})}{x(1 + x)^{1/α}} dx.

Svolgimento. Osservando che

lim_{x→+∞} ^{\frac{\frac{1−x log( \frac{x+1}{x})}{x(1+x)^{1/α}}}{\frac{1}{x^{2+1/α}}}} = lim_{y→0^{+}} \frac{y − log(1 + y)}{y^{2}} = \frac{1}{2},

ed applicando il criterio del confronto asintotico, si conclude che l’ integrale in questione converge se, e solo se, 2 + \frac{1}{α} > 1 e quindi per α > 0, oppure per α < −1. □

Istituzioni di Matematiche I – prova scritta del 10 settembre 1998 17

ESERCIZIO 10. Sapendo che ∫_{0}^{+∞} \frac{sin x}{x}dx = \frac{π}{2} , si calcoli

∫_{0}^{+∞} \frac{1 − cos x}{x^{2}} dx.

Svolgimento. Integrando per parti, si ha

∫ \frac{1 − cos x}{x^{2}} dx = \frac{cos x − 1}{x} + ∫ \frac{sin x}{x} dx.

Se si osserva che

lim_{x→0} \frac{cos x − 1}{x} = 0 = lim_{x→+∞} \frac{cos x − 1}{x}.

Si conclude che l’integrale proposto coincide con ∫_{0}^{+∞} \frac{sin x}{x}dx = \frac{π}{2} . □

Istituzioni di Matematiche I (CH-CI-MT)

prova scritta del 28 settembre 1998

ESERCIZIO 1. Al variare di t tra i numeri reali, si calcoli il limite

lim_{n→∞} n^{2} log [(1 + \frac{t}{n}) (1 − \frac{1}{n})^{t} ] .

Svolgimento. Si ha

n^{2} log [(1 + \frac{t}{n}) (1 − \frac{1}{n})^{t} ] = n^{2} [log (1 + \frac{t}{n}) + t log (1 − \frac{1}{n}) ] .

Sia y = \frac{1}{n} ed osserviamo che y → 0^{+} quando n → ∞ e quindi possiamo utilizzare gli sviluppi di McLaurin delle funzioni coinvolte nel limite. In particolare, per y → 0^{+}, si ha

log(1 + ty) = ty − \frac{(ty)^{2}}{2} + o(y^{2})  e  log(1 − y) = −y − \frac{y^{2}}{2} + o(y^{2})

Si conclude quindi che il limite proposto coincide con

lim_{y→0^{+}} \frac{log(1 + ty) + t log(1 − y)}{y^{2}} = lim_{y→0^{+}} \frac{−\frac{(ty)^{2}}{2} − \frac{ty^{2}}{2} + o(y^{2})}{y^{2}} = −\frac{t^{2} + t}{2}

che è quanto dovevamo calcolare. □

ESERCIZIO 2. Si dica se converge la serie

∑_{n=1}^{∞} [cos (\frac{(1 + n^{2})π}{2n} ) − cos (\frac{(1 − n^{2})π}{2n} )] .

Svolgimento. Dalle formule di prostaferesi, si ricava che il termine generale della serie è uguale a

cos (\frac{(1 + n^{2})π}{2n} ) − cos (\frac{(1 − n^{2})π}{2n} ) = −2 sin (\frac{π}{2n}) sin (\frac{nπ}{2} ) = \{ \begin{matrix}2(−1)^{k} sin (\frac{π}{2(2k−1)}) & se n = 2k − 1 \\ 0 & altrimenti \end{matrix} .

Si tratta quindi di studiare la convergenza della serie

∑_{k=1}^{∞} 2(−1)^{k} sin (\frac{π}{2(2k − 1)}) .

La serie ha i termini di segno alterno, ed il termine generale è decrescente in valore assoluto, perchè la funzione sin x è strettamente crescente nell’intervallo [0, \frac{π}{2} ]. Dunque, si può applicare il Criterio di Leibniz,

e si ha che la serie converge se, e solo se, lim_{k→∞} sin (\frac{π}{2(2k − 1)}) = 0 e ciò è vero. □

ESERCIZIO 3. Si calcoli

lim_{x→0^{+}} \frac{x^{log x}}{e^{1/x} + \frac{1}{tanh^{2} x}} .

Svolgimento. Per x → 0^{+}, si ha tanh x = x + o(x); quindi \frac{1}{tanh^{2} x} = \frac{1}{x^{2}} + o(1/x^{2}) ed \frac{1}{x^{2}} è trascurabile

rispetto ad e^{1/x}, come si verifica facilmente osservando che

lim_{x→0^{+}} \frac{1/x^{2}}{e^{1/x}} = lim_{y→+∞} \frac{y^{2}}{e^{y}} = 0.

In base al principio di cancellazione delle funzioni trascurabili, si ha quindi

lim_{x→0^{+}} \frac{x^{log x}}{e^{1/x} + \frac{1}{tanh^{2} x}} = lim_{x→0^{+}} \frac{x^{log x}}{e^{1/x}} = lim_{x→0^{+}} e^{(log x)^{2}−1/x}.

A questo punto, basta ricordare che

lim_{x→0^{+}} \frac{x(log x)^{2} − 1}{x} = −∞

per concludere che il limite in questione è uguale a zero. □

ESERCIZIO 4. Si studi la funzione

f(x) = \frac{e^{\frac{x−1}{x+2}}}{x + 2},

facendo particolare attenzione al comportamento al bordo dell’insieme di definizione e ad eventuali valori massimi e minimi. Si tracci un grafico indicativo dell’andamento di f(x).

Svolgimento. La funzione è definita in D = ℝ \ {−2}, e si ha

lim_{x→−∞} f(x) = 0,  lim_{x→+∞} f(x) = 0,  lim_{x→−2^{−}} f(x) = −∞;

inoltre, utilizzando la sostituzione

t = \frac{x − 1}{x + 2} e quindi x + 2 = \frac{3}{1 − t}, x − 1 = \frac{3t}{1 − t},

si ha

lim_{x→−2^{+}} f(x) = lim_{t→−∞} \frac{1}{3}(1 − t)e^{t} = 0.

La funzione è derivabile in ogni punto di D e si ha

f′(x) = \frac{e^{\frac{x−1}{x+2}}}{(x + 2)^{2}} \frac{1 − x}{x + 2};

dunque f è decrescente nelle semirette (−∞, −2), (1, +∞), mentre è crescente nell’inervallo (−2, 1). Si conclude quindi che per x = 1 la funzione assume un valore massimo (relativo ed assoluto), uguale ad f(1) = \frac{1}{3}. Osserviamo in particolare che, tramite la sostituzione scritta sopra è facile verificare che lim_{x→−2^{+}} f′(x) = 0

e quindi siamo già in grado di tracciare un grafico indicativo dell’andamento della funzione.

−2  1

Ciò conclude la discussione. □

ESERCIZIO 5. Sia P (z) = z^{3} − (5 + 2i)z^{2} + (7 + 6i)z + (1 − 8i).

(a) Si verifichi che P (i) = 0 e si disegni nel piano di Argand-Gauss il triangolo avente come vertici le soluzioni dell’equazione P (z) = 0.

(b) Si determini l’area di tale triangolo.

Svolgimento. (a). La verifica che P (i) = 0 è un facile calcolo ed implica che P (z) è divisibile per z − i.

i 2 − i 3 + 2i

In particolare, si ha

P (z) = (z−i)(z^{2}−(5+i)z+(8+i)) = (z−i)(z−2+i)(z−3−2i).

Il triangolo che ha come vertici le soluzioni dell’equazione è quindi disegnato qui a fianco. (b). I vertici del triangolo sono i punti di coordinate

P_{1} = ( \begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix} ) ,  P_{2} = ( \begin{matrix}2 \\ −1 \end{matrix} ) ,  P_{3} = ( \begin{matrix}3 \\ 2 \end{matrix} ) .

Dunque l’area del triangolo è A = \frac{1}{2}∥\overrightarrow{P_{1}P_{2}} × \overrightarrow{P_{1}P_{3}}∥ = 4 e ciò conclude la discussione. □

ESERCIZIO 6. Si consideri l’endomorfismo ϕ_{α} : ℝ^{3} → ℝ^{3} di matrice

A_{α} = ( \begin{matrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & −1 \\ 1 & −1 & α \end{matrix} )

rispetto alla base canonica.

(a) Si determini il valore reale α_{0} per cui ϕ_{α_{0}} non è invertibile.

(b) Si determinino gli autovalori ed autovettori di ϕ_{α_{0}}.

Svolgimento. L’endomorfismo ϕ_{α} non è invertibile se e solo se il determinante della matrice A_{α} associata a ϕ_{α} è nullo. Si trova dunque il valore reale α_{0} = 2.

Sviluppando quindi il determinante di A_{2} − x1 relativamente alla prima riga, si ottiene il polinomio caratteristico di ϕ_{2}

(1 − x)[(1 − x)(2 − x) − 1] − (1 − x) = (1 − x)(x^{2} − 3x) = (1 − x)x(x − 3).

Gli autovalori di ϕ_{2} sono dunque 1, 0 e 3.

L’autospazio V_{1} relativo all’autovalore 1 si determina risolvendo il sistema omogeneo associato alla

matrice ( \begin{matrix}0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & −1 \\ 1 & −1 & 1 \end{matrix} ), e si ottiene quindi il primo autospazio V_{1} = ⟨(1, 1, 0)⟩. Analogamente si ottengono

gli altri autospazi V_{0} = ⟨(1, −1, −1)⟩ e V_{3} = ⟨(1, −1, 2)⟩. □

ESERCIZIO 7. Nello spazio euclideo tridimensionale si considerino la retta r ed il punto P, ove

r : \{ \begin{matrix}x − y = 0 \\ z + 4 = 0 \end{matrix}  e  P = ( \begin{matrix}1 \\ −1 \\ 3 \end{matrix} ) .

(a) Si determinino i piani per P che distano 1 da r.

(b) Si determinino le rette per P, ortogonali ad r, che distano 1 da r.

Svolgimento. Il generico piano per r è π_{λ,μ}: λx − λy + μz + 4μ = 0. Poichè la distanza di π_{λ,μ} da P è data da \frac{|2λ+7μ|}{\sqrt{2λ^{2}+μ^{2}}} , si ottiene che π_{λ,μ} ha distanza 1 da P se e solo se (2λ + 7μ)^{2} = 2λ^{2} + μ^{2}, cioè se e solo se

λ^{2} + 14λμ + 24μ^{2} = 0, che ha per soluzioni λ/μ = −12 e λ/μ = −2. Si ottengono perciò due piani per r, che distano 1 da P, di equazioni, rispettivamente, 12x − 12y − z − 4 = 0 e 2x − 2y − z − 4 = 0. I piani cercati in (a) sono quindi paralleli a questi ultimi, e passanti per P. Essi sono dunque σ_{1} : 12x − 12y − z − 21 = 0 e σ_{2} : 2x − 2y − z − 1 = 0.

Le rette richieste in (b) si ottengono intersecando rispettivamente i piani σ_{1} e σ_{2} con il piano σ per P ed

ortogonale ad r. Poichè un vettore parallelo ad r è v^{→} = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ), si trova subito che σ ha equazione x + y = 0.

Si trovano dunque le due rette s_{1} = σ_{1} ∩σ: \{ \begin{matrix}12x − 12y − z − 21 = 0 \\ x + y = 0 \end{matrix} e s_{2} = σ_{2} ∩σ: \{ \begin{matrix}2x − 2y − z − 1 = 0 \\ x + y = 0 \end{matrix} .

□

ESERCIZIO 8. Si disegni il triangolo equilatero ABC, inscritto nella circonferenza unitaria, ove A = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix} ).

(a) Si determini la parabola y = ax^{2} + bx + c passante per i punti A, O e B.

(b) Si determini l’area della regione racchiusa tra la parabola e la circonferenza.

Svolgimento. Tracciamo qui sotto il disegno ed osserviamo che i tre vertici del triangolo equilatero hanno coordinate

A = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix} ) ,  B = ( \begin{matrix}−\frac{1}{2} \\ −\frac{\sqrt{3}}{2} \end{matrix} ) ,  C = ( −\frac{1}{2}_{\frac{\sqrt{3}}{2}} ) .

In particolare, da ciò si deduce con facili argomenti di simmetria, che lo scambio tra B e C inverte il segno dei coefficienti a, b e c della parabola, ma non modifica l’area della superficie delimitata dalle due figure.

O A B C

(a). Le costanti a, b e c nell’equazione della parabola, si determinano imponendo le condizioni di passaggio per i punti A, O e B. Così si ottiene che l’equazione della parabola è

y = \frac{2}{\sqrt{3}}(x − x^{2}).

(b). Per calcolare l’area della porzione di piano racchiusa tra la parabola e la circonferenza è sufficiente osservare che quest’area si può ottenere come differenza dell’area dei sottografici di due funzioni sull’intervallo [−\frac{1}{2}, 1]. Precisamente, la parabola è il grafico della funzione f(x) = \frac{2}{\sqrt{3}}(x−x^{2}), mentre l’arco di circonferenza è il grafico della funzione g(x) = −\sqrt{1 − x^{2}}.

Dobbiamo quindi calcolare l’integrale

∫_{− \frac{1}{2}}^{1} [\frac{2}{\sqrt{3}}(x − x^{2}) + \sqrt{1 − x^{2}}] dx = [\frac{1}{3\sqrt{3}}(3x^{2} − 2x^{3})]_{− \frac{1}{2}}^{1} + [\frac{1}{2}(t + sin t cos t)]− \frac{π}{6}^{\frac{π}{2}} = \frac{π}{3} + \frac{1}{6\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{4};

ove il secondo integrale è stato calcolato tramite la sostituzione x = sin t. Ciò conclude la discussione. □

ESERCIZIO 9. Si calcoli

∫_{−∞}^{+∞} \frac{2}{x^{2} − 2x + 5} dx.

22 MAURIZIO CANDILERA

Svolgimento. Si ha

∫_{−∞}^{+∞} \frac{2}{x^{2} − 2x + 5} dx = ∫_{−∞}^{+∞} \frac{1/2}{(\frac{x−1}{2})^{2} + 1} dx = lim_{b→+∞} arctg(\frac{b−1}{2}) − lim_{a→−∞} arctg(\frac{a−1}{2}) = π

e ciò è quanto volevamo. □

ESERCIZIO 10. Sapendo che ∫_{0}^{+∞} \frac{sin x}{x}dx = \frac{π}{2} (integrale di Dirichlet), si calcoli

∫_{0}^{+∞} \frac{x − sin x}{x^{3}} dx.

Svolgimento. Integrando per parti, si ha

∫ \frac{x − sin x}{x^{3}} dx = \frac{sin x − x}{2x^{2}} + \frac{1}{2} ∫ \frac{1 − cos x}{x^{2}} dx e ∫ \frac{1 − cos x}{x^{2}} dx = \frac{cos x − 1}{x} + ∫ \frac{sin x}{x} dx.

Se si osserva che

lim_{x→0} \frac{sin x − x}{2x^{2}} = 0 = lim_{x→+∞} \frac{sin x − x}{2x^{2}}  e  lim_{x→0} \frac{cos x − 1}{x} = 0 = lim_{x→+∞} \frac{cos x − 1}{x}.

Si conclude che l’integrale proposto coincide con \frac{1}{2} ∫_{0}^{+∞} \frac{sin x}{x}dx = \frac{π}{4} . □

Istituzioni di Matematiche I (CH-CI-MT)

prova orale del 3 febbraio 1998

Nome  Cognome  N. Matricola

Corso di Laurea:

Chimica pura

Chimica Industriale

Scienza dei Materiali

ATTENZIONE: Ogni risposta corretta aggiunge un punto ed ogni risposta sbagliata sottrae un punto. Per superare la prova è necessario rispondere ad almeno cinque domande ed ottenere un punteggio positivo.

1. Sia f : [a, b] → ℝ una funzione continua, derivabile in (a, b), tale che f′(x) ≠ 0 per ogni x ∈ (a, b) e si consideri la funzione g(x) = \frac{f(x)}{f(x)−f(a)}.

(i) Allora g(x) è definita sull’intervallo (a, b]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(ii) Allora lim_{x→b^{−}} g(x) = lim_{x→a^{+}} g(x) = ∞. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □

(iii) Allora, se f(a) > 0, la funzione g è decrescente in (a, b). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .□

2. Sia f : (a, b) → ℝ una funzione derivabile in tutti punti di (a, b), ad eccezione al più del punto x_{0}, e si abbia lim_{x→x_{0}} f′(x) = c ∈ ℝ.

(i) Allora, f′_{−}(x_{0}) = c = f′_{+}(x_{0}) e quindi f è derivabile in x_{0} ed f′(x_{0}) = c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ (ii) Se f è monotona in (a, b), allora f è derivabile in x_{0} ed f′(x_{0}) = c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ (iii) Se f è continua in x_{0}, allora f è derivabile in x_{0} ed f′(x_{0}) = c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Sia (x_{n})_{n∈ℕ} una successione (debolmente) crescente di numeri reali positivi e minori di 10.

(i) La successione (x_{n})_{n∈ℕ} converge se, e solo se, lim_{n→+∞} \frac{x_{n+1}}{x_{n}} < 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .□

(ii) La successione (1/x_{n})_{n∈ℕ} converge a zero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ (iii) La successione (x_{n}^{3})_{n∈ℕ} converge ad un numero x ≤ 1000. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Sia x un numero reale positivo e si consideri la serie ∑_{n=1}^{∞} log( \sqrt[n^{2}]{x}).

(i) La serie converge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (ii) La serie converge solo se x ≥ 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ (iii) La serie converge solo se 0 < x ≤ 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .□

5. Siano (x_{n})_{n∈ℕ} e (y_{n})_{n∈ℕ} due successioni (strettamente) decrescenti di numeri reali.

(i) La successione (x_{n}y_{n})_{n∈ℕ} è crescente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .□ (ii) La successione (x_{n}y_{n})_{n∈ℕ} è definitivamente monotona; ovvero, esiste un intero n_{0} per cui la sottosuc-

cessione (x_{n}y_{n})_{n≥n_{0}} è monotona. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (iii) La successione (x_{n}y_{n})_{n∈ℕ} è decrescente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □

6. Sia f : [a, b] → ℝ una funzione tale che f′(x) > 0 < f′′(x) per ogni x ∈ (a, b) ed f(a) = a, f(b) = b. Fissato un punto c ∈ (a, b), si consideri la successione (x_{n})_{n∈ℕ}, definita ricorsivamente ponendo

\{ \begin{matrix}x_{1} = c \\ x_{n+1} = f(x_{n}) \end{matrix} .

(i) Allora, indipendentemente da c, non esiste lim_{n→+∞} x_{n}. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □

(ii) Allora, indipendentemente da c, si ha lim_{n→+∞} x_{n} = a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(iii) Allora, se c < \frac{a+b}{2}, si ha lim_{n→+∞} x_{n} = a e se c ≥ \frac{a+b}{2}, si ha lim_{n→+∞} x_{n} = b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □

7. È vero o falso che

\frac{(x + y)^{n}}{n!} = ∑_{i+j=n} \frac{x^{i}}{i!} \frac{y^{j}}{j!} .

(i) È vero solo se x, y ∈ (0, 1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ (ii) È vero per ogni coppia di numeri reali x, y. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (iii) È falso se x = 1 = y, mentre è vero in ogni altro caso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .□

8. Quante sono le diagonali di un poligono convesso di n lati?

(i) \binom{n}{2}. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □

(ii) \frac{n(n−3)}{2} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(iii) \frac{(n+1)(n+2)}{6}. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □

9. Un individuo assume quotidianamente 300mg di un farmaco ed espelle il 30% della quantità accumulata. Se continuasse ad assumere indefinitamente il farmaco e si mantenesse la stessa percentuale di espulsione, che cosa succederebbe?

(i) La quantità di farmaco accumulata crescerebbe col passare dei giorni, ma restando al di sotto di 1g. (ii) Il farmaco accumulato raggiungerebbe quantità indefinitamente elevate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ (iii) Il farmaco accumulato non supererebbe mai i 300mg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □

10. Si consideri la funzione g : ℝ → ℝ, definita ponendo g(x) = ∫_{−x}^{x} e^{−t^{2}}dt. Quale delle seguenti affermazioni è vera?

(i) lim_{x→+∞} g(x) = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □

(ii) La funzione g è crescente sulla semiretta positiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (iii) la funzione g è illimitata. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □

Istituzioni di Matematiche I (CH-CI-MT)

prova orale del 18 febbraio 1998

Nome  Cognome  N. Matricola

Corso di Laurea:

Chimica pura

Chimica Industriale

Scienza dei Materiali

ATTENZIONE: Ogni risposta corretta aggiunge un punto ed ogni risposta sbagliata sottrae un punto. Per superare la prova è necessario rispondere ad almeno cinque domande ed ottenere un punteggio positivo.

1. Sia f : (a, b) → ℝ una funzione continua, e sia (x_{n})_{n∈ℕ} una successione di punti dell’intervallo (a, b).

(i) Se f è limitata in (a, b) e (x_{n})_{n∈ℕ} converge ad x_{0} ∈ [a, b], allora (f(x_{n}))_{n∈ℕ} converge. . . . . . . . . . . . . . □ (ii) Se (x_{n})_{n∈ℕ} converge ad x_{0} ∈ [a, b], allora (f(x_{n}))_{n∈ℕ} è limitata. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ (iii) Se (x_{n})_{n∈ℕ} converge ad x_{0} ∈ (a, b), allora (f(x_{n}))_{n∈ℕ} converge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Sia (x_{n})_{n∈ℕ} una successione (debolmente) decrescente di numeri reali maggiori di 10.

(i) La successione (x_{n})_{n∈ℕ} converge se, e solo se, lim_{n→+∞} \frac{x_{n+1}}{x_{n}} < 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .□

(ii) La successione (x_{n}^{2})_{n∈ℕ} converge ad un numero 10 ≤ x < 100. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ (iii) La successione (1/x_{n})_{n∈ℕ} converge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Sia x un numero reale positivo e si consideri la serie ∑_{n=1}^{∞} [cos (\frac{π}{2\sqrt{n^{2} + n}} + \frac{π}{4} )]^{n}.

(i) La serie converge assolutamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (ii) La serie converge semplicemente, ma non assolutamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ (iii) La serie è indeterminata. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □

4. Sia f : [a, b] → ℝ una funzione continua, derivabile in (a, b), tale che f′(x) ≠ 0 per ogni x ∈ (a, b).

(i) Allora lim_{x→b^{−}} f(x) = lim_{x→a^{+}} f(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .□

(ii) Allora, esiste un punto ξ ∈ (a, b) tale che \frac{f(ξ)−f(a)}{ξ−a} = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □

(iii) Allora |\frac{f(x)−f(a)}{x−a} | > 0 per ogni x ∈ (a, b). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Sia ζ il numero complesso ζ = cos \frac{2π}{7} + i sin \frac{2π}{7} e si consideri la serie ∑_{n=0}^{∞} ζ^{n}.

(i) La serie diverge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .□ (ii) La serie converge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ (iii) La serie è indeterminata. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Sia f : [1, 3] → ℝ la funzione f(x) = 2 + (x − 2)^{3}. Fissato un punto c ∈ (1, 3), si consideri la successione (x_{n})_{n∈ℕ}, definita ricorsivamente ponendo

\{ \begin{matrix}x_{1} = c \\ x_{n+1} = f(x_{n}) \end{matrix} .

(i) Allora, indipendentemente da c, si ha lim_{n→+∞} x_{n} = 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(ii) Allora, indipendentemente da c, si ha lim_{n→+∞} x_{n} = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □

(iii) Allora, se c < 2, si ha lim_{n→+∞} x_{n} = 1, se c > 2, si ha lim_{n→+∞} x_{n} = 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □

7. Siano 0 < k < n due numeri naturali. Allora

(i) \begin{matrix}( & {n \atop k} & ) \\ ( & {n−1 \atop k−1} & ) \end{matrix} = \frac{n}{n−1}. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □

(ii) \begin{matrix}( & {n \atop k} & ) \\ ( & {n−1 \atop k−1} & ) \end{matrix} = \frac{k+1}{n}. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □

(iii) \begin{matrix}( & {n \atop k} & ) \\ ( & {n−1 \atop k−1} & ) \end{matrix} = \frac{n}{k}. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8. Si consideri, per ogni α ∈ ℝ, la matrice A_{α} = ( \begin{matrix}1 & 0 & 3 \\ α & 2 & α−1 \\ 0 & 0 & −1 \end{matrix} ). Allora:

(i) Per α = 1, A_{α} non è diagonalizzabile. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .□ (ii) Per opportuni α ∈ ℝ, il rango di A_{α} è minore di 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .□ (iii) Per qualunque α ∈ ℝ, A_{α} ha tre autovalori reali distinti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9. Siano \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w} tre vettori di ℝ^{3} e sia α = ⟨\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} × \overrightarrow{w}⟩. Allora:

(i) α = 0 se, e solo se, \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w} sono complanari. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (ii) Se \overrightarrow{u} ≠ 0, \overrightarrow{v} ≠ 0, \overrightarrow{w} ≠ 0 allora α ≠ 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ (iii) α = 0 se, e solo se, \overrightarrow{v} è parallelo a \overrightarrow{w}. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □

10. Si consideri la funzione g : ℝ → ℝ, definita ponendo g(x) = ∫_{−x}^{x}(1 + sin^{2} t)dt. Quale delle seguenti affermazioni è vera?

(i) La funzione g è decrescente sulla semiretta negativa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □

(ii) lim_{x→+∞} g(x) = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □

(iii) la funzione g è illimitata. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Istituzioni di Matematiche I (CH-CI-MT)

prova orale del 18 giugno 1998

Nome  Cognome  N. Matricola

Corso di Laurea:

Chimica pura

Chimica Industriale

Scienza dei Materiali

ATTENZIONE: Ogni risposta corretta aggiunge un punto ed ogni risposta sbagliata sottrae un punto. Per superare la prova è necessario rispondere ad almeno cinque domande ed ottenere un punteggio positivo.

1. Sia x un numero reale positivo e si consideri la serie ∑_{n=1}^{∞} x^{\sqrt{n}}.

(i) La serie converge semplicemente, ma non assolutamente per ogni valore di x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ (ii) La serie converge assolutamente per x ≥ 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ (iii) La serie converge assolutamente per 0 < x < 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Una palla elastica (in assenza di attriti) rimbalza risalendo l’80% dell’altezza da cui è caduta. Supponendo (sempre in assenza di attriti) di lasciar cadere la palla da un’altezza di 5 metri, quanta strada percorre prima di fermarsi?

(i) 45 metri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (ii) Percorre una strada infinita, perchè continua a rimbalzare all’infinito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ (iii) 215 metri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .□

3. Sia ζ il numero complesso ζ = \frac{1+i}{2} e si consideri la serie ∑_{n=0}^{∞} ζ^{n}.

(i) La serie è indeterminata. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ (ii) La serie diverge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .□ (iii) La serie converge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Sia f : [a, b] → ℝ una funzione continua assieme alla sua derivata e tale che f′(x) ≠ 0 per ogni x ∈ (a, b).

(i) Allora f(x) non si annulla mai sull’intervallo (a, b). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ (ii) Allora f(b) = f(a). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ (iii) Allora f(x) è monotona in senso stretto sull’intervallo [a, b]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Sia f : (a, b) → ℝ una funzione continua, e sia (x_{n})_{n∈ℕ} una successione di punti dell’intervallo (a, b).

(i) Se (x_{n})_{n∈ℕ} converge ad x_{0} ∈ (a, b), allora (f(x_{n}))_{n∈ℕ} converge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (ii) Se (x_{n})_{n∈ℕ} converge ad x_{0} ∈ [a, b], allora (f(x_{n}))_{n∈ℕ} è limitata. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ (iii) Se f è limitata in (a, b) e (x_{n})_{n∈ℕ} converge ad x_{0} ∈ [a, b], allora (f(x_{n}))_{n∈ℕ} converge. . . . . . . . . . . . . . □

6. Si consideri la serie ∑_{n=1}^{∞} (cos \frac{1}{n})^{n}.

(i) La serie converge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ (ii) La serie è indeterminata. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ (iii) La serie diverge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. Sia f : (a, b) → ℝ una funzione derivabile in tutti punti di (a, b), ad eccezione al più del punto x_{0}, e si abbia lim_{x→x_{0}} f′(x) = c ∈ ℝ.

(i) Allora, f′_{−}(x_{0}) = c = f′_{+}(x_{0}) e quindi f è derivabile in x_{0} ed f′(x_{0}) = c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ (ii) Se f è monotona in (a, b), allora f è derivabile in x_{0} ed f′(x_{0}) = c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ (iii) Se f è continua in x_{0}, allora f è derivabile in x_{0} ed f′(x_{0}) = c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8. Si consideri, per ogni α ∈ ℝ, la matrice A_{α} = ( \begin{matrix}−2 & 1 & 2α−1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & α−3 & α \end{matrix} ). Allora:

(i) Per opportuni α ∈ ℝ, il rango di A_{α} è minore di 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (ii) Per α = 0, \frac{1}{2}, 3, A_{α} non è diagonalizzabile. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ (iii) Per qualunque α ∈ ℝ, A_{α} ha tre autovalori reali distinti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □

9. Siano r : \{ \begin{matrix}a_{1}x + b_{1}y + c_{1}z = d_{1} \\ a_{2}x + b_{2}y + c_{2}z = d_{2} \end{matrix} una retta e π : a_{3}x+b_{3}y+c_{3}z = d_{3} un piano nello spazio tridimensionale e si considerino le matrici

A = ( \begin{matrix}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{matrix} )  e  B = ( \begin{matrix}a_{1} & b_{1} & c_{1} & d_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} & d_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} & d_{3} \end{matrix} )

(i) r e π sono sghembi se rk A = 2 e rk B = 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ (ii) r e π sono ortogonali se rk A = 3 e rk B = 3.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .□ (iii) r e π sono paralleli se rk A = 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10. Si dica per quali valori del parametro α converge ∫_{1}^{+∞} x^{α}e^{−x}dx.

(i) solo per α > 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ (ii) solo per α < −1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ (iii) per ogni valore di α. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Istituzioni di Matematiche I (CH-CI-MT)

prova orale del 8 luglio 1998

Nome  Cognome  N. Matricola

Corso di Laurea:

Chimica pura

Chimica Industriale

Scienza dei Materiali

ATTENZIONE: Ogni risposta corretta aggiunge un punto ed ogni risposta sbagliata sottrae un punto. Per superare la prova è necessario rispondere ad almeno cinque domande ed ottenere un punteggio positivo.

1. Sia α un numero reale positivo e si consideri ∫_{1}^{+∞} \frac{| sin(πx)|}{x^{α}}.

(i) L’integrale converge per α > 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (ii) L’integrale converge semplicemente, ma non assolutamente per ogni valore di α. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ (iii) L’integrale converge per 0 < α ≤ 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □

2. Si consideri, per ogni α ∈ ℝ, la matrice A_{α} = ( \begin{matrix}3 & −6 & 3α \\ 0 & 2α−1 & 0 \\ 0 & α−4 & α+3 \end{matrix} ). Quale tra le seguenti affermazioni è falsa:

(i) Per α > \frac{1}{2}, la matrice A_{α} ha solo autovalori positivi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ (ii) Per qualunque α ∈ ℝ, A_{α} è diagonalizzabile. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ (iii) Per α = −3, 0, \frac{1}{2}, 4, A_{α} non ha tre autovalori distinti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Si consideri la funzione f(x) = x^{sin x}.

(i) Allora f è derivabile solo se sin x > 0 ed f′(x) = x^{sin x} log(x cos x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ (ii) Allora f è derivabile in (0, +∞) ed f′(x) = x^{sin x−1} sin x cos x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ (iii) Allora f è derivabile in (0, +∞) ed f′(x) = x^{sin x}(cos x log x + \frac{sin x}{x}). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. I numeri complessi 3 − 2i ed i − 2 sono le due soluzioni dell’equazione

(i) x^{2} − (1 − i)x + 7i − 4 = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (ii) x^{2} + ix + 7 = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ (iii) x^{2} − (4 − 7i)x + i − 1 = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .□

5. Sia f : [a, b] → ℝ una funzione continua e si consideri la funzione g(x) = \frac{1}{b − a} ∫_{a}^{x} f(t)dt sull’intervallo [a, b].

(i) Allora i grafici di f e g sull’intervallo [a, b] si intersecano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ (ii) Allora g ed f differiscono per una costante sull’intervallo [a, b]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ (iii) Allora f e g hanno almeno un valore comune in [a, b]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Siano r : \{ \begin{matrix}a_{1}x + b_{1}y + c_{1}z = d_{1} \\ a_{2}x + b_{2}y + c_{2}z = d_{2} \end{matrix} ed s : \{ \begin{matrix}a_{3}x + b_{3}y + c_{3}z = d_{3} \\ a_{4}x + b_{4}y + c_{4}z = d_{4} \end{matrix} due rette nello spazio tridimensionale e

si considerino le matrici

A = ( \begin{matrix}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \\ a_{4} & b_{4} & c_{4} \end{matrix} )  e  B = ( \begin{matrix}a_{1} & b_{1} & c_{1} & d_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} & d_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} & d_{3} \\ a_{4} & b_{4} & c_{4} & d_{4} \end{matrix} )

(i) r ed s sono ortogonali se rk A = 2 e rk B = 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ (ii) r ed s sono sghembe se rk A > rk B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .□ (iii) r ed s sono sghembe se rk B = 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. Da un sacchetto contenente 90 palline numerate, vengono estratte e tenute al di fuori del sacchetto 5 palline. Quante sono (indipendentemente dall’ordine di estrazione) le diverse cinquine che si possono ottenere in tal modo?

(i) \binom{90}{5}. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (ii) \frac{90^{2}}{5} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ (iii) 90^{5}. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □

8. Sia x un numero reale. Allora \frac{e^{ix} + e^{−ix}}{2} è uguale a:

(i) cosh x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ (ii) sin(ix). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ (iii) cos x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9. Sia f : [0, 1] → ℝ una funzione continua e positiva, e si consideri la disuguaglianza f(x) ≥ ∫_{0}^{x} f(t)dt, al variare di x in [0, 1].

(i) Esiste un punto ξ ∈ (0, 1) per cui la disuguaglianza è verificata per x ∈ (ξ, 1]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ (ii) La disuguaglianza non è mai verificata se f non è identicamente nulla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ (iii) Esistono funzioni per cui questa disuguaglianza vale per ogni x ∈ [0, 1]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10. Sia ζ il numero complesso ζ = \frac{1+2i}{2} e si consideri la serie ∑_{n=0}^{∞} ζ^{n}.

(i) La serie diverge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (ii) La serie è indeterminata. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ (iii) La serie converge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □

Istituzioni di Matematiche I (CH-CI-MT)

prova orale del 10 settembre 1998

Nome  Cognome  N. Matricola

Corso di Laurea:

Chimica pura

Chimica Industriale

Scienza dei Materiali

ATTENZIONE: Ogni risposta corretta aggiunge un punto ed ogni risposta sbagliata sottrae un punto. Per superare la prova è necessario rispondere ad almeno cinque domande ed ottenere un punteggio positivo.

1. Sia α un numero reale positivo e si consideri la serie ∑_{n=1}^{+∞} \frac{cos(πn)}{n^{α}}.

(i) La serie converge solo se α > 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .□ (ii) La serie converge solo se 0 < α ≤ 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .□ (iii) La serie converge semplicemente, ma non assolutamente per ogni valore di α. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Si consideri la funzione g(x) = ∫_{−x}^{x} log(cos t)dt, al variare di x in [0, \frac{π}{2} ). Quale delle seguenti affermazioni è vera?

(i) g(x) è una funzione oscillante nell’intervallo (0, \frac{π}{2} ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .□ (ii) g(x) è decrescente nell’intervallo (0, \frac{π}{4} ) e crescente nell’intervallo (\frac{π}{4} , \frac{π}{2} ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ (iii) g(x) è decrescente nell’intervallo (0, \frac{π}{2} ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Si consideri la funzione f(x) = x^{cos x}.

(i) Allora f è derivabile in (0, +∞) ed f′(x) = x^{cos x}(\frac{cos x}{x} − sin x log x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (ii) Allora f è derivabile solo se cos x > 0 ed f′(x) = x^{cos x} log(x sin x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ (iii) Allora f è derivabile in (0, +∞) ed f′(x) = −x^{cos x−1} sin x cos x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □

4. Il parallelo fondamentale del globo terrestre (equatore) è lungo circa 40.000 km. A quale altezza ci si deve spostare verso Nord, affinchè il parallelo corrispondente sia lungo la metà dell’equatore?

(i) all’altezza di Piacenza (∼ 45^{o}N). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ (ii) all’altezza di Suez (∼ 30^{o}N). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ (iii) all’altezza di Oslo (∼ 60^{o}N). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Si considerino le successioni definite ricorsivamente ponendo

\{ \begin{matrix}x_{0} = c \\ x_{n+1} = \sqrt{x_{n}} \end{matrix}

al variare di c tra i numeri reali positivi.

(i) Allora, se 0 < c ≤ 1 si ha lim_{n→∞} x_{n} = 1 mentre, se c > 1, si ha lim_{n→∞} x_{n} = +∞. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ (ii) Allora, se 0 < c < 1 si ha lim_{n→∞} x_{n} = 0 mentre, se c ≥ 1, si ha lim_{n→∞} x_{n} = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .□

(iii) Allora, indipendentemente da c, si ha lim_{n→∞} x_{n} = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Siano π_{1} : a_{1}x + b_{1}y + c_{1}z = d_{1}, π_{2} : a_{2}x + b_{2}y + c_{2}z = d_{2} e π_{3} : a_{3}x + b_{3}y + c_{3}z = d_{3} tre piani nello spazio tridimensionale e sia

rk ( \begin{matrix}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{matrix} ) = 2.

(i) I tre piani sono paralleli ad una stessa retta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (ii) I tre piani sono a due a due ortogonali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ (iii) I tre piani sono a due a due paralleli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □

7. Un signore vuole acquistare delle obbligazioni per 100.000.000 di lire sapendo che il capitale e l’interesse composto gli saranno versati in un’unica soluzione allo scadere di tre anni. Qual è la più remunerativa tra le seguenti offerte?

(i) Un interesse semestrale del 4, 2%. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .□ (ii) Un interesse annuale dell’8, 5%. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .□ (iii) Un interesse mensile dello 0, 7%. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8. Sia x un numero reale. Allora \frac{e^{ix} − e^{−ix}}{2i} è uguale a:

(i) cos(ix). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ (ii) sinh x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ (iii) sin x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9. Sia f : [0, 1] → ℝ una funzione continua e derivabile (infinite volte) in (0, 1) e supponiamo che, fissati comunque a e b con 0 < a < b < 1, si abbia

\frac{f(x) − f(a)}{x − a} ≤ \frac{f(b) − f(a)}{b − a} per ogni x ∈ (a, b).

Allora

(i) f(x) è una funzione convessa in [0, 1]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (ii) Non può esistere una funzione soddisfacente a queste condizioni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ (iii) f(x) è una funzione concava in [0, 1]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □

10. Sia ζ il numero complesso ζ = \frac{3−2i}{4} e si consideri la serie ∑_{n=0}^{∞} ζ^{n}.

(i) La serie diverge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .□ (ii) La serie è indeterminata. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ (iii) La serie converge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Istituzioni di Matematiche I (CH-CI-MT)

prova orale del 28 settembre 1998

Nome  Cognome  N. Matricola

Corso di Laurea:

Chimica pura

Chimica Industriale

Scienza dei Materiali

ATTENZIONE: Ogni risposta corretta aggiunge un punto ed ogni risposta sbagliata sottrae un punto. Per superare la prova è necessario rispondere ad almeno cinque domande ed ottenere un punteggio positivo.

1. Siano (x_{n})_{n∈ℕ} e (y_{n})_{n∈ℕ} due successioni strettamente crescenti di numeri reali.

(i) La successione (x_{n}y_{n})_{n∈ℕ} è crescente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .□ (ii) La successione (x_{n}y_{n})_{n∈ℕ} è decrescente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ (iii) La successione (x_{n}y_{n})_{n∈ℕ} è definitivamente monotona; ovvero, esiste un intero n_{0} per cui la sottosuc-

cessione (x_{n}y_{n})_{n≥n_{0}} è monotona. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Si consideri la funzione f(x) = x^{log x}.

(i) Allora f è derivabile in (0, +∞) ed f′(x) = 2x^{log x−1} log x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (ii) Allora f è derivabile solo se log x > 0 ed f′(x) = x^{log x−1} \frac{log x}{x}. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ (iii) Allora f è derivabile in (0, +∞) ed f′(x) = x^{log x−1}. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □

3. Un cavo sospeso tra due sostegni posti alla stessa altezza sulle rette x = −b ed x = b, descrive una curva di equazione y = a cosh (\frac{x}{a}), ove a è una costante (positiva) che dipende dall’altezza dei sostegni e dal materiale di cui è fatto il cavo. Allora la lunghezza del cavo è uguale a

(i) ab cosh (\frac{b}{a}) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ (ii) 2ab. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .□ (iii) 2a sinh (\frac{b}{a}). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. La massa di una sostanza radioattiva (Potassio-42) si modifica nel tempo secondo la legge M(t) = e^{−0.055t}M_{0}, ove t è il tempo misurato in ore ed M_{0} è la massa iniziale. In quanto tempo si dimezzano 85 grammi di tale sostanza?

(i) circa 15 minuti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ (ii) circa 30 giorni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ (iii) circa 12 ore e mezza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Una casa farmaceutica produce delle confezioni di pennicillina che vende a 200.000 lire l’una. Il costo di produzione (in lire) di x confezioni è stimato dalla formula:

C(x) = 500.000.000 + 80.000x + 3x^{2}.

Tenendo conto che la capacità di produzione annua è al massimo di 30.000 unità, quante confezioni devono essere prodotte e vendute ogni anno per massimizzare i profitti? (profitto=ricavo-costo)

(i) 20.000 unità. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(ii) 6.000 unità. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ (iii) 30.000 unità. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □

6. Si considerino le successioni definite ricorsivamente ponendo

\{ \begin{matrix}x_{0} = c \\ x_{n+1} = x_{n}^{2} − x_{n} \end{matrix}

al variare di c tra i numeri reali positivi.

(i) Allora, indipendentemente da c, si ha lim_{n→∞} x_{n} = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .□

(ii) Allora, se 0 < c ≤ 1 si ha lim_{n→∞} x_{n} = 1 mentre, se c > 1, si ha lim_{n→∞} x_{n} = +∞. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ (iii) Allora, se 0 < c < 2 si ha lim_{n→∞} x_{n} = 0 mentre, se c > 2, si ha lim_{n→∞} x_{n} = +∞. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. Nello spazio tridimensionale siano

π_{1} : a_{1}x + b_{1}y + c_{1}z = d_{1}, π_{2} : a_{2}x + b_{2}y + c_{2}z = d_{2}, π_{3} : a_{3}x + b_{3}y + c_{3}z = d_{3}

tre piani che si intersecano in uno ed un solo punto. Posto

A = ( \begin{matrix}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{matrix} )  e  B = ( \begin{matrix}a_{1} & b_{1} & c_{1} & d_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} & d_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} & d_{3} \end{matrix} ) .

si ha

(i) rk B > rk A = 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ (ii) rk B = rk A = 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ (iii) rk B = rk A = 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8. Sia α un numero reale positivo e si consideri la serie ∑_{n=1}^{+∞} cos(πn)(sinh \frac{1}{n})^{α}.

(i) La serie converge semplicemente, ma non assolutamente per ogni valore di α. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (ii) La serie converge solo se 0 < α ≤ 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .□ (iii) La serie converge solo se α > 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .□

9. Sia f : [a, b] → ℝ una funzione continua. Quale tra le seguente affermazioni è vera.

(i) f è derivabile con derivata continua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ (ii) f è derivabile, con derivata continua a tratti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ (iii) f è la derivata di una funzione continua in [a, b]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10. Siano k un numero intero positivo e ζ_{k} = cos \frac{2π}{k} − i sin \frac{2π}{k}. Si consideri la serie ∑_{n=0}^{∞} ζ_{k}^{n}.

(i) La serie converge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ (ii) La serie diverge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .□ (iii) La serie è indeterminata. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .