Vettori di Witt ed anelli di Fontaine

note di Maurizio Candilera

1. Vettori di Witt Sia p un primo razionale fissato. Sia X = (X_{0}, X_{1}, …) una successione di indeter-

minate sull’anello ℤ dei numeri interi e si indichi con B (risp. B′) l’anello di polinomi ℤ[X_{0}, X_{1}, …] (risp. ℚ[X_{0}, X_{1}, …] = B ⊗_{ℤ} ℚ). Si definiscono, al variare di n, i polinomi ϕ_{n}(X) = ϕ_{n}(X_{0}, …, X_{n}) ∈ B ponendo

ϕ_{n}(X) := ∑_{j=0}^{n} p^{j}X_{j}^{p^{n−j}}  (1.1)

È immediato verificare che si ha:

ϕ_{0}(X) = X_{0}  e  X_{n} = \frac{1}{p^{n}} (ϕ_{n}(X_{0}, …, X_{n}) − ∑_{j=0}^{n−1} p^{j}X_{j}^{p^{n−j}} ) ,  (1.2)

e quindi, per ogni n ≥ 0, si ha ℚ[X_{0}, …, X_{n}] = ℚ[ϕ_{0}, …, ϕ_{n}]; da cui si deduce B′ = ℚ[ϕ_{0}, ϕ_{1}, …].

Se R è un’algebra su ℚ indicheremo con W(R) l’insieme Hom_{ℚ}(B′, R) i cui elementi saranno detti i vettori di Witt (di lunghezza infinita) ad elementi in R. Un elemento x ∈ W(R) è quindi individuato da una successione x = (x_{0}, x_{1}, …) di elementi di R, ove x_{i} = x(X_{i}) è detta l’i-esima componente del vettore x. Inoltre, indicheremo con x^{(n)}, al variare di n tra gli interi non negativi, l’elemento x(ϕ_{n}(X)) di R, che sarà detto l’n-esima componente fantasma del vettore x.

L’insieme W(R) diviene un anello commutativo con le operazioni definite ponendo

(x + y)^{(n)} = x^{(n)} + y^{(n)}  e  (xy)^{(n)} = x^{(n)}y^{(n)},

per ogni n ≥ 0.

Per descrivere le relazioni tra le componenti della somma (risp. prodotto) di vettori di Witt e le componenti dei relativi addendi (risp. fattori), si considerino ora i vettori X ed Y in W(B′ ⊗ B′), di componenti X_{j} = 1 ⊗ X_{j} ed Y_{j} = X_{j} ⊗ 1, rispettivamente, per j = 0, 1, . . .. Utilizzando le relazioni ricorsive descritte in (1.2), si ricava che le componenti di somma e prodotto di tali vettori, sono dei polinomi a coefficienti in ℤ[\frac{1}{p}], nelle variabili X_{0}, Y_{0}, X_{1}, Y_{1}, . . .. Più precisamente, per ogni intero non negativo n, si ha

(1.3)  \begin{aligned}(X + Y)_{n} & = S_{n}(X; Y) = S_{n}(X_{0}, …, X_{n}; Y_{0}, …, Y_{n}) \\ (XY)_{n} & = P_{n}(X; Y) = P_{n}(X_{0}, …, X_{n}; Y_{0}, …, Y_{n}) \end{aligned}

ove i polinomi S_{n}(X; Y) e P_{n}(X; Y) sono determinati dalle relazioni

\begin{aligned}ϕ_{n}(S_{0}(X; Y), …, S_{n}(X; Y)) & = ϕ_{n}(X) + ϕ_{n}(Y) \\ ϕ_{n}(P_{0}(X; Y), …, P_{n}(X; Y)) & = ϕ_{n}(X) ϕ_{n}(Y) \end{aligned} .

In particolare, dalle relazioni scritte sopra si ricava

S_{0}(X; Y) = X_{0} + Y_{0}
S_{1}(X; Y) = \frac{1}{p}(ϕ_{1}(X) + ϕ_{1}(Y) − S_{0}(X; Y)^{p}) =

= X_{1} + Y_{1} − \frac{1}{p} ∑_{h=1}^{p−1}(_{h}^{p})X_{0}^{h}Y_{0}^{p−h}

P_{0}(X; Y) = X_{0}Y_{0}
P_{1}(X; Y) = \frac{1}{p}(ϕ_{1}(X)ϕ_{1}(Y) − P_{0}(X; Y)^{p}) =

= pX_{1}Y_{1} + X_{0}^{p}Y_{1} + X_{1}Y_{0}^{p}

Osserviamo che in ognuno dei casi considerati si ottengono polinomi a coefficienti in ℤ; mostreremo nel seguito che non si tratta di un fatto casuale ma di una proprietà delle operazioni tra vettori di Witt.

Passiamo ora ad un’altra interessante proprietà dei polinomi che definiscono le operazioni di Witt.

1.4 Proposizione. Notazioni come sopra. Si attribuisca alle variabili X_{j} ed Y_{j} peso p^{j}; allora, per ogni n ≥ 0, il polinomio S_{n}(X; Y) è isobarico di peso p^{n}, ed il polinomio P_{n}(X; Y) è isobarico di peso 2p^{n}.

dim. L’affermazione è certo vera per i polinomi S_{0}(X; Y) = X_{0} +Y_{0} e P_{0}(X; Y) = X_{0}Y_{0}. Dunque possiamo supporre n ≥ 1 e che la tesi sia vera per ogni intero minore di n. In tal caso, si ha

S_{n}(X; Y) = \frac{1}{p^{n}} (ϕ_{n}(X) + ϕ_{n}(Y) − ∑_{j=0}^{n−1} p^{j}S_{j}(X; Y)^{p^{n−j}} )

e

P_{n}(X; Y) = \frac{1}{p^{n}} (ϕ_{n}(X)ϕ_{n}(Y) − ∑_{j=0}^{n−1} p^{j}P_{j}(X; Y)^{p^{n−j}} ) .

È quindi sufficiente osservare che i polinomi ϕ_{n}(X) e ϕ_{n}(Y) sono isobarici di peso p^{n} (cf. (1.1)) e che il prodotto di p^{n−j} monomi di peso p^{j} (risp. 2p^{j}), è un monomio di peso p^{n} (risp. 2p^{n}). CVD

Al variare di a in R, useremo il simbolo {a} per indicare il vettore (a, 0, 0, …), la cui componente zerea è uguale ad a, mentre le componenti di indice positivo sono tutte nulle. Un calcolo diretto permette di ricavare le relazioni

\begin{aligned}ϕ_{n}(\{a\}) & = a^{p^{n}} per ogni n \\ \{a\}x & = (ax_{0}, a^{p}x_{1}, a^{p^{2}}x_{2}, …) \end{aligned}

Considerando solo un numero finito di indeterminate (X_{0}, X_{1}, …, X_{k}) si definiscono in modo perfettamente analogo i vettori di Witt di lunghezza k + 1 che indichiamo con il simbolo W_{k}(R).

Definiamo ora alcuni notevoli operatori sui vettori di Witt. Se x è un vettore di Witt, si definiscono i vettori V x, F x e l’operatore di troncamento, ponendo

Verschiebung: (V x)(X_{i}) = x(X_{i−1}), per i ≥ 1 e (V x)(X_{0}) = 0;
Frobenius: (F x)(X_{i}) = x(X_{i})^{p};
Troncamento: ρ_{n}: W_{n}(R) ⟶ W_{n−1}(R);
(x_{0}, …, x_{n}) ↦ (x_{0}, …, x_{n−1})

(1.5)

In particolare, la successione (W_{k}(R), ρ_{k})_{k∈ℕ} è un sistema proiettivo e si ha W(R) = \underleftarrow{lim} W_{k}(R). Le proiezioni dal limite verso i termini del sistema proiettivo sono l’estensione del troncamento ai vettori di Witt di lunghezza infinita.

Osserviamo inoltre, che si possono definire anche sui vettori finiti gli operatori F : W_{k}(R) → W_{k}(R) e V : W_{k}(R) → W_{k+1}(R) parafrasando le definizioni date sopra. Si può dimostrare che gli operatori definiti su W(R) si ottengono dagli omonimi operatori sui vettori finiti passando al limite inverso.

Gli operatori definiti sopra sono legati da alcune notevoli relazioni.

1.6 Proposizione. Notazioni come sopra. Valgono le seguenti relazioni:

\begin{matrix}(i) & ϕ_{n}(X) = ϕ_{n−1}(F X) + p^{n}X_{n} \\ (ii) & ϕ_{n}(V X) = pϕ_{n−1}(X) \\ (iii) & V (X + Y) = V X + V Y \\ (iv) & ρ(X + Y) = ρX + ρY \\ (v) & ρ(XY) = (ρX)(ρY) \\ (vi) & S_{n}(X; Y) − X_{n} − Y_{n} ∈ ℚ[X_{0}, …, X_{n−1}; Y_{0}, …, Y_{n−1}]. \end{matrix}

dim. Le prime cinque asserzioni sono di immediata verifica; a titolo di esempio dimostriamo la (iii). Siano X = (X_{0}, X_{1}, …) ed Y = (Y_{0}, Y_{1}, …) i due vettori di Witt di indeterminate in W(B′ ⊗_{ℚ} B′) descritti sopra; si tratta di mostrare che, per ogni intero n ≥ 0 si ha S_{n+1}(V X; V Y) = S_{n}(X, Y). Con un calcolo diretto si verifica che la tesi è vera per n = 0. Inoltre

ϕ_{n+1}(V X) = ∑_{j=1}^{n+1} p^{j}X_{j−1}^{p^{n+1−j}} = ∑_{j=0}^{n} p^{j+1}X_{j}^{p^{n−j}} = pϕ_{n}(X).

Possiamo quindi applicare un’ipotesi induttiva ed ottenere la catena di uguaglianze

S_{n+1}(V X; V Y) = \frac{1}{p^{n+1}} (ϕ_{n+1}(V X) + ϕ_{n+1}(V Y) − ∑_{j=1}^{n} p^{j}S_{j}(V X; V Y)^{p^{n+1−j}})

= \frac{1}{p^{n+1}} (pϕ_{n}(X) + pϕ_{n}(Y) − ∑_{j=0}^{n−1} p^{j+1}S_{j}(X; Y)^{p^{n−j}})

= \frac{1}{p^{n}} (ϕ_{n}(X) + ϕ_{n}(Y) − ∑_{j=0}^{n−1} p^{j}S_{j}(X; Y)^{p^{n−j}}) = S_{n}(X, Y),

che conclude la dimostrazione di (iii). Infine, osserviamo che (vi) discende da (i) ragionando come segue

p^{n}S_{n}(X; Y) − [ϕ_{n}(X) + ϕ_{n}(Y)] ∈ ℚ[X_{0}, …, X_{n−1}; Y_{0}, …, Y_{n−1}]

ove

ϕ_{n}(X) + ϕ_{n}(Y) = p^{n}X_{n} + p^{n}Y_{n} + H

per un opportuno H ∈ ℚ[X_{0}, …, X_{n−1}; Y_{0}, …, Y_{n−1}]. CVD

Il nostro prossimo obiettivo è dimostrare che le operazioni tra vettori di Witt sono definite da polinomi a coefficienti interi, ovvero che S_{n}(X; Y) e P_{n}(X; Y) appartengono a B ⊗_{ℤ} B. Cominciamo con un lemma:

1.7 Lemma. Notazioni come sopra. Siano r un numero intero positivo ed m ≥ 0; e siano dati due vettori di Witt G e H in W(B′). Allora:

G_{i} ≡ H_{i} mod p^{r}B ∀i ≤ m ⇔ ϕ_{i}(G) ≡ ϕ_{i}(H) mod p^{r+i}B ∀i ≤ m

dim. Ricordiamo che, in generale, si ha:

a ≡ b mod p^{r}B ⇒ a^{p} ≡ b^{p} mod p^{r+1}B.

Da ciò si ricava che G_{i} ≡ H_{i} mod p^{r}B implica che (F G)_{i} ≡ (F H)_{i} mod p^{r+1}B. Passiamo quindi a dimostrare l’implicazione diretta (⇒), facendo induzione su i, in quanto la tesi è certamente vera per i = 0 (cf. 1.2). In base a ciò si ha ϕ_{i−1}(F G) ≡ ϕ_{i−1}(F H) mod p^{r+i}B e quindi, dalla Proposizione 1.6.(i), si ricava:

[ϕ_{i}(G) − ϕ_{i}(H)] − p^{i}(G_{i} − H_{i}) ∈ p^{r+i}B ,

che ci permette di concludere.

Dobbiamo ora mostrare l’implicazione nel verso contrario (⇐) e, ancora una volta, facciamo induzione su i, osservando che la tesi è banalmente vera per i = 0. In base ad (1.2) si ha

G_{i} − H_{i} = \frac{1}{p^{i}} [ϕ_{i}(G) − ϕ_{i}(H) + ∑_{j=0}^{i−1} p^{j}(G_{j}^{p^{i−j}} − H_{j}^{p^{i−j}})],

ove ogni addendo della sommatoria è in p^{r+i}B per l’ipotesi induttiva e l’osservazione fatta all’inizio della dimostrazione. CVD

Siamo quindi in grado di dimostrare il risultato annunciato.

1.8 Teorema. Notazioni come sopra. Per ogni n i polinomi S_{n}(X; Y) e P_{n}(X; Y) hanno coefficienti in ℤ.

dim. Siano di nuovo X = (X_{0}, X_{1}, …) ed Y = (Y_{0}, Y_{1}, …) i due vettori di Witt di indeterminate in W(B′ ⊗_{ℚ} B′) descritti sopra. Dimostriamo la tesi per induzione su n, visto che per n = 0 ed n = 1 la tesi è vera, come abbiamo verificato in precedenza con un calcolo diretto. Dunque, l’ipotesi è che, per j < n si abbia S_{j}(X; Y) ∈ B ⊗ B. Da ciò si deduce

F (X + Y)_{j} = S_{j}(X; Y)^{p} ≡ S_{j}(F X; F Y)mod p(B ⊗ B) per j < n.

Quindi, applicando il Lemma 1.7 , si ottiene la congruenza

ϕ_{n−1}(F (X + Y)) ≡ ϕ_{n−1}(F X) + ϕ_{n−1}(F Y) mod p^{n}(B ⊗_{ℤ} B).

Applicando la proprietà (i) della Proposizione 1.6 , si ha

ϕ_{n−1}(F X) + ϕ_{n−1}(F Y) ≡ ϕ_{n}(X) + ϕ_{n}(Y) mod p^{n}(B ⊗_{ℤ} B).

e, ricordando che ϕ_{n}(X) + ϕ_{n}(Y) = ϕ_{n}(X + Y), si conclude che

p^{n}S_{n}(X, Y) = ϕ_{n}(X + Y) − ϕ_{n−1}(F (X + Y)) ∈ p^{n}(B ⊗_{ℤ} B),

che è quanto volevamo.

In modo analogo si ragiona per i polinomi P_{n}(X; Y). CVD

Grazie al risultato precedente ha senso parlare degli anelli W(A) e W_{n}(A) per una qualunque ℤ–algebra A, ove W(A) è uguale, come insieme, ad Hom_{ℤ}(B, A), mentre le operazioni di anello sono definite applicando i polinomi S_{n}(X; Y) e P_{n}(X; Y) alle componenti dei vettori di Witt.

Passiamo quindi a dimostrare alcune ulteriori proprietà degli operatori definiti in (1.5) e, per comodità, continuiamo la numerazione della Proposizione 1.6 .

1.9 Proposizione. Notazioni come sopra. Valgono le seguenti relazioni:

\begin{matrix}(vii) & F V = V F \\ (viii) & V ρ = ρV \\ (ix) & F ρ = ρF \\ (x) & (F V (X))_{n} ≡ (pX)_{n} mod pB ∀n. \end{matrix}

dim. Le prime tre asserzioni sono di immediata verifica. Verifichiamo la (x). In base alla (i), si ha:

ϕ_{n}(pX) = pϕ_{n}(X) ≡ pϕ_{n−1}(F X) mod p^{n+1}B.

D’altro canto, in base alla (ii), si ha pϕ_{n−1}(F X) = ϕ_{n}(V F X); e questo, permette di concludere in forza del Lemma 1.7 . CVD

In base al Teorema 1.8 ed alle proprietà dimostrate sopra, possiamo considerare l’anello dei vettori di Witt W(A), ove A è un qualsiasi anello di caratteristica uguale al primo p fissato. In tal caso le operazioni sono definite riducendo mod p i coefficienti dei polinomi S_{n}(X; Y) e P_{n}(X; Y), ed in particolare si ha:

(1.10)  F V y = V F y = py per ogni y ∈ W(A).

Per i vettori di lunghezza finita vi è l’analoga relazione ρV F y = py per ogni y ∈ W(A).

1.11 Proposizione. Sia A un anello di caratteristica p. Allora:

(a) W_{n−1}(A) è un anello di caratteristica p^{n}.

(b) W(A) è un anello di caratteristica 0.

dim. È chiaro che, in base a (1.10) si ha p^{n}y = 0 per ogni y ∈ W_{n−1}(A). D’altra parte, si ha p^{n−1}{1} ≠ 0 e ciò permette di concludere la dimostrazione del punto (a). Per quanto concerne (b), dato un vettore z, dalla relazione nz = 0 si deduce che la componente zerea di z deve soddisfare alla analoga condizione nz_{0} = 0. Dunque, deve essere n = p^{i} per un qualche i, ma qualunque sia i si ha p^{i}{1} ≠ 0 e ciò permette di concludere la dimostrazione. CVD

Abbiamo quindi mostrato che tramite gli algoritmi di Witt si costruisce un funtore W(−) che associa ad ogni anello di caratteristica p > 0 un anello di caratteristica zero. Analogamente, i vettori di Witt di lunghezza finita definiscono dei funtori dalla categoria degli anelli di caratteristica p > 0 a quella degli anelli di caratteristica p^{n}. È lasciato al lettore attento il compito di verificare che ogni omomorfismo di anelli α : A → A′, applicato sulle componenti dei vettori di Witt definisce un omomorfismo di anelli W(α) : W(A) → W(A′).

Enunciamo due ulteriori proprietà degli operatori fondamentali sui vettori di Witt, la prima delle quali è valida quando A è un anello di caratteristica p.

(xi) F è un endomorfismo dell’anello W(A);
(xii) V è iniettivo.

Proseguiamo nella nostra analisi delle relazioni tra gli anelli di caratteristica p ed i loro anelli di vettori di Witt e cominciamo con un utile lemma.

1.12 Proposizione. Siano X ed Y in W(B ⊗_{ℤ} B) come sopra, e siano dati due interi i ≤ j non-negativi; allora

(xiii) (V^{i}X)(V^{j}Y) ≡ V^{i+j}[(F^{j}X)(F^{i}Y)] mod p(B ⊗_{ℤ} B).

dim. È facile osservare che, se n < i + j, allora P_{n}((V^{i}X); (V^{j}Y)) ≡ 0 mod p(B ⊗ B). Supponiamo allora che si abbia n ≥ i+j, e consideriamo la seguente catena di congruenze:

ϕ_{n}((V^{i}X)(V^{j}Y)) = ϕ_{n}(V^{i}X) ϕ_{n}(V^{j}Y) =^{(ii)}p^{i+j}ϕ_{n−i}(X)ϕ_{n−j}(Y) ≡

≡^{(i)}(mod p^{n+1}B) p^{i+j}ϕ_{n−i−j}(F^{j}X)ϕ_{n−i−j}(F^{i}Y) =

= p^{i+j}ϕ_{n−i−j}(F^{j}X F^{i}Y) =^{(ii)}ϕ_{n}(V^{i+j}[(F^{j}X)(F^{i}Y)]).

In base al Lemma 1.7 siamo in grado di concludere. CVD

Enunciamo l’analoga formula per i Vettori di Witt di lunghezza finita, che si può dimostrare allo stesso modo di (xiii).

(xiii bis) (V^{i}X)(ρ_{j−i}(V^{j}Y)) ≡ ρ_{j}V^{i+j}[(F^{j}X)(F^{i}Y)] mod p(B ⊗ B).

Siamo quindi in grado di dimostrare un risultato sulla struttura degli anelli di vettori di Witt

1.13 Teorema. Sia A un dominio di integrità di caratteristica p > 0. Allora

(a) W(A) è un dominio di integrità di caratteristica zero;

(b) i sottogruppi V^{n}W(A) sono ideali in W(A) e formano un sistema fondamentale di intorni di zero, rispetto a cui W(A) è un anello topologico completo;

(c) un vettore ξ è invertibile in W(A) se, e solo se, la sua componente zerea x_{0} è invertibile in A.

dim. (a). Siano ξ̂, η̂ ∈ W(A) due vettori non nulli. Allora, esistono due interi non negativi i e j massimi rispetto alla condizione V^{i}ξ = ξ̂ e V^{j}η = η̂, per opportuni ξ, η ∈ W(A). Ciò implica, in particolare, che le componenti zeree x_{0} ed y_{0} di ξ ed η rispettivamente, sono entrambe non nulle. In forza della Proposizione 1.12 , si ha: ξ̂η̂ = (V^{i}ξ)(V^{j}η) = V^{i+j}[(F^{j}ξ)(F^{i}η)] ≠ 0, perchè la componente zerea del prodotto (F^{j}ξ)(F^{i}η) è x_{0}^{p^{j}}y_{0}^{p^{i}} ≠ 0.

(b). Dalle proprietà (iii) e (xiii) discende che i sottogruppi V^{n}W(A) sono ideali in W(A) ed è immediato verificare che formano un sistema fondamentale di intorni di zero. Inoltre, dal fatto che ⋂_{n∈ℕ} V^{n}W(A) = (0), discende che la topologia è separata (o di Hausdorff). Consideriamo ora una successione di Cauchy (ξ_{n})_{n∈ℕ} per la topologia in questione. La condizione di Cauchy, dice che, fissato comunque un intero positivo r, esiste un indice n_{0} tale che, per n ≥ n_{0}, si abbia ξ_{n} − ξ_{n_{0}} ∈ V^{r}W(A). Ovvero le prime r componenti di ogni vettore ξ_{n}, con n ≥ n_{0}, sono uguali alle prime r componenti di ξ_{n_{0}}. L’arbitrarietà di r permette di concludere che le successioni delle componenti dei vettori della successione sono tutte stazionarie e quindi che la successione converge ad un vettore ξ ∈ W(A).

(c). In base a (1.2) e (1.3) si ha che, se ζ è invertibile in W(A), allora la sua componente zerea z_{0} è invertibile in A. Viceversa, se la componente zerea z_{0} di un vettore ζ è invertibile in A, allora 1 − {z_{0}^{−1}}ζ = V η, per qualche η ∈ W(A); e quindi la serie

(1 − V η)^{−1} = ∑_{i=0}^{∞}(V η)^{i} = ∑_{i=0}^{∞} V^{i}(F^{i−1}η^{i})

converge in W(A) perchè lim_{i→∞} V^{i}(F^{i−1}η^{i}) = 0. Si conclude che ζ^{−1} = {z_{0}^{−1}}(1−V η)^{−1} ∈

W(A). CVD

Se A è un anello integro di caratteristica p > 0, si può definire l’applicazione

v: W(A) → ℤ ∪ {∞}

ponendo :

v(x) = \{ \begin{matrix}max\{ n ∈ ℕ | x ∈ V^{n}W(A) \} & se x ≠ 0 \\ ∞ & altrimenti \end{matrix} .  (1.14)

In tal modo si definisce una valutazione sul campo K = Fr(W(A)); tale valutazione è discreta e W(A) è contenuto nell’anello di valutazione R_{v} = {x ∈ K|v(x) ≥ 0} di K; in particolare, se A è un corpo perfetto, allora W(A) coincide con l’anello di valutazione , e V W(A) = pW(A) è l’ideale della valutazione m_{v} = {x ∈ K|v(x) > 0}. Precisamente, vale la seguente

1.15 Proposizione. Siano A un dominio di integrità di caratteristica p > 0, K = Fr(W(A)) e si indichi con v la valutazione definita in (1.14). Allora l’anello di valutazione R_{v} = {x ∈ K|v(x) ≥ 0} è uguale a W(A) se, e solo se, A è un corpo perfetto. In tal caso, il corpo residuo k_{v} = R_{v}/m_{v} coincide con A.

dim. Sia A un corpo perfetto; in tal caso F W(A) = W(A); ovvero il Frobenius è un automorfismo dell’anello dei vettori di Witt. Sia poi z ∈ K con v(z) ≥ 0 e sia z = \frac{x}{y} con x, y ∈ W(A). In particolare, possiamo scrivere x = p^{n}x′ ed y = p^{m}y′ con x′, y′ ∈ W(A) ed ivi invertibili (cf. Teorema 1.13 ), per due interi opportuni n ≥ m. Da ciò si deduce che z = p^{n−m}x′y′^{−1} ed x′y′^{−1} ∈ W(A); quindi z ∈ W(A).

Viceversa, se R_{v} = W(A) ed x_{0} ≠ 0 è un elemento di A; l’elemento {x_{0}} appartiene ad R_{v}, ma non all’ideale massimale m_{v} ed è quindi invertibile in R_{v}. Posto inoltre: z = \frac{V \{x_{0}\}}{V \{1\}} si ha v(z) = 0 e quindi z ∈ W(A) = R_{v}. Ricordando che V \{1\} = V F \{1\} = p, se ne deduce che V {x_{0}} = pz e, quindi, poichè V è iniettivo (cf. (xii)), se ne deduce che {x_{0}} = F z e, quindi che x_{0} = z_{0}^{p} ove z_{0} è la componente zerea di z. Dunque A è perfetto ed il corpo residuo k_{v} = R_{v}/m_{v} coincide con W(A)/V W(A) = A. CVD

Siamo quindi in grado di dare una descrizione dei corpi valutati completi relativamente ad una valutazione discreta, il cui corpo residuo sia perfetto. Cominciamo a distinguere due classi di valutazioni.

1.16 Definizione. Sia C un corpo valutato di caratteristica p ≥ 0. La valutazione si dirà equicaratteristica se il corpo residuo k_{v} ha la stessa caratteristica p di C. La valutazione si dirà eterocaratteristica altrimenti.

È chiaro che una valutazione eterocaratteristica può presentarsi solo su un campo C di caratteristica 0, in quanto, l’esistenza dell’omomorfismo di riduzione da R_{v} ⊂ C su k_{v}, impone che la caratteristica del corpo residuo sia un divisore della caratteristica del campo C. In particolare, se la valutazione su C è eterocaratteristica, allora esiste un unico primo razionale p ∈ ℚ ⊆ C per cui si abbia v(p) > 0.

1.17 Lemma. Sia C un corpo completo rispetto ad una valutazione discreta, normalizzata v, di corpo residuo perfetto k_{v}, di caratteristica p > 0. Infine, indichiamo con σ: R_{v} → k_{v} l’omomorfismo di riduzione modulo l’ideale massimale m_{v}. Allora esiste un unico sottoinsieme moltiplicativamente chiuso T ⊂ R_{v} i cui elementi sono in corrispondenza biunivoca con gli elementi del corpo residuo k_{v} tramite σ. Infine

T = ⋂_{n∈ℕ} R_{v}^{p^{n}} = { x ∈ R_{v} : ∀n ∈ ℕ, ∃y_{n} ∈ R_{v}, x = y_{n}^{p^{n}} }.

dim. Dimostriamo che l’insieme T descritto sopra soddisfa alle condizioni del Lemma. Verifichiamo innanzitutto che la restrizione di σ a T è suriettiva. Sia a un elemento del corpo residuo k_{v}; allora, poichè k_{v} è perfetto, per ogni intero n ≥ 0 esiste un elemento b_{n} ∈ R_{v} tale che σ(b_{n}) = a^{p^{−n}}. Osserviamo che, in base alla definizione della sequenza dei b_{n}, si ha b_{n+1}^{p} ≡ b_{n} mod m_{v} e quindi b_{n+1}^{p^{n+1}} ≡ b_{n}^{p^{n}} mod m_{v}^{n} (cf. la dimostrazione del

Lemma 1.7 ). Ciò implica che v(b_{n+1}^{p^{n+1}} − b_{n}^{p^{n}}) ≥ n e quindi che la successione (b_{n}^{p^{n}})_{n∈ℕ} soddisfa alla condizione di Cauchy in R_{v} e perciò converge ad un elemento b ∈ T. In particolare, per un tale elemento b si ha σ(b) = a essendo σ(b_{n}^{p^{n}}) = a per ogni n.

Mostriamo ora che la restrizione di σ a T è iniettiva. Se c fosse un altro elemento di T per cui σ(c) = a, allora si consideri una successione di elementi y_{n} ∈ R_{v} tali che y_{n}^{p^{n}} = c al variare di n. Allora, per ogni valore di n si ha che y_{n}^{p^{n}} = c ≡ b_{n}^{p^{n}} mod m_{v}^{n}, e quindi

c = lim_{n→∞} y_{n}^{p^{n}} = lim_{n→∞} b_{n}^{p^{n}} = b.

La verifica che T sia moltiplicativamente chiuso discende senza difficoltà dalla definizione stessa. CVD

Gli elementi del sottoinsieme T descritto nel Lemma precedente sono chiamati i rappresentanti di Teichmüller degli elementi di k_{v}.

1.18 Teorema. Poniamoci nelle ipotesi del Lemma precedente e supponiamo inoltre che la valutazione v sia equicaratteristica. Allora T è un sottocorpo di C e C ≅ T ((x)), ove x è un qualunque elemento di m_{v}, di valore minimo. Infine, T contiene ogni sottocorpo perfetto di R_{v}.

dim. È sufficiente osservare che T è chiuso rispetto alla somma perchè C ha caratteristica p > 0. Fissato un elemento x ∈ m_{v} di valore minimo, si costruisce con un procedimento di approssimazioni successive un isomorfismo tra R_{v} e T [[x]] nel modo seguente: se b ∈ R_{v} sia b_{0} l’elemento di T tale che σ(b) = σ(b_{0}). Allora b − b_{0} ∈ m_{v} e quindi β_{1} = x^{−1}(b − b_{0}) appartiene ad R_{v} e perciò esiste un unico elemento b_{1} ∈ T tale che σ(β_{1}) = σ(b_{1}). Se ne deduce che b − b_{0} − b_{1}x ∈ m_{v}^{2} e, proseguendo in questo modo, si ottiene una successione di elementi b_{n} ∈ T tali che, qualunque sia n, si abbia

b ≡ b_{0} + b_{1}x + ⋯ + b_{n}x^{n} mod m_{v}^{n+1}.

L’isomorfismo (di anelli topologici) ϕ′ : R_{v} → T [[x]], definito da ϕ′(b) = ∑_{n≥0} b_{n}x^{n}, si estende ad un isomorfismo ϕ : C → T ((x)) nel modo seguente: dato un elemento c ∈ C, sia m ≥ 0 un intero tale che x^{m}c ∈ R_{v}, quindi si ponga ϕ(c) = x^{−m}ϕ′(x^{m}c). Infine, se K è un sottocorpo perfetto di R_{v}, allora per ogni elemento y ∈ K esiste un elemento z ∈ K tale che y = z^{p} e perciò K ⊆ T. CVD

1.19 Teorema. Poniamoci nelle ipotesi del Lemma 1.17 e supponiamo inoltre che la valutazione v sia eterocaratteristica e non–ramificata (m_{v} = pR_{v}). Allora, posto W = W(k_{v}), vi è un isomorfismo bicontinuo τ: W → R_{v}, che associa al vettore ξ = (ξ_{0}, ξ_{1}, …) ∈ W l’elemento

τ(ξ) = ∑_{j=0}^{∞} p^{j}x_{j}^{p^{−j}} ∈ R_{v},

ove x_{j} ∈ T e σ(x_{j}) = ξ_{j}.

dim. Osserviamo che, qualunque sia ξ ∈ W, la serie ∑_{j=0}^{∞} p^{j}x_{j}^{p^{−j}} converge in R_{v} perchè v(p) = 1. Inoltre la definizione di τ è ben posta in quanto σ induce una biiezione tra T ed il corpo residuo. Con il procedimento di approssimazioni successive descritto nella dimostrazione precedente, si può associare ad ogni elemento di R_{v} una serie del tipo descritto nell’enunciato e quindi un vettore di Witt a componenti in k_{v}; ciò permette di affermare che τ è una biiezione tra W ed R_{v}. Bisogna verificare che si tratta di un isomorfismo.

Dato un vettore ξ = (ξ_{0}, ξ_{1}, …) ∈ W, sia τ(ξ) = ∑_{j=0}^{∞} p^{j}x_{j}^{p^{−j}}, e si osservi che x = (x_{0}, x_{1}, …) può essere visto come un elemento di W(R_{v}). Inoltre, poichè R_{v} ha caratteristica 0, han senso in tale anello le componenti fantasma degli elementi di W(R_{v}), ed in particolare l’applicazione τ, si può scrivere come

τ(ξ) = lim_{n→∞} ϕ_{n}(F^{−n}x).

Siano quindi ξ, η e ζ = ξ + η in W, e siano x, y e z i corrispondenti elementi di W(R_{v}), ottenuti nel modo descritto sopra. Poichè F è un automorfismo dell’anello W (cf. (xi)), dalla relazione F^{−n}ξ + F^{−n}η = F^{−n}ζ, valida in W qualunque sia l’intero n, si ricava che le componenti dei vettori x, y e z soddisfano alle relazioni

(F^{−n}x + F^{−n}y)_{m} ≡ (F^{−n}z)_{m} mod m_{v}

qualunque siano m ≥ 0 ed n ∈ ℤ. Tramite il Lemma 1.7 , si deduce

ϕ_{n}(F^{−n}x) + ϕ_{n}(F^{−n}y) = ϕ_{n}(F^{−n}x + F^{−n}y) ≡ ϕ_{n}(F^{−n}z) mod m_{v}^{n}.

Passando al limite, questa congruenza diventa la relazione τ(ξ) + τ(η) = τ(ξ + η) in R_{v}. La verifica che τ rispetta il prodotto procede in modo analogo. Infine, ricordando la valutazione v_{W} su W definita in (1.14), si osservi che v_{W} (ξ) = v(τ(ξ)), qualunque sia ξ ∈ W e ciò permette di concludere che τ è un isomorfismo bicontinuo. CVD

Il Teorema appena dimostrato ha alcune interessanti conseguenze; la prima delle quali permette di introdurre una ulteriore notazione per i vettori di Witt. Nell’isomorfismo tra W = W(k_{v}) e l’anello di valutazione R_{v} i rappresentanti di Teichmüller in R_{v} corrispondono ai vettori del tipo {x} = (x, 0, 0, …) e quindi ogni vettore ξ = (ξ_{0}, ξ_{1}, …) ∈ W si può scrivere nella forma

(1.20)  (rappresentazione di Teichmüller)  ξ = (ξ_{0}, ξ_{1}, …) = ∑_{j=0}^{∞} p^{j}{ξ_{j}^{p^{−j}}}.

Questa rappresentazione può essere usata per vettori di Witt ad elementi in qualunque anello perfetto di caratteristica p > 0, e la somma converge nella topologia determinata dalla valutazione definita in (1.14).

Una conseguenza del Teorema 1.19 sulla struttura del campo C può essere sintetizzata nel seguente

1.21 Corollario. Nelle ipotesi del Lemma 1.17 esiste un unico automorfismo continuo F_{C} del campo C, soddisfacente alle condizioni:

(a) F_{C}(x) ≡ x^{p} mod (m_{v}) per ogni x ∈ R_{v};

(b) F_{C}(p) = p.

2. Covettori e Bivettori Sia k un corpo perfetto di caratteristica p > 0; in questa sezione vogliamo estendere

opportunamente le operazioni di Witt in modo da associare a certe k-algebre R dei moduli sull’anello W(k).

Cominciamo con dei lemmi sui polinomi di Witt tratti da [FO1], che saranno utili per le successive costruzioni.

2.1 Lemma. Si consideri l’anello ℤ[(X_{−n})_{n∈ℕ}, (Y_{−n})_{n∈ℕ}], ove (X_{−n})_{n∈ℕ} ed (Y_{−n})_{n∈ℕ} sono successioni di indeterminate e si indichi con I_{r} l’ideale generato dalle indeterminate X_{−j}, Y_{−j} con j ≥ r. Allora, per ogni coppia di interi r, s ≥ 1, vale la relazione

\begin{aligned}S_{m}(X_{−m−1}, …, X_{−1} & ; Y_{−m−1}, …, Y_{−1}) ≡ \\ & ≡ S_{m+1}(X_{−m−2}, …, X_{−1}; Y_{−m−2}, …, Y_{−1}) mod I_{r}^{s}, \end{aligned}

ove m ≥ r − 1 se s < p, oppure m ≥ r − 1 + \frac{s−p}{p−1} se s ≥ p.

dim. Ricordiamo che, qualunque sia n ≥ 0, se si attribuisce peso p^{j} alle variabili X_{j} ed Y_{j}, i polinomi S_{n}(X_{0}, …, X_{n}; Y_{0}, …, Y_{n}) sono isobarici, di peso p^{n} (cf.Proposizione 1.4 ). Inoltre, come mostrato nella Proposizione 1.6.(iii), per ogni n ≥ 0, si ha

S_{n+1}(0, X_{0}, …, X_{n}; 0, Y_{0}, …, Y_{n}) = S_{n}(X_{0}, …, X_{n}; Y_{0}, …, Y_{n}).

Se ne deduce che la differenza

T_{m} = S_{m}(X_{−m−1}, …, X_{−1}; Y_{−m−1}, …, Y_{−1}) − S_{m+1}(X_{−m−2}, …, X_{−1}; Y_{−m−2}, …, Y_{−1})

è combinazione di monomi del tipo X_{−m−2}^{λ_{0}}Y_{−m−2}^{μ_{0}}X_{−m−1}^{λ_{1}}Y_{−m−1}^{μ_{1}} ⋯ X_{−1}^{λ_{m+1}}Y_{−1}^{μ_{m+1}}, ove λ_{i} e μ_{j} sono interi non negativi e, posto ν_{i} = λ_{i} + μ_{i} per ogni i, si ha

ν_{0} + pν_{1} + ⋯ + p^{m+1}ν_{m+1} = p^{m+1}, con ν_{0} ≠ 0.  (2.2)

In particolare, per 0 ≤ t ≤ m, si ha che p^{t+1} divide ν_{0} + pν_{1} + ⋯ + p^{t}ν_{t} e quindi è sufficiente dimostrare che, sotto tali ipotesi, si ha

ν_{0} + ν_{1} + ⋯ + ν_{t} ≥ t(p − 1) + p.  (2.3)

Infatti, da (2.3) si deduce che T_{m} ∈ I_{m+1−t}^{t(p−1)+p}, ed è quanto volevamo. Infatti, per t = 0 si ha T_{m} ∈ I_{m+1}^{p}, che è la tesi per s < p; se poi s ≥ p ed m ≥ r − 1 + \frac{s−p}{p−1} come

nell’enunciato, posto t = m + 1 − r, si ha T_{m} ∈ I_{r}^{t(p−1)+p} ⊂ I_{r}^{s}, perchè t(p − 1) + p ≥ s.

Resta quindi da dimostrare che (2.2) ⇒ (2.3). Ciò si ottiene facendo induzione su t. Infatti, la tesi è vera se t = 0 e perciò supponiamo t > 0 e che, per ogni t–upla di interi non negativi (w_{0}, w_{1}, ⋯, w_{t−1}), tale che w_{0} > 0 e p^{t} divida w_{0} + pw_{1} + ⋯ + p^{t−1}w_{t−1}, si abbia w_{0} + w_{1} + ⋯ + w_{t−1} ≥ (t − 1)(p − 1) + p.

Poichè p^{t+1} divide ν_{0} + pν_{1} + ⋯ + p^{t}ν_{t} e ν_{0} > 0, si ha ν_{0} = pu_{0}, con u_{0} ≠ 0. Se si pone

w_{0} = u_{0} + ν_{1}  e  w_{i} = ν_{i+1} per i = 1, …, t − 1,

si può applicare l’ipotesi induttiva alla t–upla di interi non negativi (w_{0}, w_{1}, ⋯, w_{t−1}) ed ottenere

(t − 1)(p − 1) + p ≤ w_{0} + w_{1} + ⋯ + w_{t−1} = ν_{0}/p + ν_{1} + ⋯ + ν_{t},

da cui si deduce (2.3). CVD

In modo analogo si dimostra il seguente

2.4 Lemma. Sia k un corpo perfetto di caratteristica p > 0. Si consideri l’anello di polinomi k[(Y_{−n})_{n∈ℕ}], ove (Y_{−n})_{n∈ℕ} è una successione di indeterminate, e si indichi con J_{r} l’ideale (Y_{−r}, Y_{−r−1}, …). Sia inoltre x = (x_{0}, x_{1}, …) ∈ W(k); allora, per ogni coppia di interi r, s ≥ 1, vale la relazione

\begin{aligned}P_{m}(x_{0}^{p^{−m}}, …, x_{m}^{p^{−m}} & ; Y_{−m−1}, …, Y_{−1}) ≡ \\ & ≡ P_{m+1}(x_{0}^{p^{−m−1}}, …, x_{m+1}^{p^{−m−1}}; Y_{−m−2}, …, Y_{−1}) mod J_{r}^{s}, \end{aligned}

ove m ≥ r − 1 se s < p, oppure m ≥ r − 1 + \frac{s−p}{p−1} se s ≥ p.

dim. Dalla semilinearità del Verschiebung (cf. Proposizione 1.12.(xiii) con i = 0) discende la relazione

\begin{aligned}P_{m}(x_{0}^{p^{−m}}, …, x_{m}^{p^{−m}} & ; Y_{−m−1}, …, Y_{−1}) = \\ & = P_{m+1}(x_{0}^{p^{−m−1}}, …, x_{m+1}^{p^{−m−1}}; 0, Y_{−m−1}, …, Y_{−1}). \end{aligned}

Inoltre, se si dà peso p^{j} alle variabili Y_{j}, i polinomi P_{m}(x_{0}^{p^{−m}}, …, x_{m}^{p^{−m}}; Y_{0}, …, Y_{m}) sono isobarici, di peso p^{m}; si deduce che la differenza tra i due polinomi dell’enunciato è combinazione lineare di monomi del tipo Y_{−m−2}^{ν_{0}}Y_{−m−1}^{ν_{1}} ⋯ Y_{−1}^{ν_{m+1}}, ove ν_{0} + pν_{1} + ⋯ + p^{m+1}ν_{m+1} = p^{m+1} e ν_{0} ≠ 0. Si può quindi concludere come nella dimostrazione del lemma precedente. CVD

Siamo quindi in grado di dare la definizione e le prime proprietà dei Covettori di Witt.

2.5 Definizione. Sia S una k-algebra (commutativa). I covettori di Witt (discreti) a componenti in S sono gli elementi dell’insieme

CW^{d}(S) = {(x_{−n})_{n∈ℕ} | ∃(i, j), (x_{−j}, x_{−j−1}, …)^{i} = 0 },

ove (x_{−j}, x_{−j−1}, …)^{i} indica l’i-esima potenza dell’ideale di S generato dalle componenti x_{h} con h ≤ −j.

In realtà l’insieme CW^{d}(S) è un W(k)-modulo, come andiamo a dimostrare nel seguente Teorema (cf. il Teorema 1.1 di [MA]).

2.6 Teorema. L’insieme CW^{d}(S) è un W(k)-modulo tramite le operazioni definite di seguito.

(i) Se x = (x_{−n})_{n∈ℕ} ed y = (y_{−n})_{n∈ℕ} sono due covettori, il covettore x + y = (z_{−n})_{n∈ℕ} è definito ponendo

z_{−n} = lim_{m→∞} S_{m}(x_{−m−n}, …, x_{−n}; y_{−m−n}, …, y_{−n}).

(ii) Se y = (y_{−n})_{n∈ℕ} è un covettore ed a = (a_{0}, a_{1}, …) ∈ W(k), il covettore ay = (u_{−n})_{n∈ℕ} è definito ponendo

u_{−n} = lim_{m→∞} P_{m}(a_{0}^{p^{−m−n}}, …, a_{m}^{p^{−m−n}}; y_{−m−n}, …, y_{−n}).

(iii) Il modulo CW^{d}(S) è dotato di due endomorfismi semilineari F e V, così definiti

\begin{matrix}(F robenius) & F (…, y_{−2}, y_{−1}) = (…, y_{−2}^{p}, y_{−1}^{p}) \\ (V erschiebung) & V (…, y_{−2}, y_{−1}) = (…, y_{−3}, y_{−2}) \end{matrix}

ove F (ay) = F (a)F (y) e V (ay) = F^{−1}(a)V (y), per ogni a ∈ W(k) ed y ∈ CW^{d}(S). (iv) Infine, se S ed S′ sono due k-algebre ed α: S → S′ un omomorfismo di k-algebre,

l’applicazione

CW^{d}(α): CW^{d}(S) → CW^{d}(S′), (x_{−n})_{n∈ℕ} ↦ (α(x_{−n}))_{n∈ℕ}

è un omomorfismo di W(k)-moduli.

dim. Dai Lemmi 2.1 e 2.3 e dalla definizione di covettore discende che le due successioni i cui limiti definiscono le operazioni in CW^{d}(S) sono entrambe stazionarie e quindi tali limiti esistono in S. Che in tal modo si definisca una struttura di modulo su CW^{d}(S) è conseguenza del fatto che i polinomi di Witt definiscono una struttura di anello. Sono sempre conseguenza delle proprietà dei polinomi di Witt l’esistenza e le proprietà dell’endomorfismo di Frobenius e del Verschiebung. CVD

Osserviamo a margine che, in base alle definizioni date, CW^{d}( ) è un funtore dalla categoria delle k-algebre alla categoria dei W(k)-moduli. In particolare, se S è una kalgebra perfetta –ovvero l’applicazione a ↦ a^{p} è un isomorfismo– allora CW^{d}(S) è in modo naturale anche un W(S)-modulo.

2.7 Osservazione. La definizione di covettore (discreto) richiede che un certo ideale dell’anello S sia nilpotente e tale condizione è particolarmente restrittiva; ad esempio, se la k-algebra S è integra, l’unico ideale con tale proprietà è l’ideale banale e quindi ogni covettore y = (y_{−n})_{n∈ℕ} ad elementi in S deve soddisfare alla condizione y_{−h} = 0 per h >> 0 (covettore speciale). Lasciamo al lettore interessato il compito di verificare che, per una qualsiasi k-algebra S, i covettori speciali formano un sottomodulo CW^{s}(S) di CW^{d}(S).

Se M è un W(k)-modulo ed i un numero intero, indichiamo con M^{(i)} il modulo che si ottiene modificando gli scalari tramite l’omomorfismo F^{i}; ovvero, definendo la moltiplicazione tra a ∈ W(k) ed m ∈ M come am := F^{i}(a)m, ove a destra del segno di uguale si utilizza la struttura di modulo fissata su M. Si può verificare che si ha l’isomorfismo

CW^{s}(S) ≅ \underrightarrow{lim}_{n∈ℕ} W_{n}(S)^{(−n)},

ove le freccie di connessione nel limite inverso sono date dal Verschiebung tra Vettori di Witt di lunghezza finita V: W_{n}(S)^{(−n)} → W_{n+1}(S)^{(−n−1)}, che è un’applicazione lineare rispetto alle strutture di modulo fissate.

Vogliamo quindi estendere la definizione di covettore in modo da ottenere covettori non-speciali ad elementi in opportune k-algebre topologiche. Cominciamo quindi col definire la categoria di algebre a cui siamo interessati.

2.8 Definizione. Sia k un corpo perfetto di caratteristica p > 0. Indichiamo con L_{k} la categoria di tutte le k-algebre linearmente topologizzate, separate e complete. In particolare, se R è un oggetto di L_{k} ed Ω_{R} indica un insieme fondamentale di intorni di zero in R fatto di ideali, la completezza di R implica che

R ≅ \underleftarrow{lim}_{I∈Ω_{R}} R/I,

ove su R/I si ponga la topologia discreta.

Diamo quindi la definizione di covettori a componenti in un anello R in L_{k}.

2.9 Definizione. Sia k un corpo perfetto di caratteristica p > 0 e sia R un oggetto di L_{k}. I covettori di Witt a componenti in R sono gli elementi del modulo

CW (R) = \underleftarrow{lim}_{I∈Ω_{R}} CW^{d}(R/I),

ove le freccie di connessione sono indotte dalle proiezioni naturali su quozienti successivi di R. Le operazioni di modulo si ottengono ugualmente come limiti inversi.

Dalla completezza di R discende gli elementi di CW (R) si possono ancora scrivere come covettori ad elementi in R e che le componenti della somma di due covettori o del prodotto di un vettore per un covettore si ottengono tramite i limiti descritti nel Teorema 2.6, in particolare, la successione y = (y_{−n})_{n∈ℕ} ad elementi in R è un covettore se è verificata la condizione

(CW) per ogni ideale aperto I di R esistono degli interi i, j tali che la potenza i-esima dell’ideale generato dagli y_{−n} con n ≥ j sia contenuta in I.

Anche in CW (R) sono definiti gli omomorfismi semilineari F (Frobenius) e V (Verschiebung), come nell’enunciato del Teorema 2.6.(iv) e si ha la relazione fondamentale

F V = V F = p,

analoga a quella valida per i vettori di Witt (cf. Proposizione 1.9.(x)).

Osserviamo che i covettori speciali a componenti in R, ovvero i covettori (y_{−n})_{n∈ℕ}, soddisfacenti alla condizione

y_{−h} = 0 per ogni h >> 0  (2.10)

formano ancora un sotto-W(k)-modulo del modulo CW (R). In generale, si ha l’inclusione

CW^{s}(R) ⊂ \underleftarrow{lim}_{I∈Ω_{R}} CW^{s}(R/I),

ma non vale l’uguaglianza.

2.11 Esempi. (a) Se k è pensato come elemento di L_{k} ponendo la topologia discreta (0 è ideale aperto), allora CW (k) = CW^{d}(k) = CW^{s}(k); ovvero i covettori a componenti in k sono tutti e soli i covettori speciali a componenti in k.

(b) Se C è un’estensione di k, dotato di una valutazione v a valori in ℝ∪{∞}, necessariamente equicaratteristica, ma non necessariamente discreta, ed A è l’anello di valutazione di C, allora una successione y = (y_{−n})_{n∈ℕ} ad elementi in A è un covettore se, e solo se, lim inf_{n→∞} v(y_{−n}) = c > 0. Infatti, gli ideali aperti I_{r} = {x ∈ A | v(x) > r}, al variare di r in N, formano un sistema fondamentale di intorni dello zero in A e quindi, se y = (y_{−n})_{n∈ℕ} è un covettore, fissato un intero positivo r esistono due interi i e j, tali che y_{−n}^{i} ∈ I_{r} per ogni n ≥ j; ciò implica che per n ≥ j, si ha v(y_{−n}) > \frac{r}{i} > 0 e quindi lim inf v(y_{−n}) ≥ \frac{r}{i} > 0. Il viceversa è conseguenza del fatto che in ℝ vale l’assioma di Archimede.

Possiamo dare la definizione dei bivettori di Witt.

2.12 Definizione. Sia R un oggetto di L_{k}. Utilizzando le notazioni dell’Osservazione 2.7, per ogni intero non-negativo n, consideriamo il W(k)-modulo CW (R)^{(n)} e l’applicazione lineare V: CW (R)^{(n+1)} → CW (R)^{(n)}. I bivettori (di Witt) sono gli elementi del W(k)-modulo

biv(R) = \underleftarrow{lim}_{n∈ℕ} CW (R)^{(n)}.

Gli elementi del modulo biv(R) possono essere rappresentati da successioni y = (y_{j})_{j∈ℤ}, ove il covettore y^{(<r)} = (…, y_{r−2}, y_{r−1}) è la proiezione di y su CW (R)^{(r)}, per ogni r ≥ 0. Inoltre il modulo biv(R) è dotato dei due endomorfismi F e V che si ottengono passando al limite gli analoghi endomorfismi dei covettori; in particolare, si ha

F (…, x_{n}, x_{n+1}, …) = (…, x_{n}^{p}, x_{n+1}^{p}, …) V (…, x_{n}, x_{n+1}, …) = (…, x_{n−1}, x_{n}, …)

ove il Verschiebung è biiettivo e anche in biv(R) vale la relazione fondamentale F V = V F = p.

In analogia con quanto fatto per i vettori di Witt quando l’anello R è una k-algebra perfetta (cf. (1.20)), si può introdurre anche per i bivettori la rappresentazione di Teichmüller e scrivere

y = (y_{j})_{j∈ℤ} = ∑_{j∈ℤ} p^{j}{y_{j}^{p^{−j}}},

ove {y} denota il bivettore con l’unica componente non-nulla uguale ad y nel posto di indice 0.

Introduciamo un’ulteriore notazione che ci sarà utile nel seguito: se x = (x_{j})_{j∈ℤ} è un bivettore ed r è un qualsiasi numero intero, si definiscono la r-testa e la r-coda del bivettore x, come i bivettori

(2.13) (r-testa) x^{(≥r)} = x^{(>r−1)} = (…, 0, x_{r}, x_{r+1}, …)

(r-coda) x^{(<r)} = x^{(≤r−1)} = (…, x_{r−2}, x_{r−1}, 0, …),

ed osserviamo che, per ogni intero r, vale la relazione x = x^{(<r)}+x^{(≥r)} che è di immediata verifica utilizzando la rappresentazione di Teichmüller.

Come per i covettori, possiamo parlare di bivettori speciali quando una tra le code è uguale a 0 (il bivettore con tutte le componenti nulle); anche i bivettori speciali formano un sottomodulo biv^{s}(R) ⊂ biv(R), isomorfo al limite inverso dei sottomoduli di covettori speciali. In particolare, tutti i bivettori che coincidono con la loro 0-testa definiscono un sottomodulo di biv^{s}(R), isomorfo a W(R) che identificheremo con tale anello. Infine si osservi che valgono gli isomorfismi di W(k)-moduli

CW (R) ≅ biv(R)/W(R)  e  CW^{s}(R) ≅ biv^{s}(R)/W(R).

Sul modulo biv(R) si possono porre diverse topologie che rendano “convergente” la rappresentazione di Teichmüller dei bivettori. Cominciamo col definire la topologia introdotta da Barsotti come la “topologia canonica” dei bivettori. Nel seguito, per particolari anelli di coefficienti, introdurremo una topologia più fine della topologia canonica di Barsotti che però indurrà una topologia equivalente sui vettori di Witt.

2.14 Definizione. Sia R in L_{k} una k-algebra perfetta. La topologia canonica in biv(R) ha come sistema fondamentale di intorni dello zero i sottomoduli

U(I, m) = { x ∈ biv(R) | n ≤ m ⇒ x_{n}^{p^{−n}} ∈ I },

al variare di I in Ω_{R} e di m in ℤ.

Esprimiamo tramite la rappresentazione di Teichmüller la condizione di appartenenza di un bivettore ad un intorno di zero in biv(R); infatti, se

x = (x_{n})_{n∈ℤ} = ∑_{i∈ℤ} p^{i}{x′_{i}} (ove x′_{i} = x_{i}^{p^{−i}}),

allora

x = ∑_{i∈ℤ} p^{i}{x′_{i}} ∈ U(I, m) ⟺ x′_{i} ∈ I ∀i ≤ m.  (2.15)

Vogliamo mostrare alcune facili proprietà della topologia canonica.

2.16 Proposizione. Sia R una k-algebra perfetta in L_{k}.

(a) Il sottomodulo biv^{s}(R) è denso in biv(R); in particolare, per ogni bivettore y =

(y_{n})_{n∈ℤ} si ha

y = lim_{r→∞} y^{(>−r)}.

(b) Se y = (y_{n})_{n∈ℤ} è un bivettore, la somma ∑_{n∈ℤ} p^{n}{y_{n}^{p^{−n}}} converge ad y in biv(R).

dim. Sia y = (y_{n})_{n∈ℤ} un bivettore, allora, fissato comunque un ideale I ∈ Ω_{R}, in base alla condizione (CW), esistono due interi i e j tali che y_{−n}^{i} ∈ I per ogni n ≥ j. In particolare, se r è un intero positivo per cui si abbia r ≥ j e p^{r} ≥ i, allora, per n ≥ r si ha che y_{−n}^{p^{n}} ∈ I. Ciò significa in particolare che, per ogni intero m ed n ≥ r, si ha y − y^{(>−n)} = y^{(≤−n)} ∈ U(I, m) che permette di concludere la dimostrazione di (a). Per quanto riguarda (b), fissato un intorno di zero U(I, m) in biv(R), esiste un intero r tale che, per j ≥ r si abbia y^{(<−j)} ∈ U(I, m) ed inoltre, se h ≥ m, allora y^{(>h)} ∈ U(I, m). Dunque, fissato un indice s > max{−m, r}, si ha, per j ≥ s e h ≥ m

y − ∑_{n=−j}^{h} p^{n}{y_{n}^{p^{−n}}} = y^{(<−j)} + y^{(>h)} ∈ U(I, m),

che è quanto ci serve per concludere. CVD

In generale, il modulo biv(R) non è completo per la topologia canonica ed il suo completamento viene usualmente indicato con il simbolo Biv(R) (“B” maiuscola). Lasciamo al lettore il compito di verificare sulla falsariga dell’Esempio 2.10.(a) che, posta su k la topologia discreta, si ha

Biv(k) = biv(k) = biv^{s}(k) ≅ Fr(W(k)).

Esempi di moduli di bivettori non completi si possono trovare nel §.11 di [MA] o nel §.1 di [BIV]. In base a quanto detto, diventa utile avere dei criteri per conoscere quando una successione di bivettori converge in biv(R). Nel prossimo numero dimostreremo per particolari anelli di coefficienti un criterio di convergenza in biv per una topologia sui bivettori più fine della topologia canonica (cf. Teorema 3.18 ). Tale criterio adatta a quel contesto il cosiddetto “criterio di convergenza uniforme di Barsotti” (cf. Teorema 2.1 di [MA] o Lemma 4.2.1 di [WR]). Non enunciamo tale criterio nella sua forma generale per evitare di introdurre ulteriori notazioni, necessarie a tale scopo.

Concludiamo questo numero con un’ultima osservazione su Biv(R).

2.17 Proposizione. Sia R una k-algebra perfetta in L_{k}. Il prodotto definito in W(R) si estende ad un prodotto tra bivettori speciali continuo rispetto alla topologia canonica. La sua estensione per continuità induce quindi un prodotto continuo in Biv(R), che rende tale modulo un anello commutativo.

dim. Siano x ed y due bivettori speciali e siano n ed m due interi non-negativi, tali che x = V^{−n}x′ ed y = V^{−m}y′,con x′, y′ ∈ W(R). Definiamo il prodotto di questi due bivettori speciali generalizzando la formula (xiii) valida per i vettori di Witt (cf. Proposizione 1.12 ) e poniamo quindi

xy = V^{−m−n}[(F^{−m}x′)(F^{−n}y′)].

Usando la rappresentazione di Teichmüller si può ottenere una descrizione più esplicita del prodotto; siano

x = ∑_{i>>−∞}^{+∞} p^{i}{x_{i}^{p^{−i}}} ed y = ∑_{j>>−∞}^{+∞} p^{j}{y_{j}^{p^{−j}}},

allora

xy = ∑_{h>>−∞}^{+∞} p^{h} ∑_{i+j=h}{x_{i}^{p^{−i}}y_{j}^{p^{−j}}}.

Da tale rappresentazione risulta evidente che, se x è un bivettore speciale in U(I, m) ed y è un bivettore speciale in U(I′, m′) allora il prodotto xy è in U(I + I′, m + m′) (cf. Definizione 2.14 ); da cui si deduce che il prodotto di bivettori speciali è continuo. In base alla precedente Proposizione 2.16.(a) estendiamo il prodotto per continuità, ponendo per due bivettori ξ ed η (non necessariamente speciali)

ξη = lim_{r→∞} ξ^{(>−r)}η^{(>−r)}.

È sufficiente verificare che tale successione è di Cauchy (e quindi converge in Biv(R)). Fissato un intorno di zero U(I, m), esiste un intero (positivo) r_{0} tale che ξ^{(≤−r_{0})} ed η^{(≤−r_{0})} siano entrambi in U(I, m). Sia r ≥ r_{0}, allora si ha

ξ^{(≤−r−1)}η^{(≤−r−1)} = (p^{−r}{ξ_{−r}^{p^{r}}} + ξ^{(≤−r)})(p^{−r}{η_{−r}^{p^{r}}} + η^{(≤−r)})

e quindi

\begin{aligned}ξ^{(≤−r−1)}η^{(≤−r−1)} & − ξ^{(≤−r)}η^{(≤−r)} = \\ & = p^{−2r}\{ξ_{−r}^{p^{r}}η_{−r}^{p^{r}}\} + p^{−r}(\{ξ_{−r}^{p^{r}}\}η^{(≤−r)} + \{η_{−r}^{p^{r}}\}ξ^{(≤−r)}). \end{aligned}

Poichè I è un ideale di R, tutti gli addendi a destra del segno di uguaglianza stanno in U(I, m). CVD 3. Un anello di Bivettori

In questo numero vogliamo introdurre un anello di Bivettori (cf. [PD]) che sarà l’oggetto fondamentale nel confronto con gli anelli di Fontaine. Sia fissato un corpo perfetto k di caratteristica p > 0 ed iniziamo questa sezione introducendo una k-algebra perfetta R, su cui costruiremo poi il modulo dei bivettori. Indichiamo con A l’anello W(k) e con K il suo corpo delle frazioni (K = biv(k) = A[\frac{1}{p}]); siano poi K̄ ed Ā la chiusura algebrica di K ed il suo anello degli interi. Poichè K è dotato di una valutazione (discreta), questa di estende in modo naturale a K̄, con valori in ℚ ∪ {∞}, e definisce su tale corpo una topologia; in particolare, Ā è l’anello di valutazione di K̄. Sia C il completamento di K̄, rispetto alla topologia della valutazione (C è un campo algebricamente chiuso) ed indichiamo con A_{C} il suo anello di valutazione. Supporremo che la valutazione

v su C sia normalizzata ponendo v(p) = 1. Indichiamo infine con G il gruppo di Galois Gal(K̄|K), la cui azione su K̄, si estende per continuità a C.

La k-algebra a cui siamo interessati è

(3.1)  R = R_{A_{C}} = \underleftarrow{lim}_{ℕ}(A_{C}/pA_{C} ⟵^{x^{p}} A_{C}/pA_{C} ⟵^{x^{p}} …).

Osserviamo che gli elementi di R possono essere rappresentati come successioni (x_{n})_{n∈ℕ} di elementi del quoziente A_{C}/pA_{C} ⊃ k legati dalla relazione x_{n} = x_{n+1}^{p}, qualunque sia n ∈ ℕ, e le operazioni su tale anello si effettuano componente per componente. In particolare, da ciò discende che R è una k-algebra perfetta.

Onde approfondire le nostre conoscenze sull’anello R, introduciamo un’altra notazione per indicare i suoi elementi. L’elemento x = (x_{n})_{n∈ℕ} ∈ R può essere rappresentato dalla successione x = (x̂_{n})_{n∈ℤ} (da non confondere con un bivettore!), ove x̂_{n} è definito come segue: se x̃_{n} è un qualunque rialzamento ad A_{C} dell’elemento x_{n} ∈ A_{C}/pA_{C}, al variare di n ∈ ℕ, si pone

(3.2)  x̂_{n} = \{ \begin{matrix}lim_{m→∞} x̃_{m+n}^{p^{m}} & se n ≥ 0 \\ x̂_{0}^{p^{−n}} & se n < 0 \end{matrix}

ove il limite nella definizione esiste perchè x̃_{m+n} ≡ x̃_{m+1+n}^{p} modulo pA_{C} (cf. la dimostrazione del Lemma 1.7 ) e tale limite non dipende dalla scelta degli elementi x̃_{n} e si ha x̂_{n} = x̂_{n+1}^{p}. Osserviamo che, tramite questa nuova rappresentazione degli elementi di R, le operazioni sono definite ponendo

(3.3)  (xy)_{n̂} = x̂_{n}ŷ_{n} e (x + y)_{n̂} = lim_{m→∞}(x̂_{n+m} + ŷ_{n+m})^{p^{m}}.

Tramite questa rappresentazione si verifica facilmente che R è integro, perchè A_{C} lo è e, se x̂_{n} = 0 per qualche intero n, allora x̂_{n} = 0 per ogni n. Inoltre, è definita su R una valutazione ponendo per x = (x_{n})_{n∈ℕ} = (x̂_{n})_{n∈ℤ},

(3.4)  v(x) = v_{C}(x̂_{0}) ∈ ℚ ∪ {∞},

ove v_{C} indica la valutazione del campo C. Infatti,

v(x + y) = v_{C}((x + y)_{ˆ0}) = lim_{m→∞} v_{C}((x̂_{m} + ŷ_{m})^{p^{m}}) ≥

≥ lim_{m→∞} min{p^{m}v_{C}(x̂_{m}), p^{m}v_{C}(ŷ_{m})} =

= min{v_{C}(x̂_{0}), v_{C}(ŷ_{0})} = min{v(x), v(y)};

e inoltre

v(xy) = v_{C}((xy)_{ˆ0}) = v_{C}(x̂_{0}) + v_{C}(ŷ_{0}) = v(x) + v(y);

ed infine, per quanto già osservato,

v(x) = ∞ ⇔ v_{C}(x̂_{0}) = ∞ ⇔ x̂_{0} = 0 ⇔ x = 0.

Possiamo infine osservare che questa valutazione si estende al campo delle frazioni FrR e che R coincide con l’anello di valutazione, come si può verificare facilmente rappresentando gli elementi di FrR come successioni di elementi di C.

Raccogliamo e completiamo le informazioni sull’anello R nel seguente enunciato.

3.5 Proposizione. Notazioni come sopra. L’anello R è una k-algebra perfetta. Inoltre R è un anello di valutazione completo rispetto alla valutazione definita in (3.4), con corpo residuo isomorfo a k̄ ≅ A_{C}/m, ove m è l’ideale massimale di A_{C}. Infine vi è un’azione naturale di G su R.

dim. Resta solo da dimostrare che R è completo e le affermazioni successive. Per quanto riguarda la completezza, è sufficiente osservare che, se x = (x_{n})_{n∈ℕ} ed y = (y_{n})_{n∈ℕ} appartengono a R

e v(x − y) > p^{j}, per un qualche intero j, allora x_{i} − y_{i} = 0 in A_{C}/pA_{C} per ogni i ≤ j. Ciò implica che una successione di Cauchy in R è ivi convergente, componente per componente.

La mappa R → A_{C}, che manda x ↦ x̂_{0}, è suriettiva e invia gli elementi dell’ideale di valutazione R^{+} in m. Se ne deduce un omomorfismo suriettivo di anelli da R/R^{+} su k̄ ≅ A_{C}/m.

Infine, l’azione di G su R è definito ponendo, per x = (x̂_{n})_{n∈ℤ} ∈ R e σ ∈ G, σ(x) = (σ(x̂_{n}))_{n∈ℤ}. Poichè σ è continuo su C, discende da (3.3) che σ agisce come omomorfismo su R. CVD Consideriamo ora l’anello W(R) e le famiglie di ideali

\begin{matrix}U(a, k) = \{ ξ ∈ W(R) | n < k ⇒ v(ξ_{n}^{p^{−n}}) ≥ a \}, & k ∈ ℕ, a ∈ ℝ_{≥0} \\ W_{a} = \{ ξ ∈ W(R) | n < a ⇒ v(ξ_{n}^{p^{−n}}) ≥ a − n \}, & a ∈ ℝ_{≥0}. \end{matrix}  (3.6)

Dimostreremo nel seguito (cf. Proposizione 3.7 ) che i sottoinsiemi W_{a} sono effettivamente degli ideali di W(R), per il momento osserviamo che le topologie lineari su W(R) determinate prendendo queste famiglie di ideali come sistemi fondamentali di intorni dello zero, sono tra loro equivalenti ed infatti, posto [a] = min{ n ∈ ℤ | n ≥ a } al variare di a tra i numeri reali positivi, si ha

U(a, [a]) ⊆ W_{a}  e  W_{m+b} ⊆ U(b, m).

Il lettore attento avrà già osservato che la topologia degli U(a, k) coincide con la (restrizione della) topologia canonica di Barsotti (cf. Definizione 2.14 ). Vedremo nel seguito che le topologie date ammettono entrambe un’estensione naturale al modulo dei bivettori, ma le due estensioni non sono più tra loro equivalenti. Nel seguito ci occuperemo esclusivamente della topologia dei W_{a}, lasciando in disparte la topologia canonica. Occupiamoci quindi di raccogliere informazioni su questa topologia.

3.7 Proposizione. Notazioni come sopra. I sottoinsiemi W_{a} sono ideali di W(R) e vale la relazione W_{a}W_{b} ⊆ W_{a+b}.

dim. Cominciamo verificando che i sottoinsiemi W_{a} sono sottogruppi additivi di W(R). Siano ξ = (x_{0}, x_{1}, …) ed η = (y_{0}, y_{1}, …) due elementi di W_{a}, e ricordiamo che il polinomio di Witt S_{m} che definisce la componente m-esima della somma è isobarico, di peso p^{m} (cf. Proposizione 1.4 ). Dunque, poichè per i < a, si ha v(x_{i}) ≥ p^{i}(a−i) ≤ v(y_{i}), dato un monomio x_{0}^{λ_{0}}y_{0}^{μ_{0}} ⋯ x_{m}^{λ_{m}}y_{m}^{μ_{m}}, di peso p^{m} = ∑_{i=0}^{m} p^{i}(λ_{i} + μ_{i}), si ha, per m < a,

v(x_{0}^{λ_{0}}y_{0}^{μ_{0}} ⋯ x_{m}^{λ_{m}}y_{m}^{μ_{m}}) ≥ ∑_{i=0}^{m} p^{i}(a − i)(λ_{i} + μ_{i}) ≥ ∑_{i=0}^{m} p^{i}(a − m)(λ_{i} + μ_{i}) = p^{m}(a − m).

Se ne deduce che ξ + η ∈ W_{a}. La dimostrazione che −ξ appartiene anch’esso a W_{a} è perfettamente analoga e quindi la tralasciamo; passiamo quindi a dimostrare l’asserzione sul prodotto ed utilizziamo a tale scopo la rappresentazione di Teichmüller dei vettori di Witt (cf. (1.20)). Siano quindi ξ = ∑_{n=0}^{∞} p^{n}{x′_{n}} ∈ W_{a} e ζ = ∑_{n=0}^{∞} p^{n}{z′_{n}} ∈ W(R) e mostriamo che

ξζ = ∑_{i=0}^{∞} p^{i} ∑_{j=0}^{i}{x′_{j}z′_{i−j}} = ∑_{i=0}^{∞} p^{i}{y′_{i}} ∈ W_{a}.

Dunque, le ipotesi sono che, per n < a, si abbia v(x′_{n}) ≥ a − n e dobbiamo mostrare che, per gli stessi indici n, si ha v(y′_{n}) ≥ a − n. L’asserto è certamente vero per n = 0, essendo: y′_{0} = x′_{0}z′_{0} e quindi v(y′_{0}) = v(x′_{0}) + v(z′_{0}) ≥ v(x′_{0}) ≥ a. Supponiamo quindi che n < a e che la tesi sia vera per gli indici minori di n. E quindi, ricordando la somma che determina y′_{n}, si può scrivere

y′_{n} = ∑_{j=0}^{n} x′_{j}z′_{n−j} + (termini di valore ≥ a − n + 1),

ed essendo v(x′_{j}z′_{n−j}) ≥ v(x′_{j}) ≥ a − j ≥ a − n per j ≤ n, si ha la conclusione.

Dobbiamo verificare l’inclusione W_{a}W_{b} ⊆ W_{a+b}. Manteniamo quindi le notazioni fissate sopra e supponiamo che ζ ∈ W_{b}. Ragionando come sopra, osserviamo che è sufficiente verificare che, per h < a + b e j = 0, …, h si ha v(x′_{j}z′_{h−j}) ≥ a + b − h; infatti, se questa disuguaglianza è vera, la componente di posto 0 del vettore η_{h} = ∑_{j=0}^{h}{x′_{j}z′_{h−j}} ha il valore atteso ed inoltre, siccome l’i-esima componente di η_{h} è somma di monomi di grado p^{i} negli argomenti x′_{j}z′_{h−j}, se ne deduce che p^{h}η_{h} ∈ W_{a+b} e quindi che ξη ∈ W_{a+b}.

Siano quindi h < a + b e j = 0, …, h e verifichiamo che si ha v(x′_{j}z′_{h−j}) ≥ a + b − h. Supponiamo, per comodità a ≤ b e distinguiamo tre casi.

(i) Sia h < a e dunque si ha j < a ed h−j < a ≤ b e quindi v(x′_{j}z′_{h−j}) ≥ a−j+b−h+j = a + b − h.

(ii) Sia a ≤ h < b e dunque si ha h − j < b e così, se j < a si ricade nel caso precedente,

oppure, se j ≥ a, si ha v(x′_{j}z′_{h−j}) ≥ v(z′_{h−j}) ≥ b − h + j ≥ a + b − h. (iii) Sia b ≤ h < a + b, allora o 0 ≤ j ≤ h − b < a e perciò v(x′_{j}z′_{h−j}) ≥ a − j ≥ a + b − h,

oppure h − b ≤ j < a, e quindi i − a < h − j < b. Infine, se a ≤ j ≤ h, allora b > h − j e si ha v(x′_{j}z′_{h−j}) ≥ b − h + j ≥ a + b − h. Ciò conclude la dimostrazione. CVD

Vogliamo mostrare che la topologia di W(R) è indotta da una valutazione su tale anello.

3.8 Definizione. Sia w: W(R) → ℚ ∪ {∞} l’applicazione così definita

w(ξ) = \{ \begin{matrix}min\{ p^{−i}v(x_{i}) + i | i ≥ 0 \} & se 0 ≠ ξ = (x_{0}, x_{1}, …) \\ ∞ & se ξ = 0 \end{matrix}

Osserviamo subito che il minimo che compare nella definizione precedente esiste perchè si ha i ≤ p^{−i}v(x_{i}) + i per ogni i ∈ ℕ. Andiamo a mostrare la seguente 3.9 Proposizione. Notazioni come sopra.

(a) L’applicazione w definita sopra è una valutazione in W(R).

(b) La topologia di W(R) è indotta dalla valutazione w ovvero, per ogni reale positivo

a, si ha

W_{a} = { ξ ∈ W(R) | w(ξ) ≥ a }.

dim. Osserviamo subito che (b) è vera. Infatti, ξ = (x_{0}, x_{1}, …) ∈ W_{a} se, e solo se, i < a ⇒ p^{−i}v(x_{i}) ≥ a − i e quindi se, e solo se, a ≤ w(ξ). Per quanto riguarda (a), è chiaro dalla Definizione 3.8 che per ξ ≠ 0 su ha w(ξ) ≠ ∞. Siano quindi ξ = (x_{0}, x_{1}, …) ed η = (y_{0}, y_{1}, …) tali che w(ξ) = r e w(η) = s e supponiamo, per fissare le idee, r ≤ s. Allora, in base a (b) si ha che ξ ed η appartengono entrambi all’ideale W_{r} e quindi ξ + η ∈ W_{r} per cui w(ξ + η) ≥ r = min{w(ξ), w(η)}. Supponiamo ora r < s e calcoliamo w(ξ + η). Sia i_{0} il minimo indice per cui si abbia r = w(ξ) = p^{−i_{0}}v(x_{i_{0}}) + i_{0}, e consideriamo la componente z_{i_{0}} di posto i_{0} della somma ξ + η. Dalla definizione dei polinomi di Witt si ha che

z_{i_{0}} = x_{i_{0}} + y_{i_{0}} + ( \begin{matrix}monomi di peso p^{i_{0}} \\ in x_{i} ed y_{j} \\ con i e j minori di i_{0} \end{matrix} ) .

Poichè i_{0} ≤ r < s, si ha v(y_{i_{0}}) ≥ p^{i_{0}}(s − i_{0}) > p^{i_{0}}(r − i_{0}) = v(x_{i_{0}}); ed inoltre, per i e j minori di i_{0} si ha v(x_{i}) ≥ p^{i}(r − i) e v(y_{j}) ≥ p^{j}(s − j). Le due disuguaglianze e la condizione di isobaricità implicano che ogni monomio nella somma tra parentesi ha valore strettamente più grande di p^{i_{0}}(r − i_{0}). Ne consegue che v(z_{i_{0}}) = v(x_{i_{0}}) = p^{i_{0}}(r − i_{0}) ; quindi w(ξ + η) = r.

Resta quindi da verificare che w(ξη) = r + s. In base a (b) ed alla Proposizione 3.7 , si ha che ξη ∈ W_{r+s} e quindi w(ξη) ≥ r + s. Siano quindi i_{0} e j_{0} gli indici per cui si abbia r = w(ξ) = p^{−i_{0}}v(x_{i_{0}}) + i_{0} ed s = w(η) = p^{−j_{0}}v(y_{j_{0}}) + j_{0}, e si considerino le decomposizioni ξ = ξ^{(<i_{0})} + ξ^{(≥i_{0})} ed η = η^{(<j_{0})} + η^{(≥j_{0})} (cf. (2.12)). Allora il prodotto ξη si decompone in

ξη = ξ^{(<i_{0})}η^{(<j_{0})} + ξ^{(<i_{0})}η^{(≥j_{0})} + ξ^{(≥i_{0})}η^{(<j_{0})} + ξ^{(≥i_{0})}η^{(≥j_{0})},

ed osservando che w(ξ^{(<i_{0})}) > r = w(ξ^{(≥i_{0})}) e w(η^{(<j_{0})}) > s = w(η^{(≥j_{0})}), e se ne conclude che i primi tre addendi della somma precedente hanno valore strettamente più grande di r+s, mentre w(ξ^{(≥i_{0})}η^{(≥j_{0})}) = r+s, perchè la prima componente non nulla del prodotto ξ^{(≥i_{0})}η^{(≥j_{0})} ha indice i_{0} +j_{0} ed è uguale ad x_{i_{0}}^{p^{j_{0}}} y_{j_{0}}^{p^{i_{0}}} . Le osservazioni precedenti sul w-valore di una somma permettono di concludere che w(ξη) = r + s. CVD

A questo punto saremmo pronti ad introdurre l’anello di bivettori annunciato all’inizio di questa sezione, ma vogliamo far precedere la definizione da una proposizione che illustra le importanti relazioni esistenti tra gli anelli W(R) ed A_{C} e dà ulteriori informazioni sulla topologia del primo.

3.10 Proposizione (Fontaine, cf. [FO2]). Indichiamo con Θ_{0}: W(R) → A_{C} l’applicazione definita ponendo

Θ_{0}(ξ) = ∑_{n=0}^{∞} p^{n}x̂_{n,n},

ove ξ = (x_{0}, x_{1}, …) ∈ W(R) e le sue componenti sono x_{n} = (x̂_{n,j})_{j∈ℤ} (cf. (3.2)). Allora (a) Θ_{0} è un omomorfismo di anelli continuo e suriettivo, che commuta con l’azione di G.

(b) kerΘ_{0} è un ideale principale di W(R).

(c) Gli ideali W_{n} si decompongono nel modo seguente

W_{n} = (kerΘ_{0})^{n} + p(kerΘ_{0})^{n−1} + ⋯ + p^{n}W(R).

dim. (a). Che Θ_{0} sia un omomorfismo discende dalla definizione stessa dei vettori di Witt (cf. Teorema 1.19 e la sua dimostrazione). La continuità si verifica osservando che, per ogni numero reale positivo a, la condizione ξ ∈ W_{a} implica v_{C}(Θ_{0}(ξ)) > a. Dato poi a′ ∈ A_{C}, poichè C è algebricamente chiuso, esiste un elemento a ∈ R per cui â_{0} = a′ (cf. (3.2)). Allora Θ_{0}({a}) = â_{0} = a′ e quindi Θ_{0} è suriettivo. L’affermazione sull’azione del gruppo di Galois G è di verifica immediata a partire dalle definizioni (cf. Proposizione 3.5 ). (b). Sia π un elemento di R tale che π̂_{0} = −p. Dalla definizione stessa di Θ_{0} discende che α = {π} + p appartiene a kerΘ_{0}. Vogliamo mostrare che

η = ∑_{n=0}^{∞} p^{n}{y_{n}} ∈ kerΘ_{0} è un generatore dell’ideale se, e solo se, v(y_{1}) = 0.

Infatti, se η ∈ kerΘ_{0} e v(y_{1}) > 0, dato un qualsiasi vettore ξ = ∑_{n=0}^{∞} p^{n}{x_{n}} ∈ W(R), l’elemento z_{1} nel prodotto ξη = ∑_{n=0}^{∞} p^{n}{z_{n}} è uguale a z_{1} = x_{1}y_{0} + x_{0}y_{1}. Poichè η ∈ kerΘ_{0} la condizione v(y_{1}) > 0 implica v(y_{0}) > 0; quindi, necessariamente v(z_{1}) > 0. Se ne deduce che il vettore α ∈ kerΘ_{0} descritto sopra non appartiene all’ideale generato da η e quindi η non può generare kerΘ_{0}.

Sia ora η ∈ kerΘ_{0} con v(y_{1}) = 0 ed osserviamo che ciò implica v(y_{0}) = 1. Sia ora β = ∑_{n=0}^{∞} p^{n}{b_{n}} ∈ kerΘ_{0} e mostriamo che, fissato comunque un intero m ≥ 0, esistono x_{0}, …, x_{m−1} in R, e γ_{m} ∈ W(R), per cui si abbia

β = η( ∑_{j=0}^{m−1} p^{j}{x_{j}}) + p^{m}γ_{m}.  (3.11)_{m}

Osserviamo che (3.11)_{1} discende dal fatto che β ∈ kerΘ_{0} implica v(b_{0}) ≥ 1 e quindi esiste un elemento x_{0} ∈ R tale che b_{0} = y_{0}x_{0} e quindi β = η{x_{0}} + pγ_{1} per un opportuno γ_{1} ∈ W(R). Facendo induzione su m, supponiamo che sia vera (3.11)_{m−1}. Ciò implica, in particolare che γ_{m−1} ∈ kerΘ_{0} e quindi che la componente zerea di questo vettore ha valore ≥ 1; ne consegue che esiste un elemento x_{m−1} ∈ R tale che la componente zerea di γ_{m−1} sia uguale a y_{0}x_{m−1}. Da ciò si ottiene:

β − η( ∑_{j=0}^{m−1} p^{j}{x_{j}}) = p^{m−1}(γ_{m−1} − η{x_{m−1}}) ∈ p^{m}W(R),

che è quanto volevamo dimostrare. In particolare, osserviamo che l’elemento α = {π}+p è un generatore di kerΘ_{0}. (c). Si verifica facilmente che kerΘ_{0} +pW(R) ⊆ W_{1}. Inoltre, se ξ = ∑_{n=0}^{∞} p^{n}{x_{n}} ∈ W_{1}, allora v(x_{0}) ≥ 1; perciò esiste un elemento y ∈ R per cui x_{0} = yπ e quindi ξ − {y}α ∈ pW(R), che dimostra la tesi per n = 1. In base alla Proposizione 3.7 , si ottiene

(kerΘ_{0})^{n} + p(kerΘ_{0})^{n−1} + ⋯ + p^{n}W(R) ⊆ \underbrace{W_{1} ⋯ W_{1}}_{n volte} ⊆ W_{n}.

D’altro canto, se ξ = ∑_{n=0}^{∞} p^{n}{x_{n}} ∈ W_{n} allora v(x_{0}) ≥ n e quindi x_{0} = π^{n}y per un opportuno y ∈ R. Ne consegue che ξ − α^{n}{y} ∈ pW(R) ∩ W_{n} e, poichè pW(R) ∩ W_{n} ⊆ pW_{n−1}, si conclude che la tesi è vera per induzione. CVD

Siamo quindi in grado di dare la definizione promessa.

3.12 Definizione. Sia K il completamento del campo Fr(W(R)), rispetto alla topologia indotta dalla valutazione che si ottiene estendendo l’applicazione w definita in (3.8). L’anello dei Bivettori di Witt, BivR, è il sottoanello di K che si ottiene completando W(R)[\frac{1}{p}] rispetto alla topologia indotta.

Osserviamo come prima cosa che il simbolo BivR, usato nella definizione precedente, è diverso da quello usato per l’anello dei Bivettori di Barsotti (cf. Proposizione 2.17 ) in quanto i due anelli, in generale, non coincidono. Il seguito di questo numero sarà dedicato infatti a chiarire i rapporti tra questi due anelli e tra BivR ed il modulo biv(R). Vedremo nel seguito che gli elementi di BivR sono dei Bivettori nel senso di Barsotti, ovvero appartengono anche al completamento di biv(R) rispetto alla topologia canonica, e quindi ha senso parlare di BivR come di un anello di Bivettori. Mostreremo però che si tratta di un sottoanello proprio dell’anello dei Bivettori di Barsotti (cf. Osservazione 3.17.(c)).

Iniziamo osservando che l’anello W(R)[\frac{1}{p}] è canonicamente identificabile con l’anello biv^{s}(R) dei bivettori speciali a componenti in R (cf. §.2), utilizzando la decomposizione p = F V ed il fatto che F e V sono biiezioni in biv^{s}(R). Inoltre, ricordando che w(p) = 1, si ha che, per un bivettore speciale ξ = (x_{n})_{n∈ℤ} = p^{−k}ζ, con ζ ∈ W(R) ⊂ biv^{s}(R), si ha

(3.13)  w(ξ) := w(ζ) − k = min{ p^{−n}v(x_{n}) + n | n ∈ ℤ }.

Infatti, se ζ = (…, 0, z_{0}, z_{1}, …) = F^{k}V^{k}(ξ), allora x_{n} = z_{n+k}^{p^{−k}}, per ogni n ∈ ℤ, e quindi p^{−n}v(x_{n})+n = p^{−n−k}v(z_{n+k})+(n+k)−k, da cui si deduce l’uguaglianza (3.13). Dunque la topologia indotta dalla valutazione w su W(R)[\frac{1}{p}], identificato con biv^{s}(R), ha come sistema fondamentale di intorni dello zero i sotto-W(R)-moduli

\begin{aligned}W_{c} & = \{ ξ ∈ biv^{s}(R) | w(ξ) ≥ c \} = \\ & = \{ (x_{n})_{n∈ℤ} ∈ biv^{s}(R) | n < c ⇒ v(x_{n}^{p^{−n}}) ≥ c − n \}, \end{aligned}  (3.14)

al variare di c tra i numeri reali. Inoltre osserviamo che F, V e le loro inverse inducono delle applicazioni continue, in quanto si ha

F W_{c} ⊆ W_{c}, V W_{p(c−1)} ⊆ W_{c}, F^{−1}W_{pc} ⊆ W_{c}, V^{−1}W_{c+1} ⊆ W_{c}.

3.15 Osservazione. La topologia indotta su biv^{s}(R) dalla valutazione w è più fine della topologia canonica di Barsotti (cf. Definizione 2.14 ), per la quale un sistema fondamentale di intorni di zero è dato dai sottomoduli

U(a, k) = { (x_{n})_{n∈ℤ} ∈ biv^{s}(R) | n < k ⇒ v(x_{n}^{p^{−n}}) ≥ a },

al variare di k ∈ ℕ e di a ∈ ℝ_{>0}. Precisamente si ha W_{m+b} ⊆ U(b, m), qualunque siano m ∈ ℕ e b ∈ ℝ_{>0}.

Possiamo qundi enunciare la seguente

3.16 Proposizione. L’inclusione di biv^{s}(R) = W(R)[\frac{1}{p}] in BivR si estende ad un omomorfismo iniettivo di W(R)-moduli, i: biv(R) → BivR, definito ponendo i(ξ) = lim_{r→∞} ξ^{(>−r)} per ogni ξ ∈ biv(R). Inoltre, se ξ = (x_{n})_{n∈ℤ} ∈ biv(R), si ha

w(ξ) := lim_{r→∞} w(ξ^{(>−r)}) = min{ p^{−n}v(x_{n}) + n | n ∈ ℤ }.

dim. Ricordiamo che una successione ξ = (x_{n})_{n∈ℤ} ad elementi in R è un bivettore se, e solo se, lim inf_{n→∞} v(x_{−n}) = b > 0 (cf. Esempio 2.11.(b)). Da ciò discende che la successione

(ξ^{(>−r)})_{r∈ℕ} è di Cauchy rispetto alla topologia indotta da w. Infatti, la condizione sul limite inferiore significa l’esistenza di un intero n_{0} tale che, per n ≥ n_{0}, si abbia v(x_{−n}) ≥ b/2 > 0, e quindi p^{n}v(x_{−n}) ≥ p^{n}b/2. Dunque, fissato comunque un numero reale positivo c, esiste un intero r_{0} ≥ n_{0} tale che per r > r_{0} si abbia p^{r}b/2 ≥ c + r, e quindi

w(ξ^{(>−r−1)} − ξ^{(>−r)}) = w(V^{−r}{x_{−r}}) = p^{r}v(x_{−r}) − r ≥ c,

cioè ξ^{(>−r−1)} − ξ^{(>−r)} ∈ W_{c} e questa è la condizione richiesta.

In base alla definizione di somma di bivettori (cf. Teorema 2.6 ), si ha l’uguaglianza

lim_{r→∞}(ξ + η)^{(>−r)} = lim_{r→∞}(ξ^{(>−r)} + η^{(>−r)}),

e quindi i è un omomorfismo di gruppi. In modo analogo si osserva che i è un omomorfismo di W(R)-moduli. Questo omomorfismo è iniettivo perchè la topologia indotta dalla valutazione è più fine della topologia canonica e quest’ultima separa i bivettori. Infine, l’affermazione sul valore w(ξ) discende da (3.3). CVD

3.17 Osservazioni. (a). Anche per la topologia indotta dalla valutazione w, la rappresentazione di Teichmüller ∑_{n∈ℤ} p^{n}{x_{n}^{p^{−n}}} di un bivettore ξ = (x_{n})_{n∈ℤ} è una serie convergente a ξ in BivR. Infatti, fissato un numero reale positivo c, esistono due interi positivi r ed s tali che, per n < −r oppure per n > s, si abbia w(p^{n}{x_{n}^{p^{−n}}}) = n + p^{−n}v(x_{n}) ≥ c; nel primo caso perchè ξ è un bivettore, nel secondo perchè v(x_{n}) ≥ 0 per tutti i valori di n. Ciò significa che per r′ > r ed s′ > s, si ha ξ − ∑_{−r′≤n≤s′} p^{n}{x_{n}^{p^{−n}}} ∈ W_{c} e quindi, per l’arbitrarietà di c, che la successione delle somme finite converge a ξ.

(b). Mettiamo in evidenza il fatto che, biv(R) non è completo per la topologia indotta dalla valutazione, come si può dedurre dal seguente esempio. Sia y ∈ R un elemento di valore positivo; allora la successione (p^{−n}{y^{n^{2}}})_{n∈ℕ} tende a zero in BivR. Ne consegue che la serie ∑_{n=0}^{∞} p^{−n}{y^{n^{2}}} converge in BivR, ma la successione di bivettori speciali determinata dalle somme finite dei termini della serie non può convergere ad un elemento che soddisfi alla condizione di essere un bivettore.

(c). Modificando l’esempio precedente, siamo in grado di dare l’esempio di un bivettore di Barsotti che non è in BivR. Sia y ∈ R con 0 < v(y) ≤ 1 e si consideri la successione (p^{−n}{y^{n}})_{n∈ℕ}. Questa successione tende a zero per la topologia canonica, perchè v(y^{n}) diverge con n, e quindi la serie ∑_{n=0}^{∞} p^{−n}{y^{n}} converge rispetto a tale topologia e definisce quindi un Bivettore nel senso di Barsotti. D’altra parte, affinchè la successione data converga a zero per la topologia della valutazione, dovrebbe darsi che, fissato un numero reale positivo a, si abbia, per n >> 0, v(y^{n}) ≥ a+n, ovvero n(v(y)−1) ≥ a. Ciò non è possibile perchè i termini a sinistra dell’ultima disuguaglianza sono tutti negativi o nulli, mentre a è positivo. Dunque la serie ∑_{n=0}^{∞} p^{−n}{y^{n}} non può convergere in BivR.

Il Teorema che segue dà una condizione sufficiente affinchè una successione (di Cauchy) di bivettori converga ad un elemento di biv(R). Una condizione analoga, valida per la topologia canonica, fu dimostrata da Barsotti (cf. il Teorema 2.1 di [MA] o il Lemma 4.2.4 di [WR]) e la condizione seguente è un adattamento del criterio di Barsotti alla topologia indotta dalla valutazione w.

3.18 Teorema. (criterio di convergenza uniforme) Una successione di Cauchy di bivettori (ξ_{n})_{n∈ℕ} converge in

biv(R) se esiste un numero reale positivo b tale che

lim_{k→∞} inf{ v(x_{n,−j}) | j > k, n ∈ ℕ } > b,

ove ξ_{n} = (x_{n,j})_{j∈ℤ}, per ogni n ∈ ℕ.

dim. Cominciamo osservando che, fissato comunque un intero j, la successione delle componenti di posto j, (x_{n,j})_{n∈ℕ}, soddisfa alla condizione di Cauchy e quindi converge in R. Dobbiamo quindi mostrare che, fissato comunque un numero reale positivo c, esiste un intero n_{0} tale che, per n, m ≥ n_{0}, si abbia v(x_{n,j} − x_{m,j}) > c.

Per ipotesi, fissato comunque un numero reale positivo a, esiste un intero n_{0} tale che, per n ≥ n_{0}, si abbia ξ_{n} − ξ_{n_{0}} = ψ_{n,n_{0}} ∈ W_{a}. Supponiamo di aver fissato n ed n_{0} e sia ψ_{n,n_{0}} = (u_{j})_{j∈ℤ}. Dalla relazione ξ_{n} = ξ_{n_{0}} + ψ_{n,n_{0}}, discende (cf. Teorema 2.6 )

x_{n,j} = lim_{h→∞} S_{h}(x_{n_{0},j−h}, …, x_{n_{0},j}; u_{j−h}, …, u_{j}).

La condizione dell’enunciato limita uniformemente i valori delle componenti delle “code” dei bivettori ξ_{n} e quindi, utilizzando le congruenze del Lemma 2.1 , si ricava che esiste un intero positivo h per cui

x_{n,j} ≡ S_{h}(x_{n_{0},j−h}, …, x_{n_{0},j}; u_{j−h}, …, u_{j}) mod I_{c},

ove I_{c} = { x ∈ R | v(x) > c }; ed osserviamo che l’intero h non dipende da n o n_{0}, ma solo da j, perchè la condizione dell’enunciato è uniforme su tutte le componenti delle code dei bivettori ξ_{n}.

In base alla definizione dei polinomi di Witt, si ha

S_{h}(x_{n_{0},j−h}, …, x_{n_{0},j}; u_{j−h}, …, u_{j}) = x_{n_{0},j} + ( \begin{matrix}monomi divisibili per \\ qualcuno degli u_{i} \end{matrix} ) .

Dunque, se si sceglie a > p^{h−j}c + j e j − h ≤ i ≤ j, allora v(u_{i}) > p^{i}(a − i) > c e perciò x_{n,j} ≡ x_{n_{0},j} mod I_{c}, che è quanto volevamo. Sia quindi z_{j} = lim_{n} x_{n,j}, al variare di j in ℤ. La condizione dell’enunciato implica lim_{k→∞} inf{ v(z_{−j}) | j > k } > b e quindi la

successione ζ = (z_{j})_{j∈ℤ} è un bivettore (cf. Esempio 2.11.(b)). Resta quindi da verificare che la successione di partenza converge a ζ nella topologia indotta dalla valutazione su biv(R). Sia quindi fissato un numero reale positivo a, allora in base alle ipotesi esiste un intero r < 0 tale che tutte le r-code ξ_{n}^{(<r)} e ζ^{(<r)} siano in W_{a} (per tutti gli n). Allora utilizzando la decomposizione

ζ − ξ_{n} = (ζ^{(<r)} − ξ_{n}^{(<r)}) + (ζ^{(≥r)} − ξ_{n}^{(≥r)}),

è sufficiente mostrare che i bivettori speciali ζ^{(≥r)} − ξ_{n}^{(≥r)} sono in W_{a} per n >> 0; e questa è una conseguenza della convergenza componente per componente. CVD

Concludiamo questo numero osservando che, utilizzando il teorema precedente, si può ottenere un’altra dimostrazione del fatto che il gruppo additivo biv(R) ⊂ BivR è anche un modulo sull’anello dei bivettori speciali, ovvero che biv(R) è chiuso rispetto alla moltiplicazione per bivettori speciali. Infatti, se β = (…, 0, b_{0}, b_{1}, …) ∈ W(R) e ξ = (x_{n})_{n∈ℤ} ∈ biv(R), allora la successione delle teste (ξ^{(≥−r)})_{r∈ℕ} è di Cauchy e quindi lo stesso vale per la successione (βξ^{(≥−r)})_{r∈ℕ}, in quanto la topologia è indotta da una valutazione, e questa successione converge a βξ. Dunque, per provare che βξ è in biv(R) è sufficiente verificare che vale la condizione del Teorema 3.18 . Da un calcolo diretto si ottiene

βξ^{(≥−r)} = ∑_{h=−r}^{∞} p^{h} ∑_{j=0}^{h+r}{b_{j}^{p^{−j}}x_{h−j}^{p^{j−h}}} = ∑_{h=−r}^{∞} V^{h} ∑_{j=0}^{h+r}{b_{j}^{p^{h−j}}x_{h−j}^{p^{j}}},

ed è quindi chiaro che, essendo ξ un bivettore ed avendosi perciò lim_{k→∞} inf{ v(x_{−n}) | n >

k } > 0, vale la condizione del Teorema 3.18 per la successione (βξ^{(≥−r)})_{r∈ℕ}.

4. Bivettori e logaritmo In questa sezione ci occuperemo di approfondire la conoscenza dell’anello BivR.

Cominciamo definendo un’estensione Θ: BivR → C dell’omomorfismo Θ_{0}, della Proposizione 3.10 . Se ξ = (x_{n})_{n∈ℤ} è un bivettore speciale, si pone

Θ(ξ) = ∑_{n∈ℤ} p^{n}x̂_{n,n}.  (4.1)

Si verifica facilmente che l’applicazione ξ ↦ Θ(ξ) è un omomorfismo continuo e suriettivo dall’anello W(R)[\frac{1}{p}] su C, utilizzando le analoghe proprietà dell’omomorfismo Θ_{0}; in particolare, la continuità di Θ discende dall’osservazione che v_{C}(Θ(ξ)) ≥ w(ξ), qualunque sia il bivettore speciale ξ.

Osserviamo che la mappa ξ ↦ Θ(ξ) non è continua per la topologia canonica di biv^{s}(R) = W(R)[\frac{1}{p}] ed è questa la principale ragione per cui si è presa una topologia diversa dalla topologia canonica per costruire il completamento BivR.

Enunciamo quindi le proprietà rilevanti dell’omomorfismo Θ testè definito.

4.2 Teorema. Sia Θ: BivR → C l’estensione per continuità dell’applicazione definita in (4.1). Allora:

(a) La mappa Θ è un omomorfismo di anelli continuo e suriettivo, equivariante rispetto all’azione del gruppo di Galois G. Inoltre, se ξ = (x_{n})_{n∈ℤ} ∈ biv(R) e σ ∈ G, allora Θ(ξ) = ∑_{n∈ℤ} p^{n}x̂_{n,n} e σ(ξ) = (σ(x_{n}))_{n∈ℤ}.

(b) Se indichiamo con α = {π} + p ∈ W(R) il vettore definito nella dimostrazione della Proposizione 3.10, si ha che α è un generatore dell’ideale kerΘ ⊂ BivR.

(c) ⋂_{n≥1}(kerΘ)^{n} = {0}.

dim. (a) Le affermazioni discendono tutte da quanto dimostrato nella Proposizione 3.10 per l’omomorfismo Θ_{0}. Restano da verificare l’equivarianza di Θ rispetto all’azione di G e le proprietà della restrizione di Θ a biv(R). Osserviamo che G agisce sulle componenti dei bivettori speciali e tale azione su biv^{s}(R) è continua ed equivariante. Inoltre, se ξ = (x_{n})_{n∈ℤ} ∈ biv(R) e σ ∈ G, la successione (σ(ξ^{(≥r)}))_{r∈ℕ} soddisfa alla condizione del Teorema 3.18 , per cui si ha

σ(ξ) = lim_{r→∞} σ(ξ^{(≥r)}) = (σ(x_{n}))_{n∈ℤ}.

Sia ξ = (x_{n})_{n∈ℤ} ∈ biv(R) e mostriamo che la serie ∑_{n∈ℤ} p^{n}x̂_{n,n} converge in C. Fissiamo un numero reale positivo a ed osserviamo che, se n > a, allora v_{C}(p^{n}x̂_{n,n}) > a. D’altra parte, poichè esiste un numero reale positivo b tale che lim_{n} inf{ v(x_{−k}) | k > n } > b e quindi esiste un numero intero positivo n_{0} tale che p^{n}b − n > a e v(x_{−n}) > b per n > n_{0}. Come conseguenza, per n > n_{0}, si ha v_{C}(p^{−n}x̂_{−n,−n}) = p^{n}v(x_{−n}) − n > a. Poichè C è completo per la topologia della valutazione v_{C}, si conclude che la serie converge.

(b). Sia α = {π} + p ∈ W(R) il generatore di kerΘ_{0}, definito nella dimostrazione della Proposizione 3.10 , ed osserviamo che, si ha W(R)[\frac{1}{p}] ∩ kerΘ = αW(R)[\frac{1}{p}]. Il risultato generale, discende dal seguente

Claim. Dato un Bivettore η ∈ kerΘ, esiste una successione di bivettori speciali (ζ_{n})_{n∈ℕ} tale che ζ_{n} ∈ kerΘ per ogni n e lim_{n→∞} ζ_{n} = η.

Osserviamo che, dal Claim e dall’osservazione che lo precede, discende che, per ogni intero positivo n, ζ_{n} = αξ_{n} ove la successione (ξ_{n})_{n∈ℕ} così determinata è una successione di Cauchy di bivettori speciali; dunque esiste il suo limite ξ ∈ BivR e dalla continuità del prodotto si deduce che η = αξ.

dim. del Claim. Dato un bivettore η ∈ kerΘ, e fissato comunque un intero positivo r, esiste un bivettore speciale η_{r} tale che η − η_{r} ∈ W_{r}. Ciò implica che v_{C}(Θ(η − η_{r})) ≥ r e quindi, per la suriettività del morfismo Θ_{0}, esiste un vettore γ_{r} ∈ W(R) tale che w(γ_{r}) ≥ r e Θ(η − η_{r}) = Θ(γ_{r}). Poichè la successione (γ_{n})_{n∈ℕ} converge a zero in W(R), se ne deduce che la successione (η_{n} + γ_{n})_{n∈ℕ} converge ad η. Da ultimo osserviamo che

Θ(η_{r} + γ_{r}) = Θ(η_{r}) + Θ(γ_{r}) = Θ(η_{r}) + Θ(η − η_{r}) = Θ(η) = 0,

e quindi la successione (η_{n} + γ_{n})_{n∈ℕ} soddisfa alle richieste dell’enunciato. Ciò conclude la dimostrazione del Claim. CVD

Riprendiamo la dimostrazione del Teorema 4.2 .

(c). Mostriamo che, se un Bivettore ξ appartiene a ⋂_{n≥1}(kerΘ)^{n}, allora ξ ∈ W_{c} per qualunque c > 0 e quindi, necessariamente, ξ = 0. Supponiamo quindi che ξ ∈ (kerΘ)^{n} per ogni intero positivo n e supponiamo che esista un numero reale c per cui ξ ∉ W_{c}. Sia ζ = (z_{j})_{j∈ℤ} un bivettore speciale tale che ξ − ζ ∈ W_{c} e sia r un intero tale che

(4.3)  ζ^{(<r)} ∈ W_{c}  e  v(z_{r}^{p^{−r}}) < c − r.

Supponiamo quindi che sia ζ = ζ^{(≥r)} e v(z_{r}^{p^{−r}}) < c − r. Ora osserviamo che, poichè ξ ∈ (kerΘ)^{n}, esiste un bivettore speciale ξ_{n} = (x_{n,}_{j})_{j∈ℤ} tale che ξ ≡ α^{n}ξ_{n} modW_{c} e quindi, per transitività, si ha ζ ≡ α^{n}ξ_{n} modW_{c}. Mostriamo che quest’ultima congruenza porta ad una contraddizione con l’ipotesi fatta sul valore di z_{r} in (4.3). Precisamente, vogliamo mostrare che, per ogni intero positivo n, si ha la seguente catena di implicazioni:

ζ ≡ α^{n}ξ_{n}mod W_{c} ⟹^{(i)}(α^{n}ξ_{n}^{(<r−n)})^{(<r−n)} ∈ W_{c} ⟹^{(ii)} α^{n}ξ_{n}^{(<r−n)} ∈ W_{c} ⟹^{(iii)}
⟹^{(iii)} ζ ≡ α^{n}ξ_{n}^{(≥r−n)}mod W_{c} ⟹^{(iv)}v(x_{n,r−j}) ≥ p^{r−j}(c − r − n + j), per j = 1, …, n ⟹^{(v)}
⟹^{(v)} z_{r} = x_{n,r}π^{np^{r}}+ ( \begin{matrix}addendi di valore \\ >p^{r}(c−r) \end{matrix} ) ⟹^{(vi)} v(z_{r}^{p^{−r}}) > c − r.

Dimostriamo quindi le varie implicazioni.

(i) Per le ipotesi fatte, si ha α^{n}ξ_{n} −ζ ∈ W_{c} e quindi (α^{n}ξ_{n} −ζ)^{(<r−n)} ∈ W_{c}. Osservando poi che ζ = ζ^{(≥r)}, si deduce che (α^{n}ξ_{n}^{(<r−n)})^{(<r−n)} = (α^{n}ξ_{n}^{(<r−n)} − ζ)^{(<r−n)} e ciò permette di concludere.

(ii) Cominciamo osservando che ξ_{n}^{(<r−n)} è un bivettore speciale e quindi che, dopo la moltiplicazione per un’opportuna potenza di p, diviene un vettore di lunghezza finita. L’implicazione in questione è una conseguenza del Lemma 4.5 che dimostreremo più avanti; passiamo quindi alle successive implicazioni.

(iii) Discende dall’osservazione ζ − α^{n}ξ_{n}^{(≥r−n)} = (ζ − α^{n}ξ_{n}) + α^{n}ξ_{n}^{(<r−n)} ∈ W_{c}.

(iv) Sia ora α^{n}ξ_{n}^{(≥r−n)} = (…, 0, y_{r−n}, …, y_{r−1}, …). Poichè ζ = ζ^{(≥r)}, si ha α^{n}ξ_{n}^{(≥r−n)}− ζ)^{(<r)} = (…, 0, y_{r−n}, …, y_{r−1}, 0, …) e quindi, per le ipotesi fatte, v(y_{s}) ≥ p^{s}(c − s) per ogni s < r. Vogliamo dimostrare che, per le componenti del bivettore speciale ξ_{n}, ciò implica la condizione

v(x_{n,r−j}) ≥ p^{r−j}(c − r − n + j)  per j = 1, …, n.  (4.4)

La condizione in esame vale certamente per j = n; infatti, y_{r−n} = x_{n,r−n}π^{np^{r−n}}, e quindi da v(π) = 1 si deduce np^{r−n} + v(x_{n,r−n}) = v(y_{r−n}) ≥ p^{r−n}(c − r + n), da cui si ottiene (4.4) per j = n. Possiamo quindi utilizzare un argomento di induzione discendente e supporre che 1 ≤ j < n e che la (4.4) sia vera per tutti gli indici maggiori di j. Dalla definizione di prodotto tra bivettori speciali (cf. Proposizione 2.16 ) discende

y_{r−j} = x_{n,r−j}π^{np^{r−j}} + ( \begin{matrix}addendi di valore \\ ≥p^{r−j}(c−r+j) \end{matrix} );

dall’ipotesi v(y_{r−j}) ≥ p^{r−j}(c − r + j), si deduce in modo analogo al caso precedente la validità della condizione (4.4). Ciò conclude la verifica.

(v) Dalla relazione (4.4) e dalla congruenza ζ ≡ α^{n}ξ_{n}^{(≥r−n)} modW_{c}, discende la relazione

z_{r} = x_{n,r}π^{np^{r}} + (addendi di valore > p^{r}(c − r))

che si deduce tenendo conto delle usuali considerazioni sull’isobaricità dei polinomi di Witt che definiscono la somma.

(vi) Dall’ultima relazione si ottiene v(z_{r}) ≥ np^{r} + v(x_{n,r}), per ogni intero positivo n, da cui si deduce v(z_{r}) > p^{r}(c − r).

Dunque, la dimostrazione del Teorema 4.2 è definitivamente conclusa se siamo in grado di provare il seguente 4.5 Lemma. Se η ∈ W(R) è un vettore di lunghezza k ed M è un numero reale, allora

α^{n}η ∈ W_{M} ⇔ (α^{n}η)^{(<k)} ∈ W_{M}.

dim. L’affermazione è ovviamente vera se M ≤ k. Supponiamo quindi che sia k < M e proviamo che (α^{n}η)^{(<k)} ∈ W_{M}. Dopo di che, (3.14) e l’osservazione che w(α) = 1 permettono di concludere. Siano quindi

η = ∑_{j=0}^{k−1} p^{j}\{y′_{j}\}  ed  α^{n} = (\{π\} + p)^{n} = ∑_{i=0}^{n} \binom{n}{i}p^{i}\{π^{n−i}\}.

Si ha

α^{n}η = ∑_{h=0}^{n+k−1} p^{h}ζ_{h}  ove  ζ_{h} = ∑_{i+j=h} \binom{n}{i}\{y′_{j}π^{n−i}\}.

Osserviamo che, essendo ζ_{0} = {y′_{0}π^{n}}, se ne deduce che v(y′_{0})+n ≥ M e quindi otteniamo la stima desiderata per la componente di posto zero del vettore η. Utilizziamo ora un argomento induttivo: siano quindi α^{n}η = (g_{0}, g_{1}, …) e ζ_{h} = (z_{h,0}, z_{h,1}, …) e supponiamo che si abbia v(y′_{r}) + n ≥ M − r, per r < h < k. Dalle usuali osservazioni sui polinomi isobarici che definiscono la somma tra vettori di Witt (cf. Proposizione 1.4 ), si deduce che

g_{h} = z_{h,0} + (addendi di valore ≥ M − h),

ed essendo v(g_{h}) ≥ M − h, si ottiene v(z_{h,0}) ≥ M − h. Infine, osservando che la somma che definisce il vettore ζ_{h} e la sua componente zerea z_{h,0}, se ne deduce M −h ≤ v(y′_{h})+n, che è quanto volevamo. CVD

Lasciamo al lettore, quale esercizio, il compito di dimostrare che, quando η ∈ kerΘ∩ biv(R), esiste una successione di bivettori speciali (ζ_{n})_{n∈ℕ}, ove ζ_{n} ∈ kerΘ come nel Claim contenuto nella dimostrazione del Teorema precedente e con la proprietà aggiuntiva che le componenti z_{n,j} di indice −n ≤ j ≤ −1 di ζ_{n} coincidono con le componenti di η aventi gli stessi indici. Poichè ζ_{n} = αξ_{n} per opportuni bivettori speciali ξ_{n}, si può verificare che la successione (ξ_{n})_{n∈ℕ} soddisfa alla condizione di convergenza uniforme (cf. Teorema 3.18 ) e quindi converge ad un bivettore ξ ∈ biv(R) per cui si ha η = αξ in biv(R).

Passiamo ora a dimostrare qualche facile proprietà del modulo biv(R).

4.6 Proposizione. Notazioni come sopra. Allora

(a) (biv(R))^{G} = biv(k) = K.

(b) { ξ ∈ biv(R) | F ξ = ξ } = biv(𝔽_{p}) = ℚ_{p}.

(c) biv(k̄) ⊂ biv(R).

dim. (a). Poichè il gruppo G agisce sulle componenti degli elementi di biv(R), se ξ = (x_{j})_{j∈ℤ} è invariante rispetto all’azione di G, allora tutte le sue componenti x_{j} ∈ R sono invarianti rispetto all’azione di tale gruppo. Ciò significa che tale x_{j} è rappresentato come in (3.2) da una successione di elementi di A_{C} invarianti rispetto all’azione di G, ovvero da una successione di elementi di A. Dunque x_{j} appartiene alla copia di k contenuta in R.

(b). Un bivettore ξ = (x_{j})_{j∈ℤ} soddisfa alla condizione F ξ = ξ se, e solo se, ogni componente x_{j} soddisfa all’equazione x_{j}^{p} − x_{j} = 0 in R. Poichè R è un anello integro di caratteristica p, gli unici elementi che soddisfano a questa equazione appartengono alla copia di 𝔽_{p} contenuta in R.

(c). Poichè k̄ è il corpo residuo della valutazione equicaratteristica v di R (cf. Proposizione 3.5 ), allora vi è una copia di k̄ contenuta in R, da cui si ottiene l’inclusione che appare nell’enunciato. CVD

Introduciamo ora il logaritmo delle unità di W(R) e studiamo le sue relazioni con il logaritmo del campo C tramite l’omomorfismo Θ del Teorema 4.2 . Come prima applicazione, vedremo come, tramite tale logaritmo, si determini un elemento τ dell’ideale kerΘ ⊂ BivR che permetterà di descrivere alcuni aspetti notevoli della struttura dell’anello BivR.

4.7 Teorema. Sia U_{W(R)} il sottogruppo del gruppo moltiplicativo di W(R) i cui elementi sono i vettori ξ = (x_{0}, x_{1}, …) tali che w(ξ − 1) > 0. L’applicazione logaritmo log: U_{W(R)} → BivR, definita come di consueto ponendo

log(ξ) = ∑_{n≥1}(−1)^{n−1} \frac{(ξ − 1)^{n}}{n} ,

è un omomorfismo di gruppi continuo ed iniettivo, a valori nel sottogruppo additivo biv(R).

Questo omomorfismo commuta con le azioni del gruppo di Galois G = Gal(K̄, K) su U_{W(R)} e biv(R) ed inoltre commuta con l’applicazione logaritmo di C; ovvero, vi è un diagramma commutativo di omomorfismi G-equivarianti:

U_{W(R)} ⟶^{log} biv(R)
↓^{Θ_{0}}  ↓^{Θ}
U_{A_{C}}  ⟶^{log} C

ove U_{A_{C}} = { x ∈ A_{C} | v(x − 1) > 0 }.

dim. Osserviamo che, per un vettore ξ = (x_{0}, x_{1}, …) ∈ W(R), la condizione w(ξ −1) > 0 è equivalente alla condizione v(x_{0} − 1) > 0. Se ξ ∈ U_{W(R)} allora ξ − 1 ∈ W_{a} per un opportuno numero reale positivo a, e quindi si ha

w(\frac{(ξ−1)^{n}}{n} ) = nw(ξ − 1) − v_{p}(n) ≥ na − v_{p}(n);

poichè lim_{n→∞} na − v_{p}(n) = ∞, la serie log(ξ) soddisfa alla condizione di Cauchy e quindi converge in BivR. Osserviamo poi che, per ogni vettore di Witt η = (y_{0}, y_{1}, …) si ha η^{p^{n}} ≡ {y_{0}^{p^{n}}} mod p^{n+1}W(R); quindi le componenti di indice negativo di ogni somma finita di termini della serie log(ξ) sono polinomi senza termine noto nella variabile x_{0} −1, ed avendosi v(x_{0} − 1) ≥ a, se ne deduce che ognuna delle componenti dette ha valore ≥ a. Dunque, per il criterio di convergenza uniforme (cf. Teorema 3.18 ), si ha che log(ξ) ∈ biv(R).

Mostriamo ora che la mappa ξ ↦ log(ξ) è continua. A tale scopo è sufficiente osservare che, se w(1 − ξ) > \frac{1}{p−1}, allora w((1 − ξ)^{n}/n) > w(1 − ξ), per ogni intero n > 1, e perciò w(log(ξ)) = w(1 − ξ).

Se log(ξ) = 0, allora log(ξ^{p^{n}}) = p^{n} log(ξ) = 0 per ogni intero n ≥ 1, e quindi, a meno di sostituire ξ con qualche sua potenza, non è restrittivo supporre che si abbia w(ξ − 1) > \frac{1}{p−1}. Dunque, se ξ − 1 ≠ 0, si ha necessariamente, na − v_{p}(n) > a per ogni intero n ≥ 2, e quindi w(log(ξ)) = a che contraddice l’ipotesi log(ξ) = 0. Ciò mostra che l’applicazione log è iniettiva. Le affermazioni successive discendono facilmente dalla continuità dell’applicazione Θ e dalla sua G-equivarianza. CVD

Passiamo ora ad occuparci del logaritmo di alcuni particolari vettori e cominciamo con un Osservazione.

4.8 Lemma. Sia 1 ≠ a ∈ U_{R} = { a ∈ R | v(a − 1) > 0 }. Allora esiste un indice i ≥ 0 tale che 0 < v_{C}(â_{i} − 1) ≤ 1 e si ha v_{R}(a − 1) = p^{i}v_{C}(â_{i} − 1).

dim. Sia â_{j} = 1 + b_{j}. Dunque, v_{C}(b_{j}) > 0 e, in base a (3.2) e (3.4), si ha

v_{R}(a − 1) = lim_{j→∞} v_{C}((â_{j} − 1)^{p^{j}}).

Dalla relazione â_{j+1}^{p} = â_{j}, si ricava

b_{j} = (1 + b_{j+1})^{p} − 1 = ∑_{h=1}^{p} \binom{p}{h}b_{j+1}^{h},

ove tutti gli addendi, ad eccezione al più di b_{j+1}^{p}, hanno un valore strettamente più grande di 1 a causa della presenza del coefficiente binomiale. Dunque, se supponiamo v_{C}(b_{i}) ≤ 1 per qualche indice i ≥ 0, allora deve essere v_{C}(b_{i}) = v_{C}(b_{i+1}^{p}) = pv_{C}(b_{i+1}), da cui si deduce v_{C}(b_{i+r}) = p^{−r}v_{C}(b_{i}) per r ≥ 0. Si conclude che

v_{R}(a − 1) = lim_{j→∞} v_{C}((â_{j} − 1)^{p^{j}}) = lim_{j→∞} p^{j}v_{C}(b_{j}) = p^{i}v_{C}(b_{i}).

D’altro canto, se fosse v_{C}(b_{i}) > 1 per ogni indice i ≥ 0, allora, dalla relazione â_{i+1}^{p} = â_{i}, si otterrebbe v_{C}(b_{i}) = v_{C}(b_{i+1}) + 1 per ogni i e ciò è impossibile se a ≠ 1. CVD

4.9 Osservazioni. (a) Consideriamo il vettore {ϵ}, ove ϵ ∈ R soddisfa alle condizioni ϵ̂_{1} ≠ 1 = ϵ̂_{0}, ovvero ϵ̂_{1} è una radice p-esima primitiva dell’unità in A_{C} (cf. (3.2) per le notazioni). In base al Teorema 4.7 , τ = log{ϵ} esiste in biv(R). Inoltre, utilizzando il poligono di Newton del polinomio irriducibile \frac{(X+1)^{p}−1}{X}, è facile verificare che il valore in A_{C} di ϵ̂_{1} − 1, che di tale polinomio è radice, è uguale ad \frac{1}{p−1}. Il Lemma precedente permette di concludere che v(ϵ − 1) = \frac{p}{p−1}.

Vogliamo mostrare che w(\{ϵ\} − 1) = \frac{p}{p−1} e che \{ϵ\} − 1 ∈ kerΘ_{0} \ (kerΘ_{0})^{2}. In particolare, da ciò discende che w(τ) = w(\{ϵ\} − 1) = \frac{p}{p−1} (cf. la dimostrazione del Teorema 4.7 ).

Si consideri il vettore \{ϵ\} − 1 = (c_{0}, c_{1}, …); per mostrare che w(\{ϵ\} − 1) = \frac{p}{p−1}, è sufficiente provare che p^{−1}v(c_{1}) + 1 ≥ \frac{p}{p−1}.

Supponiamo p ≠ 2; il caso p = 2 sarà trattato separatamente. Da un calcolo diretto sui vettori di Witt, si ottiene

c_{1} = − ∑_{j=1}^{p−1} \frac{1}{p}\binom{p}{j}(−1)^{p−j}ϵ^{j} = − ∑_{j=1}^{\frac{p−1}{2}} \frac{1}{p}\binom{p}{j}(−1)^{p−j}ϵ^{j}(1 − ϵ^{p−2j})

e dalla considerazione che 1 − ϵ divide tutti i termini del tipo (1 − ϵ^{p−2j}) nella somma si ottiene che il valore di c_{1} è maggiore o uguale di v(ϵ − 1) = \frac{p}{p−1}.

L’ideale kerΘ_{0} ⊂ W(R) è generato dal vettore α = {π} + p (cf. Proposizione 3.10 ); quindi {ϵ}−1, che appartiene all’ideale kerΘ_{0}, si decompone nel prodotto αζ, con ζ ∈ W(R) e w(ζ) = \frac{1}{p−1} < 1. Si conclude che ζ ∉ kerΘ_{0}, perchè kerΘ_{0} ⊂ W_{1}, e quindi {ϵ} − 1 ∉ (kerΘ_{0})^{2}.

Supponiamo p = 2. Con un calcolo diretto sui polinomi di Witt, si ottiene che la componente c_{1} di {ϵ} − 1 = {ϵ} + (1, 1, …), è uguale a c_{1} = 1 − ϵ. Dunque, anche in questo caso si ha w(\{ϵ\} − 1) = \frac{p}{p−1} = 2.

Sia ora \{ϵ\} − 1 = αζ ove ζ = (z_{0}, z_{1}, …) con z_{0} = \frac{ϵ−1}{π} e z_{1} = \frac{ϵ−1−z_{0}^{2}}{π^{2}} . È quindi sufficiente osservare che Θ_{0}(ζ) ≡ ẑ_{0,0}+2ẑ_{1,1}mod 4A_{C} e che v_{C}(ẑ_{0,0}) = 1 e v_{C}(ẑ_{1,1}) > 0^{(†)}, per concludere che v_{C}(Θ_{0}(ζ)) = 1 e quindi Θ_{0}(ζ) ≠ 0.

(b) L’elemento ϵ ∈ R è una base del modulo di Tate del gruppo moltiplicativo, ovvero dello ℤ_{p}-modulo ϵ^{ℤ_{p}} ≅ T 𝔾_{m} = Hom_{ℤ}(ℤ[\frac{1}{p}]/ℤ, 𝔾_{m}(A_{C}))^{(∗)}, contenuto nel gruppo moltiplicativo dell’anello R. L’azione del gruppo di Galois G sull’elemento {ϵ} è determinata da un carattere χ: G → ℤ_{p}^{×}, ovvero, per ogni elemento σ ∈ G, si ha σ{ϵ} = {ϵ}^{χ(σ)}.

Tramite il logaritmo definito nel Teorema 4.7 , gli elementi del tipo {ϵ^{r}}, con r ∈ ℤ_{p} vengono mandati nel sotto-ℤ_{p}-modulo di biv(R) generato da τ = log{ϵ}. Inoltre, poichè biv(R) è un ℚ_{p}-modulo, si ottiene in tal modo un’immersione dello spazio di Tate V 𝔾_{m} = T 𝔾_{m} ⊗ ℚ_{p} ≅ ℚ_{p}τ nel gruppo additivo di biv(R), compatibile con l’azione del gruppo di Galois; ovvero, si ha

σ(τ) = log({ϵ}^{χ(σ)}) = χ(σ)τ per ogni σ ∈ G.

Ciò significa che il sotto-ℚ_{p}-modulo di biv(R) generato da τ è isomorfo al modulo di Galois ℚ_{p}(1) (Twist di Tate del campo dei numeri p-adici).

Dalla continuità del Frobenius in BivR, si deduce la relazione

(4.10)  F τ = log(F {ϵ}) = log{ϵ^{p}} = p log{ϵ} = pτ;

(†) Per verificare questa affermazione, si osservi che, dal calcolo delle componenti del vettore ζ, si ha v_{C}(ẑ_{1,1}) > 0 se, e solo se, v_{R}(π^{2} − (ϵ − 1)) > 2. Bisogna quindi mostrare che, per n elevato, si ha v_{C} ((û_{n−1} − (ϵ̂_{n} − 1))^{2^{n}}) > 2, ove π = (u_{0}, u_{1}, …) ∈ R ed û_{0} = −2. Poichè

v_{C} ((û_{n−1} − (ϵ̂_{n} − 1))^{2^{n}}) > 2 ⟺ v_{C} (û_{n−1}^{2^{n}} + (ϵ̂_{n} − 1)^{2^{n}}) > 2

ed û_{n−1}^{2^{n}} = 4; la tesi è vera se, e solo se, (ϵ̂_{n} −1))^{2^{n}} = ±4+t con v_{C}(t) > 2. Dalla formula del binomio e dalla definizione di ϵ, si ricava che

(ϵ̂_{n} − 1))^{2^{n}} = 2 − \binom{2^{n}}{2^{n−1}} + [\binom{2^{n}}{2^{n−2}} − \binom{2^{n}}{3 2^{n−2}}] ϵ̂_{2} + t con v_{C}(t) > 2

e basta ricordare che, per n ≥ 2, si ha \binom{2^{n}}{2^{n−1}} ≡ −2 mod 8 per concludere.

(∗) Se r ∈ ℤ_{p} = \underleftarrow{lim}_{n} ℤ/p^{n}ℤ, sia r = (r_{n})_{n∈ℕ} con r_{n} ∈ ℤ/p^{n}ℤ. Sia k ≥ 0, allora, per

ogni ϵ̂_{k}, radice p^{k}-esima di 1, si ha ϵ_{k}^{r} := lim_{n→∞} ϵ̂_{k}^{r_{n}} = ϵ̂_{k}^{r_{k}}; e quindi è ben definito il valore

ϵ^{r} ∈ R. da cui discende V τ = τ. Si conclude che il W(k)-modulo W(k)τ ⊂ biv(R) è dotato degli endomorfismi (semilineari) F e V, soddisfacenti alle condizioni F V = V F = p ed è quindi un Modulo di Dieudonné (il modulo di Dieudonné del gruppo moltiplicativo su k).

Apriamo una parentesi per descrivere in modo preciso i bivettori del tipo log{a} al variare di a in U_{R}. Cominciamo ricordando l’usuale condizione di convergenza di una serie di tipo esponenziale.

4.11 Lemma. Sia η = (y_{j})_{j∈ℤ} un bivettore e sia (β_{n})_{n∈ℕ} una successione di vettori. Se

w(η) = a > \frac{1}{p−1}, allora la serie ∑_{n=0}^{∞} β_{n} \frac{η^{n}}{n!} converge in BivR.

dim. Poichè w(β_{n} \frac{η^{n}}{n!} ) ≥ na − v_{p}(n!) ≥ na − \frac{n−1}{p−1}, ed inoltre, se a > \frac{1}{p−1}, si ha lim_{n→∞}[na −

\frac{n−1}{p−1}] = ∞; allora la serie nell’enunciato soddisfa alla condizione di Cauchy e perciò converge. CVD

Sia E il sotto-W(R)-modulo di BivR così definito

E = \{ η | w(η) > \frac{1}{p−1} \}

e definiamo l’applicazione continua exp: E → BivR ponendo exp(η) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{η^{n}}{n!} per ogni

η ∈ E. Osserviamo che la continuità discende facilmente dall’osservazione che w(η) = b > \frac{1}{p−1} implica che w(exp(η) − 1) = b. Dunque è immediato osservare che la serie esponenziale e la serie di log(1−x) definiscono un isomorfismo tra il sottogruppo additivo E di BivR ed il sottogruppo moltiplicativo U′ = \{ η ∈ BivR | w(1 − η) > \frac{1}{p−1} \}.

Siamo quindi in grado di caratterizzare i bivettori del tipo log{ϵ} in un modo analogo a quanto dimostrato da Barsotti per quanto concerne la sua topologia (cf. Teorema 2.9 di [MA]).

4.12 Teorema. Sia L = { η ∈ E ∩ biv(R) | V η = η }. Se η ∈ L allora η = log{x} per qualche x ∈ R. Più precisamente se indichiamo con y una componente di η, allora

x = E(y) ove E(t) = exp ( ∑_{j=0}^{∞} p^{−j}t^{p^{j}}) ∈ ℤ_{p}[[t]] è la funzione di Artin-Hasse.

dim. Se η ∈ L, allora η = lim_{n→∞} V^{n}(η^{(≤0)}). Dalla continuità dell’esponenziale, si ottiene

exp(η) = lim_{n→∞} exp(V^{n}(η^{(≤0)})),

e dalla continuità del Frobenius e del suo inverso, si ottiene

exp(V^{n}(η^{(≤0)})) = F^{−n} exp(p^{n}(η^{(≤0)})) = F^{−n}[exp(η^{(≤0)})]^{p^{n}}.

Se indichiamo con y una componente di η (sono tutte uguali tra loro), possiamo scrivere

la rappresentazione di Teichmüller di η^{(≤0)} = ∑_{j=0}^{∞} p^{−j}{y^{p^{j}}}. Osserviamo ora che il vettore

{y} ha w-valore positivo, essendo η un bivettore, e quindi, poichè la serie E(t) ∈ ℤ_{p}[[t]], se ne deduce che exp(η^{(≤0)}) = E({y}) ∈ W(R). Come conseguenza, si ha

exp(η) = lim_{n→∞} exp(V^{n}(η^{(≤0)})) = lim_{n→∞} F^{−n}E({y})^{p^{n}} = {E(y)},

perchè per qualsiasi vettore di Witt ξ = (x_{0}, x_{1}, …) e per qualsiasi intero non-negativo n, si ha ξ^{p^{n}} ≡ F^{n}{x_{0}} mod p^{n+1}W(R). CVD

Siamo quindi in grado di illustrare grazie al bivettore τ = log{ϵ} alcune delle proprietà dell’anello BivR e della mappa Θ del Teorema 4.2 .

4.13 Proposizione. Sia τ = log{ϵ}. Allora τ appartiene a kerΘ e la sua immagine

genera il C-spazio vettoriale \frac{kerΘ}{(kerΘ)^{2}} .

dim. Per prima cosa osserviamo che Θ(τ) = Θ(log{ϵ}) = log(Θ_{0}({ϵ})) = log(1) = 0. Dunque τ ∈ kerΘ. Posto γ = 1 − {ϵ} ∈ kerΘ_{0} \ (kerΘ_{0})^{2} (cf. Osservazione 4.9.(a)) si ha

τ = γ + ∑_{n≥2}(−1)^{n+1} \frac{γ^{n}}{n};

e quindi τ ≡ γ mod (kerΘ)^{2}, da cui si deduce la tesi. CVD

Una conseguenza del risultato precedente è il seguente:

4.14 Corollario. Per ogni intero n ≥ 0 vi è un omomorfismo ϕ_{n}: (kerΘ)^{n} → C, che induce un isomorfismo di moduli di Galois

ϕ_{n}: \frac{(kerΘ)^{n}}{(kerΘ)^{n+1}} → C(n)

ove C(n) = C ⊗ ℤ_{p}(n) è il twist di Tate di C tramite il carattere ciclotomico.

dim. L’omomorfismo ϕ_{0} è la mappa Θ del Teorema 4.2 , che commuta con le azioni del gruppo di Galois G su BivR e C. Sia α = {π} + p il generatore di kerΘ ed osserviamo che, in base alla Proposizione 4.12 , si ha τ = αβ con Θ(β) ≠ 0 e quindi è ben definita l’applicazione ϕ_{n}: (kerΘ)^{n} → C che manda l’elemento ξ = α^{n}μ ∈ (kerΘ)^{n} sull’elemento Θ(μ)Θ(β)^{−n} ∈ C. È facile verificare che tale applicazione è BivR-lineare, suriettiva e che il suo nucleo è esattamente (kerΘ)^{n+1}; dunque, ϕ_{n} determina un isomorfismo Clineare tra il quoziente \frac{(kerΘ)^{n}}{(kerΘ)^{n+1}} e C. Rimane quindi da verificare l’asserzione sull’azione del gruppo G. Per ogni s ∈ G, si ha s(α) ∈ kerΘ e w(α) = w(s(α)), cosicchè s(α) = αλ_{s} per un qualche vettore λ_{s}, con w(λ_{s}) = 0. Inoltre, χ(s)αβ = χ(s)τ = s(τ) = s(α)s(β) = λ_{s}αs(β), che implica χ(s)β = λ_{s}s(β), perchè BivR è un dominio di integrità. Applicando Θ si ottiene χ(s)Θ(β) = Θ(λ_{s})Θ(s(β)) e quindi Θ(λ_{s})^{n}Θ(β)^{−n} = χ(s)^{n}s(Θ(β))^{−n} per ogni n ≥ 1. Allora, per ξ = α^{n}μ ∈ (kerΘ)^{n} si ottiene

\begin{aligned}ϕ_{n}(s(ξ)) & = ϕ_{n}(s(α^{n})s(μ)) = ϕ_{n}(α^{n}λ_{s}^{n}s(μ)) = Θ(λ_{s})^{n}Θ(s(μ))Θ(β)^{−n} = \\ & = Θ(s(μ))χ(s)^{n}s(Θ(β))^{−n} = χ(s)^{n}s[Θ(μ)Θ(β)^{−n}] = χ(s)^{n}s[ϕ_{n}(ξ)]; \end{aligned}

e ciò è quanto volevamo. CVD

Siamo quindi in grado di dimostrare un altro risultato che descrive l’azione del gruppo G sull’anello BivR.

4.15 Proposizione. Notazioni come sopra. Allora (BivR)^{G} = biv(k) = K. Più in generale, per ogni i ≥ 0, si ha

B(i) = { ξ ∈ BivR | s(ξ) = χ(s)^{i}ξ ∀s ∈ G } = τ^{i}K.

dim. Cominciamo con la determinazione di B(0) = (BivR)^{G}. Se s(ξ) = ξ per ogni s ∈ G, allora Θ(ξ) ∈ C^{G} = K e perciò esiste un elemento ξ′ ∈ biv(k) = K tale che ξ − ξ′ = η ∈ kerΘ. Essendo differenza di due elementi G-invarianti, anche η è in B(0) e ciò implica ϕ_{1}(η) = ϕ_{1}(s(η)) = χ(s)s(ϕ_{1}(η)), e quindi ϕ_{1}(η) = 0^{(∗)} e perciò η ∈ (kerΘ)^{2}. Ragionando in modo analogo si ottiene η ∈ (kerΘ)^{n} per ogni n e quindi, in base al Teorema 4.2 , se ne deduce che η = 0 e quindi B(0) = biv(k) = K.

Supponiamo ora n ≥ 1 e sia ξ ∈ B(n). Utilizzando gli argomenti precedenti, si ottiene ϕ_{j}(ξ) = 0 per j < n e ξ ≡ τ^{n}ξ′ mod (kerΘ)^{n}, per un opportuno ξ′ ∈ K. Se ne deduce che ξ − τ^{n}ξ′ = η_{n} ∈ (kerΘ)^{n+1} ∩ B(n) e quindi η_{n} soddisfa alla condizione χ(s)^{n}ϕ_{n+1}(η_{n}) = ϕ_{n+1}(s(η_{n})) = χ(s)^{n+1}s(ϕ_{n+1}(η_{n})), per ogni s ∈ G, e ciò implica ϕ_{n+1}(η_{n}) = 0 e perciò η_{n} ∈ (kerΘ)^{n+2}. Applicando gli argomenti precedenti, se ne deduce che η_{n} ∈ (kerΘ)^{k} per ogni k e perciò η_{n} = 0 da cui si conclude che B(n) = τ^{n}K. CVD

(∗) Ricordiamo che, per i > 0, si ha C(i)^{G} = (0) (cf. Theorem 2 di J. T. Tate p–divisible groups Proc. Conf. on Local Fields, Driebergen 1967, pp. 158–183).

Torniamo a discutere del logaritmo e dell’estensione dell’applicazione definita nel Teorema 4.7 a tutti i vettori del tipo {x}, al variare di x in R\0. Per chiarire le relazioni tra una tale estensione ed il logaritmo p–adico del campo C, abbiamo bisogno di alcune definizioni.

4.16 Definizione. Ricordiamo che, se Γ è un gruppo commutativo, si definiscono

il Modulo di Tate di Γ  T_{p}(Γ) := Hom_{ℤ}(ℤ[\frac{1}{p}]/ℤ, Γ),
lo Spazio di Tate di Γ  V_{(p)}(Γ) := Hom_{ℤ}(ℤ[\frac{1}{p}], Γ).

Qualunque sia Γ si ha la sequenza esatta

0 → T_{p}(Γ) ⟶ V_{(p)}(Γ) ⟶^{π} Γ .

In particolare, se Γ è un gruppo p–divisibile, l’omomorfismo π è suriettivo, ed è un isomorfismo se, inoltre, Γ è privo di p–torsione.

Consideriamo ora i gruppi moltiplicativi A_{C}^{×} = 𝔾_{m}(A_{C}) e C^{×} = 𝔾_{m}(C). Per tali gruppi si ha

V_{(p)}(A_{C}^{×}) = R^{×},  V_{(p)}(C^{×}) = (FrR)^{×},  T_{p}(A_{C}^{×}) = T_{p}(C^{×}) ≅ ϵ^{ℤ_{p}} = ℤ_{p}(1);

ove ϵ ∈ R ed ϵ̂_{1} ≠ 1 = ϵ̂_{0} (cf. Osservazione 4.9.(b)). In particolare, poichè sia A_{C}^{×} che C^{×} sono gruppi divisibili, si ha il seguente diagramma commutativo, a righe e colonne esatte (tratto da [FO3])

(4.17)  \begin{aligned}& & & & 0 & & 0 \\ & & & & ↓ & & ↓ \\ 0 & ⟶ & ℤ_{p}(1) & ⟶ & R^{×} & ⟶ & A_{C}^{×} & ⟶ & 0 \\ & & ∥ & & ↓ & & ↓ \\ 0 & ⟶ & ℤ_{p}(1) & ⟶ & (FrR)^{×} & ⟶ & C^{×} & ⟶ & 0 \\ & & & & ↓^{v_{R}} & & ↓^{v_{C}} \\ & & & & ℚ & & ℚ \\ & & & & ↓ & & ↓ \\ & & & & 0 & & 0 \end{aligned} .

Prima di discutere dell’estensione del logaritmo di vettori di Witt, ricordiamo la definizione del logaritmo p–adico del corpo C. Possiamo dividere la costruzione in due passi:

(i) dato un elemento x ∈ A_{C}^{×}, si consideri la sua immagine x_{0} ∈ k̄ = A_{C}/m ed il suo rappresentante moltiplicativo {x_{0}} in A_{C} (cf. Lemma 1.17 ). Allora u = x{x_{0}^{−1}} appartiene ad U_{A_{C}} e si pone

log x := log u = − ∑_{n≥1} \frac{(1 − u)^{n}}{n} ∈ C.

Si definisce in tal modo un’applicazione continua log : A_{C}^{×} → C, che commuta con l’azione del gruppo di Galois.

(ii) Supponiamo che, come di consueto, la valutazione di C sia normalizzata ponendo v(p) = 1. Allora, dato un elemento x ∈ C^{×}, esistono e sono univocamente determinati, due interi r ed s ed un elemento y ∈ A_{C}^{×}, tali che s > 0, (r, s) = 1 e p^{r}y = x^{s} (in particolare v_{C}(x) = \frac{r}{s}). Dunque, per qualsiasi applicazione logaritmo che estenda l’omomorfismo descritto in (i), deve aversi

log x = \frac{r}{s} log p + \frac{1}{s} log y,

ove log y è stato definito in (i) ed il valore di log p può essere assegnato ad arbitrio. Dunque, per ogni scelta di log p in K = biv(k) si ottiene nel modo descritto un omomorfismo continuo log : C^{×} → C, che commuta con l’azione del gruppo di Galois. La scelta usuale è quella di porre log p = 0.

4.18 Definizione. Poniamoci ora in V_{(p)}(C^{×}) = (FrR)^{×} e discutiamo in dettaglio la definizione del logaritmo.

(i) Se x ∈ R^{×} = V_{(p)}(A_{C}^{×}), possiamo decomporre x nel prodotto x = x_{0}u, ove x_{0} ∈ k̄ ⊂ R ed u ∈ U_{R} (cf. Proposizione 3.5 ). Si pone

log\{x\} := log\{u\} = − ∑_{n≥1} \frac{(1 − \{u\})^{n}}{n} ∈ BivR.  (4.19)

Come già osservato nel Teorema 4.7 , questa definizione commuta con l’azione del gruppo di Galois ed ha i suoi valori in biv(R).

(ii) Sia ora x ∈ (FrR)^{×} e si consideri un elemento σ ∈ R, tale che σ̂_{0} = p (cf. (3.2)). Allora esistono e sono univocamente determinati, due interi r ed s ed un elemento y ∈ R^{×}, tali che s > 0, (r, s) = 1 e σ^{r}y = x^{s} (in particolare v_{R}(x) = \frac{r}{s}). Perciò, se esiste una applicazione “logaritmo” che estenda l’omomorfismo definito in (i), deve aversi

log\{x\} = \frac{r}{s} log\{σ\} + \frac{1}{s} log\{y\}.

Si tratta quindi di dare un valore a log{σ}, ma, a differenza del logaritmo p–adico, non sono possibili scelte arbitrarie se si vuole che il logaritmo commuti con l’azione del gruppo di Galois. Osserviamo inoltre che, se si vuole che questo logaritmo sia in relazione con il logaritmo p–adico di C, si deve porre log\{σ\} = log \frac{\{σ\}}{p} + log p, ove l’ultimo addendo è il valore del logaritmo p–adico log p ∈ biv(k) ⊂ BivR. D’altro canto, la se-

rie ∑_{n≥1} \frac{(1 − \{σ\}/p)^{n}}{n}, non converge in BivR, perchè w(1 − \{σ\}/p) = 0, ma si ha

1 − \frac{\{σ\}}{p} ∈ kerΘ e quindi tale serie converge nel completamento di BivR relativamente all’ideale kerΘ. Indicato (provvisoriamente) con il simbolo 𝔹 tale anello^{(∗)}, ovvero

(4.20)  𝔹 = \underleftarrow{lim}_{n∈ℕ} BivR/(kerΘ)^{n},

osserviamo che 𝔹 è dotato di una naturale azione di Galois (per estensione dell’azione continua su BivR) e di un omomorfismo suriettivo Θ : 𝔹 → C che commuta con l’azione del gruppo di Galois (estensione dell’omonimo omomorfismo definito su BivR). In particolare, si può dar valori in tale anello ad un omomorfismo log : V_{(p)}(C^{×}) → 𝔹, che commuta con le azioni del gruppo di Galois, definito dalla posizione

log\{x\} := \frac{r}{s} log \frac{\{σ\}}{p} + \frac{r}{s} log p + \frac{1}{s} log\{y\},

ove x^{s} = σ^{r}y è la decomposizione descritta sopra, log{y} ∈ BivR è il logaritmo definito in (i) e log p ∈ biv(k) è il valore del logaritmo p–adico. Il logaritmo così definito è collegato col logaritmo p–adico di C^{×} dalla relazione Θ(log{x}) = log(πx), ove π : V_{(p)}(C^{×}) → C è la proiezione canonica (cf. Definizione 4.16 e diagramma (4.17)).

Abbiamo già detto dell’azione di Galois su 𝔹 = \underleftarrow{lim} BivR/(kerΘ)^{n} e dell’omomorfismo suriettivo Θ : 𝔹 → C; vogliamo dare qualche ulteriore informazione su questo anello osservando che il contenuto delle Proposizioni 4.13, 4.14 e 4.15 si trasporta all’anello 𝔹 ed agli ideali (kerΘ)^{n} di tale anello. Per distinguerli dagli omonimi ideali dell’anello

(∗) Vedremo nella prossima sezione che l’anello 𝔹 è isomorfo all’anello B_{dR}^{+} di Fontaine.

BivR, scriveremo Fil^{n} per indicare l’ideale (kerΘ)^{n} di 𝔹, ma useremo ancora il simbolo ϕ_{n} per indicare l’omomorfismo Fil^{n} → C (cf. Corollario 4.14) e l’isomorfismo indotto Fil^{n}/Fil^{n+1} ≅ C(n). In particolare, osserviamo che 𝔹 è un anello di valutazione discreta equicaratteristica, con corpo residuo uguale a C ed ideale massimale Fil^{1}, generato da un qualunque elemento di Fil^{1} \ Fil^{2}; in particolare, se σ ∈ R con σ̂_{0} = p, l’ideale Fil^{1} è generato dal vettore α = p − {σ} ∈ kerΘ_{0} ⊂ W(R).

Vogliamo concludere questa sezione mostrando un’ulteriore proprietà del logaritmo.

4.21 Teorema. Sia σ ∈ R con σ̂_{0} = p; allora l’elemento

u = log \frac{\{σ\}}{p} = − ∑_{n≥1} \frac{(1 − \{σ\}/p)^{n}}{n}

di 𝔹 (cf. (4.20)) non è algebrico su Fr(BivR).

La dimostrazione discenderà da alcuni Lemmi^{(∗)}. Cominciamo fissando alcune notazioni. Si consideri il vettore α = p − {σ}, generatore dell’ideale I = kerΘ_{0} di W(R) (cf. Proposizione 3.10.(b) e sua dimostrazione) e sia β = α/p ∈ W(R)[\frac{1}{p}]. Possiamo quindi enunciare il seguente

4.22 Lemma 1. Sia β come sopra e si indichi con S il sottoanello di 𝔹 formato dagli elementi che si possono scrivere nella forma ∑_{n≥0} a_{n}β^{n}, con a_{n} ∈ W(R) per ogni n ≥ 0.

Allora BivR ⊆ S[\frac{1}{p}].

dim. Ogni elemento di BivR si può scrivere nella forma ∑_{n≥0} b_{n}, ove b_{n} appartiene a W(R)[\frac{1}{p}] per ogni n ≥ 0 e la serie converge nella topologia della valutazione w. Sia I = kerΘ_{0} l’ideale di W(R) e si ponga I^{0} = W(R). Diamo una descrizione degli intorni dello zero in W(R)[\frac{1}{p}] per la topologia della valutazione, tramite le potenze dell’ideale I. In base alla Proposizione 3.10.(c), per ogni intero positivo n, si ha

W_{n}^{0} = { x ∈ W(R) | w(x) ≥ n } = ∑_{j=0}^{n} p^{j}I^{n−j} .

Da ciò si deduce

W_{k} = \{ x ∈ W(R)[\frac{1}{p}] | w(x) ≥ k \} = ∑_{j≥0} p^{−j}W_{k+j}^{0} = ∑_{j≥−k} p^{−j}I^{k+j}.

(∗) Le dimostrazioni che seguono sviluppano un argomento analogo alla dimostrazione del Teorema 4.2.4 di [FO3].

Poichè la serie ∑_{n≥0} b_{n} converge, fissato comunque un intero positivo k, esiste un indice n_{k} tale che b_{n} ∈ W_{k} per ogni n ≥ n_{k}. Ciò significa che, per n ≥ n_{k}, si ha

b_{n} = ∑_{j≥−k} p^{−j}a_{n,j+k}α^{k+j},

con gli a_{n,j+k} in W(R) e quasi tutti nulli. Dunque, utilizzando β = α/p si può scrivere b_{n} = ∑_{h≥0} a′_{n,h}β^{h}, con a′_{n,h} ∈ p^{k}W(R) per ogni n ≥ n_{k}. Ciò significa che, per ogni valore di h fissato, la serie ∑_{n≥0} a′_{n,h} converge ad un elemento a_{h} ∈ W(R)[\frac{1}{p}] nella topologia p–adica di tale anello. Si conclude che la serie ∑_{h≥0} a_{h}β^{h} = ∑_{n≥0} b_{n} appartiene ad S[\frac{1}{p}]. CVD

4.23 Lemma 2. Sia u = log \frac{\{σ\}}{p} in 𝔹; allora u ∉ Fr(BivR).

dim. Siano α = p − \{σ\} e β = α/p; allora u = − ∑_{n≥1} \frac{β^{n}}{n}. Per mostrare che u ∉ Fr(BivR), è sufficiente mostrare che u ∉ FrS, ove S è il sottoanello di 𝔹 definito nel Lemma 1 . Si considerino quindi gli ideali di S

Fil^{j}S := S ∩ Fil^{j} = β^{j}S per j ≥ 1;

e si denoti con ϕ_{j} : Fil^{j}S → A_{C} l’applicazione che manda aβ^{j} in Θ(a).

Per concludere è sufficiente mostrare che, se 0 ≠ a ∈ S, allora au ≠ S; ed essendo ⋂_{n≥0} p^{n}S = (0), non è restrittivo supporre che a = p^{r}x con r ≥ 0 ed x ∈ S \ pS.

Osserviamo che, se b ∈ W(R) soddisfa alla condizione Θ_{0}(b) ∈ pA_{C}, allora b ∈ pW(R) + I ⊆ pS. Quindi, se x = ∑_{n≥0} b_{n}β^{n} ∈ S \ pS, esiste un indice i ≥ 0 tale che

Θ_{0}(b_{h}) ∈ pA_{C} per h < i texteΘ_{0}(b_{i}) ∉ pA_{C}.

Si fissi quindi un intero j tale che j > r e p^{j} > i.

Se p^{r}xu ∈ S, otteniamo una contraddizione, infatti, in tal caso si avrebbe

−p^{j−1}xu = x ( ∑_{m≥1} p^{j−1} \frac{β^{m}}{m} ) ∈ S;

da cui si deduce che

x\frac{β^{p^{j}}}{p} ∈ S + Fil^{2p^{j}}.

Dunque, per le ipotesi fatte su i e j, si ha

b_{i} \frac{β^{p^{j}+i}}{p} ∈ S + Fil^{i+p^{j}+1};

e perciò

ϕ_{i+p^{j}}(b_{i} \frac{β^{p^{j} +i}}{p}) ∈ ϕ_{i+p^{j}}(Fil^{i+p^{j}}S) = A_{C}.

D’altra parte, con un calcolo diretto, si ottiene

ϕ_{i+p^{j}}(b_{i} \frac{β^{p^{j} +i}}{p}) = Θ_{0}(b_{i})/p ∉ A_{C}

e questa è la contraddizione cercata. CVD

Possiamo quindi concludere con

dim. del Teorema (4.21). In base ai Lemmi precedenti è sufficiente mostrare che, se u fosse algebrico su Fr(BivR), allora u apparterrebbe a tale corpo. Sia quindi c_{d} + c_{d−1}X + ⋯ + c_{1}X^{d−1} + X^{d} il polinomio minimo di u su Fr(BivR).

Si osservi che, dato un elemento g ∈ G = Gal(K̄/K), si ha g(\frac{\{σ\}}{p}) = \frac{\{σ\}}{p}\{ϵ\}^{η(g)}, ove η : G → ℤ_{p} è un’applicazione continua ed ϵ ∈ R è definito nell’Osservazione 4.9.(a). Posto τ = log{ϵ} ∈ BivR, si deduce dalla relazione precedente che g(u) = u + η(g)τ in quanto il logaritmo commuta con l’azione di G.

Poichè BivR ed il suo corpo delle frazioni sono chiusi rispetto all’azione di G, dalla relazione

g(c_{d}) + g(c_{d−1})(u + η(g)τ) + ⋯ + g(c_{1})(u + η(g)τ)^{d−1} + (u + η(g)τ)^{d} = 0

e dall’unicità del polinomio minimo si deduce che

g(c_{1}) + dη(g)τ = c_{1} per ogni g ∈ G.

Dunque, posto c = c_{1} + du, si ha g(c) = c per ogni g ∈ G; e quindi c ∈ 𝔹^{G} = K ⊂ BivR. Si conclude che u = \frac{c−c_{1}}{d} ∈ Fr(BivR), che è quanto volevamo. CVD 5. Confronto con gli anelli di Fontaine

Lo scopo di questa sezione è di mostrare in dettaglio le relazioni esistenti tra l’anello BivR, il modulo biv(R) e gli anelli B^{+}, B_{cris}^{+}, B_{st}^{+}, B_{dR}^{+} e B_{HT}^{+} ; parte dei quali fu introdotta da Fontaine in [FO2]. Una descrizione dettagliata e aggiornata di tali anelli si può trovare in [FO3], dove, tra l’altro, alcuni di questi anelli vengono caratterizzati come soluzioni di problemi universali.

Parte dei risultati di questa sezione sono contenuti in [PD].

Cominciamo richiamando la nozione di ideale a potenze divise (cf. ad esempio P. Berthelot Cohomologie Cristalline des Schemas de Caractéristique p > 0, Lecture Notes in Mathematics 407, Springer 1974).

Richiamo. Sia A un anello e J un ideale di A. Si chiama struttura di ideale a potenze divise (o PD-struttura) su J, il dato di una famiglia di applicazioni (γ_{n} : J → A)_{n∈ℕ}, soddisfacenti alle seguenti condizioni

(i) per ogni x ∈ J si ha γ_{0}(x) = 1, γ_{1}(x) = x, e, per n ≥ 2, γ_{n}(x) ∈ J; (ii) per ogni x, y ∈ J e per ogni n ∈ ℕ si ha γ_{n}(x + y) = ∑_{i=0}^{n} γ_{i}(x)γ_{n−i}(y); (iii) per ogni a ∈ A, per ogni x ∈ J e per ogni n ∈ ℕ si ha γ_{n}(ax) = a^{n}γ_{n}(x); (iv) per ogni x ∈ J e per ogni m, n ∈ ℕ si ha γ_{m}(x)γ_{n}(x) = \binom{n+m}{m}γ_{m+n}(x);

(v) per ogni x ∈ J e per ogni m, n ∈ ℕ si ha γ_{m}(γ_{n}(x)) = C_{m,n}γ_{mn}(x), ove C_{m,n} = \frac{(mn)!}{m! (n!)^{m}} = ∏_{j=2}^{m} \binom{nj−1}{n−1}.

Diamo ora la definizione degli anelli B_{cris}^{+} e B^{+}. Si considerino l’anello W(R) ed il suo ideale I = kerΘ_{0} e sia α un generatore di I come in §.3. Indichiamo con A il sottoanello di W(R)[\frac{1}{p}] generato su W(R) dagli elementi del tipo \frac{α^{n}}{n!} . Vi è un’ovvia estensione su A dell’omomorfismo Θ_{0} e, indicato con J il suo nucleo, vi è una naturale struttura di potenze divise sull’ideale J, definita ponendo γ_{n}(x) = \frac{x^{n}}{n!} per ogni x in J. Il completamento di A rispetto alla topologia p–adica si indica con il simbolo A_{cris}^{(∗)}. Si pone infine (cf. [FO3], 2.3)

(5.1)  B_{cris}^{+} := A_{cris}[\frac{1}{p}].

L’anello B_{cris}^{+} è dotato di un endomorfismo di Frobenius F, ottenuto estendendo per continuità l’omonimo endomorfismo di W(R)[\frac{1}{p}]; si osservi infatti che, se α = \{π\} + p è il generatore di kerΘ_{0} descritto nella dimostrazione della Proposizione 3.10 , si ha

(∗) In altri termini, l’anello A_{cris} è isomorfo all’inviluppo p–adico a potenze divise della coppia (W(R), I).

F α = {π^{p}} + p = {π^{p−1}}α + p(1 − {π^{p−1}}), e quindi

F (\frac{α^{n}}{n!} ) = \frac{(F α)^{n}}{n!} = ∑_{j=0}^{n} \frac{p^{n−j}}{(n − j)!}\{π^{j(p−1)}\}(1 − \{π^{p−1}\})^{n−j} \frac{α^{j}}{j!} ∈ A.

Passiamo ora a descrivere la costruzione dell’anello B^{+} (cf. [FO2] e [FO3], 4.1.4). Per ogni numero razionale c ≥ 1, si consideri l’ideale (principale) J_{c} = { x ∈ R | v(x) ≥ c }. Indicato con y_{c} un generatore dell’ideale J_{c} si consideri l’anello S_{J_{c}} := W(R)[\frac{\{y_{c}\}}{p}] ⊆ W(R)[\frac{1}{p}] e si indichi con Ŝ_{J_{c}} il completamento di tale anello rispetto alla topologia p– adica. Si ponga poi B_{J_{c}}^{+} := Ŝ_{J_{c}}[\frac{1}{p}]. È facile verificare che, se 1 ≤ c ≤ c′, allora B_{J_{c′}}^{+} ⊆ B_{J_{c}}^{+}. Si pone infine

B^{+} = ⋂_{c≥1} B_{J_{c}}^{+}.  (5.2)

Vogliamo quindi mostrare i fatti seguenti

5.3 Proposizione. Notazioni come sopra. Allora

(a) B_{cris}^{+} ⊂ BivR.

(b) B^{+} = ⋂_{n≥1} F^{n}(B_{cris}^{+}).

(c) biv(R) ⊆ B^{+}. Tutte le inclusioni descritte sopra commutano con il Frobenius e l’azione del gruppo

di Galois G.

dim. (a). Poichè l’ideale I = kerΘ_{0} di W(R) è principale, generato da un vettore α (cf. Proposizione 3.10 ), tutti gli elementi di A_{cris} possono essere scritti nella forma

∑_{n≥0} a_{n} \frac{α^{n}}{n!} ,  (5.4)

ove gli elementi a_{n} ∈ W(R) tendono a zero nella topologia p–adica.

La serie (5.4) converge nella topologia di BivR perchè, per ogni vettore che generi I si ha w(α) = 1 e quindi

w(a_{n} \frac{α^{n}}{n!} ) ≥ w(a_{n}) + n − v_{p}(n!) ≥ w(a_{n}) + n\frac{p−2}{p−1};

da cui si conclude perchè gli elementi a_{n} ∈ W(R) tendono a zero nella topologia p–adica e quindi anche nella topologia della valutazione w.

(b). Cominciamo mostrando che Ŝ_{J_{p}} ⊂ A_{cris} ⊂ Ŝ_{J_{1}}. Infatti, considerato il generatore α = {π} + p di I, l’elemento π ∈ R è un generatore dell’ideale J_{1} e quindi π^{p} è un generatore di J_{p}. Dunque l’anello S_{J_{p}} è generato su W(R) dalle potenze di

\frac{\{π^{p}\}}{p} = \frac{(α − p)^{p}}{p} = \frac{α^{p}}{p} + pλ,

ove λ ∈ W(R). Per mostrare che Ŝ_{J_{p}} ⊂ A_{cris} è sufficiente verificare che tutte le potenze di \frac{\{π^{p}\}}{p} sono

combinazioni a coefficienti in W(R) di potenze divise \frac{α^{j}}{j!} . Infatti, si ha

(\frac{α^{p}}{p} + pλ)^{n} = ∑_{j=0}^{n} \binom{n}{j}p^{n−2j}λ^{n−j}α^{pj} = ∑_{j=0}^{n} \binom{n}{j}p^{n−2j}(pj)!λ^{n−j} \frac{α^{pj}}{(pj)!}.

E, per ogni valore di j = 0, …, n, il coefficiente \binom{n}{j}(pj)!p^{n−2j}λ^{n−j} appartiene a W(R) perchè n − 2j + v((pj)!) ≥ n − j ≥ 0.

Per mostrare che A_{cris} ⊂ Ŝ_{J_{1}}, è sufficiente verificare che tutte le potenze divise \frac{α^{n}}{n!} appartengono a S_{J_{1}}. Infatti, si ha

\frac{α^{n}}{n!} = \frac{(\{π\} + p)^{n}}{n!} = ∑_{j=0}^{n} \frac{p^{n−j}}{(n − j)!} \frac{\{π\}^{j}}{j!} = ∑_{j=0}^{n} \frac{p^{n}}{j! (n − j)!} \frac{\{π\}^{j}}{p^{j}}

ed il coefficiente \frac{p^{n}}{j!(n−j)!} = \frac{p^{n}}{n!} \binom{n}{j} è in W(R).

Dalle inclusioni Ŝ_{J_{p}} ⊂ A_{cris} ⊂ Ŝ_{J_{1}}, si deduce B_{J_{p}}^{+} ⊂ B_{cris}^{+} ⊂ B_{J_{1}}^{+}.

Sia F il Frobenius di W(R)[\frac{1}{p}] e si osservi che, per ogni c ≥ 1, si ha F S_{J_{c}} = S_{J_{pc}}, da cui si deduce F Ŝ_{J_{c}} = Ŝ_{J_{pc}} e F B_{J_{c}}^{+} = B_{J_{pc}}^{+}. Mettendo insieme le inclusioni si ottiene la tesi. (c). Sia fissato c ≥ 1. Mostreremo che, se ζ = (z_{j})_{j∈ℤ} ∑_{n∈ℤ} p^{n}{z_{n}^{p^{−n}}} ∈ biv(R), allora

esiste un intero n_{0} tale che p^{n_{0}}ζ appartenga ad Ŝ_{J_{c}}. Poichè ζ = a + ∑_{n∈ℕ} ^{\frac{\{z_{−n}^{p^{n}}\}}{p^{n}}} con a = ζ^{(≥0)} ∈ W(R), è sufficiente dimostrare la tesi per la somma ζ^{(<0)}. Poichè ζ è un bivettore esiste un numero reale positivo b tale che v(z_{−m}) ≥ b per m >> 0 (cf.

Esempio 2.11.(b)), e quindi esiste un intero n_{0} tale che ^{\frac{\{z_{−n}^{p^{n}}\}}{p^{n−n_{0}}}} ∈ S_{J_{c}} per ogni intero

positivo n. Inoltre, v(z_{−n}^{p^{n}}) − (n − n_{0})c ≥ p^{n}b − (n − n_{0})c diverge con n e quindi, la serie

p^{n_{0}} ∑_{n∈ℕ} ^{\frac{\{z_{−n}^{p^{n}}\}}{p^{n}}} converge per la topologia p–adica di Ŝ_{J_{c}}. Ciò conclude la dimostrazione dell’inclusione di biv(R) in B_{J_{c}}^{+} e, per l’arbitrarietà di c, si ottiene la tesi. CVD

Ricordiamo inoltre che gli anelli B^{+} e B_{cris}^{+} sono dotati di filtrazioni decrescenti, che possono essere definite nel modo seguente

(5.5)  Fil^{n}B^{+} := (kerΘ)^{n} ∩ B^{+}  e  Fil^{n}B_{cris}^{+} := (kerΘ)^{n} ∩ B_{cris}^{+},

ove n ≥ 0 e kerΘ ⊂ BivR. Infine, per concludere questi primi risultati di confronto, ricordiamo la definizione degli anelli B e B_{cris} di Fontaine. Indicato con ϵ l’elemento di R descritto nell’Osservazione 4.9.(a), ricordiamo che il bivettore τ = log{ϵ} appartiene a biv(R) ⊆ B^{+} ⊆ B_{cris}^{+}. Si pone quindi, per definizione

B = B^{+}[\frac{1}{τ}]  e  B_{cris} = B_{cris}^{+}[\frac{1}{τ}].  (5.6)

Passiamo ora a confrontare l’anello B_{dR}^{+} con l’anello 𝔹 = \underleftarrow{lim}_{n∈ℕ} BivR/(kerΘ)^{n} in-

trodotto nella §.4. Richiamiamo qui le definizioni degli anelli B_{dR}^{+} e B_{HT}^{+} (cf. [FO2], § 2.8 e [FO3], § 1.5). Si pone

B_{dR}^{+} := \underleftarrow{lim}_{n≥1} \frac{W(R)}{(kerΘ_{0})^{n}} [\frac{1}{p}] ,  (5.7)

ove sul limite viene posta la topologia limite proiettivo delle topologie p–adiche sui quozienti (topologia canonica di Fontaine).

L’anello B_{dR}^{+} è dotato di un omomorfismo suriettivo Θ : B_{dR}^{+} → C che si può ottenere come limite inverso degli omomorfismi (suriettivi) \frac{W(R)}{(kerΘ_{0})^{n}} [\frac{1}{p}] → C (cf. Proposizione 3.10 ). Inoltre, si definisce una filtrazione decrescente ponendo

Fil^{n}B_{dR}^{+} := (kerΘ)^{n} per n ≥ 1  e Fil^{0}B_{dR}^{+} := B_{dR}^{+};  (5.8)

e si ha Fil^{n}B_{dR}^{+}/Fil^{n+1}B_{dR}^{+} ≅ C, per ogni n.

Si definisce quindi l’anello B_{HT}^{+} come l’anello graduato associato alla filtrazione di B_{dR}^{+}, ovvero

B_{HT}^{+} = ⨁_{n≥0} Fil^{n}B_{dR}^{+}/Fil^{n+1}B_{dR}^{+}.  (5.9)

Ricordiamo infine che gli anelli B_{dR} e B_{HT} sono i corpi delle frazioni di B_{dR}^{+} e B_{HT}^{+} , rispettivamente.

Possiamo quindi dimostrare il seguente fatto.

5.10 Proposizione. Notazioni come sopra.

(a) Vi è un isomorfismo bicontinuo tra 𝔹 = \underleftarrow{lim}_{n∈ℕ} BivR/(kerΘ)^{n} e B_{dR}^{+}.

(b) L’anello graduato associato alla filtrazione

⋯ ⊆ (kerΘ)^{n+1} ⊆ (kerΘ)^{n} ⊆ ⋯ ⊆ kerΘ ⊆ BivR

è isomorfo all’anello B_{HT}^{+} .

dim. (a). Dalla definizione data, discende che l’anello B_{dR}^{+} è il completamento dell’anello W(R)[\frac{1}{p}] rispetto al nucleo di Θ ristretta a W(R)[\frac{1}{p}]. Dunque, vi è un omomorfismo naturale da B_{dR}^{+} in 𝔹, indotto dall’inclusione di W(R)[\frac{1}{p}] in BivR e tale omomorfismo è continuo, perchè la topologia p–adica e la topologia determinata dalla valutazione w inducono sui quozienti W(R)(kerΘ_{0})^{n} la stessa topologia. Vogliamo mostrare che si tratta in realtà di un isomorfismo e quindi bicontinuo. È sufficiente mostrare che, fissati comunque un Bivettore ξ ∈ BivR ed un intero n ≥ 0, esiste un bivettore speciale ζ tale che ξ − ζ ∈ (kerΘ)^{n}. Cominciamo osservando che esiste un bivettore speciale η tale che ξ − η ∈ W_{n} e quindi v(Θ(ξ − η)) ≥ w(ξ − η) ≥ n. Di conseguenza, esiste un vettore λ_{0} ∈ W(R) tale che Θ(ξ−η) = p^{n}Θ(λ_{0}) = Θ(p^{n}λ_{0}). Se ne deduce che ξ−η−p^{n}λ_{0} ∈ kerΘ∩W_{n} ove η + p^{n}λ_{0} è un bivettore speciale. Possiamo quindi scrivere ξ − η − p^{n}λ_{0} = αξ_{1}, per qualche ξ_{1} ∈ W_{n−1} e, applicando un’altra volta gli argomenti precedenti, si deduce l’esistenza di un vettore λ_{1} ∈ W(R) tale che Θ(ξ_{1}) = p^{n−1}Θ(λ_{1}) = Θ(p^{n−1}λ_{1}). Se ne deduce che ξ −η −p^{n}λ_{0} −p^{n−1}αλ_{1} ∈ (kerΘ)^{2} ∩W_{n} ove η +p^{n}λ_{0} +p^{n−1}αλ_{1} è un bivettore speciale. Ripetendo le stesse considerazioni si arriva a concludere che

ξ − (η + p^{n}λ_{0} + p^{n−1}αλ_{1} + ⋯ + α^{n}λ_{n}) ∈ (kerΘ)^{n} ∩ W_{n},

ove η +p^{n}λ_{0} +p^{n−1}αλ_{1} +⋯+α^{n}λ_{n} è un bivettore speciale; e questa è l’approssimazione richiesta del Bivettore ξ.

La dimostrazione di (b) è una facile conseguenza di (a). CVD

Dal Teorema 4.2.(c) discende che l’omomorfismo naturale BivR → 𝔹 è iniettivo e quindi i due risultati dimostrati in questa sezione si possono riassumere tramite la sequenza di inclusioni

(5.11)  biv(R) ⊂ B^{+} ⊂ B_{cris}^{+} ⊂ BivR ⊂ 𝔹 ≅ B_{dR}^{+}.

Passiamo ora a scrivere in modo esplicito le relazioni esistenti tra i bivettori e l’anello B_{st}^{+}, e cominciamo, come al solito, ricordando la definizione dell’anello B_{st}^{+} quale è data in [FO3].

Nel Teorema 4.7 è stata introdotta un’applicazione logaritmo, che permette di definire un’omomorfismo log : V_{(p)}(A_{C}^{×}) → biv(R) (cf. Definizione 4.18.(i)). Componendo con le inclusioni biv(R) ⊂ B^{+} ⊂ B_{cris}^{+}, si ottiene un omomorfismo

λ : V_{(p)}(A_{C}^{×}) → B_{cris}^{+}.

Si può quindi considerare la categoria delle coppie (S, λ_{S}), ove S è una B_{cris}^{+}–algebra e λ_{S} : V_{(p)}(C^{×}) → S è un omomorfismo che estende λ. I morfismi di questa categoria sono omomorfismi di B_{cris}^{+}–algebre che rispettano una naturale compatibilità. Si definisce quindi B_{st}^{+} come l’oggetto iniziale di questa categoria.

Come abbiamo osservato nella sezione precedente, il quoziente V_{(p)}(C^{×})/V_{(p)}(A_{C}^{×}) è un ℚ–spazio vettoriale di dimensione 1 (cf. diagramma (4.17)), ed un omomorfismo λ_{S} : V_{(p)}(C^{×}) → S, che estenda λ : V_{(p)}(A_{C}^{×}) → B_{cris}^{+} è completamente determinato dal valore assunto su un qualsiasi elemento b, che generi il quoziente V_{(p)}(C^{×})/V_{(p)}(A_{C}^{×}) (cf. Definizione 4.18 ). È quindi evidente concludere che la categoria descritta sopra ha un oggetto iniziale e che tale oggetto è isomorfo alla coppia (B_{st}^{+}, λ′), ove

B_{st}^{+} ≅ B_{cris}^{+}[X],  e  λ′(b) = X,  (5.12)

ed X è un’indeterminata su B_{cris}^{+}.

L’algebra B_{st}^{+} è dotata di una naturale estensione del Frobenius di B_{cris}^{+} (cf. il paragrafo successivo a (1.1)), definito da F (X) := pX. Vi è inoltre una naturale estensione a B_{st}^{+} dell’azione del gruppo di Galois G su B_{cris}^{+}, rispetto a cui la mappa λ′ commuta. Infine, vi è una unica derivazione B_{cris}^{+}–lineare

N : B_{st}^{+} → B_{st}^{+}, con la proprietà N(λ′(b)) = v_{R}(b) per ogni b ∈ V_{(p)}(C^{×}). (5.13)

La derivazione N è detta l’operatore di monodromia associato a v^{(∗)}. Tale derivazione è legata al Frobenius dalla relazione NF = pF N.

Infine, si pone B_{st} := B_{cris} ⊗_{B_{cris}^{+}} B_{st}^{+}.

Nella sezione 4, abbiamo mostrato che il logaritmo definito nel Teorema 4.7 , da cui si ottiene l’omomorfismo λ : V_{(p)}(A_{C}^{×}) → B_{cris}^{+}, ammette l’estensione log : V_{(p)}(C^{×}) → 𝔹, ponendo log\{σ\} = u+log p, ove σ ∈ R, σ̂_{0} = p, u = − ∑_{n≥1} \frac{(1−\{σ\}/p)^{n}}{n} ∈ 𝔹 e log p indica il valore del logaritmo p–adico (cf. Definizione 4.18 ).

In particolare, nel Teorema 4.21 abbiamo mostrato che l’elemento u ∈ 𝔹 non è algebrico su Fr(BivR) e quindi possiamo enunciare la seguente

5.14 Proposizione. Notazioni come sopra. L’immersione di B_{cris}^{+} in BivR (cf. Proposizione 5.3.(a)) si estende ad un’immersione di B_{st}^{+} in 𝔹, la cui immagine è contenuta nell’anello di polinomi BivR[u].

Tale immersione rispetta l’azione del gruppo G e commuta con i Frobenius. Infine, la derivazione BivR–lineare N : BivR[u] → BivR[u], soddisfacente alla condizione N(u) = 1, estende l’operatore di monodromia di B_{st}^{+}.

Infine, possiamo sintetizzare le relazioni tra il logaritmo di bivettori e l’anello B_{st}^{+}

(∗) La dipendenza da v è determinata dal fatto che, per costruzione, la valutazione su R dipende dalla normalizzazione operata sulla valutazione di C. nel seguente diagramma

(5.15)

biv(R) ⟶ B_{cris}^{+} ⟶ B_{st}^{+} ⟶ BivR[u] ⟶ B_{dR}^{+}
↑^{log}  ↑^{λ}  ↑_{λ′}  ↑^{log}
V_{(p)}(A_{C}^{×})  V_{(p)}(A_{C}^{×}) ⟶ V_{(p)}(C^{×})  V_{(p)}(C^{×})

ove le freccie orizzontali sono tutte inclusioni.

Bibliografia.

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Maurizio Candilera Dipartimento di Matematica Pura e Applicata Via Belzoni, 7 35131 Padova - Italy

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