Istituzioni di Matematiche I (CH-CI-MT)

V I^{o} foglio di esercizi

ESERCIZIO 1. [Maturità Scientifica 1988] Si dimostri, avvalendosi della definizione di derivata come limite del rapporto incrementale al tendere a zero dell’incremento della variabile indipendente, che la derivata della funzione f(x) = sin^{3} x è la funzione f′(x) = 3 sin^{2} x cos x e si generalizzi la questione per la funzione f(x) = sin^{n} x con n intero positivo^{(†)}.

Svolgimento. □

ESERCIZIO 2. Si consideri la funzione f : ℝ → ℝ definita ponendo

f(x) = \{ \begin{matrix}\sqrt{|x|} & se x ∈ [−4, 4] \\ ax^{2} + c & se |x| > 4 \end{matrix}

Si determini il valore di a per cui la funzione f risulti continua e derivabile su tutto ℝ e si disegni un grafico indicativo dell’andamento di f.

Svolgimento. □

ESERCIZIO 3. Si consideri la funzione f : ℝ → ℝ definita ponendo

f(x) = \{ \begin{matrix}b − ax & se x < 0 \\ e^{2x} & se x ≥ 0 \end{matrix}

Si determinino a e b affinchè la funzione f risulti continua e derivabile su tutto ℝ e si disegni un grafico indicativo dell’andamento di f.

Svolgimento. □

ESERCIZIO 4. Si consideri la funzione f : ℝ → ℝ definita ponendo

f(x) = \{ \begin{matrix}a(x − 3)^{2} − 1 & se x > 2 \\ b − (x − 1)^{2} & se x ≤ 2 \end{matrix}

Si determinino i valori di a e b per cui la funzione f risulti continua e derivabile su tutto ℝ e si disegni un grafico indicativo dell’andamento di f.

Svolgimento. La funzione è continua e derivabile se x ≠ 2 per qualsiasi valore di a e b, perchè i due rami sono polinomi di secondo grado nella variabile x. In base alla definizione della funzione f, si ha

lim_{x→2^{+}} f(x) = a − 1  e  lim_{x→2^{−}} f(x) = f(2) = b − 1.

Dunque f è continua nel punto x = 2 (e quindi su tutta la retta reale) se, e solo se, a − 1 = f(2) = b − 1, ovvero se, e solo se, a = b. Sotto tale ipotesi, il limite del rapporto incrementale di f coincide in ogni punto con il limite della derivata di f (Regola di de L’Hôpital). Osservando che

f′(x) = \{ \begin{matrix}2a(x − 3) & se x > 2 \\ −2(x − 1) & se x < 2 \end{matrix}  e  \begin{matrix}lim_{x→2^{+}} f′(x) = −2a \\ lim_{x→2^{−}} f′(x) = −2 \end{matrix}

(†) Si usi l’identità a^{n} − b^{n} = (a − b)(a^{n−1} + a^{n−2}b + ⋯ + ab^{n−2} + b^{n−1}).

si conclude che f è continua e derivabile su tutta la retta reale se, e solo se, a = b = 1. Il grafico di f è quindi

0  2  4

Ciò conclude la discussione. □

ESERCIZIO 5. Si consideri la funzione f : ℝ → ℝ definita ponendo

f(x) = \{ \begin{matrix}arctg x & se x < 1 \\ x^{2} + bx + c & se x ≥ 1 \end{matrix}

Si determinino i valori di b e c per cui la funzione f risulti continua e derivabile su tutto ℝ e si disegni un grafico indicativo dell’andamento di f.

Istituzioni di Matematiche I – V I^{o} foglio di esercizi 3

Svolgimento. □

ESERCIZIO 6. Si consideri la funzione f(x) = e^{3x} cos 3x. Si mostri che la derivata prima di f si può scrivere nella forma ke^{3x} cos(3x + α), ove k > 0 ed 0 ≤ α ≤ \frac{π}{2} sono opportune costanti da determinarsi esplicitamente. Si mostri che la derivata seconda di f si può scrivere nella forma he^{3x} cos(3x+2α), ove h > 0 ed α è la costante che compare nella formula della derivata prima.

Svolgimento. □

ESERCIZIO 7. Si determini l’insieme ove la funzione f(x) è derivabile e se ne calcoli la derivata prima

(a) f(x) = \sqrt{\frac{x}{x − 1}};
(b) f(x) = x\sqrt{\frac{x − 1}{x + 1}};
(c) f(x) = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + x + 1}};
(d) f(x) = log \frac{1}{x^{2}} ;
(e) f(x) = log(tg x);
(f) f(x) = arctg (\frac{x − 1}{x + 1});
(g) f(x) = sin(e^{x^{2}});
(h) f(x) = x2^{x};
(i) f(x) = \frac{e^{x}}{cosh x};
(j) f(x) = sin x log(sin x);
(k) f(x) = cos(x^{2});
(l) f(x) = (cos x)^{2}.

Svolgimento. □

ESERCIZIO 8. In ciascuno dei casi seguenti, si scriva l’equazione della retta tangente al grafico della funzione f(x) nel punto di ascissa x = 1.

\begin{matrix}(a) & f(x) = \sqrt{\frac{x}{x + 1}}; \\ (b) & f(x) = \frac{1}{2x + 1}; \\ (c) & f(x) = x − \frac{1}{x}; \\ (d) & f(x) = log \frac{1}{x^{2}} ; \\ (e) & f(x) = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}; \\ (f) & f(x) = \frac{x^{2} + x + 1}{x − 2}; \\ (g) & f(x) = e^{x^{2}}; \\ (h) & f(x) = x2^{−x}. \end{matrix}

Svolgimento. □

ESERCIZIO 9. Si studino le funzioni che compaiono nei testi degli esercizi precedenti e si tracci per ciascuna un grafico indicativo.

Svolgimento. □

ESERCIZIO 10. Sia f : (a, b) → ℝ una funzione di classe 𝒞^{2} in (a, b). Si mostri che f ha un minimo relativo (risp. un massimo relativo) in x_{0} ∈ (a, b) se f′(x_{0}) = 0 ed f′′(x_{0}) > 0 (risp. se f′(x_{0}) = 0 ed f′′(x_{0}) < 0).

Svolgimento. Sia f′′(x_{0}) > 0. Poichè la derivata seconda di f è continua esiste un numero reale δ > 0 per cui f′′(x) > 0 per ogni x ∈ (x_{0} − δ, x_{0} + δ) [Teorema di permanenza del segno]. Quindi, sull’intervallo (x_{0} − δ, x_{0} + δ) la derivata prima di f è una funzione crescente (in senso stretto) che si annulla in x_{0}. Dunque, deve essere f′(x) < 0 per x ∈ (x_{0} − δ, x_{0}) ed f′(x) > 0 per x ∈ (x_{0}, x_{0} + δ) e perciò deve essere f decrescente in x ∈ (x_{0} − δ, x_{0}) ed f crescente in x ∈ (x_{0}, x_{0} + δ) e da ciò si conclude che f(x) ≥ f(x_{0}) per ogni x ∈ (x_{0} − δ, x_{0} + δ) ovvero che x_{0} è un punto di minimo relativo per f.

Il ragionamento è analogo nel caso di un massimo relativo ed è lasciato al lettore. □

ESERCIZIO 11. Ricordiamo che una funzione f : (a, b) → ℝ si dice convessa nel punto x_{0} ∈ (a, b), se è derivabile in x_{0} ed esiste un intervallo centrato in x_{0} in cui il grafico della funzione resta al di sopra della retta tangente in x_{0}; ovvero esiste δ > 0 per cui f(x) ≥ f′(x_{0})(x−x_{0})+f(x_{0}) per ogni x ∈ (x_{0} −δ, x_{0} +δ)^{(†)}.

(a) Sia f : (a, b) → ℝ una funzione di classe 𝒞^{2} in (a, b). Si mostri che f è convessa in x_{0} ∈ (a, b) se la differenza d(x) = f(x) − f′(x_{0})(x − x_{0}) − f(x_{0}) ha un minimo relativo in x_{0}, e quindi se f′′(x_{0}) > 0.

(b) Sia f : (a, b) → ℝ una funzione di classe 𝒞^{2} in (a, b). Si mostri che f è concava in x_{0} ∈ (a, b) se la differenza d(x) = f(x) − f′(x_{0})(x − x_{0}) − f(x_{0}) ha un massimo relativo in x_{0}, e quindi se f′′(x_{0}) < 0.

(c) Sia f : [a, b] → ℝ una funzione continua in [a, b] e di classe 𝒞^{2} in (a, b). Si mostri che se f è convessa in ogni punto di (a, b) allora il grafico di f in [a, b] sta al di sotto della retta per (a, f(a)) e (b, f(b)); ovvero si ha f(x) − \frac{f(b)−f(a)}{b−a}(x − a) − f(a) ≤ 0 per ogni x ∈ [a, b].

Svolgimento. (a). Il grafico di f sta al di sopra della retta tangente in x_{0} sull’intervallo (x_{0} − δ, x_{0} + δ) se, e solo se, d(x) = f(x) − f′(x_{0})(x − x_{0}) − f(x_{0}) ≥ 0 per ogni x ∈ (x_{0} − δ, x_{0} + δ). Poichè d(x_{0}) = 0, ciò significa esattamente che x_{0} è un punto di minimo relativo per d. Osserviamo che d′(x) = f′(x) − f′(x_{0}) e d′′(x) = f′′(x) per ogni x ∈ (a, b); quindi, per l’esercizio precedente, d ha un minimo relativo in x_{0} se d′′(x_{0}) = f′′(x_{0}) > 0. (b). Il ragionamento è analogo a quanto appena esposto. (c). Poichè f è convessa in ogni punto di (a, b), deve aversi f′′(x) > 0 per ogni x ∈ (a, b). Consideriamo ora la differenza

φ(x) = f(x) − \frac{f(b) − f(a)}{b − a}(x − a) − f(a) per x ∈ [a, b]

e si osservi che φ′(x) = f′(x) − \frac{f(b)−f(a)}{b−a} ed φ′′(x) = f′′(x) per ogni x ∈ (a, b). Allora la funzione ϕ′ è monotona crescente in (a, b) e si annulla in un punto c ∈ (a, b) [Teorema del valor medio (Lagrange)]. Quindi φ è decrescente in (a, c) e crescente in (c, b), ed essendo φ(a) = 0 = φ(b), si conclude che φ(x) ≤ 0 per ogni x ∈ [a, b] ovvero che il grafico della funzione f sta al di sotto della retta dell’enunciato. □

(†) Analogamente, f : (a, b) → ℝ si dice concava nel punto x_{0} ∈ (a, b), se è derivabile in x_{0} ed esiste un intervallo centrato in x_{0} in cui il grafico della funzione resta al di sotto della retta tangente in x_{0}; ovvero esiste δ > 0 per cui f(x) ≤ f′(x_{0})(x−x_{0})+f(x_{0})

per ogni x ∈ (x_{0} − δ, x_{0} + δ).