Istituzioni di Matematiche I (CH-CI-MT)

II^{o} foglio di esercizi

ESERCIZIO 1. Si verifichi per induzione che

\begin{matrix}(a) & ∑_{j=1}^{n}(2j − 1) = n^{2}; \\ (b) & ∑_{j=1}^{n} j = \frac{n(n + 1)}{2}; \\ (c) & ∑_{j=1}^{n} j^{2} = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}; \\ (d) & ∑_{j=1}^{n} j^{3} = \frac{n^{2}(n + 1)^{2}}{4} ; \\ (e) & ∑_{k=0}^{n} x^{k} = \frac{1 − x^{n+1}}{1 − x} , (x ≠ 1); \\ (f) & ∑_{k=0}^{n}(1 + 3k + 3k^{2}) = (n + 1)^{3}; \\ (g) & ∑_{k=0}^{n−1}(1 + 4k + 6k^{2} + 4k^{3}) = n^{4}; \\ (h) & \frac{∑_{k=0}^{n} 1 + 3k + 3k^{2}}{∑_{k=0}^{n} 1 + 4k + 6k^{2} + 4k^{3}} = \frac{1}{n + 1}; \\ (i) & ∑_{k=2}^{n} \frac{3 − k}{k^{3} − k} = \frac{n − 1}{n(n + 1)}; \end{matrix}

Svolgimento. □ ESERCIZIO 2. Si deduca dall’esercizio precedente l’identità

∑_{j=1}^{n} j^{3} = [∑_{j=1}^{n} j]^{2} .

Svolgimento. □ ESERCIZIO 3. Si scrivano delle formule esplicite per le somme

∑_{n=1}^{N} n^{4} e ∑_{n=1}^{N} n^{5},

quali funzioni di N. Svolgimento. Vogliamo esporre un idea di Fermat per calcolare le somme di potenze di interi. Poniamo

S_{m}(N) = ∑_{n=1}^{N} n^{m}.

Come è ben noto (cf. Esercizio 1.(b)),

S_{1}(N) = ∑_{n=1}^{N} n = \frac{N(N + 1)}{2}

e l’idea di Fermat consiste nel determinare tali somme con una formula ricorsiva al crescere dell’esponente m. Dalle proprietà elementari del coefficiente binomiale, si ha

• \binom{N+m}{m+1} = \binom{N+m−1}{m} + \binom{N+m−1}{m+1}, da cui si deduce, per induzione su N, la relazione

(*)  \binom{N + m}{m + 1} = ∑_{n=1}^{N} \binom{n + m − 1}{m}

• inoltre, per n ≥ 1, si ha

\binom{n + m − 1}{m} = \frac{1}{m!}n(n + 1) ⋯ (n + m − 1) = \frac{1}{m!} (n^{m} + A_{1}n^{m−1} + ⋯ + A_{m−1}n)

ove A_{1}, …, A_{m−1} sono opportuni coefficienti numerici. Allora, sommando i due membri dell’uguaglianza per n = 1, …, N, e tenuto conto di (∗), si ottiene

\binom{N + m}{m + 1} = \frac{1}{m!} (S_{m}(N) + A_{1}S_{m−1}(N) + ⋯ + A_{m−1}S_{1}(N))

e quindi l’uguaglianza

\frac{N(N + 1) ⋯ (N + m)}{m + 1} = (S_{m}(N) + A_{1}S_{m−1}(N) + ⋯ + A_{m−1}S_{1}(N)) .

Esempi. Per m = 1 si ottiene così la formula nota. Per m = 2, A_{1} = 1 e quindi

\frac{N(N + 1)(N + 2)}{3} = S_{2}(N) + S_{1}(N),  da cui si deduce  S_{2}(N) = \frac{N(N + 1)(2N + 1)}{6}.

Per m = 3, si ha \binom{n+2}{3} = \frac{1}{3!}n(n + 1)(n + 2) = \frac{1}{6}(n^{3} + 3n^{2} + 2n) e quindi A_{1} = 3 ed A_{2} = 2, da cui si deduce

\frac{N(N + 1)(N + 2)(N + 3)}{4} = S_{3}(N) + 3S_{2}(N) + 2S_{1}(N),  e quindi  S_{3}(N) = \frac{N^{2}(N + 1)^{2}}{4} .

Per m = 4, si ha \binom{n+3}{4} = \frac{1}{4!}n(n + 1)(n + 2)(n + 3) = \frac{1}{4!}(n^{4} + 6n^{3} + 11n^{2} + 6n) e quindi A_{1} = 6, A_{2} = 11 ed A_{3} = 6, da cui si deduce

\frac{N(N + 1)(N + 2)(N + 3)(N + 4)}{5} = S_{4}(N) + 6S_{3}(N) + 11S_{2}(N) + 6S_{1}(N),

e quindi

S_{4}(N) = \frac{N(N + 1)(6N^{3} + 9N^{2} + N − 1)}{30}.

Lasciamo al lettore il calcolo per m = 5. □

ESERCIZIO 4. Siano x_{1}, …, x_{n} numeri reali positivi Si mostri che, per ogni intero positivo n, si ha^{(†)}

x_{1} ⋯ x_{n} ≤ (\frac{x_{1} + ⋯ + x_{n}}{n} )^{n} .

(†) Dati n numeri reali positivi, si definiscono media aritmetica e geometrica dei numeri dati come

μ = \frac{x_{1} + ⋯ + x_{n}}{n} (media aritmetica)  e  γ = \sqrt[n]{x_{1} ⋯ x_{n}} (media geometrica)

Quindi, la disuguaglianza da dimostrare si può enunciare come il fatto che la media geometrica di n numeri reali positivi è sempre inferiore della loro media aritmetica.

Istituzioni di Matematiche I – II^{o} foglio di esercizi 3

Svolgimento. Dimostriamolo per induzione su n. Per n = 1 la tesi è x_{1} ≤ (\frac{x_{1}}{1} )^{1} che è banalmente vera. Supponiamo quindi vera la disuguaglianza in questione per n numeri positivi e dimostriamo che la disuguaglianza analoga deve valere anche per n + 1 numeri.

Se x_{1} = ⋯ = x_{n+1}, la tesi è vera. Altrimenti vi è almeno un numero al di sotto della media ed uno al di sopra e non è restrittivo supporre che siano gli ultimi due, dato che la tesi non dipende dall’ordine con cui vengono presi i numeri. Sia quindi μ = \frac{x_{1}+···+x_{n+1}}{n+1} ed x_{n+1} = μ − a < μ < x_{n} = μ + b, con a > 0 < b. Consideriamo ora gli n + 1-numeri reali positivi così definiti

y_{1} = x_{1}, …, y_{n−1} = x_{n−1}, y_{n} = μ + b − a, y_{n+1} = μ,

ed osserviamo che si ha

μ = \frac{x_{1} + ⋯ + x_{n+1}}{n + 1} = \frac{y_{1} + ⋯ + y_{n+1}}{n + 1} = \frac{y_{1} + ⋯ + y_{n}}{n} ,  e  x_{n}x_{n+1} < y_{n}y_{n+1}.

Essendo y_{1} = x_{1}, …, y_{n−1} = x_{n−1} si deduce che

x_{1} … x_{n+1} ≤ y_{1} … y_{n+1} = y_{1} … y_{n}μ ≤ μ^{n}μ = μ^{n+1},

ove si è usata l’ipotesi induttiva y_{1} ⋯ y_{n} ≤ μ^{n}; e questa è la conclusione voluta. □

ESERCIZIO 5. Si deduca come conseguenza dell’esercizio precedente che, per ogni intero positivo n, si ha

\begin{matrix}(a) & (1 + \frac{1}{n})^{n} ≤ (1 + \frac{1}{n + 1})^{n+1} ; \\ (b) & (1 + \frac{1}{n})^{n+1} ≥ (1 + \frac{1}{n + 1})^{n+2} . \end{matrix}

Svolgimento. (a). Si considerino i numeri reali x_{1} = 1, x_{2} = ⋯ = x_{n+1} = 1 + \frac{1}{n} e si osservi che

\frac{x_{1} + ⋯ + x_{n+1}}{n + 1} = \frac{1 + n(1 + \frac{1}{n})}{n + 1} = 1 + \frac{1}{n + 1}.

Allora, per quanto visto nell’esercizio precedente, si ha

(1 + \frac{1}{n})^{n} = x_{1} ⋯ x_{n+1} ≤ (\frac{x_{1} + ⋯ + x_{n+1}}{n + 1} )^{n+1} = (1 + \frac{1}{n + 1})^{n+1} ;

che è la disuguaglianza voluta.

(b). Si considerino i numeri reali x_{1} = (1 + \frac{1}{n+1})^{2}, x_{2} = ⋯ = x_{n+1} = 1 + \frac{1}{n+1} e si osservi che

\frac{x_{1} + ⋯ + x_{n+1}}{n + 1} = \frac{(1 + \frac{1}{n+1})^{2} + n (1 + \frac{1}{n+1})}{n + 1} = 1 + \frac{n + 2}{(n + 1)^{2}} + \frac{1}{(n + 1)^{3}} < 1 + \frac{1}{n}.

Allora, per quanto visto nell’esercizio precedente, si ha

(1 + \frac{1}{n + 1})^{n+2} = x_{1} ⋯ x_{n+1} ≤ (\frac{x_{1} + ⋯ + x_{n+1}}{n + 1} )^{n+1} < (1 + \frac{1}{n})^{n+1} ;

che è la disuguaglianza voluta. □

4 MAURIZIO CANDILERA

ESERCIZIO 6. Si disegnino nel piano di Argand-Gauss i sottoinsiemi

\begin{matrix}(a) & \{ z ∈ ℂ | Im(i(z + 1)^{2}) < 1 \}; \\ (b) & \{ z ∈ ℂ | |\frac{z − i}{z + 2}| < 1 \}; \\ (c) & \{ z ∈ ℂ | Re(i(z − 2)^{2}) > 2 \}; \\ (d) & \{ z ∈ ℂ | |\frac{z − 2}{z̄ + 2i}| ≤ \sqrt{2} \} . \end{matrix}

Svolgimento. □ ESERCIZIO 7. Si disegnino nel piano di Argand-Gauss i numeri complessi z, soddisfacenti alle condizioni

\begin{matrix}(a) & |\frac{z − 1}{z + 2i}| = \sqrt{2}  e  4Rez = Imz; \\ (b) & |\frac{2z}{z̄ − iz} | = \sqrt{2}  e  |z| = 1. \end{matrix}

Svolgimento. □ ESERCIZIO 8. Al variare di α tra i numeri reali, si dica quanti sono i numeri complessi z soddisfacenti alle condizioni

\begin{matrix}(a) & |iz − 3 + 2i| = \sqrt{\frac{3}{2}}  e  α − Rez = Imz; \\ (b) & |iz − 2 + 3i| = \sqrt{\frac{2}{3}}  e  α − Rez = Imz. \end{matrix}

Svolgimento. □ ESERCIZIO 9. Si consideri l’insieme I dei numeri complessi del tipo m + in al variare di m ed n tra i numeri interi (i indica l’unità immaginaria). Si determini una retta passante per il punto z_{0} = 2−i del piano di Argand-Gauss che intersechi l’insieme I nel solo punto z_{0}. Svolgimento. □ ESERCIZIO 10. Si consideri l’insieme I dei numeri complessi del tipo m + in al variare di m ed n tra i numeri interi (i indica l’unità immaginaria). Si determini una retta passante per il punto z_{0} = 1 + 2i del piano di Argand-Gauss che intersechi l’insieme I nel solo punto z_{0}. Svolgimento. □ ESERCIZIO 11. Si determinino i numeri complessi z tali che

\begin{matrix}(a) & z^{2} + iz + 2 = 0; \\ (b) & z^{4} + 4(1 + i)z^{2} + 3 + 4i = 0; \\ (c) & z^{4} + 2 + 2i\sqrt{3} = 0; \end{matrix}

Svolgimento. □