(1) Data una successione (x_{n})_{n} di numeri reali si supponga che valga

• (A) lim_{n→+∞}(x_{n+1} − x_{n}) = 0. È possibile concludere che x_{n} converge? Si supponga ora che anziché (A) valga

• (B) lim_{n→+∞}(ax_{n}^{2} + bx_{n} + c) = l ∈ R. È possibile concludere che x_{n} converge? E se valgono entrambe?

Soluzioni

(1) Ad esempio x_{n} = \sqrt{n} soddisfa (A), ma non converge.

Nel secondo caso se a = 1, b = 2, c = 1, ad esempio, si ha che

ax_{n}^{2} + bx_{n} + c = (x_{n} + 1)^{2} .

Per cui se (x_{n} + 1)^{2} converge ad l > 0 si potrebbe avere che

x_{n} = \{ \begin{matrix}\sqrt{l} − 1 & n pari , \\ −\sqrt{l} − 1 & n dispari . \end{matrix}

e quindi nemmano la seconda condizione assicura la convergenza. Se supponiamo vere sia (A) che (B) si ha:

ax_{n}^{2} + bx_{n} + c = a(x_{n} + \frac{b}{2a})^{2} + c − \frac{b^{2}}{4a} →_{n} l .

Per cui

|x_{n} + \frac{b}{2a}| → \sqrt{\frac{1}{a}[l + \frac{b^{2}}{4a} − c]}