Istituzioni di Matematiche I (CH-CI-MT)

prova di accertamento del 30 ottobre 1998 – Compito A

ESERCIZIO 1. Si determini il sottoinsieme

A = { x ∈ ℝ | | sin x|^{x} > 2^{−x/2} } ,

e lo si scriva (se possibile) come unione di intervalli. Si dica infine se esiste sup A.

Svolgimento. Osserviamo che la disequazione che definisce A ha senso per | sin x| > 0 e quindi per x ≠ kπ, per k ∈ ℤ. Inoltre, applicando il logaritmo ad entrambo i membri della disequazione, si ottiene la disequazione equivalente:

x log | sin x| > −\frac{x}{2} log 2 per x ≠ kπ, k ∈ ℤ.

Possiamo eliminare il fattore x che compare ad entrambo i membri della disequazione, tenendo conto del suo segno e ricordare le proprietà elementari della funzione logaritmo, così da ottenere i due sistemi

\{ \begin{matrix}x > 0 \\ | sin x| > \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix} \{ \begin{matrix}x < 0 \\ | sin x| < \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix} .

Ricordando che sin \frac{π}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} e le simmetrie della funzione seno, si conclude che l’insieme A si può scrivere come unione di intervalli aperti nel modo seguente

A = ⋃_{k=0}^{+∞}(\frac{π}{4} + kπ, \frac{3π}{4} + kπ) ∪ ⋃_{k=0}^{+∞}(−π − kπ, −\frac{3π}{4} − kπ) ∪ ⋃_{k=0}^{+∞}(−\frac{π}{4} − kπ, −kπ).

Un disegno indicativo dell’insieme A si può vedere qui sotto, dove sono stati evidenziati gli intervalli contenuti in A.

−\frac{5π}{4} −π −\frac{3π}{4}  ^{\frac{1}{\sqrt{2}}} −\frac{π}{4} 0  _{\frac{π}{4}}  _{\frac{3π}{4}}  _{\frac{5π}{4}}  _{\frac{7π}{4}}

L’insieme A è illimitato e quindi non ha estremo superiore. Ciò conclude la discussione. □

ESERCIZIO 2. Si disegni il sottoinsieme del piano

B = \{ (x, y) ∈ ℝ^{2} | \frac{x + y}{x^{2} − 4y} ≥ 0 \} ,

indicando con chiarezza quali punti del bordo appartengano a B.

Svolgimento. Si tratta di studiare il segno di una frazione, quindi possiamo considerare separatamente i vari casi.

È chiaro che il sottoinsieme B si scrive come unione dei due sottoinsiemi B_{1} e B_{2}, ove

B_{1} = { (x, y) ∈ ℝ^{2} | x + y ≥ 0 e x^{2} − 4y > 0 }

e

B_{2} = { (x, y) ∈ ℝ^{2} | x + y ≤ 0 e x^{2} − 4y < 0 }

Dunque, ciascuno dei due sottoinsiemi B_{1} e B_{2} è intersezione di due porzioni del piano delimitate rispettivamente dalla retta y = −x e dalla parabola

y = \frac{x^{2}}{4} . Precisamente, l’insieme B_{1} è formato dai punti del semipiano (chiuso) posto al di sopra della retta y = −x che stanno (strettamente) al di sotto

della parabola di equazione y = \frac{x^{2}}{4} ; ed analogamente, l’insieme B_{2} è formato dai punti del semipiano (chiuso) posto al di sotto della retta y = −x che stanno (strettamente) al di sopra della parabola

di equazione y = \frac{x^{2}}{4} .

L’insieme B è quindi rappresentato in grigio nel disegno qui sopra, ove si osservi che i punti della retta y = −x appartengono a B, mentre i punti della parabola y = \frac{x^{2}}{4} non vi appartengono.

Ciò conclude la discussione. □

ESERCIZIO 3. Si determinino i numeri complessi z che soddisfano l’equazione

z^{2} − (2 + i)z + 2 + 4i = 0

Svolgimento. Applicando la formula risolutiva per le equazioni di secondo grado si trova che le due soluzioni dell’equazione sono i numeri complessi

z_{1,2} = \frac{(2 + i) ± [(2 + i)^{2} − 4(2 + 4i)]^{1/2}}{2} ,

ove w^{1/2} stà ad indicare una qualsiasi radice quadrata del numero w. Dati x, y ∈ ℝ, si ha (x+iy)^{2} = −5−12i se, e solo se,

\{ \begin{matrix}x^{2} − y^{2} = −5 \\ xy = −6 \end{matrix}  e quindi  \{ \begin{matrix}x = ±2 \\ y = ∓3 \end{matrix} .

Si conclude quindi che z_{1} = 2i e z_{2} = 2 − i. □

ESERCIZIO 4. Si calcoli

lim_{n→+∞} log (n − \frac{n^{3}}{n^{2} + 3n − 2})

Svolgimento. Si ha

n − \frac{n^{3}}{n^{2} + 3n − 2} = \frac{3n^{2} − 2n}{n^{2} + 3n − 2}  e  lim_{n→+∞} \frac{3n^{2} − 2n}{n^{2} + 3n − 2} = lim_{n→+∞} \frac{n^{2}(3 − \frac{2}{n})}{n^{2}(1 + \frac{3}{n} − \frac{2}{n^{2}} )} = 3.

Istituzioni di Matematiche I – prova di accertamento del 30 ottobre 1998 – Compito A 3

Quindi il limite della successione proposta è log 3. □ ESERCIZIO 5. Si dica se converge la serie

∑_{n=1}^{∞} \frac{sin(nπ/2)}{n}

ed, in caso affermativo, si dica se converge assolutamente. Svolgimento. Si ha

sin(nπ/2) = \{ \begin{matrix}0 & se n è pari. \\ (−1)^{k−1} & se n = 2k − 1, k ∈ ℕ \end{matrix}

dunque la serie in questione coincide con

∑_{k=1}^{∞} \frac{(−1)^{k−1}}{2k − 1} ,

che è una serie a termini di segno alterno, soddisfacente al criterio di Leibniz e quindi convergente. Non è però assolutamente convergente perchè la serie dei valori assoluti è asintoticamente equivalente alla serie armonica ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k}, e quindi divergente. □

Istituzioni di Matematiche I (CH-CI-MT)

prova di accertamento del 30 ottobre 1998 – Compito B

ESERCIZIO 1. Si determini il sottoinsieme

A = { x ∈ ℝ | | cos x|^{x} < 2^{−x} } ,

e lo si scriva (se possibile) come unione di intervalli. Si dica infine se esiste inf A.

Svolgimento. Osserviamo che la disequazione che definisce A ha senso per | cos x| > 0 e quindi per x ≠ \frac{π}{2} +kπ, per k ∈ ℤ. Inoltre, applicando il logaritmo ad entrambo i membri della disequazione, si ottiene la disequazione equivalente:

x log | cos x| < x log \frac{1}{2} per x ≠ kπ, k ∈ ℤ.

Possiamo eliminare il fattore x che compare ad entrambo i membri della disequazione, tenendo conto del suo segno e ricordare le proprietà elementari della funzione logaritmo, così da ottenere i due sistemi

\{ \begin{matrix}x > 0 \\ | cos x| < \frac{1}{2} \end{matrix} \{ \begin{matrix}x < 0 \\ | cos x| > \frac{1}{2} \end{matrix} .

Ricordando che cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2} e le simmetrie della funzione coseno, si conclude che l’insieme A si può scrivere come unione di intervalli aperti nel modo seguente

A = (−\frac{π}{3} , 0) ∪ ⋃_{k=0}^{+∞}(−\frac{4π}{3} − kπ, −\frac{2π}{3} − kπ) ∪ ⋃_{k=0}^{+∞}(\frac{π}{3} + kπ, \frac{π}{2} + kπ) ∪ ⋃_{k=0}^{+∞}(\frac{π}{2} + kπ, \frac{2π}{3} + kπ).

L’insieme A non è limitato e quindi non ammette estremo inferiore. Ciò conclude la discussione. □

ESERCIZIO 2. Si disegni il sottoinsieme del piano

B = \{ (x, y) ∈ ℝ^{2} | \frac{y^{2} − 3x}{x − y} ≥ 0 \} ,

indicando con chiarezza quali punti del bordo appartengano a B.

Svolgimento. Si tratta di studiare il segno di una frazione, quindi possiamo considerare separatamente i vari casi.

È chiaro che il sottoinsieme B si scrive come unione dei due sottoinsiemi B_{1} e B_{2}, definiti dalle condizioni

B_{1} : \{ \begin{matrix}x − y > 0 \\ y^{2} − 3x ≥ 0 \end{matrix}

e

B_{2} : \{ \begin{matrix}x − y < 0 \\ y^{2} − 3x ≤ 0 \end{matrix} .

Dunque, ciascuno dei due sottoinsiemi B_{1} e B_{2} è intersezione di due porzioni del piano delimitate rispettivamente dalla

retta y = x e dalla parabola x = \frac{y^{2}}{3} . L’insieme B è quindi rappresentato in grigio nel disegno qui a fianco Precisamente, l’insieme B_{1} è formato dai punti del semipiano (aperto) posto a destra della retta y = x che

stanno a sinistra della parabola di equazione x = \frac{y^{2}}{3} (compresi i punti della parabola); ed analogamente, l’insieme B_{2} è formato dai punti del semipiano (aperto) posto a sinistra della retta y = x che stanno a destra della parabola di equazione x = \frac{y^{2}}{3} . Si osservi infine che i punti della parabola appartengono a B, mentre i punti della retta non vi appartengono. Ciò conclude la discussione. □

ESERCIZIO 3. Si determinino i numeri complessi z che soddisfano l’equazione

z^{2} + (2i − 4)z + 3 − 6i = 0

Svolgimento. Applicando la formula risolutiva (ridotta) per le equazioni di secondo grado si trova che le due soluzioni dell’equazione sono i numeri complessi

z_{1,2} = (2 − i) ± [(2 − i)^{2} − (3 − 6i)]^{1/2},

ove w^{1/2} stà ad indicare una qualsiasi radice quadrata del numero w. Dati x, y ∈ ℝ, si ha (x + iy)^{2} = 2i se, e solo se,

\{ \begin{matrix}x^{2} − y^{2} = 0 \\ xy = 1 \end{matrix}  e quindi  \{ \begin{matrix}x = ±1 \\ y = ±1 \end{matrix} .

Si conclude quindi che z_{1} = 3 e z_{2} = 1 − 2i. □

ESERCIZIO 4. Si calcoli

lim_{n→+∞} \sqrt{2n − \frac{4n^{4}}{2n^{3} + 5n^{2} − 1}}

Svolgimento. Si ha

2n − \frac{4n^{4}}{2n^{3} + 5n^{2} − 1} = \frac{10n^{3} − 2n}{2n^{3} + 5n^{2} − 1}  e  lim_{n→+∞} \frac{10n^{3} − 2n}{2n^{3} + 5n^{2} − 1} = lim_{n→+∞} \frac{n^{3}(10 − \frac{2}{n^{2}} )}{n^{3}(2 + \frac{5}{n} − \frac{1}{n^{3}} )} = 5.

Quindi il limite della successione proposta è \sqrt{5}. □

ESERCIZIO 5. Si dica se converge la serie

∑_{n=2}^{∞} \frac{cos(nπ)}{n^{2} − n}

ed, in caso affermativo, si dica se converge assolutamente.

Svolgimento. Si ha cos(nπ) = (−1)^{n}, per ogni n ∈ ℤ, dunque la serie in questione coincide con

∑_{n=2}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{n^{2} − n},

che è una serie a termini di segno alterno, soddisfacente al criterio di Leibniz e quindi convergente. La serie è anche assolutamente convergente perchè la serie dei valori assoluti è asintoticamente equivalente alla serie

armonica generalizzata ∑_{n=2}^{∞} \frac{1}{n^{2}} , e quindi convergente. □