Istituzioni di Matematiche I (CH-CI-MT)

V^{o} foglio di esercizi

ESERCIZIO 1. Si consideri la funzione f : ℝ → ℝ definita ponendo

f(x) = \{ \begin{matrix}\sqrt{|x|} & se x ∈ [−4, 4] \\ ax^{2} & se |x| > 4 \end{matrix}

Si determini il valore di a per cui la funzione f risulti continua su tutto ℝ e si disegni un grafico indicativo dell’andamento di f.

ESERCIZIO 2. Si consideri la funzione f : ℝ → ℝ definita ponendo

f(x) = \{ \begin{matrix}(x + 3)^{2} − 1 & se x < −2 \\ a − (x + 1)^{2} & se x ≥ −2 \end{matrix}

Si determini il valore di a per cui la funzione f risulti continua su tutto ℝ e si disegni un grafico indicativo dell’andamento di f.

ESERCIZIO 3. Ricordando che, per x ∈ (0, \frac{π}{4} ), si ha 0 < sin x < x, si deduca da ciò che

lim_{x→0} sin x = 0.

Si mostri che, per ogni numero reale x_{0} fissato, si ha^{(†)}

lim_{x→x_{0}}(sin x − sin x_{0}) = 0  e  lim_{x→x_{0}}(cos x − cos x_{0}) = 0.

Si deduca da ciò la continuità delle funzioni trigonometriche su tutta la retta reale.

ESERCIZIO 4. Si mostri che lim_{x→0^{+}} x log x = 0 e si deduca da ciò il lim_{x→0^{+}} x^{x}.

ESERCIZIO 5. Si calcolino i limiti

(a) lim_{x→+∞} \frac{3x^{4} − 2x^{2} + 4x\sqrt[3]{x}}{2x^{4} − \sqrt[3]{x^{10}}};
(b) lim_{x→−∞} \frac{4x\sqrt[3]{x} − x}{\sqrt[3]{2x^{4}} + 1};
(c) lim_{x→0} \frac{sin x}{\sqrt{x}};
(d) lim_{x→0} \frac{x log(1 − x)}{sin x};
(e) lim_{x→+∞} \frac{3 log x}{2\sqrt[3]{x^{2}}};
(f) lim_{x→+∞} \frac{3 cos x}{5\sqrt[5]{x^{3}}};
(g) lim_{x→0} \frac{cos x − 1}{x^{2}};
(h) lim_{x→−∞} (1 + \frac{1}{x})^{x};
(i) lim_{x→0} \frac{log_{10}(1 + x)}{x};
(j) lim_{x→−∞} \frac{3 − 2x}{\sqrt{x^{2} + 1}};
(k) lim_{x→0} 2^{\frac{sin 2x}{sin 3x}};

(†) Si usino le formule di prostaferesi per le funzioni trigonometriche.