Istituzioni di Matematiche I (CH-CI-MT)

I^{o} foglio di esercizi

ESERCIZIO 1. Si dica per quali x ∈ ℝ si ha

(a) 2x − 7 = |x + 1|;
(b) |4x + 5| = |8x − 3|;
(c) |x − 3|^{2} − 4|x − 3| > 12;
(d) 1 − x < (1 − |x|)^{2};
(e) \sqrt{(3x − 2)^{2}} = 2 − 3x;
(f) |\frac{x + 5}{2 − x}| < 6;
(g) \frac{x − 1}{x + 2} < \frac{2x + 1}{x + 1};
(h) |x − |x|| ≥ 1;
(i) \frac{|x| − x}{x^{2} − |x| + 2} < 1;
(j) log |\frac{x + 1}{\sqrt{x^{2} − 1}}| < 0;
(k) log |\frac{x − 1}{x^{2} + 1}| < 0;
(l) \frac{cos x − sin x}{cos x + sin x} > 0;
(m) \sqrt{cos x − sin x} > 1;
(n) 0 < \frac{cos x + sin x}{cos x − sin x} ≤ 1.
(o) \frac{cos 2x}{sin 2x + cos x} ≤ 0.

ESERCIZIO 2. Si dica per quali x ∈ ℝ si ha

(a) sin 2x + sin 4x = 0;
(b) tg 2x − 2 cos x = 0;
(c) cos^{2} 2x − cos^{2} x = 0;
(d) sin 2x(2 sin x − 1) = 2 cos x;
(e) tg(\frac{π}{3} + x) = tg(\frac{π}{3} − x) + 4;
(f) sin(\frac{2π}{3} + x) + sin(\frac{π}{3} − x) = 1;
(g) sin x > 2 cos^{2} x − 1;
(h) sin 3x = 1 − 3 sin x − cos 2x.

ESERCIZIO 3. Si indichino con t_{C} e t_{F} le misure della temperatura fatte rispettivamente in gradi Celsius e Fahrenheit. Sapendo che

t_{C}  t_{F}
ghiaccio fondente  0  32
ebollizione  100  212

si scrivano la funzione lineare che esprime t_{F} in funzione di t_{C} e la sua inversa. Si esprima in gradi Fahrenheit la temperatura umana normale (36.5^{o}C). ESERCIZIO 4. Si disegnino i seguenti sottoinsiemi del piano ℝ^{2}.

(a) \{ (x, y) ∈ ℝ^{2} | \frac{x + y}{x − y} ≥ 0 \};
(b) \{ (x, y) ∈ ℝ^{2} | \frac{y − x^{2}}{x + y} > 0 \};
(c) { (x, y) ∈ ℝ^{2} | x + y < 0, x^{2} + y^{2} = 1 };
(d) \{ (x, y) ∈ ℝ^{2} | xy ≥ \frac{1}{2}, x^{2} + y^{2} = 1 \};
(e) { (x, y) ∈ ℝ^{2} | sin x − y ≤ 0, y ≤ 2 };
(f) { (x, y) ∈ ℝ^{2} | cos x ≤ y ≤ sin x + 2 };
(g) { (x, y) ∈ ℝ^{2} | 2x ≤ y ≤ 2 sin(x − 3), x ∈ [0, 5] } .

ESERCIZIO 5. Si Considerino i sottoinsiemi del piano

S_{1} = \{ (x, y) ∈ ℝ^{2} | x > 0, y < \frac{1}{2x} \} ed S_{2} = \{ (x, y) ∈ ℝ^{2} | x^{2} < y < \sqrt{x} \}

e si disegni nel piano il sottoinsieme S_{1} ∩ S_{2}. ESERCIZIO 6. Per ciascuna delle seguenti disuguaglianze, si determini un intero n_{0} tale che la disuguaglianza sia soddisfatta per n > n_{0}.

\begin{matrix}(a) & |\frac{2n}{2n − 1} − 1| < 0.01; \\ (b) & |\frac{3n^{2} + 4}{2n^{2} + 1} − \frac{3}{2}| < 0.01; \\ (c) & |\sqrt{n + 1} − \sqrt{n}| < 0.01. \end{matrix}

ESERCIZIO 7. Si dica per quali x ∈ ℝ è definita la funzione (x − sin x)^{sin x}.

ESERCIZIO 8. Si dica per quali x ∈ ℝ è definita la funzione log(log(cos x + sin x)).