Istituzioni di Matematiche I (CH-CI-MT)

X foglio esercizi

Esercizio 1. Determinare le equazioni parametriche della retta, o delle rette, ρ in ℝ^{3} che verifica le condizioni degli esempi seguenti.

(1) ρ è parallela ai piani x − 2y − z + 2 = 0 e 2x − 2y + 1 = 0 e passante per P_{0}(1, 1, 0).

(2) ρ è parallela al piano σ_{1} : x + y + z = 0, è contenuta in σ_{2} : x + y − z = 0 e la sua distranza dall’origine vale 2.

(3) ρ è contenuta nel piano 2x − 2y + z − 1 = 0, passa per il punto P_{0}(1, 1, 1) ed è perpendicolare a

ρ′ : \{ \begin{matrix}x = 3 − λ \\ y = 2 \\ z = 1 + 2λ \end{matrix}

(4) ρ è perpendicolare alla retta ρ′ : \{ \begin{matrix}x = 3 − λ \\ y = 2 \\ z = 1 + 2λ \end{matrix} , è equidistante dai piani x − y + 2 = 0 e

x − y − 3 + 0, e interseca ρ′.

(5) ρ passa per il punto di intersezione delle rette ρ′ : \{ \begin{matrix}x + y − 2 = 0 \\ y = 2 \end{matrix} e ρ′′ : \{ \begin{matrix}x − z = 0 \\ 2x + y − z + 2 = 0 \end{matrix} ed è perpendicolare a queste rette.

(6) ρ passa per l’origine, è contenuta nel piano xy, e forma un angolo di \frac{π}{4} con la retta ρ′′ dell’esempio precedente.

(7) ρ forma un angolo di \frac{π}{3} con il piano xy e con il piano yz, e passa per il punto P (1, 0, 1).

Esercizio 2. Determinare l’equazione cartesiana del piano, o dei piani, σ che verifica le condizioni degli esempi seguenti.

(1) σ contiene i punti P_{0}(0, 1, 1), P_{1}(1, 3, 3), e P_{2}(3, 0, 0).

(2) σ è perpendicolare alla retta \{ \begin{matrix}x + y − 2 = 0 \\ y = 2 \end{matrix} e passa per P (1, 2, 3).

(3) σ contiene la retta \{ \begin{matrix}x − z = 0 \\ 2x + y − z + 2 = 0 \end{matrix} ed è parallelo al segmento P_{0}P_{1}, dove P_{0} e P_{1} hanno rispettivamente coordinate (1, 1, 2) e (3, 0, 2).

(4) σ è parallelo alle rette \{ \begin{matrix}x = 2 + λ \\ y = 1 − 2λ \\ z = 3λ \end{matrix} e \{ \begin{matrix}x = 1 − λ \\ y = 3 − λ \\ z = 3 \end{matrix} , ed è equidistane da esse.

(5) σ forma un angolo di \frac{π}{3} con il piano x − z = 0 e contiene la retta \{ \begin{matrix}x = 2 + λ \\ y = 1 − 2λ \\ z = 3λ \end{matrix}

(6) σ è equidistante dai punti P (0, 2, 1) e Q(2, 0, −1) ed inclinato di \frac{π}{4} rispetto al segmento P Q.

Esercizio 3. Determinare l’insieme delle coppie (P_{1}(x_{1}, y_{1}, z_{1}), P_{2}(x_{2}, y_{2}, z_{2})) dove P_{1} e P_{2} sono punti della retta \{ \begin{matrix}x + y − 2 = 0 \\ x − z + 1 = 0 \end{matrix} equidistanti dal piano x = 1.

Esercizio 4. Data la retta ρ : \{ \begin{matrix}2x + y − 2 = 0 \\ x − 3z + 1 = 0 \end{matrix} e i punti P_{1}(−1, 4, 0) e P_{2}(1, 1, 1), determinare i punti P di ρ tali che il triangolo P_{1}P_{2}P ha area k, dove k è una costante positiva.

Esercizio 5. Date le rette ρ_{1} : \{ \begin{matrix}2x + y − 2 = 0 \\ x − 3z + 1 = 0 \end{matrix} e ρ_{2} : \{ \begin{matrix}x − z = 0 \\ 2x + y − z + 2 = 0 \end{matrix} , determinare un

segmento P_{1}P_{2} perpendicolare a ρ_{1} e a ρ_{2}, con P_{1} ∈ ρ_{1} e P_{2} ∈ ρ_{2}.

Esercizio 6. Si determinino i punti P_{1} e p_{2}, appartenenti alla retta ρ : \{ \begin{matrix}x = 3 − λ \\ y = 2 \\ z = 1 + 2λ \end{matrix} aventi

distanza 2 dall’intersezione di ρ con il piano σ : x + y − 2z + 1 = 0. Si determini inoltre la retta passante per le proiezioni ortogonali di P_{1} e P_{2} su σ.

Esercizio 7. Dati i vettori u_{1} = ( \begin{matrix}2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) e u_{2} = ( \begin{matrix}−1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ), determinare le componenti del vettore

3e_{1} − e_{2} + 2e_{3} nella base (u_{1}, u_{2}, u_{1} × u_{2}).

Esercizio 9. Trovare una base ortonormale (u_{1}, u_{2}, u_{3}) di E^{3} in cui u_{1} e u_{2} siano paralleli al piano xy e inclinati di \frac{π}{3} rispetto a e_{1} e e_{2}. Dato il vettore di componenti 2, 1, 2 nella base canonica, determinarne le componenti nella base (u_{1}, u_{2}, u_{3}).

Esercizio 9. Per ognuna delle matrici seguenti, determinare gli autovalori e i relativi spazi di autovettori dell’endomorfismo ϕ di tale matrice nella base canonica.

( \begin{matrix}0 & −3 & 2 \\ 3 & 0 & −1 \\ −2 & 1 & 0 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 & 2 & −1 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 3 & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 & −2 & 1 \\ −2 & 1 & 1 \\ 1 & −1 & 0 \end{matrix} )

Esercizio 10. Per ognuna delle matrici seguenti, dire se l’endomorfismo ϕ di tale matrice nella base canonica è diagonalizzabile.

( \begin{matrix}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}5 & −6 & −6 \\ −1 & 4 & 2 \\ 3 & −6 & −4 \end{matrix} )

Esercizio 11. Si determini a ∈ ℝ in modo che che il vettore ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) sia autovettore della matrice

( \begin{matrix}a & −1 & 1 \\ 1 & −2 & 1 \\ −1 & 1 & a \end{matrix} ). Sostituito il valore ricavato in tale matrice, se ne determinino gli autovalori e i

relativi spazi di autovettori.