Istituzioni di Matematiche I (CH-CI-MT)

prova di accertamento del 19 novembre 1999 – Compito A

ESERCIZIO 1. Si determini il sottoinsieme

A = \{ x ∈ ℝ | 2x − 7 < \sqrt{x^{2} − 4x + 3} \} ,

e lo si scriva (se possibile) come unione di intervalli e/o semirette.

Svolgimento. La funzione \sqrt{y} è definita solo quando y ≥ 0 e, per tali y, assume valore non negativo. Quindi il secondo membro della disuguaglianza è un numero reale maggiore o uguale a zero se, e solo se, x^{2}−4x+3 ≥ 0, e ciò accade se, e solo se, x ∈ (−∞, 1] ∪ [3, +∞). Il primo membro della disuguaglianza è positivo se x > \frac{7}{2} e minore o uguale a zero altrimenti; quindi sulla semiretta (−∞, 1] e sull’intervallo [3, \frac{7}{2}], la disuguaglianza è verificata.

Per x > \frac{7}{2}, i due membri sono entrambi positivi e quindi la disuguaglianza proposta è equivalente alla disuguaglianza (2x − 7)^{2} < x^{2} − 4x + 3, ovvero 3x^{2} − 24x + 46 < 0; e ciò accade solo se 4 − \frac{\sqrt{6}}{3} < x < 4 + \frac{\sqrt{6}}{3}. Se si osserva che 4 − \frac{\sqrt{6}}{3} < \frac{7}{2} < 4 + \frac{\sqrt{6}}{3}, si conclude che A = (−∞, 1] ∪ [3, 4 + \frac{\sqrt{6}}{3}). □

ESERCIZIO 2. Si dimostri per induzione che per ogni intero positivo n si ha

∑_{j=1}^{n}(j^{2} − 3j) = \frac{n(n + 1)(n − 4)}{3}.

Svolgimento. Dimostriamo la formula per induzione su n.

L’affermazione è vera per n = 1, essendo

∑_{j=1}^{1}(j^{2} − 3j) = 1 − 3 = −2 = \frac{1(1 + 1)(1 − 4)}{3}.

Mostriamo quindi che la validità della formula per un intero n implica la validità della stessa per l’intero successivo. Si ha

∑_{j=1}^{n+1}(j^{2} − 3j) = ∑_{j=1}^{n}(j^{2} − 3j) + (n + 1)^{2} − 3(n + 1);

e, supponendo vera la formula per l’intero n, questa quantità è uguale a

\frac{n(n + 1)(n − 4)}{3} + (n + 1)^{2} − 3(n + 1) = \frac{(n + 1)[n(n − 4) + 3(n + 1) − 9]}{3} =

= \frac{(n + 1)(n^{2} − n − 6)}{3} = \frac{(n + 1)(n + 2)(n − 3)}{3}

e quindi ∑_{j=1}^{n+1}(j^{2} − 3j) = \frac{(n + 1)(n + 2)(n − 3)}{3}, che è proprio l’uguaglianza attesa. Ciò conclude la di-

mostrazione. □

ESERCIZIO 3. Si consideri il polinomio P (X) = X^{2} − 3X + 4 + 6i ∈ ℂ[X].

(a) Si determinino i numeri complessi z che soddisfano l’equazione P (z) = 0.

(b) Si disegnino sul piano di Argand-Gauss i numeri complessi che soddisfano alla condizione Im(P (z)) > 7.

Svolgimento. Consideriamo separatamente le due questioni.

(a). Applicando la formula risolutiva per le equazioni di secondo grado si trova che le due soluzioni dell’equazione sono i numeri complessi

z_{1,2} = \frac{3 ± [9 − 4(4 + 6i)]^{1/2}}{2}

ovvero

z_{1} = 2i, z_{2} = 3 − 2i.

(b). Posto z = x + iy, con (x, y) ∈ ℝ^{2}, si ha Im(P (z)) = 2xy − 3y + 6 e quindi si tratta di determinare i punti del piano di Gauß soddisfacenti alla condizione y(2x−3) > 1; ovvero

\{ \begin{matrix}y > \frac{1}{2x−3} & se x > \frac{3}{2} \\ y < \frac{1}{2x−3} & se x < \frac{3}{2} \end{matrix} .

La regione del piano ove la condizione è soddisfatta è quindi rappresentata nella figura a fianco.

Ciò conclude la discussione. □

ESERCIZIO 4. Si calcoli

lim_{n→∞} \sqrt[n]{\frac{n^{2} + 1}{3^{n}n}}.

Svolgimento. Si osservi che

\sqrt[n]{\frac{n^{2} + 1}{3^{n}n}} = \frac{1}{3} \sqrt[n]{n} \sqrt[n]{1 + \frac{1}{n^{2}}} .

I tre fattori tendono rispettivamente ad \frac{1}{3}, 1 ed 1, quindi il limite del prodotto è il prodotto dei limiti e si

ha perciò lim_{n→∞} \sqrt[n]{\frac{n^{2} + 1}{3^{n}n}} = \frac{1}{3}. □

ESERCIZIO 5. Si studi l’andamento della funzione f(x) = | sin x|^{sin x} e se ne tracci un grafico indicativo (non è richiesto lo studio della derivata seconda). Si dica infine se la funzione f si estende ad una funzione continua e derivabile su tutta la retta reale.

Svolgimento. La funzione proposta è definita quando la base dell’esponenziale è positiva, ovvero per sin x ≠ 0, e ciò accade se, e solo se, x ∈ D = ℝ\{ kπ | k ∈ ℤ }. Nell’insieme di definizione, f(x) è una funzione derivabile (e quindi continua), perchè composizione di funzioni derivabili, ed è periodica, di periodo 2π. Quindi è sufficiente studiare l’andamento di f(x) nell’insieme E = D ∩ (0, 2π).

Vogliamo quindi determinare cosa succede ai bordi dell’insieme di definizione e, ricordando che, per x ∈ D, si ha | sin x|^{sin x} = e^{sin x log | sin x|}, si può osservare che

lim_{x→kπ} sin x log | sin x| = lim_{x→kπ} \frac{log | sin x|}{1/ sin x} =^{H} lim_{x→kπ} \frac{cos x/ sin x}{− cos x/ sin^{2} x} = 0 (k ∈ ℤ)

e concludere che lim_{x→kπ} | sin x|^{sin x} = e^{0} = 1, per la continuità della funzione esponenziale.

Dunque la funzione proposta si estende ad una funzione continua su tutta la retta reale, se si pone f(kπ) = 1, per k ∈ ℤ. Consideriamo ora la derivata prima di f. Applicando le regole di derivazione delle funzioni composte, si ha

f′(x) = | sin x|^{sin x}(log | sin x| + 1) cos x per ogni x ∈ D;

Inoltre,

lim_{x→kπ} \frac{f(x) − f(kπ)}{x − kπ} =^{H} lim_{x→kπ} f′(x) = ∞,

e quindi f non si estende ad una funzione derivabile nei punti del bordo di D.

Sia ora x ∈ E, ed osserviamo che il primo fattore della derivata prima ha sempre segno positivo e quindi il segno della derivata dipende solo dal segno degli altri due fattori. In particolare, log | sin x| + 1 > 0 se, e solo se, | sin x| > \frac{1}{e} e quindi, posto α = arcsin(1/e), ciò accade per x ∈ (α, π −α)∪(π +α, 2π −α). Inoltre, cos x > 0 se, e solo se, x ∈ (0, \frac{π}{2} ) ∪ (\frac{3π}{2} , 2π), quindi si può concludere che f(x) è crescente sugli intervalli (α, \frac{π}{2} ), (π − α, π + α), (\frac{3π}{2} , 2π − α), mentre è decrescente sulle rimanenti parti di E.

Si osservi infine che, considerando la funzione arcsin x crescente ed a valori in [−\frac{π}{2} , \frac{π}{2} ], dalle disuguaglianze 0 < \frac{1}{e} < \frac{1}{2}, si deduce che 0 < α < \frac{π}{6} . Possiamo quindi tracciare un grafico indicativo dell’andamento della funzione sui punti di E e ciò conclude la discussione. □

Istituzioni di Matematiche I (CH-CI-MT)

prova di accertamento del 19 novembre 1999 – Compito B

ESERCIZIO 1. Si determini il sottoinsieme

B = \{ x ∈ ℝ | x + 1 < \sqrt{2x^{2} + 2x − 4} \} ,

e lo si scriva (se possibile) come unione di intervalli e/o semirette.

Svolgimento. La funzione \sqrt{y} è definita solo quando y ≥ 0 e, per tali y, assume valore non negativo. Quindi il secondo membro della disuguaglianza è un numero reale maggiore o uguale a zero se, e solo se, 2x^{2}+2x−4 ≥ 0, e ciò accade se, e solo se, x ∈ (−∞, −2]∪[1, +∞). Il primo membro della disuguaglianza è positivo se x > −1 e minore o uguale a zero altrimenti; quindi sulla semiretta (−∞, −2] la disuguaglianza è verificata.

Per x > 1, i due membri sono entrambi positivi e quindi la disuguaglianza proposta è equivalente alla disuguaglianza (x + 1)^{2} < 2x^{2} + 2x − 4, ovvero x^{2} − 5 > 0; e, per x > 1, ciò accade solo se \sqrt{5} < x. Quindi B = (−∞, −2] ∪ (\sqrt{5}, +∞). □

ESERCIZIO 2. Si dimostri per induzione che per ogni intero positivo n si ha

∑_{k=1}^{n}(3k^{2} + 3k) = n(n + 1)(n + 2).

Svolgimento. Dimostriamo la formula per induzione su n.

L’affermazione è vera per n = 1, essendo

∑_{k=1}^{1}(3k^{2} + 3k) = 3 + 3 = 6 = 1(1 + 1)(1 + 2).

Mostriamo quindi che la validità della formula per un intero n implica la validità della stessa per l’intero successivo. Si ha

∑_{k=1}^{n+1}(3k^{2} + 3k) = ∑_{k=1}^{n}(3k^{2} + 3k) + 3(n + 1)^{2} + 3(n + 1);

e, supponendo vera la formula per l’intero n, questa quantità è uguale a

n(n+1)(n+2)+3(n+1)^{2}+3(n+1) = (n+1)[n(n+2)+3(n+1)+3] = (n+1)(n^{2}+5n+6) = (n+1)(n+2)(n+3)

e quindi ∑_{k=1}^{n}(3k^{2} + 3k) = (n + 1)(n + 2)(n + 3), che è proprio l’uguaglianza attesa. Ciò conclude la di-

mostrazione. □

ESERCIZIO 3. Si consideri il polinomio P (X) = X^{2} − 2X + 9 + 6i ∈ ℂ[X].

(a) Si determinino i numeri complessi z che soddisfano l’equazione P (z) = 0.

(b) Si disegnino sul piano di Argand-Gauss i numeri complessi che soddisfano alla condizione Re(P (z)) > 9.

Svolgimento. Consideriamo separatamente le due questioni.

(a). Applicando la formula risolutiva per le equazioni di secondo grado si trova che le due soluzioni dell’equazione sono i numeri complessi

z_{1,2} = 1 ± [1 − (9 + 6i)]^{1/2},

ovvero z_{1} = 3i e z_{2} = 2 − 3i. (b). Posto z = x + iy, con (x, y) ∈ ℝ^{2}, si ha Re(P (z)) = x^{2}−y^{2}−2x+9 e quindi si tratta di determinare i punti del piano di Gauß soddisfacenti alla condizione x^{2}−y^{2}−2x > 0, ovvero (x − 1)^{2} − y^{2} > 1. Ricordiamo che la curva di equazione (x − 1)^{2} − y^{2} = 1 è un’iperbole con gli assi paralleli agli assi coordinati, con centro nel punto (1, 0) ed i semiassi uguali ad 1 (iperbole equilatera). In particolare, gli asintoti dell’iperbole sono le rette (x −

1) + y = 0 ed (x − 1) − y = 0. La regione del piano ove la condizione è soddisfatta è quindi rappresentata nella figura a fianco.

Ciò conclude la discussione. □

ESERCIZIO 4. Si calcoli

lim_{n→∞} \sqrt[n]{\frac{2^{n}n}{n^{2} − 1}}.

Svolgimento. Si osservi che

\sqrt[n]{\frac{2^{n}n}{n^{2} − 1}} = 2 \frac{1}{\sqrt[n]{n}} \sqrt[n]{\frac{n^{2}}{n^{2} − 1}}.

I tre fattori tendono rispettivamente a 2, 1 ed 1, quindi il limite del prodotto è il prodotto dei limiti e si ha

perciò lim_{n→∞} \sqrt[n]{\frac{2^{n}n}{n^{2} − 1}} = 2. □

ESERCIZIO 5. Si studi l’andamento della funzione f(x) = | cos x|^{cos x} e se ne tracci un grafico indicativo (non è richiesto lo studio della derivata seconda). Si dica infine se la funzione f si estende ad una funzione continua e derivabile su tutta la retta reale.

Svolgimento. La funzione proposta è definita quando la base dell’esponenziale è positiva, ovvero per cos x ≠ 0, e ciò accade se, e solo se, x ∈ D = ℝ \ \{ \frac{π}{2} + kπ | k ∈ ℤ \}. Nell’insieme di definizione, f(x) è una funzione derivabile (e quindi continua), perchè composizione di funzioni derivabili, ed è periodica, di periodo 2π. Quindi è sufficiente studiare l’andamento di f(x) nell’insieme E = D ∩ (0, 2π).

Vogliamo quindi determinare cosa succede ai bordi dell’insieme di definizione e, ricordando che, per x ∈ D, si ha | cos x|^{cos x} = e^{cos x log | cos x|}, si può osservare che

lim_{x→ \frac{π}{2} +kπ} cos x log | cos x| = lim_{x→ \frac{π}{2} +kπ} \frac{log | cos x|}{1/ cos x} =^{H} lim_{x→ \frac{π}{2} +kπ} \frac{− sin x/ cos x}{sin x/ cos^{2} x} = 0 (k ∈ ℤ)

e concludere che lim_{x→ \frac{π}{2} +kπ} | cos x|^{cos x} = e^{0} = 1, per la continuità della funzione esponenziale.

Dunque la funzione proposta si estende ad una funzione continua su tutta la retta reale, se si pone f(\frac{π}{2} + kπ) = 1, per k ∈ ℤ. Consideriamo ora la derivata prima di f. Applicando le regole di derivazione delle funzioni composte, si ha

f′(x) = −| cos x|^{cos x}(log | cos x| + 1) sin x per ogni x ∈ D;

Inoltre,

lim_{x→ \frac{π}{2} +kπ} \frac{f(x) − f(\frac{π}{2} + kπ)}{x − (\frac{π}{2} + kπ)} =^{H} lim_{x→ \frac{π}{2} +kπ} f′(x) = ∞,

e quindi f non si estende ad una funzione derivabile nei punti del bordo di D.

Sia ora x ∈ E, ed osserviamo che il primo fattore della derivata prima ha sempre segno negativo e quindi il segno della derivata dipende solo dal segno degli altri due fattori. In particolare, log | cos x| + 1 > 0 se, e solo se, | cos x| > \frac{1}{e} e quindi, posto α = arccos(1/e), ciò accade per x ∈ (0, α) ∪ (π − α, π + α) ∪ (2π − α, 2π). Inoltre, sin x > 0 se, e solo se, x ∈ (0, π), quindi si può concludere che f(x) è crescente sugli intervalli (α, π − α), (π, π + α), (2π − α, 2π), mentre è decrescente sulle rimanenti parti di E.

Si osservi infine che, considerando la funzione arccos x decrescente ed a valori in [0, π], dalla disuguaglianza 0 < \frac{1}{e} < \frac{1}{2} = cos(\frac{π}{2} − \frac{π}{6} ), si deduce che \frac{π}{2} − \frac{π}{6} < α < \frac{π}{2} . Possiamo quindi tracciare un grafico indicativo dell’andamento della funzione sui punti di E e ciò conclude la discussione. □