Istituzioni di Matematiche I (CH-CI-MT)

III^{o} foglio di esercizi

ESERCIZIO 1. Si dica se la successione converge ed, in caso affermativo si calcoli

(a) lim_{n→∞}(−1)^{n} \frac{n}{2n^{2} − n + 1};
(b) lim_{n→∞} log (2 − \frac{1}{n});
(c) lim_{n→∞} (\frac{n + 4}{n + 1})^{n};
(d) lim_{n→∞} \sqrt{n^{2} + 1} − n;
(e) lim_{n→∞} \frac{cos(nπ/2)}{n};
(f) lim_{n→∞} \frac{sin(nπ/2)}{n^{2} − n};
(g) lim_{n→∞} (1 − \frac{2}{n})^{n};
(h) lim_{n→∞} \sqrt{n} − \sqrt{n + 1};
(i) lim_{n→∞} 2n^{2} (\frac{1}{n} − \frac{1}{n + 1});
(j) lim_{n→∞} \sqrt[n]{2^{n} + 3^{n}};
(k) lim_{n→∞} \frac{log \sqrt{7^{3n}}}{2n + 1} .

Svolgimento. □ ESERCIZIO 2. Si consideri la successione (a_{n})_{n∈ℕ}, definita ricorsivamente ponendo

\{ \begin{matrix}a_{0} = t \\ a_{n+1} = \frac{a_{n}+\sqrt{11}}{2} \end{matrix} .

Si mostri che, per qualsiasi valore di t, la successione converge ad uno stesso numero reale e si calcoli tale numero. Svolgimento. □ ESERCIZIO 3. Si consideri la successione (b_{n})_{n∈ℕ} definita ricorsivamente ponendo

\{ \begin{matrix}b_{2} = −5e^{2} \\ b_{n+1} = \frac{n^{n}}{5(n−1)^{n}} b_{n} \end{matrix} .

Si mostri che la successione converge e se ne calcoli il limite. Svolgimento. □ ESERCIZIO 4. Si consideri la successione (x_{n})_{n∈ℕ}, definita ponendo

\{ \begin{matrix}x_{0} = 2 \\ x_{n+1} = \frac{x_{n}}{2} + \frac{1}{x_{n}} \end{matrix} .

(a) Si mostri che, per ogni intero n, si ha x_{n} > 0 ed x_{n}^{2} > 2.

(b) Si mostri che la successione è decrescente.

(c) Si calcoli lim_{n→∞} x_{n}.

Svolgimento. □

ESERCIZIO 5. Si consideri la successione (x_{n})_{n∈ℕ}, definita ponendo

\{ \begin{matrix}x_{0} = 3 \\ x_{n+1} = \frac{2x_{n}}{3} + \frac{1}{x_{n}} \end{matrix} .

(a) Si mostri che, per ogni intero n, si ha x_{n} > 0 ed x_{n}^{2} > 3.

(b) Si mostri che la successione è decrescente.

(c) Si calcoli lim_{n→∞} x_{n}.

Svolgimento. □

ESERCIZIO 6. Si consideri la successione (x_{n})_{n∈ℕ}, definita ponendo

\{ \begin{matrix}x_{0} = 5 \\ x_{n+1} = \frac{4x_{n}}{5} + \frac{1}{x_{n}} \end{matrix} .

(a) Si mostri che, per ogni intero n, si ha x_{n} > 0 ed x_{n}^{2} > 5.

(b) Si mostri che la successione è decrescente.

(c) Si calcoli lim_{n→∞} x_{n}.

Svolgimento. □

ESERCIZIO 7. Sia α ≥ 2 un numero reale e si consideri la successione (x_{n})_{n∈ℕ}, definita ponendo

\{ \begin{matrix}x_{0} = α \\ x_{n+1} = \frac{(α−1)x_{n}}{α} + \frac{1}{x_{n}} \end{matrix} .

(a) Si mostri che, per ogni intero n, si ha x_{n} > 0 ed x_{n}^{2} > α.

(b) Si mostri che la successione è decrescente.

(c) Si mostri che lim_{n→∞} x_{n} = \sqrt{α}.

(d) Si mostri che, per ogni intero n, si ha

0 < x_{n} − \sqrt{α} ≤ \frac{x_{n}^{2} − α}{x_{n} + 1}

e si deduca da ciò una stima dell’errore x_{n} − \sqrt{α} per n = 3 ed α = 3.

Svolgimento. (a). Per ipotesi, il termine iniziale x_{0} = α è positivo e tale è anche il rapporto \frac{α−1}{α}. Si verifica facilmente che, se x_{n} è un numero positivo, tale è anche x_{n+1}; e quindi per induzione, si conclude che x_{n} > 0 per ogni intero n.

Si osservi che, essendo x_{0} = α ≥ 2, si ha x_{0}^{2} > α. Vogliamo dimostrare per induzione che x_{n}^{2} > α, per ogni intero n. Dobbiamo quindi provare che x_{n}^{2} > α ⇒ x_{n+1}^{2} > α. Si ha

x_{n+1}^{2} = [\frac{(α − 1)x_{n}}{α} + \frac{1}{x_{n}} ]^{2} > α

se, e solo se,

[(α − 1)\frac{x_{n}^{2}}{α} + 1]^{2} − α^{2} \frac{x_{n}^{2}}{α} > 0.

Istituzioni di Matematiche I – III^{o} foglio di esercizi 3

Posto t = \frac{x_{n}}{\sqrt{α}}, la disuguaglianza è quindi equivalente a

[(α − 1)t^{2} + αt + 1][(α − 1)t^{2} − αt + 1] > 0

e, per le ipotesi fatte, il primo fattore è certamente positivo. Quindi, osservando che le radici del polinomio

posto a secondo fattore sono 1 e \frac{1}{α − 1}, si conclude che la disuguaglianza è verificata se \frac{x_{n}}{\sqrt{α}} = t > 1, che è

proprio l’ipotesi induttiva.

(b). I termini della successione sono positivi e quindi la successione è decrescente se, e solo se, \frac{x_{n+1}}{x_{n}} < 1 per

ogni intero n. Ora

\frac{x_{n+1}}{x_{n}} = \frac{α − 1}{α} + \frac{1}{x_{n}^{2}} < 1 ⟺ x_{n}^{2} > α;

e quanto visto al punto precedente permette di concludere. (c). La successione è decrescente ed inferiormente limitata e quindi convergente. Sia ℓ = lim_{n→∞} x_{n}, allora, osservando che ogni successione ha lo stesso limite della successione data e per l’ unicità del limite, passando al limite dai due lati della relazione ricorsiva che definisce la successione, si conclude che ℓ deve soddisfare alla relazione

ℓ = \frac{(α − 1)ℓ}{α} + \frac{1}{ℓ}  ovvero  ℓ^{2} = α.

Poichè i termini della successione sono tutti positivi, si conclude che ℓ = \sqrt{α}. (d). È sufficiente osservare che

x_{n}^{2} − α = (x_{n} − \sqrt{α})(x_{n} + \sqrt{α})

e che 0 < x_{n} + 1 < x_{n} + \sqrt{α}, da cui si deduce la disuguaglianza voluta. Si lascia al lettore il calcolo esplicito dell’errore nel caso indicato. □

ESERCIZIO 8. Sia k > 1 un numero reale e si consideri la successione (a_{n})_{n∈ℕ}, definita ricorsivamente ponendo

\{ \begin{matrix}a_{0} = t \\ a_{n+1} = \frac{1}{2} (a_{n} + \frac{k}{a_{n}} ) \end{matrix}

Si diano delle condizioni sufficienti su t affinchè la successione sia crescente e superiormente limitata ed, in tal caso, se ne calcoli il limite.

Svolgimento. Sia t ≤ −\sqrt{k} ed osserviamo che tutti i termini della successione sono negativi e si ha

a_{n} ≤ \frac{1}{2} (a_{n} + \frac{k}{a_{n}} ) ≤ −\sqrt{k}  se, e solo se,  a_{n} ≤ \frac{k}{a_{n}} e a_{n}^{2} + a_{n}\sqrt{k} + k ≥ 0.

La seconda disuguaglianza è immediata se si osserva che il termine di sinistra è uguale ad (a_{n} + \sqrt{k})^{2}. Ciò ci permette di affermare che, essendo a_{0} = t ≤ −\sqrt{k}, per induzione, deve aversi a_{n} ≤ −\sqrt{k}, per ogni n. Da quest’ultima disuguaglianza si ottiene a_{n} ≤ −\sqrt{k} = \frac{k}{−\sqrt{k}} ≤ \frac{k}{a_{n}} per ogni n. Quindi, se t ≤ −\sqrt{k} la successione è crescente e superiormente limitata e perciò converge ad un numero reale ℓ < 0, che soddisfa alla relazione ℓ ≤ \frac{1}{2} (ℓ + \frac{k}{ℓ} ) e quindi ℓ = −\sqrt{k}.^{(†)} □

ESERCIZIO 9. Si mostri che lim_{n→∞} \sqrt[n]{n} = 1.

(†) Lasciamo al lettore il compito di verificare che, per t ≥ \sqrt{k}, la successione diventa decrescente ed inferiormente limitata da \sqrt{k}, che ne è in tal caso il limite. Il lettore è invitato anche a disegnare il grafico della funzione f(x) = \frac{1}{2} (x + \frac{k}{x}) e cercare di dedurre da questo un’idea sull’andamento delle successioni proposte, al variare di t.

Svolgimento. Poichè n ≥ 1, si ha \sqrt[n]{n} = 1 + p_{n} con p_{n} ≥ 0. Vogliamo mostrare che la successione (p_{n})_{n∈ℕ} è definitivamente decrescente^{(∗)} e converge a zero. Si osservi che

p_{n+1} ≤ p_{n} ⟺ (1+p_{n+1})^{n+1} ≤ (1+p_{n})^{n+1} ⟺ n+1 ≤ n \sqrt[n]{n} ⟺ (n+1)^{n} ≤ n^{n}n ⟺ (1 + \frac{1}{n})^{n} ≤ n.

L’ultima disuguaglianza è verificata per n ≥ 3; quindi la successione (p_{n})_{n∈ℕ} è definitivamente decrescente e limitata inferiormente e perciò convergente ad un numero reale ℓ ≥ 0. Si osservi poi che, per n ≥ 2, dalla

formula del binomio di Newton si ricava 0 ≤ \binom{n}{2}p_{n}^{2} ≤ (1 + p_{n})^{n} = n e quindi 0 ≤ p_{n}^{2} ≤ \frac{2n}{n(n−1)}. Per il

Teorema dei Carabinieri si conclude che ℓ^{2} = 0 e quindi la tesi. □

ESERCIZIO 10. Si consideri la successione (a_{n})_{n∈ℕ}, di termine generale a_{n} = \frac{log(n!)}{n}.

(a) Si mostri che la successione è crescente.

(b) Si mostri che, qualunque sia n ≥ 1, a_{2n} − a_{n} ≥ \frac{log 2}{2}.

(c) Si deduca dai punti precedenti che, lim_{n→∞} a_{n} = +∞.

(d) Osservando che, qualunque sia n ≥ 1, \sqrt[n]{n!} = e^{a_{n}}, si calcoli lim_{n→∞} \sqrt[n]{n!}.

Svolgimento. (a). Mostriamo che, qualunque sia n ≥ 1, a_{n+1} − a_{n} > 0. Infatti,

a_{n+1} − a_{n} = \frac{log((n + 1)!)}{n + 1} − \frac{log(n!)}{n} = \frac{log((n + 1)!^{n}) − log(n!^{n+1})}{n(n + 1)} > 0

se, e solo se,

log \frac{(n + 1)!^{n}}{n!^{n+1}} > 0  ovvero  \frac{(n + 1)!^{n}}{n!^{n+1}} = \frac{(n + 1)^{n}}{n!} > 1.

L’ultima disuguaglianza è evidente perchè \frac{(n+1)^{n}}{n!} = \frac{n+1}{n} \frac{n+1}{n−1} ⋯ \frac{n+1}{1} ≥ n + 1 > 1. (b). Si ha

a_{2n} − a_{n} = \frac{log((2n)!)}{2n} − \frac{log(n!)}{n} = \frac{log((2n)!) − 2 log(n!)}{2n}

= \frac{log(2n) + log(2n − 1) + ⋯ + log(n + 1) − log n − log(n − 1) − ⋯ − log 1}{2n}

= \frac{log(\frac{2n}{n}) + log(\frac{2n−1}{n−1}) + ⋯ + log(\frac{n+1}{1})}{2n} ≥ \frac{n log 2}{2n} = \frac{log 2}{2}.

Infatti, per j = 0, …, n − 1, \frac{2n−j}{n−j} ≥ \frac{2(n−j)}{n−j} = 2.

(c). La successione (a_{n})_{n∈ℕ} è crescente ed illimitata e quindi diverge. Infatti, fissato comunque un numero reale K > 0, esiste un intero positivo k, tale che k \frac{log 2}{2} > K e si ha

a_{2^{k}} = a_{2^{k}} − a_{0} = (a_{2^{k}} − a_{2^{k−1}}) + (a_{2^{k−1}} − a_{2^{k−2}}) + ⋯ + (a_{1} − a_{0}) ≥ k \frac{log 2}{2} > K.

Dunque, poiché la successione è crescente, per n ≥ 2^{k} si ha a_{n} > K e, per l’arbitriarietà di K, ciò significa esattamente che lim_{n→∞} a_{n} = +∞.

(d). È immediato. □

(∗) Una successione (a_{n})_{n∈ℕ} si dice definitivamente decrescente se esiste un indice N_{0} per cui si abbia a_{n} ≥ a_{n+1} per ogni n ≥ N_{0}.