Istituzioni di Matematiche I (CH-CI-MT)

IV^{o} foglio di esercizi

ESERCIZIO 1. Si calcoli la somma della serie^{(†)}

\begin{matrix}(a) & ∑_{n=0}^{∞} \frac{3^{n} + 4^{n}}{5^{n}}; \\ (b) & ∑_{n=0}^{∞} \frac{1 − 2^{n}}{3^{n}}; \\ (c) & ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{2} + n}; \\ (d) & ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{(n + 2)(2n + 2)} \\ (e) & ∑_{n=2}^{∞} \frac{3 − n}{n^{3} − n}; \end{matrix}

ESERCIZIO 2. Si dica se converge la serie

(a) ∑_{n=2}^{∞} \frac{2n}{n^{2} + n};

(b) ∑_{n=1}^{∞} \frac{log n + sin n + 5n}{\sqrt[3]{n^{7}}};

(c) ∑_{n=2}^{∞} e^{\frac{−n^{2}}{n−1}} ;

(d) ∑_{n=1}^{∞} e^{\frac{−5n^{2}}{3n+\sqrt{n}}};

(e) ∑_{n=1}^{∞} (\frac{n − 1}{n})^{n^{2}} ;

(f) ∑_{n=1}^{∞} log \frac{n + 1}{n};

(g) ∑_{n=1}^{∞} log \frac{n^{2} + 1}{n^{2}};

(h) ∑_{n=1}^{∞} \frac{n!}{n^{n}};

(i) ∑_{n=1}^{∞}(−1)^{n} log \frac{n + 1}{n};

(j) ∑_{n=1}^{∞} \frac{n cos(nπ)}{n^{2} + 1};

(k) ∑_{n=1}^{∞} \frac{n sin(nπ/2)}{2n^{2} + 5};

(†) Nel punto (e) si ricordi il punto (i) dell’Esercizio 1 del II foglio di esercizi.

ESERCIZIO 3. Ricordiamo che ad ogni serie ∑_{n=0}^{∞} a_{n} è associata la successione delle sue somme parziali (s_{k})_{k∈ℕ}, definita ponendo s_{k} = ∑_{n=0}^{k} a_{n}. In particolare, se la successione delle somme parziali è convergente, si ha

∑_{n=0}^{∞} a_{n} = lim_{k→∞} s_{k}.

Si mostri che vale un parziale reciproco di questo fatto. Data una successione (b_{n})_{n∈ℕ} si ponga d_{0} = b_{0} e d_{n} = b_{n} − b_{n−1} per n ≥ 1. Si mostri che la successione delle somme parziali della serie ∑_{n=0}^{∞} d_{n} coincide con la successione (b_{n})_{n∈ℕ}. ESERCIZIO 4. Si mostri che la serie ∑_{n=1}^{∞} nx^{n} converge per |x| < 1 e diverge per |x| ≥ 1. ESERCIZIO 5. Si dica per quali numeri reali α converge la serie^{(∗)}

∑_{n=2}^{∞} \frac{1}{n(log n)^{α}} .

ESERCIZIO 6. Si ricordi che lim_{n→∞} \sqrt[n]{n} = 1 e si deduca da ciò che la serie ∑_{n=1}^{∞} n^{−2} \sqrt[n]{n} converge.

(∗) Può essere utile ricordare il cosiddetto trucco di Cauchy, ovvero che, se a_{1} ≥ a_{2} ≥ a_{3} ≥ ⋯ > 0, allora la serie ∑_{n=1}^{∞} a_{n} converge se, e solo se, converge la serie ∑_{k=1}^{∞} 2^{k}a_{2^{k}}.