Istituzioni di Matematiche I (CH-CI-MT)

IX foglio esercizi

Esercizio 1. Nei seguenti sistemi lineari, discutere l’insieme delle soluzioni al variare del parametro t, o dei parametri t e τ, in ℝ.

\begin{matrix}(1) \{ \begin{matrix}x + 3y & = & t \\ tx − 4y & = & 4 \\ x − ty & = & t \end{matrix} & (2) \{ \begin{matrix}x + y + 2tz & = & 0 \\ 2y + tz & = & 0 \\ tx + \frac{3}{2}z & = & 0 \end{matrix} \\ (3) \{ \begin{matrix}2x − 3y & = & 0 \\ −x + 2y & = & t \\ x − t^{2}y & = & t \end{matrix} & (4) \{ \begin{matrix}x + ty − z & = & 1 \\ tx + y + z & = & 2 \end{matrix} \\ (5) \{ \begin{matrix}x + 2y + z & = & τ \\ y + tz & = & τ \\ x + y + (1 − τ)z & = & t + τ \end{matrix} & (6) \{ \begin{matrix}x + y + z & = & τ \\ τy + tz & = & 1 \\ x + (1 − τ)y + z & = & t − 1 \end{matrix} \end{matrix}

Soluzioni. (1) Un’unica soluzione se t ∈ {−3, −2, 2}; nessuna soluzione altrimenti. (2) Un’unica soluzione se t ∉ {−1, 1}; infinite soluzioni altrimenti. (3) Un’unica soluzione se t ∈ {−1, 0, 1}; nessuna soluzione altrimenti. (4) Infinite soluzioni per t ≠ −1; nessuna soluzione per t = −1. (5) Un’unica soluzione se t ≠ τ; nessuna soluzione se t = τ e t + τ ≠ 0; infinite soluzioni se t = τ = 0. (6) Un’unica soluzione se tτ ≠ 0; nessuna soluzione se t = 0; infinite soluzioni se τ = 0 e t = 1; nessuna soluzione se τ = 0 e t ≠ 1.

Esercizio 2. Siano S_{1} ed S_{2} soluzioni dei sistemi lineari Σ_{1} e Σ_{2}. Dire, negli esempi seguenti, quando Σ_{1} e Σ_{2} sono sistemi equivalenti.

(1) S_{1} = ( \begin{matrix}2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) + α_{1} ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) S_{2} = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) + α_{2} ( \begin{matrix}2 \\ 0 \\ 2 \end{matrix} )

(2) S_{1} = ( \begin{matrix}3 \\ 0 \\ 2 \end{matrix} ) + α_{1} ( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix} ) S_{2} = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) + α_{2} ( \begin{matrix}2 \\ 4 \\ 2 \end{matrix} )

(3) S_{1} = ( \begin{matrix}2 \\ 0 \\ 2 \end{matrix} ) + α_{1} ( \begin{matrix}3 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) + β_{1} ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) S_{2} = ( \begin{matrix}−1 \\ −1 \\ 1 \end{matrix} ) + α_{2} ( \begin{matrix}4 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} ) + β_{2} ( \begin{matrix}2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} )

(4) S_{1} = ( \begin{matrix}3 \\ 0 \\ 2 \end{matrix} ) + α_{1} ( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix} ) + β_{1} ( \begin{matrix}0 \\ −2 \\ 1 \end{matrix} ) S_{2} = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) + α_{2} ( \begin{matrix}2 \\ 4 \\ 2 \end{matrix} )

Soluzioni. (1) Sì; (2) No; (3) Sì; (4) No.

Esercizio 3. Data la matrice A = ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 2 & 4 \end{matrix} ), determinare (1) l’insieme delle matrici B, 2 × 2, tali che

AB = 0 e (2) l’insieme delle matrici C tali che AC = A.

Soluzione. (1) ( \begin{matrix}−2α & −2β \\ α & β \end{matrix} ); (2) ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) + ( \begin{matrix}−2α & −2β \\ α & β \end{matrix} ).

Esercizio 4. Determinare i valori di t che rendono linearmente indipendenti i vettori degli esempi seguenti.

(1) u_{1} = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ t \end{matrix} ) u_{2} = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) u_{3} = ( \begin{matrix}t \\ 2 \\ t \end{matrix} )

(2) u_{1} = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ t \end{matrix} ) u_{2} = ( \begin{matrix}3 \\ 2 \\ t \end{matrix} )

(3) u_{1} = ( \begin{matrix}2 \\ t \\ t \end{matrix} ) u_{2} = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ t − 1 \end{matrix} )

(4) u_{1} = ( \begin{matrix}t \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) u_{2} = ( \begin{matrix}t \\ 2 \\ t \end{matrix} ) u_{3} = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) u_{4} = ( \begin{matrix}2 \\ 1 \\ t \end{matrix} )

Soluzioni. (1) t ∉ {1, 2}. (2) Ogni valore di t. (3) t ≠ 2. (4) Nessun valore di t. Esercizio 5. Posto t = 2 negli esempi (1), (3) e (4) dell’esercizio precedente, determinare i coefficienti di una combinazione lineare nulla dei vettori considerati. Esercizio 6. Nell’esempio (2) dell’esercizio 4, determinare l’insieme dei vettori u_{3} che rendono (u_{1}, u_{2}, u_{3}) una base di E^{3} per ogni valore di t. Soluzione. u_{3} = ( \begin{matrix}2α \\ α \\ β \end{matrix} ), con β ≠ 0

Esercizio 7. Determinare i valori di t che rendono i vettori u_{1}, u_{2}, u_{3} nell’esempio (1) dell’esercizio 4 una base ortogonale di E^{3}. Soluzione. t = −1. Esercizio 8. Determinare una base ortonormale (u_{1}, u_{2}, u_{3}) di E^{3} in cui u_{1} e u_{2} siano rispettivamente paralleli ai vettori ( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ −2 \end{matrix} ) e ( \begin{matrix}2 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} ).

Esercizio 9. Determinare i vettori u di E^{3} che formano un angolo di \frac{π}{3} con i vettori u_{1} = ( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ −2 \end{matrix} ) e

u_{2} = ( \begin{matrix}2 \\ 2 \\ 1 \end{matrix} ) e tali che ||u|| = 1.