ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA per Informatica

22 giugno 2005

Esercizio 1

Sia dato il seguente sistema lineare:

x_{1}  +x_{3} = 0
x_{1} −2x_{2} −x_{3} = 1
x_{1} +x_{2} +2x_{3} = 2

a) Verificare che il sistema non è risolubile.

b) Calcolare tutte le soluzioni approssimate del sistema.

Esercizio 2

Si consideri la matrice

A = [ \begin{matrix}0 & 3 & 3 \\ 0 & −3 & 0 \\ 3 & 3 & 0 \end{matrix} ] .

a) Determinare gli autovalori di A.

b) Determinare gli autovettori di A.

c) La matrice A è diagonalizzabile su ℝ? In caso affermativo, determinare una matrice diagonale D ed una matrice invertibile P tali che P^{−1}AP = D.

Esercizio 3

Sia dato il seguente sistema lineare:

x_{1} +2x_{2} +tx_{3} = t + 1
−x_{2} +2x_{3} = −2
2x_{1} +4x_{2} +t^{2}x_{3} = t^{2} + t

a) Determinare per quali valori del parametro reale t il sistema ammette rispettivamente: una sola soluzione, nessuna soluzione, infinite soluzioni.

b) Calcolare le soluzioni del sistema per t = 2.

Esercizio 4

Sia A una matrice m × n a coefficienti reali.

a) Si completino le definizioni dell’annullatore di A e dell’immagine di A:

null A = {⋯ | … }; im A = {⋯ | … }.

b) Si dimostri che im A è un sottospazio di ℝ^{m}.

c) Si consideri la matrice

A = [ \begin{matrix}−1 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & −2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ] .

Si determinino una base di null A e una base di im A.

Esercizio 5

Sia dato il sottospazio U di ℝ^{4} generato dai vettori

X_{1} = [ \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \\ −1 \end{matrix} ]; X_{2} = [ \begin{matrix}1 \\ −2 \\ 2 \\ 0 \end{matrix} ]; X_{3} = [ \begin{matrix}1 \\ −1 \\ 2 \\ −1 \end{matrix} ]

a) Determinare una base ortogonale di U;

b) Determinare una base del complemento ortogonale U^{⊥} di U.

c) Determinare le proiezioni proj_{U}(X) e proj_{U^{⊥}}(X) rispettivamente su U e su

U^{⊥} del vettore colonna X = [ \begin{matrix}2 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ].

Esercizio 6

Si consideri la matrice

M = [ \begin{matrix}−1 & 2 & 1 \\ 1 & t & 1 \\ 0 & 1 & t \end{matrix} ] .

a) Si dica per quali valori del parametro t la matrice M è invertibile;

b) Si calcoli l’inversa M^{−1} per t = 1.

Esercizio 7

Sia V uno spazio vettoriale su un campo 𝕂 e siano u, v, w tre vettori linearmente indipendenti di V. Posto U = ⟨u, v, w⟩, si provi che i tre vettori

u + w, u − v, u + v + w

formano una base di U.

Esercizio 8

Siano A e B due matrici quadrate tali che AB = BA. Dimostrare che se X è un autovettore di A relativo all’autovalore λ, allora BX = 0 oppure BX è di nuovo un autovettore di A relativo a λ.