Istituzioni di Matematiche I (CH-CI-MT)

V II^{o} foglio di esercizi

ESERCIZIO 1. Si calcolino

(a) lim_{x→0}(1 + x^{2})^{1/ sin^{2} x};
(b) lim_{x→0}(1 + tg^{2}x)^{1/(1−cos x)};
(c) lim_{x→+∞} x^{2} |\frac{π}{2} − arctgx − \frac{1}{x} |;
(d) lim_{x→0} \frac{tgx − sin x}{log(1 + x) + 1 − x − cos x};
(e) lim_{x→0^{−}} \sqrt{x^{2} log(1 − sin x)} ; sin \sqrt{|x|^{3}};
(f) lim_{x→0} \frac{log(1 − x) + sin x − 1 + coshx}{sin x − sinhx};
(g) lim_{x→0} \frac{cos x − e^{x^{2}} + \frac{3}{2}xsinhx}{[log(1 − x)]^{4}};

(h) lim_{x→0} \frac{coshx − e^{x^{2}} + \frac{1}{2}x sin x}{[log(1 + x)]^{4}};
(i) lim_{x→+∞} x^{4} (2e^{1/x^{2}} − 2cosh\frac{1}{x} − \frac{sin(1/x)}{x});
(j) lim_{x→0} \frac{2x − sin x − sinhx}{x^{3} − sin x(cos x − coshx)};
(k) lim_{x→0^{+}} \frac{log(1 + x^{2}) − x^{2}}{sin^{4} x};
(l) lim_{x→0} \frac{2e^{x^{2}} − 2 cos x − 3sinhx}{tg^{4}x};
(m) lim_{x→0^{+}} \frac{tgx\sqrt{x(1 − cos x)}}{(coshx − 1)\sqrt{log(1 + x)}};

(n) lim_{x→0^{+}} \frac{log(1 − x^{2})\sqrt{x − sin x}}{(sinhx − x)\sqrt{tgx}};
(o) lim_{x→0} \frac{x cos x − log(1 + x)coshx}{x^{2} log(1 − x)};

ESERCIZIO 2. Si consideri la funzione

F (x) = ∫_{0}^{x} (\frac{t^{2} − 1}{t + 2})^{2} dt

al variare di x in (−1, 1). Si determinino i coefficienti del polinomio P (x) = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + a_{3}x^{3}, tale che

P (0) = 0  e  lim_{x→0} \frac{F (x) − P (x)}{x^{3}} = 0.

ESERCIZIO 3. Si consideri la funzione

F (x) = ∫_{0}^{x} (\frac{t − 1}{t + 1})^{3} dt

al variare di x in (−1, 1). Si determinino i coefficienti del polinomio P (x) = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + a_{3}x^{3}, tale che

P (0) = 0  e  lim_{x→0} \frac{F (x) − P (x)}{x^{3}} = 0.

ESERCIZIO 4. Si consideri la funzione

F (x) = ∫_{1}^{x} \frac{2t^{2} − \sqrt{t} − 1}{\sqrt{t} + 2}dt

al variare di x nella semiretta [0, +∞). Si determinino i coefficienti del polinomio P (x) = a_{0} + a_{1}(x − 1) + a_{2}(x − 1)^{2} + a_{3}(x − 1)^{3}, tale che

lim_{x→1} \frac{F (x) − P (x)}{(x − 1)^{3}} = 0.

ESERCIZIO 5. Si calcolino

lim_{x→0^{+}} \frac{∫_{0}^{x} \frac{sin^{2}(t)}{t}dt}{∫_{0}^{x}[1 − cos t + 2 log(1 + t)]dt}  e  lim_{x→0^{+}} \frac{∫_{0}^{x}[tg^{2}t + 2e^{t} − 2]dt}{∫_{0}^{x} \frac{1 − cos t}{t}dt} .

ESERCIZIO 6. Si calcolino

(a) ∫_{1}^{2} x^{−2}dx;_{(b) ∫_{2}^{5} \sqrt{x − 1}dx;}_{(c) ∫_{1}^{6}(3x + 1)^{−1/2}dx;}_{(d) ∫_{0}^{1}(2 − x^{2})^{2}dx;}_{(e) ∫_{2}^{4} \frac{2x}{x − 1}dx;}_{(f) ∫_{0}^{1} \frac{arctgx}{1 + x^{2}}dx;}_{(g) ∫_{0}^{1} xe^{−x^{2}}dx;} (h) ∫_{0}^{1} x\sqrt{1 − x^{2}}dx;

(i) ∫_{π/4}^{π/2} \frac{cos x}{\sqrt[3]{sin x}}dx;
(j) ∫_{1}^{e} \frac{log x}{x}dx;

(k) ∫_{e^{−2}}^{e^{−1}} \frac{1}{x log x}dx;
(l) ∫_{1}^{2} \frac{e^{−1/x}}{x^{2}} dx;
(m) ∫_{0}^{π/4} \frac{sin x}{1 + cos^{2} x}dx;
(n) ∫_{0}^{1/2} \frac{x}{\sqrt{1 − x^{4}}} dx;

ESERCIZIO 7. Siano f(t) = 2t^{2} − t + 1 per ogni t ∈ ℝ ed F una primitiva di f. Se F (0) = 2, si calcoli F (2).

ESERCIZIO 8. Data la funzione

F (x) = ∫_{0}^{2x} e^{−t^{2}}dt

per ogni x ∈ ℝ, si calcoli F′(x).