Istituzioni di Matematiche I (CH-CI-MT)

V III^{o} foglio di esercizi

ESERCIZIO 1. Si calcolino

\begin{matrix}(a) & ∫_{3}^{+∞} 4\frac{5 − x}{x^{3} − 12x + 16} dx; \\ (b) & ∫_{5}^{+∞} 4\frac{x − 2}{x^{3} − 12x − 16} dx; \\ (c) & ∫_{1}^{+∞} \frac{2e^{x} − e^{2x}}{1 − e^{3x}} dx; \\ (d) & ∫_{2}^{+∞} \frac{e^{x} − 4}{e^{2x} − e^{−x}} dx; \\ (e) & ∫_{3}^{+∞} \frac{5x − 2}{x^{3} − x^{2} − 4x + 4} dx; \\ (f) & ∫_{0}^{+∞} \frac{e^{x}}{[x]!} dx; \\ (g) & ∫_{1}^{2} x log(x − 1) dx; \\ (h) & ∫_{2}^{+∞} \frac{x − 3}{x^{3} − x} dx. \end{matrix}

ESERCIZIO 2. Si dica per quali valori del parametro α converge l’integrale

(a) ∫_{1}^{+∞} x^{α} (\frac{1 − cosh(1/x)}{\sqrt{1/x} − log(1 + \sqrt{1/x})}) dx;

(b) ∫_{1}^{+∞} x^{α} (\frac{1 − cos(1/x)}{tg \sqrt{1/x} − \sqrt{1/x}}) dx;

(c) ∫_{1}^{+∞} x^{α} (\frac{1 − e^{−1/x^{2}}}{sin \sqrt{1/x}} ) dx;

(d) ∫_{0}^{+∞} (α + \frac{1}{x})^{x} dx;  (α > 0)
(e) ∫_{1}^{+∞} x^{−α}(1 + \frac{α}{x})^{x} dx;

(f) ∫_{1}^{+∞} e^{\frac{x^{2}α}{x+α(α−1)}} dx;
(g) ∫_{1}^{+∞} |\frac{π}{2} − arctg x − \frac{1}{x} |^{α} dx;
(h) ∫_{0}^{+∞} \frac{x^{2} + log x}{(x + cos x)^{α}} dx;
(i) ∫_{0}^{1} \frac{1}{x^{α}(1 − x)^{α}} dx.

ESERCIZIO 3. [Maturità Scientifica 1987] In un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy si consideri la

funzione y = \sqrt{\frac{2 − x}{x}} e se ne disegni il grafico. Considerato l’arco AB della curva, A essendo il punto di

flesso e B quello a tangente parallela all’asse delle ordinate, si determini il volume del solido ottenuto dalla rotazione della regione finita di piano compresa tra l’arco AB, la retta OA e l’asse delle ascisse, di un intero giro attorno alla asse medesimo.

ESERCIZIO 4. Si disegni nel piano cartesiano il sottoinsieme

S = \{ (x, y) ∈ ℝ^{2} | 0 ≤ x ≤ 1, \frac{1}{1 + x^{2}} ≤ y ≤ \frac{1}{2} \sqrt{4 − 3x} \} .

Si calcolino l’area di S ed il volume del solido che si ottiene ruotando l’insieme S attorno all’asse delle ascisse. ESERCIZIO 5. Si disegni nel piano cartesiano il sottoinsieme

S = \{ (x, y) ∈ ℝ^{2} | 0 ≤ x ≤ 2, \frac{x}{1+x} ≤ y ≤ 1 − x + \frac{x^{2}}{2} \} .

Si calcolino l’area di S ed il volume del solido che si ottiene ruotando l’insieme S attorno all’asse delle ascisse. ESERCIZIO 6. Si disegnino i sottoinsiemi del piano cartesiano così definiti

D_{1} = \{ (x, y) | \begin{matrix}0 < x ≤ 1 \\ 0 ≤ y ≤ x^{− \frac{1}{3}} \end{matrix} \} e D_{2} = \{ (x, y) | \begin{matrix}0 ≤ y ≤ 1 \\ 1 ≤ 2x ≤ 5 − 3y^{2} \end{matrix} \}

e si determini il volume del solido ottenuto ruotando l’insieme D_{1} ∪ D_{2} attorno all’asse orizzontale. ESERCIZIO 7. Si disegnino i sottoinsiemi del piano cartesiano così definiti

D_{1} = \{ (x, y) | \begin{matrix}0 < x ≤ 1 \\ 0 ≤ y ≤ x^{− \frac{1}{4}} \end{matrix} \} e D_{2} = \{ (x, y) | \begin{matrix}0 ≤ y ≤ 1 \\ 1 ≤ x ≤ 3 − 2y^{2} \end{matrix} \}

e si determini il volume del solido ottenuto ruotando l’insieme D_{1} ∪ D_{2} attorno all’asse orizzontale. ESERCIZIO 8. Si enunci il cosiddetto ‘criterio dei carabinieri’ per i limiti di successioni e si mostri come si possa utilizzarlo per calcolare il limite della successione (a_{n})_{n∈ℕ} definita ricorsivamente ponendo

\{ \begin{matrix}a_{0} = \frac{π}{4} \\ a_{n+1} = ∫_{0}^{a_{n}} \frac{\sqrt{x^{3}}[1 − cos(x^{2})]}{2 + sin x} dx. \end{matrix}

La serie ∑_{n=0}^{∞} a_{n} converge?

ESERCIZIO 9. Si enunci il cosiddetto ‘criterio dei carabinieri’ per i limiti di successioni e si mostri come si possa utilizzarlo per calcolare il limite della successione (a_{n})_{n∈ℕ} definita ricorsivamente ponendo

\{ \begin{matrix}a_{0} = \frac{π}{4} \\ a_{n+1} = ∫_{0}^{a_{n}} \frac{x^{3} sin(x^{2})}{2 + cos x} dx. \end{matrix}

La serie ∑_{n=0}^{∞} a_{n} converge?