Algebra Lineare
Applicata (7b)
(titolare Prof. Salce)
Laurea in matematica
Periodo 11 gennaio - 12 marzo 2010 Orario delle lezioni:
Lun-Mar-Gio-Ven 11.30-13.15 (1A150)
Programma
svolto: LUN 11.01.10 Richiami su
diagonalizzazione e triangolarizzazione di matrici complesse. Esercizio
su triangolarizzazione con matrice unitaria. Teorema spettrale per
matrici normali in forma moltiplicativa.
MAR 12.01.10 Teorema spettrale in forma additiva.
Esempio con matrice simmetrica reale.
Caratterizzazione di matrici (anti-) hermitiane e unitarie. Esercizio
su matrici normali e traccia di AA^H.
GIO 14.01.10 Problema inverso per
matrici normali. Matrici elementari e decomposizione LU; esistenza.
VEN 15.01.10 Esercizi su decomposizioni LU e
P^TLU; calcolo di L con colonne dominanti.
LUN 18.01.10 Decomposizione
QR-normalizzata.
Esercizi vari.
MAR 19.01.10 Pseudo-inversa di Moore-Penrose A+.
Esempio. Unicità. Esistenza di A+ con decomposizioni a rango
pieno.
GIO 21.01.10 Proprietà di A+.
Esistenza di A+ con decomposizioni in valori
singolari.
Esempio.
Equazioni
normali.
Soluzione ai minimi quadrati di norma
minima.
VEN 22.01.10 Autovalori
di AAH e AHA. Esistenza di decomposizioni in valori singolari.
LUN 25.01.10 Decomposizioni
polari. Unicità della radice quadrata di una matrice definita positiva.
Esercizi.
MAR 26.01.10 Esercizi su SVD e decomposizioni polari.
Norme matriciali. Norme indotte da norme vettoriali. Norme compatibili.
Norme notevoli. Lemma di Banach.
GIO 28.01.10 Raggio spettrale
e norme matriciali. Teorema di Householder. Limite della
successione
delle
potenze
di matrici. Raggio spettrale come limite di
radici n-esime di norme di potenze n-esime. Calcolo di norme notevoli.
VEN 29.01.10 Esercizi su norme matriciali:
approssimazioni di matrici ai minimi quadrati.
LUN 01.02.10 1° COMPITINO
MATRICI HERMITIANE (20 ore tenute da Detomi )
MAR 02.02.10 Forme sesquilineari e matrici
hermitiane. Principio di Rayleigh-Ritz.
Congruenze. Legge d'inerzia di Sylvester.
Teorema di Ostrowski.
GIO 04.02.10 Esempi numerici. Caratterizzazioni
delle matrici definite positive.
VEN 05.02.10 Esercizi. Caratterizzazioni delle
matrici semidefinite positive. Teorema di Albert per d.p.
LUN 08.02.10 Teorema di Albert per s.d.p. Esercizi. Teorema
min-max di Courant-Fischer (enunciato).
MAR 09.02.10 Principio di inclusione. Teorema
dell'intreccio. Teorema di separazione di Poincaré.
Teorema di monotonicità di Weyl. Esempi numerici.
GIO 11.02.10 Esercizi
Disuguaglianze di Hadamard: prodotti degli autovalori e
degli elementi diagonali di matrici s.d.p..
VEN 12.02.10 Preordine
in R^n. Teorema di Schur sul confronto diagonale-spettro di matrici
hermitiane. Enunciato del teorema
inverso dell'intreccio e del teorema di Horn. Esercizi.
LUN 15.02.10 Preordine in R^n
e matrici bistocastiche. Proprietà delle matrici
bistocastiche.
MAR 16.02,10 Lemma di Frobenius-Koenig. Teorema di
Birkhoff sulle matrici bistocastiche. Esercizi.
GIO 18.02.10 Numero di matrici di permutazione nella combinazione
convessa di una matrice bistocastica. Complemento di Schur.
Esercizi.
MATRICI NON NEGATIVE E MODELLI DISCRETI (18 ore tenute da Salce)
VEN 19.02.10 Disuguaglianze
per il raggio spettrale di matrici non-negative. Matrici
positive. Teorema di Perron - prima parte.
LUN 22.02.10 Teorema di
Perron - seconda parte. Generalizzazione del teorema di Perron
a
matrici non-negative qualunque. Esercizio: approssimazione del raggio
spettrale tramite le funzioni di
Collatz-Wielandt.
MAR 23.02.10 Matrici irriducibili e loro
caratterizzazione algebrica. Grafi orientati
associati a matrici. Caratterizzazione delle matrici irriducibili
tramite i loro
grafi.
GIO 25.02.10 Teoremi di
Frobenius e di Wielandt per matrici irriducibili. Esercizi:
matrici di Leslie.
VEN 26.02.10 Convergenza
della successione delle potenze di A/r(A) per A matrice primitiva.
Caratterizzazione algebrica delle matrici primitive.
Esercizi.
LUN 01.03.10 INAUGURAZIONE
A.A.
MAR 02.03.10 Caratterizzazione delle matrici
primitive con invariante del grafo associato. Teorema di Wielandt sulle
matrici primitive. Esercizio su matrice di
Leslie
primitiva con potenza non positiva massima.
GIO 04.03.10 Modello di
Leslie: teoria stabile della popolazione.
VEN 05.03.10 Esercizi
LUN 08.03.10 2° COMPITINO
MAR 09.03.10 Modello dei baricentri di
sottotriangoli.
Modalita'
d'esame:
Iscriversi alla lista per sostenere la prove scritta (non
iscriversi o cancellarsi se non si intende partecipare all'esame per
evitare problemi logistici e sprechi di risorse umane e cartacee).
Chi si presenta in aula ad un appello perde il voto
eventualmente precedentemente acquisito.