Eserciziario di Matematica I Facoltà di Ingegneria

M. Miranda & F. Paronetto

28 ottobre 2003

In queste dispense viene distribuito del materiale che riteniamo possa essere utile allo studente che si avvicina allo studio del corso di Matematica I. Vengono forniti i testi di alcuni esercizi relativi agli argomenti del corso di Matematica I per la Facoltà di Ingengeria di Lecce, con alcune proposte di soluzione. Teniamo a sottolineare che la nostra è solo una proposta di risoluzione, ricordando che una qualsiasi soluzione alternativa, se corretta, è del tutto equivalente.

Gli esercizi contrassegnati con il simbolo (⋆) sono da ritenersi facoltativi, nel senso che, solitamente, non sono ritenuti necessari per il superamento dell’esame scritto di Matematica I della Facoltà di Ingeneria di Lecce, fermo restando che almeno un tentativo di risoluzione da parte dello studente è quantomeno auspicabile.

Gli esercizi contrassegnati con il simbolo (⋆⋆) sono da ritenersi difficili; per la risoluzione di tali esercizi non è comunque richiesta altra conoscenza al di fuori di quella fornita durante le lezioni, ma solo un pò più di gusto e buona volontà da parte dello studente.

Sottolineiamo infine che con il presente eserciziario non si intende assolutamente sostituire un qualsiasi testo teorico di Matematica I; consigliamo anzi di avere ben chiari i concetti di teoria prima di apprestarsi ad affrontare gli esercizi.

In ultimo, chiediamo scusa per eventuali errori esistenti nel presente eserciziario, e invitiamo chiunque trovi delle inesattezza, a segnalarcele prontamente in modo da provvedere alla loro correzione.

Lecce, 26 settembre 2003,

Michele Miranda michele.miranda@unile.it

Fabio Paronetto fabio.paronetto@unile.it

Preliminari

In questo capitolo viene fornita una piccola proposta di esercizi da considerarsi di riscaldamento, nel Risolvere in ℝ le seguenti equazioni e disequazioni:

1. −x > 0 ; 3x − 6 ≥ 0 ; 4 − 8x < 0

2. x^{2} + x − 6 > 0 ; −x^{6} + 7x^{3} − 12 > 0

3. x^{2} + 1 ≥ 0 ; (x − 1)^{2} ≥ 0 ; \sqrt{x^{2}} ≥ 0

4. x^{8} − 2x^{7} − 3x^{6} ≤ 0

5. x^{10} − x^{6} < 0

6. \sqrt{|x|} ≥ 0

7. (x − 1)^{3} ≥ 0

8. 2x^{3} + 2x^{2} − 28x − 48 = 0

9. 27x^{3/2} − \sqrt{x} ≥ 0

10. −9x^{2} + 12x − 4 ≥ 0 ; x^{4} − 2x^{2} − 8 < 0

11. \frac{1}{x} + \frac{1}{x − 1} + \frac{1}{x − 2} ≥ 0

12. \frac{10}{x^{2} + 1} > 6 − x^{2} ; \frac{x^{4} − 9}{x^{2} + 3} > 0 ; \frac{7 − x}{4 − 3x} ≤ 1

13. x^{3} + 4 ≤ |x + 4^{1/3}|

14. |x + 2| ≥ 2

15. \frac{4|x|}{x^{2} − 2|x| − 3} ≤ −1

16. 2|x^{2} − x| ≥ |x|; |x + 3| − 2 > 0 ; (x + 1)^{2} < |x^{2} − 1|

17. |2x^{2} − 16x + 31| < 1 ; x ≥ 2(|x| − 1)

\overline{3}

18. |\frac{x − 1}{x − 7}| ≥ 1 ; |\frac{2x − 1}{5 − x}| < 2 ; ||x + 1| − 2| > 3

19. \sqrt{4x^{2} − 1} < x − 3

20. \sqrt{2x^{2} − 1} > \sqrt{x^{2} − 3}

21. |x|(1 − 2x^{2})^{1/2} > 2x^{2} − 1

22. Si dimostri, usando la definizione di modulo, che:

|x + y| ≤ |x| + |y|

per ogni x, y ∈ ℝ.

23. Trovare i valori di x ∈ ℝ per cui è verificata la seguente diseguaglianza:

\frac{x^{3} − 2x^{2}}{x^{3} − 4x^{2} + 3x} ≥ 0.

24. Risolvere la seguente diseguaglianza:

||x − 4| − 3x| ≥ 2x.

Principali formule trigonometriche: sin^{2} x + cos^{2} x = 1

tan x = \frac{sin x}{cos x}

sin(−x) = − sin x cos(−x) = cos x tan(−x) = − tan x sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y

Ricavare, usando le formule precedenti, le seguenti uguaglianze: 1. sin(x − y) = sin x cos y − cos x sin y

2. cos(x − y) = cos x cos y + sin x sin y

3. sin 2x = 2 sin x cos y ; cos 2x = cos^{2} x − sin^{2} x

4. sin^{2} x = \frac{1 − cos 2x}{2}

\overline{4}

5. cos^{2} x = \frac{1 + cos 2x}{2}

6. sin x + sin y = 2 sin \frac{x + y}{2} cos \frac{x − y}{2}

7. sin x − sin y = 2 sin \frac{x − y}{2} cos \frac{x + y}{2}

8. cos x + cos y = 2 cos \frac{x + y}{2} cos \frac{x − y}{2}

9. cos x − cos y = −2 sin \frac{x + y}{2} sin \frac{x − y}{2}

Dire su quali insiemi sono invertibili le seguenti funzioni: 1. f(x) = sin^{2} x su [−π/2, π/2], su [0, π/2], su [π/4, π/2]

2. f(x) = sin x^{2} su [−π/2, π/2], su [−\sqrt{π/2}, \sqrt{π/2}], su [0, \sqrt{π}]

3. f(x) = sin 2x su [−π/2, π/2], su [−π/4, π/4], su [π/4, π/2]

4. f(x) = arcsin sin x su [−π/2, π/2], su [0, π]

Disegnare gli insiemi di ℝ^{2} soddisfacenti le seguenti equazioni: 1. x^{2} + y^{2} − 4x + 6y = −11

2. 2x^{2} + y^{2} − 12x − 4y + 18 = 0

3. x^{2} − 8y − 14x + 49 = 0

4. x^{2} + 10x + 7y = −32

5. y = \frac{x + 4}{x + 3}

6. 5 − 3x − y + xy = 0

7. Determinare i seguenti insiemi:

S = {x ∈ ℝ : |x + 1| + |x| ≤ 2}

S = \{x ∈ ℝ : \sqrt{1 + x^{2} > 2x}\}
S = \{x ∈ ℝ : \sqrt{1 + x^{2}} ≤ |x|\}

S = \{x ∈ ℝ : (x^{2} − 3x − 27)\sqrt{1 − 2 sin x} > 0\}

S = {(x, y) ∈ ℝ^{2} : |x| + |y| ≤ 1} .

6

Indice

I Testo degli Esercizi 9

1 Numeri Reali 11 1.1 Rappresentazione decimale dei numeri reali. . . . . . . . . . . . . 11 1.2 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Numeri complessi 17 3 Principio di Induzione 19 4 Successioni Numeriche 23

4.1 Il Numero di Nepero e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.2 Osservazioni sul numero di Nepero . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.3 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5 Serie Numeriche 31 6 Limiti e Funzioni Continue 37

6.1 Esercizi senza svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 7 Derivate e Problemi di Massimo e Minimo 43 8 Grafici di Funzioni 49 9 Integrali 51 10 Integrali Razionali 57

II Risoluzione degli Esercizi 61

11 Numeri Reali 63 12 Numeri complessi 71 13 Principio di Induzione 77

\overline{7} \underline{INDICE} 14 Successioni Numeriche 85 15 Serie Numeriche 97 16 Limiti e Funzioni Continue 107 17 Derivate e Problemi di Massimo e Minimo 117 18 Grafici di Funzioni 127 19 Integrali 149 20 Integrali Razionali 157

III Testi di Esame 159

Parte I

Testo degli Esercizi

Capitolo 1

Numeri Reali

1.1 Rappresentazione decimale dei numeri reali.

Sia a ∈ ℝ, a > 0. Consideriamo la parte intera di a (definita come il più grande intero minore od uguale ad a la quale si denota con [a])

n_{0} := [a] ∈ ℕ .

Si ha che

n_{0} ≤ a < n_{0} + 1 .

Definiamo ora m_{0} = a − n_{0} ∈ [0, 1) e consideriamo

n_{1} := [10m_{0}] ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} .

Si ha che

n_{1} ≤ 10m_{0} ≤ n_{1} + 1 da cui \frac{n_{1}}{10} ≤ m_{0} ≤ \frac{n_{1}}{10} + \frac{1}{10}

e quindi, per definizione di m_{0},

n_{0} + \frac{n_{1}}{10} ≤ a < n_{0} + \frac{n_{1}}{10} + \frac{1}{10} .

Se ora definiamo

m_{1} = m_{0} − \frac{n_{1}}{10} = a − n_{0} − \frac{n_{1}}{10} ∈ [0, \frac{1}{10})

e consideriamo

n_{2} = [10^{2}m_{1}] ∈ {0, 1, 2, … 9} .

otteniamo

n_{2} ≤ 10^{2}m_{1} ≤ n_{2} + 1 da cui \frac{n_{1}}{10^{2}} ≤ m_{1} ≤ \frac{n_{1}}{10^{2}} + \frac{1}{10^{2}}

CAPITOLO 1. NUMERI REALI

\overline{11} e quindi infine

n_{0} + \frac{n_{1}}{10} + \frac{n_{2}}{10^{2}} ≤ a < n_{0} + \frac{n_{1}}{10} + \frac{n_{2}}{10^{2}} + \frac{1}{10^{2}} .

Continuando a ragionare in modo analogo possiamo costruire due successioni

A_{k} := n_{0} + \frac{n_{1}}{10} + \frac{n_{2}}{10^{2}} + ⋯ + \frac{n_{k}}{10^{k}}

con n_{k} ∈ {0, 1, 2, … 9}

B_{k} := n_{0} + \frac{n_{1}}{10} + \frac{n_{2}}{10^{2}} + ⋯ + \frac{n_{k}}{10^{k}} + \frac{1}{10^{k}}

con la proprietà che

(1.1)  A_{k} ≤ a < B_{k} .

Si considerino gli insiemi S = {A_{0}, A_{1}, A_{2}, … } e T = {B_{0}, B_{1}, B_{2}, … }. Da (1.1) si deduce che S è limitato superiormente, per cui ammette estremo superiore finito. Proviamo che l’estremo superiore di S è a. Fissato ε > 0 dobbiamo trovare un k ∈ ℕ tale che

A_{k} > a − ε .

Ma ciò è equivalente a

a − n_{0} + \frac{n_{1}}{10} + \frac{n_{2}}{10^{2}} + ⋯ + \frac{n_{k}}{10^{k}} < ε .

Ma da (1.1) deduciamo che

a − n_{0} + \frac{n_{1}}{10} + \frac{n_{2}}{10^{2}} + ⋯ + \frac{n_{k}}{10^{k}} < \frac{1}{10^{k}}

quindi è chiaro che è sufficiente scegliere k in modo tale che valga 1/10^{k} ≤ ε (k ≥ log_{10} ε^{−1}). In modo analogo si prova che inf T = a. Se a < 0 si può considerare, ad esempio, la decomposizione di −a e poi cambiare di segno.

Osservazioni - Come prima cosa osserviamo che, per ogni numero reale a, abbiamo costruito una successione (una particolare successione) di numeri razionali che approssimano il numero a. Questo mostra che ℚ è denso in ℝ (vedi dispense di teoria). Si possono costruire infinite successioni di razionali approssimanti il numero a, ma quelle che abbiamo scelto sono quelle che usualmente usiamo (approssimazione decimale per difetto e approssimazione decimale per eccesso). Per esercizio costruire un’approssimazione in base 8 anziché in base 10. Altra cosa da osservare è che ogni numero, nella rappresentazione decimale, ha solo un numero finito di n_{k} non nulli è un numero razionale. Non è vero il vicevera!! Ad esempio i numeri la cui parte decimale è periodica (a − [a]). Si consideri ad esempio il numero

a = 1, 3232323232 ….

1.2. ESERCIZI

La parte decimale ha periodo 2. Moltiplico allora per 10^{2} (l’esponenete è la lunghezza del periodo) e ottengo

10^{2}a = 100a = 132, 32323232 ….

Sottraendo a a 100a si ottiene

99a = 131  da cui  a = \frac{131}{99} .

Osservazione. Si confronti questo risultato con l’esercizio ???.

1.2 Esercizi

1. Dimostrare che se x^{7}, x^{12} ∈ ℚ, allora anche x ∈ ℚ.

2. Dimostrare che \sqrt{2} ∈ ℝ \ ℚ, cioè \sqrt{2} è irrazionale.

3. Dimostrare che se p ∈ ℕ è un numero primo, allora \sqrt{p} è irrazionale.

4. Dimostrare che \sqrt{n} con n ∈ ℕ o è intero o è irrazionale.

5. Dimostrare che se ∅ ≠ A ⊂ B ⊂ ℝ, allora

inf B ≤ inf A ≤ sup A ≤ sup B.

6. Dati A, B ⊂ ℝ non vuoti, dimostrare che

sup A ∪ B = max(sup A, sup B),
inf A ∪ B = min(inf A, inf B).

E per A ∩ B che cosa si può dire?

7. Date due sezioni A e B di ℝ (cioè due insiemi disgiunti la cui unione è tutto ℝ e A < B), dimostrare che ammette un unico elemento separatore. Questo è vero pure in ℚ?

8. Determinare sup e inf del seguente insieme, indicando se si tratta di max

o min;

A = ℕ.

9. Determinare sup e inf del seguente insieme, indicando se si tratta di max

o min;

A = [0, \sqrt{2}) ∩ ℚ.

10. Determinare sup e inf del seguente insieme, indicando se si tratta di max o min;

A = \{\sqrt{3} (1 − \frac{1}{n}) : n ∈ ℕ\} .

11. Determinare sup e inf del seguente insieme, indicando se si tratta di max

o min;

A = [3, 7).

12. Determinare sup e inf del seguente insieme, indicando se si tratta di max

o min;

A = [−3, 3) ∪ {5, 11}.

13. Determinare sup e inf del seguente insieme, indicando se si tratta di max o min;

A = \{(−1)^{n} \frac{1}{2n} : n ∈ ℕ \ \{0\}\} .

14. Determinare sup e inf del seguente insieme, indicando se si tratta di max o min;

A = \{\frac{|5 − n|}{n + 3} : n ∈ ℕ\} .

15. Determinare sup e inf del seguente insieme, indicando se si tratta di max o min;

A = \{\frac{(−1)^{n}}{1 + n^{2}} : n ∈ ℕ\} .

16. Determinare sup e inf del seguente insieme, indicando se si tratta di max

o min;

A = {x ∈ ℝ^{+} : cos 1/x = 0} .

17. Determinare sup e inf del seguente insieme, indicando se si tratta di max o min;

A = \{\frac{1}{1 + x^{2}} : x ∈ ℝ\} .

18. Determinare sup e inf del seguente insieme, indicando se si tratta di max

o min;

A = {a^{n} : n ∈ ℕ \ {0}, a > 0} .

19. Determinare sup e inf del seguente insieme, indicando se si tratta di max

o min;

A = {a^{ϱ} : ϱ ∈ ℚ, ϱ > 0, a > 0} .

20. Determinare sup e inf del seguente insieme, indicando se si tratta di max o min;

A = \{\frac{n^{2} + m^{2}}{n − m} : n, m ∈ ℕ\} .

21. Determinare sup e inf del seguente insieme, indicando se si tratta di max o min;

A = \{\frac{xy}{x + y} : x, y ∈ (0, 1)\} .

1.2. ESERCIZI

22. Ripetere gli esercizi dall’8. al 20. cercando estremi superiore, inferiore, massimo e minimo in ℚ invece che in ℝ.

Capitolo 2

Numeri complessi

1. Trovare le radici seste del numero complesso w = (\sqrt{3} + i)^{9}.

2. Risolvere l’equazione (z − 2)^{3} = −i.

3. (⋆) Risolvere il seguente sistema;

\{ \begin{matrix}z^{2} + z\overline{z} = 1 + 2i \\ (z^{2} − 1 + i)(z^{2} + 1/i) = 0. \end{matrix}

4. Calcolare le soluzioni complesse di |z|^{2} − 6z + 1 = 0.

5. Calcolare le soluzioni complesse di z^{4} + 6z^{2} − 5 = 0.

6. Calcolare le soluzioni complesse di z^{4} + 4 = 0.

7. Dato il polinomio

p(z) = z^{4} − 4z^{3} + 4z^{2} − 4z + 3,

calcolare p(i) e trovare tutte le radici del polinomio.

8. Calcolare le soluzioni complesse di z^{3} + 3z^{2} + 3z + 1 = 8i.

\overline{17}

CAPITOLO 2. NUMERI COMPLESSI

9. (⋆) Risolvere il seguente sistema

\{ \begin{matrix}z^{2}\overline{z} − \overline{z}z = −\overline{z} \\ (z^{3} + \overline{z})^{3} = 1. \end{matrix}

10. Trovare le soluzioni complesse di

z^{2} + iz + i\frac{\sqrt{3}}{4} = 0.

11. (⋆) Risolvere il sistema

\{ \begin{matrix}(αz − β\overline{z})(βz − α\overline{z}) = 4 \\ z^{2} = |z|^{2}. \end{matrix}

12. (⋆) Risolvere il sistema

\{ \begin{matrix}z^{m} = |z|^{m} \\ z = \frac{1 + it}{1 − it}\overline{z}. \end{matrix}

13. Trovare le soluzioni complesse di z|z|^{2} − (1 + 4\sqrt{3})i\overline{z} = 0.

14. Dato w ∈ 𝒞, trovare i numeri complessi z ∈ 𝒞 tali che |z − w| = |z + w|.

15. (⋆) Risolvere il sistema

\{ \begin{matrix}|z| = |w| \\ z^{2} + w^{2} = 0 \\ z + w = 1. \end{matrix}

Capitolo 3

Principio di Induzione

1. Dimostrare che, fissato x ∈ ℝ, x ≠ 1, vale, per ogni n ∈ ℕ, la seguente

formula

∑_{k=0}^{n} x^{k} = 1 + x + x^{2} + … + x^{n} = \frac{1 − x^{n+1}}{1 − x} .

2. Dimostrare che, fissato h > −1 e per ogni n ∈ ℕ, (1 + h)^{n} ≥ 1 + nh.

3. Dimostrare che, fissato h > 0 e per ogni n ≥ 1 naturale,

(1 + h)^{n} ≥ 1 + \frac{n(n − 1)h^{2}}{2} .

4. Verificare le seguenti identità :

i)

∑_{k=1}^{n} k = \frac{n(n + 1)}{2};

ii)

∑_{k=1}^{n} k^{2} = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6};

iii)

∑_{k=1}^{n} k^{3} = \frac{n^{2}(n + 1)^{2}}{4} ;

iv) (⋆) Indicato con

N_{h}(n) = ∑_{k=1}^{n} k^{h},

\overline{19} CAPITOLO 3. PRINCIPIO DI INDUZIONE

dimostrare che

N_{h}(n) = \frac{1}{h + 1} ((n + 1)^{h+1} − 1 − ∑_{i=0}^{h−1} ( \begin{matrix}h + 1 \\ i \end{matrix} ) N_{i}(n)) .

v) (⋆)

∑_{k=1}^{n}(α + kβ) = \frac{n}{2}(βn + 2α + β);

vi) (⋆)

∑_{k=1}^{n} \frac{\sqrt{k + 1} − \sqrt{k}}{k} = \frac{\sqrt{n + 1}}{n} − 1 + ∑_{k=2}^{n} \frac{1}{(k − 1)\sqrt{k}} .

5. Dimostrare le seguenti disuguaglianze:

i)  2^{n} ≤ n!
ii)  (2n)! ≥ 2^{n}(n!)^{2}
iii)  n^{2} ≤ 2^{n}, ∀n ≥ 4
iv)  2^{n} + 4^{n} ≤ 5^{n}, ∀n ≥ 2
v)  n^{n} > 2^{n}n!, ∀n ≥ 4
vi) (⋆) (∑_{k=0}^{n} x_{k})^{2} ≤ n ∑_{k=0}^{n} x_{k}^{2}, ∀(x_{k} ∈ ℝ)_{k∈ℕ}
vii) (⋆) y^{n} − x^{n} ≤ (y + x)^{n−1}(y − x), ∀0 ≤ x ≤ y, n ≥ 1
viii) (⋆) (2n)! ≤ 2^{n}n^{n}n!
ix) (⋆) (1 − x)^{n} ≤ \frac{1}{1 + nx}, ∀x ∈ (0, 1)
x) (⋆) ((n + 1)!)^{n} ≤ ∏_{k=0}^{n}(2k)!
xi) (⋆) (2n)! ≤ 2n^{2n}
xii) (⋆) 2n ≤ 2^{n}

6. Data la successione dei numeri di Fibonacci

\{ \begin{matrix}a_{0} = 0 \\ a_{1} = 1 \\ a_{n+2} = a_{n+1} + a_{n}, ∀n ≥ 0, \end{matrix}
\overline{20}

dimostrare che

a_{n} = \frac{1}{\sqrt{5}} ((\frac{1 + \sqrt{5}}{2})^{n} − (\frac{1 − \sqrt{5}}{2})^{n})

7. Dimostrare la formula del binomio di Newton

(3.1)  (a + b)^{n} = ∑_{k=0}^{n} ( \begin{matrix}n \\ k \end{matrix} ) a^{n−k}b^{k}.

8. (⋆) Dimostrare che

∑_{k=1}^{n} ( \begin{matrix}n \\ k \end{matrix} ) k = n2^{n−1}.

9. (⋆) Dimostrare che dati comunque n numeri reali positivi x_{1}, x_{2}, …, x_{n} ≥ 0 tali che x_{1} + x_{2} + … + x_{n} = n, allora

x_{1} · x_{2} · . . . · x_{n} ≤ 1

e l’uguaglianza vale se e solo se gli n numeri x_{i} sono tutti uguali (x_{i} = 1 per ogni i = 1, … n). Ricavarne come corollario che se si prendono n numeri reali positivi, allora la media geometrica è più piccola della media artimetica, cioè se x_{1}, x_{2}, …, x_{n} ≥ 0, allora

(3.2)  ^{n}\sqrt{x_{1} · . . . · x_{n}} ≤ \frac{x_{1} + … + x_{n}}{n} .

10. Dimostrare che ∀h ≥ 0 e per ogni n ∈ ℕ vale

(1 + h)^{n} ≥ 1 + nh

usando prima la formula del binomio di Newton (3.1), poi la (3.2). Rendersi conto che in generale vale

(1 + h)^{n} ≥ 1 + ( \begin{matrix}n \\ k \end{matrix} ) h^{k}.

CAPITOLO 3. PRINCIPIO DI INDUZIONE

Successioni Numeriche

4.1 Il Numero di Nepero e

Si consideri x ∈ ℝ, x ≠ 0, e si dimostri che la successione

α_{n}(x) = (1 + \frac{x}{n})^{n}

è definitivamente strettamente crescente (suggerimento: usare la disuguaglianza delle medie (3.2). Si studino poi in particolare le due successioni α_{n}(1) e α_{n}(−1). È sufficiente considerare n + 1 numeri x_{1}, x_{2}, … x_{n+1} definiti da

x_{1} = ⋯ = x_{n} = 1 + \frac{x}{n} , x_{n+1} = 1 .

Poiché la media geometrica di k numeri positivi è minore della loro media aritmetica, se 1 + \frac{x}{n} > 0, e cioè n > −x, scrivendo le due medie per x_{1}, … x_{n+1} si ottiene

(1 + \frac{x}{n}) · · · · · (1 + \frac{x}{n}) · 1 < \frac{1}{n + 1}(1 + \frac{x}{n} + ⋯ + 1 + \frac{x}{n} + 1)

e cioè

(1 + \frac{x}{n})^{n} < (1 + \frac{x}{n + 1})^{n+1} .

Si noti che la disguaglianza è stretta perché x_{1}, … x_{n+1} non sono tutti uguali. Concludendo: a_{n} è crescente per ogni x > 0 ed è definitivamente crescente per ogni x < 0 (crescente per n > −x). Si considerino ora due casi particolari: x = 1 e x = −1. Si ottiene allora che le due successioni α_{n}(1) = (1 + \frac{1}{n})^{n} e α_{n}(−1) = (1 − \frac{1}{n})^{n} sono crescenti e quindi

α_{n}(1) = a_{n} = (1 + \frac{1}{n})^{n} crescente ,

\frac{1}{α_{n}(−1)} = b_{n} = (1 − \frac{1}{n})^{−n} decrescente .

CAPITOLO 4. SUCCESSIONI NUMERICHE

Di conseguenza esistono lim_{n→∞} a_{n} = sup_{n∈ℕ} a_{n} e lim_{n→∞} b_{n} = inf_{n∈ℕ} b_{n}. Vediamo che vale a_{n} ≤ b_{k} per ogni n, k ∈ ℕ. Infatti, supponendo che n ≤ k, si ha dalla monotonia di a_{n}

a_{n} \frac{1}{b_{k}} = (\frac{n + 1}{n})^{n}(\frac{k − 1}{k})^{k} ≤ (\frac{k + 1}{k})^{k}(\frac{k − 1}{k})^{k} = (\frac{k^{2} − 1}{k^{2}})^{k} < 1

e quindi a_{n} < b_{k}. Analogamente si prova la disuguaglianza nel caso in cui n ≥ k. Da ciò in particolare concludiamo che A = {a_{n}|n ∈ ℕ} è limitato superiormente (dai b_{k}) e B = {b_{n}|n ∈ ℕ} è limitato inferiormente (dagli a_{n}). Quindi lim_{n→∞} a_{n} e lim_{n→∞} b_{n} esistono finiti. Inoltre sappiamo che

lim_{n→∞} a_{n} ≤ lim_{n→∞} b_{n}.

Si pone

e := lim_{n→∞} a_{n} = sup_{n∈ℕ} (1 + \frac{1}{n})^{n} .

Tale numero è compreso tra 2 e 3 (infatti a_{1} < e < b_{6} e a_{1} = 2 e b_{6} è circa 2, 98). Vediamo quant’è il limite di b_{n}:

lim_{n→∞}(1 − \frac{1}{n})^{−n} = lim_{n→∞}(\frac{n − 1 + 1}{n})^{−n} =
= lim_{n→∞}(1 + \frac{1}{n − 1})^{n−1}(1 + \frac{1}{n − 1}) =
= lim_{n→∞}(1 + \frac{1}{n − 1})^{n−1} lim_{n→∞}(1 + \frac{1}{n − 1}) = e .

Abbiamo quindi trovato due sucessioni, una crescente ed una decrescente, convergenti allo stesso limite e. Tornando a α_{n}(1) = a_{n} e α_{n}(−1) = b_{n}^{−1} possiamo concludere che

lim_{n→∞}(1 + \frac{1}{n})^{n} = e  lim_{n→∞}(1 − \frac{1}{n})^{n} = e^{−1} .

Per esercizio dimostrare che, se a_{n} è una successione con limite +∞ vale

lim_{n→∞}(1 + \frac{1}{a_{n}} )^{a_{n}} = e .

Dedurne che in generale vale, dato x ∈ ℝ,

lim_{n→∞}(1 + \frac{x}{n})^{n} = e^{x} ,  lim_{n→∞}(1 − \frac{x}{n})^{−n} = e^{x}

con (1 + \frac{x}{n})^{n} monotona crescente e (1 − \frac{x}{n})^{−n} monotona decrescente. Infine, applicando la disuguaglianza dell’esercizio 2 del Capitolo 3 prima con h = x/n poi con h = −x/n si ottengono le disuguaglianze

1 + x ≤ (1 + \frac{x}{n})^{n} ≤ e^{x} ≤ (1 − \frac{x}{n})^{−n} ≤ \frac{1}{1 − x} ,

cioè in particolare

(4.1)  1 + x ≤ e^{x} ≤ \frac{1}{1 − x} .

4.2. OSSERVAZIONI SUL NUMERO DI NEPERO

4.2 Osservazioni sul numero di Nepero

Supponiamo che un capitale C venga investito per un anno. È più conveniente ricevere un interesse j dopo un anno oppure un interesse j/2 ogni sei mesi?

Soluzione: Dopo un anno si ha che il capitale è C + jC = C(1 + j se l’interesse viene dato tutto assieme dopo un anno. Se invece dopo sei mesi si ottiene un interesse di j/2 si ha alla scadenza dei sei mesi un capitale pari a

C + \frac{j}{2}C = C(1 + j/2)

e dopo altri sei mesi

[C(1 + j/2)] + [C(1 + j/2)]j/2 = C(1 + \frac{j}{2})^{2} .

Si vede facilmente che 1+j < (1+j/2)^{2}. Se l’interesse maturato venisse pagato, e quindi reinvestito assieme al capitale iniziale. ogni mese si otterrebbe a fine anno

C(1 + \frac{j}{12})^{12} .

Analogamente, se l’interesse venisse pagato giornalmente, reinvestendo dopo un anno si avrebbe

C(1 + \frac{j}{365})^{365} .

Se l’accredito fosse istantaneo, il capitale maturerebbe diventando dopo un anno

Ce^{j} .

4.3 Esercizi

1. Data una successione numerica (a_{n})_{n} con

lim_{n→+∞} a_{n} = 0,

dimostrare i seguenti limiti notevoli:

i)

lim_{n→+∞} sin a_{n} = 0;

ii)

lim_{n→+∞} cos a_{n} = 1;

iii)

lim_{n→+∞} \frac{sin a_{n}}{a_{n}} = 1.

CAPITOLO 4. SUCCESSIONI NUMERICHE

2. Fissato a ∈ ℝ, studiare la convergenza della successione a_{n} = a^{n}.

3. Sfruttando il fatto che, dato h > 0 numero reale, vale la relazione

(1 + h)^{n} ≥ 1 + \frac{n(n − 1)}{2}h^{2},

dimostrare che

lim_{n→+∞} ^{n}\sqrt{n} = 1.

4. Dimostrare che per |a| < 1 si ha

lim_{n→+∞} na^{n} = 0.

5. (⋆) Sia (a_{n})_{n} una successione tale che

lim_{n→+∞} a_{n} = L;

dimostrare che

lim_{n→+∞} |a_{n}| = |L|.

Quando è vera pure l’implicazione inversa?

6. Calcolare i limiti lim_{n→∞} \frac{ln n}{n} e lim_{n→∞} \frac{a^{n}}{n} con a > 1.

7. Studiare la convergenza delle seguenti successioni:

i)  a_{n} = \frac{n^{2}}{n^{2} + 1};
ii)  a_{n} = \frac{n!}{n^{n}};
iii)  a_{n} = \frac{α^{n}}{n!} , α > 0;
iv)  a_{n} = n − \sqrt{n^{2} + n};
v)  a_{n} = \frac{3n^{2} − 2n + 1}{n − n^{2}};
\overline{26}

vi)  a_{n} = \frac{2n − 5n^{3} − 2}{n^{2} + 1};

vii)  a_{n} = \frac{4n + 2/n}{1/n^{2} + 5n};
viii)  a_{n} = n arctan n − \sqrt{n};

ix)  a_{n} = \frac{n\sqrt{n} − n^{2}}{n + 1} ;

x)  a_{n} = \frac{2^{n} + 1}{3^{n} + 1};
xi)  a_{n} = \frac{3\sqrt{n} − 1}{2\sqrt{n} + arctan n};

xii)  a_{n} = \sqrt{\frac{n^{2} + 2}{n^{2} + 1}};

xiii)  a_{n} = \sqrt{n^{2} + 2n + 1} − \sqrt{n^{2} + 2};

xiv) (⋆) a_{n} = (1 + \frac{1}{n!})^{n};

xv) (⋆) a_{n} = (1 + \frac{1}{n^{n}} )^{n!};

xvi) (⋆) a_{n} = \frac{n^{p}}{α^{n}} , α > 0, p ∈ ℕ;
xvii) (⋆) a_{n} = −2^{\sqrt{n}};

xviii) (⋆) a_{n} = \frac{n^{n/2}}{n!} ;

xix) (⋆) a_{n} = \frac{n + 1}{n} ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k + 2)}.

8. Calcolare i seguenti limiti

a) lim_{n→∞} [\frac{1}{\sqrt{n+1}} + \frac{1}{\sqrt{n+2}} + ⋯ + \frac{1}{\sqrt{2n}}] .

b) lim_{n→∞} [\frac{1}{(n+1)^{2}} + \frac{1}{(n+1)^{2}} + ⋯ + \frac{1}{(2n)^{2}} ] .

c) lim_{n→∞} [\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}} + \frac{1}{\sqrt{n^{2}+2}} + ⋯ + \frac{1}{\sqrt{n^{2}+n}}] .

9. Calcolare lim_{n→∞}^{n}\sqrt{3^{n} + 7^{n}}.

10. (⋆) Definita per ricorrenza la successione

a_{0} ≥ 0, a_{n+1} = a_{n}^{2} + \frac{1}{4},

studiarne la convergenza in funzione del parametro a_{0}.

11. (⋆) Dimostrare che;

i) fissato a ∈ (0, π) e posto

b = a + sin a,

vale ancora che 0 < b < π (si usi il fatto che sin x = sin(π − x); ii) definita per ricorrenza la seguente successione numerica, con punto

iniziale a_{0} ∈ (0, π);

a_{n+1} = a_{n} + sin a_{n},

essa è una successione monotona crescente contenuta nell’intervallo (0, π);

iii)

lim_{n→+∞} a_{n} = π.

12. Studiare la convergenza delle seguenti successioni definite per ricorrenza: i) a_{0} = k, a_{n+1} = a_{n}^{2} per n ≥ 0; ii) a_{0} = k, a_{n+1} = ha_{n}^{2} per n ≥ 0; (Sugg: Provare a scrivere il termine generale della successione).

13. (⋆) Definita per ricorrenza la successione

a_{0} = a, a_{n+1} = 1 − a_{n} + a_{n}^{2},

dimostrare che la successione è costante per a = 1, mentre è crescente per a ≠ 1. Dedurne quindi che se a < 1, allora la successione converge a 1, mentre se a > 1 essa diverge a +∞.

14. (⋆) Definita per ricorrenza la successione

a_{1} = α, a_{n+1} = a_{n}^{2} − 2,

dimostrare che:

i) se

α = \sqrt{2 − \sqrt{2 − \sqrt{2}}},

allora la successione è definitivamente uguale a 2; \overline{28} ii) se

α = \sqrt{2 − \sqrt{3}},

allora la successione è definitivamente pari a −1; iii) se

α = \frac{\sqrt{5} − 1}{2},

allora la successione è periodica di periodo 2.

15. Data una successione (a_{n})_{n}, supposto che

lim_{n→+∞} |\frac{a_{n+1}}{a_{n}} | = λ,

dimostrare che:

i) se λ < 1, allora

lim_{n→+∞} a_{n} = 0;

ii) se λ > 1, allora

lim_{n→+∞} |a_{n}| = +∞.

Cosa succede invece nel caso in cui sia λ = 1?

16. (⋆) Dato un numero reale positivo B > 0, dimostrare che: i) fissato un numero reale a > 0, il numero reale

b = \frac{1}{2} (a + \frac{B}{a} )

è sempre un numero reale positivo maggiore di \sqrt{B}; ii) definita per ricorrenza la successione

x_{n+1} = \frac{1}{2} (x_{n} + \frac{B}{x_{n}} )

con punto iniziale un qualsiasi x_{0} > 0, tale successione è decrescente e maggiore di \sqrt{B};

iii) la successione definita al punto precedente è convergente con limite

uguale a \sqrt{B}.

17. Mostrare che

lim_{n→∞} (1 + \frac{1}{n^{2}} )^{n} = 1 ,  lim_{n→∞} (1 + \frac{1}{n^{n}} )^{n!} = 1

Capitolo 5

Serie Numeriche

1. Studiare il carattere della serie

∑_{k=1}^{+∞} \frac{1 − cos k}{k^{2}}

2. Studiare il carattere della serie

∑_{k=0}^{+∞} \frac{a^{k}}{k!}

3. Studiare il carattere della serie

∑_{k=0}^{+∞} \frac{k!}{k^{k}} a^{k}

4. Studiare il carattere della serie

∑_{k=0}^{+∞} e^{− \frac{k^{2}a}{k+a^{2}}}

5. Studiare il carattere della serie

∑_{k=1}^{+∞} (1 − cos \frac{1}{k} )

6. (⋆) Studiare il carattere della serie

∑_{k=0}^{+∞} (\frac{π}{2} − arctan k)^{p}

\overline{31} CAPITOLO 5. SERIE NUMERICHE

7. Studiare il carattere della serie

∑_{k=1}^{+∞} (\frac{π}{2} − arcsin \frac{n}{n + 1})

8. Studiare il carattere della serie

∑_{k=1}^{+∞} tan (\frac{k + \sqrt{k}}{k^{3} − k + 2})

9. Studiare il carattere della serie

∑_{k=1}^{+∞}(−1)^{k} \frac{1}{k}

10. Studiare il carattere della serie

∑_{k=1}^{+∞}(−1)^{k} \frac{1}{k^{p}}

11. Studiare il carattere della serie

∑_{k=1}^{+∞}(−1)^{k} \frac{ln k}{k}

12. Studiare il carattere della serie

∑_{k=1}^{+∞} ln (1 − \frac{1}{k^{2}} )

13. Studiare il carattere della serie

∑_{k=1}^{+∞} \frac{2^{k} + k}{3^{k} − \sqrt{k}}

14. Studiare il carattere della serie

∑_{k=1}^{+∞} \frac{\sqrt{k + 1} − \sqrt{k}}{k}

15. Studiare il carattere della serie

∑_{k=1}^{+∞} (\frac{1}{k} − ln \frac{k + 1}{k})

\overline{32}

16. Studiare il carattere della serie

∑_{k=2}^{+∞} \frac{1}{ln k!}

17. Studiare il carattere della serie

∑_{k=1}^{+∞} \frac{k!}{k^{k}}

18. Studiare il carattere della serie

∑_{k=1}^{+∞} \frac{k^{2}}{2^{k}}

19. (⋆) Studiare il carattere della serie

∑_{k=0}^{+∞} (\frac{k^{2} + k − 1}{k^{2} + 3k + 5})^{k^{2}}

20. Studiare il carattere della serie

∑_{k=2}^{+∞} \frac{1}{k ln k}

21. Studiare il carattere della serie

∑_{k=1}^{+∞} \frac{k^{2}2^{k+1}}{3^{k}}

22. Studiare il carattere della serie

∑_{k=2}^{+∞}(−1)^{k} ln (1 + \frac{1}{ln k} )

23. Studiare il carattere della serie

∑_{k=1}^{+∞} \frac{(−1)^{k}}{2k + sin k}

24. Studiare il carattere della serie

∑_{k=1}^{+∞}(−1)^{k} (1 − k arctan \frac{1}{k} )

CAPITOLO 5. SERIE NUMERICHE 25. Studiare il carattere della serie

∑_{k=1}^{+∞} \frac{k^{3}}{k!}

26. (⋆) Studiare il carattere della serie

∑_{k=2}^{+∞} (\frac{1 + ln k}{\sqrt{k^{3} + 1}})

27. Studiare il carattere della serie

∑_{k=1}^{+∞}( ^{k}\sqrt{k} − 1)^{k}

28. Studiare il carattere della serie

∑_{k=1}^{+∞}(k^{1/k^{2}} − 1)

29. Studiare il carattere della serie

∑_{k=2}^{+∞}(−1)^{k} \frac{k ln k}{1 + k^{2}}

30. Studiare il carattere della serie

∑_{k=1}^{+∞} (\frac{1 + cos k}{3} )^{k}

31. Studiare il carattere della serie

∑_{k=1}^{+∞} \frac{cos πk}{k + 2}

32. Studiare il carattere della serie

∑_{k=1}^{+∞} \frac{1}{k} sin \frac{1}{k + 1}

33. Studiare il carattere della serie

∑_{k=4}^{+∞} \frac{(k − 3)^{k}}{k^{k+1}}

\overline{34}

∑_{k=1}^{+∞} (\frac{k + 1}{2k − 1})^{k}

35. Studiare il carattere della serie

∑_{k=1}^{+∞} (k − sin k) (\frac{1}{k} − sin \frac{1}{k} )

36. Studiare il carattere della serie

∑_{k=1}^{+∞} \frac{1}{k ^{k}\sqrt{k}}

37. Studiare il carattere della serie

∑_{k=1}^{+∞} \frac{k^{3}}{e^{k}}

38. Studiare il carattere della serie

∑_{k=1}^{+∞} e^{a/2+ka^{2}}

39. Studiare il carattere della serie

∑_{k=2}^{+∞} \frac{(−1)^{k}}{ln ln k}

40. Si supponga di lasciar cadere una pallina da un’altezza iniziale h_{0} e si supponga che la pallina, dopo ogni rimbalzo, risalga ad un’altezza che è proporzionale all’altezza raggiunta prima del rimbalzo (si supponga cioè di aver definito la successione di altezze h_{n+1} = qh_{n} con q ∈ (0, 1) e h_{0} > 0 fissato). Stabilire se la pallina smette di rimbalzare in un tempo finito o meno. Calcolare quindi il tempo che ci vuole perché una pallina da pingpong (che ha come rimbalzo caratteristico all’incirca q = 0.75) impiega a fermarsi se lasciata cadere da un’altezza di un metro.

CAPITOLO 5. SERIE NUMERICHE

Limiti e Funzioni Continue

1. Mostrare che la funzione

f(x) = ^{3}\sqrt{x + 1}

è continua in x = −1.

2. Mostrare che la funzione

f(x) = ||x^{3}| − 1|

è continua in x = 1.

3. Dire se la funzione f : ℝ → ℝ definita da

f(x) = \{ \begin{matrix}\frac{\sqrt{1 + x^{2}} − 1}{x^{2}} & per x ≠ 0 \\ \frac{1}{2} & per x = 0 \end{matrix}

è continua.

4. Dire per quali valori dei parametri reali a, b ∈ ℝ risulta continua la funzione f : ℝ → ℝ definita da

f(x) = \{ \begin{matrix}−2 sin x & x ≤ −\frac{π}{2} \\ a sin x + b & −\frac{π}{2} < x < \frac{π}{2} \\ cos x & x ≥ \frac{π}{2} . \end{matrix}

CAPITOLO 6. LIMITI E FUNZIONI CONTINUE

5. Dire per quali valori dei parametri reali a, b ∈ ℝ risulta continua la funzione f : ℝ → ℝ definita da

f(x) = \{ \begin{matrix}\sqrt{1 + x^{2}} + b & 0 ≤ x ≤ 1 \\ x^{2} + bx + a & x < 0, x > 1. \end{matrix}

6. Dire se la funzione f : (−1, 2) → ℝ definita da

f(x) = x(1 − x)[x]

è continua o meno (dato un numero reale a ∈ ℝ, si indica con [a] la parte intera del numero a).

7. Dimostrare i seguenti limiti notevoli

i) (⋆) lim_{x→0} \frac{sin x}{x} = 1;

ii)  lim_{x→0} \frac{1 − cos x}{x^{2}} = \frac{1}{2};

iii)  lim_{x→0} \frac{1 − cos x}{x} = 0;
iv) (⋆) lim_{x→0} (1 + x)^{1/x} = e;

v)  lim_{x→±∞} (1 + \frac{1}{x})^{x} = e;
vi)  lim_{x→0} \frac{log(1 + x)}{x} = 1;

vii)  lim_{x→0} \frac{b^{x} − 1}{x} = log b  b > 0;

viii)  lim_{x→0} \frac{(1 + x)^{α} − 1}{x} = α;
ix) (⋆) lim_{x→+∞} x^{α}A^{−x} = 0, A > 1, ∀α > 0;
x)  lim_{x→+∞}(log x)^{β}x^{−α} = 0 ∀α, β > 0;

8. Dato α ∈ ℝ, dimostrare che

lim_{x→0} \frac{sin αx}{x} = α.

9. Mostrare che

lim_{x→0} \frac{1 − cos x}{sin^{2} 3x} = \frac{1}{18}.

10. Calcolare i seguenti limiti

i)  lim_{x→0} \frac{sin x^{2}}{x};

ii)  lim_{x→0} \frac{cos 2x}{1 − \sqrt{2} sin x};

iii)  lim_{x→0} \frac{cos 2x}{1 + sin x};

iv)  lim_{x→0} \frac{x sin x}{2 sin 2x^{2}} ;

v)  lim_{x→0} \frac{tan x}{x};

vi)  lim_{x→0} \frac{arcsin x}{x};

vii)  lim_{x→0} \frac{arctan x}{x};

viii)  lim_{x→0} \frac{(1 − cos 3x)^{2}}{x^{2}(1 − cos x)};

ix)  lim_{x→0} \frac{1 − cos \sqrt{|x|}}{|x|};
x)  lim_{x→+∞}(x^{2} + x + 1) sin 2/x^{2}.

xi)  lim_{x→0} (\frac{1 − 2 sin^{2} x/2}{sin x})^{sin x}.

xii)  lim_{x→+∞} (\sqrt{x^{2} + 2x} − ^{3}\sqrt{x^{3} + 2x^{2}}).

11. Mostrare che

lim_{x→0} \frac{1 + sin^{2} x}{x^{2}} = +∞.

12. Calcolare i seguenti limiti:

i)  lim_{x→0} \frac{5^{x} − 1}{3^{x} − 1} = log_{3} 5;

ii)  lim_{x→0} \frac{1 − e^{x}}{sin x};

iii)  lim_{x→0} \frac{e^{1/x} + 3}{e^{1/x} + 1};

iv)  lim_{x→0} \frac{1}{1 + e^{1/(1−x)}} ;

v)  lim_{x→0} \frac{3x}{1 − e^{2x}};
vi)  lim_{x→0} x^{1/x}.
vii)  lim_{x→+∞} x^{1/x}.

viii)  lim_{x→+∞} (\frac{x + 1}{x + 2})^{x}.

ix)  lim_{x→0} \frac{e^{arcsin x} − e^{arctan x}}{arcsin x − arctan x};

x)  lim_{x→+∞} (1 + \frac{2}{x})^{x} ;

xi)  lim_{x→0}(1 + sin x)^{1/x};

xii)  lim_{x→0^{+}} (\frac{1}{x^{3}} )^{\frac{x}{x+1}} .

13. Calcolare i seguenti limiti;

i)  lim_{x→0} \frac{log(1 + 10x)}{x};

ii)  lim_{x→0} \frac{log cos x}{x^{2}};

iii)  lim_{x→0} \frac{log(1 + x) − x}{3x + 2};

iv)  lim_{x→0} \frac{log(1 + sin x)}{x};

6.1. ESERCIZI SENZA SVOLGIMENTO

v)  lim_{x→0} \frac{log cos x}{1 − cos x};

vi)  lim_{x→+∞} x sin (log \frac{x + 1}{x + 2}).

vii)  lim_{x→0} x sin (log \frac{x + 1}{x + 2}).

14. (⋆) Sapendo che

lim_{x→0^{+}} e^{−1/x} = 0,

mostrare che

lim_{n→+∞} e^{\frac{1−n^{2}}{2+n}} = 0, lim_{n→+∞} e^{tan(1/n−π/2)} = 0.

15. (⋆) Data l’equazione di secondo grado

ax^{2} + bx + c = 0,

cosa succede alle due radici se, tenendo fissati b e c si fa il limite a → +∞?

16. (⋆) Data una funzione f : [0, 1] → [0, 1] continua, dimostrare che esiste almento un punto x_{0} ∈ [0, 1] tale che f(x) = x (Sugg: considerare la funzione g(x) = f(x) − x e applicare il teorema della permanenza del segno).

17. (⋆⋆) Data una funzione continua f : ℝ → ℝ tale che

f(x + y) = f(x) + f(y),

dimostrare che f(x) = f(1)x per ogni x ∈ ℝ (Sugg: calcolare la funzione f nei punti della forma x = n, poi nei punti della forma x = n/m e sfruttare quindi la continuità ).

18. (⋆⋆) Data una funzione continua f : ℝ → ℝ tale che

\{ \begin{matrix}f(x + y) = f(x)f(y) \\ f(1) = a > 0, \end{matrix}

dimostrare che f(x) = a^{x} per ogni x ∈ ℝ.

6.1 Esercizi senza svolgimento

Calcolare, se esistono, i seguenti limiti:

1. lim_{x→0} \frac{sin(5 log(1 + x))}{x}

2. lim_{x→0} \frac{1 − cos(log(1 + x))}{x^{2} + sin^{4} 3x}

3. lim_{x→+∞} \frac{sin \frac{1}{x}}{\sqrt{3x^{2} + 1} − \sqrt{3x^{2} − 1}}

4. lim_{x→4^{+}} (x − 4)^{x^{2}−16}

5. lim_{x→0} \frac{tan(sin(x^{2} + 4x)) + x}{log(1 + x)}

6. lim_{x→0} \frac{log(1 + 3 sin x)}{tan x}

7. lim_{x→+∞} \frac{e^{3x} + e^{x} + 1}{2e^{3x} + 2}

8. lim_{x→0} \frac{sin 2x}{arctan 5x}
9. lim_{x→−∞} (\frac{2x + 3}{2x})^{1−x}

10. lim_{x→0} \frac{\sqrt{1 + x} − \sqrt[4]{1 − x}}{x + x^{2}}

11. lim_{x→0} \frac{sin 2x}{arctan 5x}

12. lim_{x→−∞} \frac{5x^{7} + x^{5} − 3x^{2} + 1}{x^{5} − x^{3} + sin \frac{1}{x} + cos x}

13. lim_{x→−∞} x sin \frac{1}{x}

14. lim_{x→0^{+}} \frac{log(x + x^{2})}{log x}

15. lim_{x→1} \frac{log x}{x − 1}

16. lim_{x→0} \frac{tan x − sin x}{x^{3}}

Capitolo 7

Derivate e Problemi di Massimo e Minimo

1. Calcolare, usando la definizione, la derivata in x_{0} = 1 della funzione

f(x) = \frac{1}{x^{2} + 1}.

2. Calcolare, usando la definizione, la derivata in x_{0} = 1 della funzione f(x) = x\sqrt{x + 3}.

3. Dimostrare che la funzione

f(x) = | sin x|,

non è derivabile nei punti della forma x = kπ con k ∈ ℤ.

4. Calcolare le derivate delle seguenti funzioni:

i)  f(x) = \sqrt{x} sin x;
ii)  f(x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + x + 1};
iii)  f(x) = \frac{sin e^{x}}{log(x − tan x^{2})};
iv)  f(x) = (log x^{2})^{2};
v)  f(x) = arctan \frac{x}{1 − x^{2}} ;
\overline{43}

CAPITOLO 7. DERIVATE E PROBLEMI DI MASSIMO E MINIMO

vi)  f(x) = | sin x|(1 + cos x);
vii)  f(x) = arctan(\frac{sin x}{1 + cos x});

viii)  f(x) = (1 + \frac{1}{x})^{x};
ix)  f(x) = (sin x)^{tan x};

x)  f(x) = arcsin (\frac{1}{1 + x^{2}} );
xi)  f(x) = arccos h\sqrt{x^{2} − 1};

xii)  f(x) = \sqrt{\frac{x − 1}{x + 1}};

xiii)  f(x) = e^{\sqrt{x}}(sin 2x + cos 3x);
xiv)  f(x) = (x^{x})^{x};
xv)  f(x) = (log x)^{1/ log x};
xvi)  f(x) = x|x|;
xvii)  f(x) = x^{2} + log x;
xviii)  f(x) = \frac{log x + 1}{log x − 1}
xix)  f(x) = sin x cos x + x;
xx)  f(x) = \frac{sin x − cos x}{sin x + cos x};
xxi)  f(x) = tan x + \frac{1}{cos x};

xxii)  f(x) = \frac{log sin x}{cos x};
xxiii)  f(x) = (arctan x)^{x^{2}+1}.

5. Trovare massimi e minimi della funzione

f(x) = x^{3} + x^{2} − |x| + 2

nell’intervallo [−3, 4].

6. Trovare massimi e minimi della funzione

f(x) = \sqrt{1 − x^{2}} + |x + \frac{1}{2}| .

7. Trovare massimi e minimi della funzione f(x) = x − 3 ^{3}\sqrt{x}

8. (⋆) Dimostrare la seguente identità ;

arctan(x) + arctan (\frac{1}{x}) = \frac{π}{2} .

9. (⋆) Dimostrare la seguente identità :

arcsin x + arccos x = \frac{π}{2}

per ogni −1 ≤ x ≤ 1.

10. (⋆) Dimostrare le seguenti identità :

2 arctan(x) + arcsin (\frac{2x}{1 + x^{2}} ) = \{ \begin{matrix}−π & se x ≤ −1 \\ π & se x ≥ 1. \end{matrix}

11. (⋆) Dimostrare le seguenti identità : arcsin hx = log (x + \sqrt{x^{2} + 1}) ,

arccos hx = log (x + \sqrt{x^{2} − 1}) ,

arctan hx = \frac{1}{2} log (\frac{1 + x}{1 − x}) .

12. Data la funzione

f(x) = \{ \begin{matrix}x^{2} & se x ≤ 0 \\ ax + b & se x > 0 \end{matrix}

con a e b parametri reali, determinare a e b in modo che la funzione f sia continua e derivabile su tutto ℝ.

13. Data la funzione

f(x) = \{ \begin{matrix}x^{2} + ax + b & se x ≤ 0 \\ e^{x} & se x > 0 \end{matrix}

con a e b parametri reali, determinare a e b in modo che la funzione f sia continua e derivabile su tutto ℝ.

\overline{45}

CAPITOLO 7. DERIVATE E PROBLEMI DI MASSIMO E MINIMO

14. Data la funzione

f(x) = \{ \begin{matrix}2x^{2} + b & se x ≤ 2 \\ 2ax^{3} + 11a & se x > 2 \end{matrix}

con a e b parametri reali, determinare a e b in modo che la funzione f sia continua e derivabile su tutto ℝ.

15. Data la funzione

f(x) = \{ \begin{matrix}x^{2} + ax & se x ≤ 0 \\ b log(x + 1) & se x > 0 \end{matrix}

con a e b parametri reali, determinare a e b in modo che la funzione f sia continua e derivabile su tutto ℝ.

16. (⋆) Data la funzione

f(x) = arctan \frac{x}{a} + log(1 + x^{2}),

determinare il valore del parametro a in modo che la tangente al grafico di f nel punto 0 formi un angolo di π/4 con l’asse delle ascisse.

17. Data la funzione f : ℝ → ℝ,

f(x) = x^{3} + 3x + 1,

dire se è invertibile e calcolare quindi

(f^{−1})(1).

18. (⋆) Data la funzione

f(x) = e^{x} − sin x − 3x,

dimostrare che esiste un punto x_{0} ∈ [0, 1] per il quale f(x_{0}) = 0.

19. (⋆) Data la funzione

f(x) = sin x + x,

dimostrare che esiste un unico punto x_{0} ∈ [0, π/4] per il quale f(x_{0}) = 1/2.

20. Dire se la funzione

f(x) = \{ \begin{matrix}cos x & π/4 ≤ x ≤ π/2 \\ sin x & 0 ≤ x ≤ π/4 \end{matrix}

soddisfa le condizioni del teorema di Rolle.

\overline{46} 21. (⋆) Usare il teorema di Lagrange per dimostrare che

| sin x − sin y| ≤ |x − y|

per ogni x, y ∈ ℝ.

22. (⋆⋆) Data la funzione f : ℝ → ℝ definita da

f(x) = lim_{n→∞} \frac{x^{2} + xe^{nx}}{1 + e^{nx}} ,

dire se f è continua e derivabile.

23. Tra tutti i rettangoli di perimetro fissato, determinare quello di area massima.

24. Tra tutte le pentole cilindriche senza coperchio con superficie laterale pari a S, determinare raggio e altezza in modo da massimizzare il volume.

25. Tra tutti i rettangoli con area fissata, determinare quello che ha la minima diagonale.

26. Trovare, tra tutti i settori circolari con perimetro fissato, quello di area massima.

27. Tra tutti i triangoli rettangoli di cateti a e b tali che a + b = 5, trovare quello di ipotenusa massima e quello di ipotenusa minima.

28. Dato un rettangolo di lati a e b fissati, ritagliare nei quattro vertici quattro quadrati di lato r e costruire quindi il parallelipedo di altezza r e base rettangolare di lati a − 2r e b − 2r. Determinare r in modo che il volume di tale parallelepipedo sia massimo.

Capitolo 8

Grafici di Funzioni

Tracciare i grafici delle seguenti funzioni.

1.

f(x) = \frac{1 + log x}{x};

2.

f(x) = |\frac{e^{x} − 1}{1 + |x|}|;

3.

f(x) = \frac{x^{2} − 3x − 6}{x + 2};

4.

f(x) = arcsin \frac{x}{x + 1};

5.

f(x) = \frac{log x}{1 + log x};

6.

f(x) = x + 1 + \frac{1}{x};

7.

f(x) = \frac{x^{3} + 3}{x^{2} − 1};

8.

f(x) = \sqrt{\frac{x^{3} − 1}{x}};

9.

f(x) = log \frac{1 − x}{1 + x};

10.

f(x) = ^{3}\sqrt{\frac{x − 1}{x^{3}}};

11.

f(x) = |\frac{x}{x − 1}|;

12.

f(x) = min (\frac{1}{x^{4}} , x^{2});

13.

f(x) = \frac{x^{3} + 3}{x − 1};

14.

f(x) = \sqrt{x^{2} + x} − x;

15.

f(x) = \frac{xe^{−x}}{4x + 1};

16.

f(x) = \frac{arctan x}{x};

17.

f(x) = sin x + cos x;

18.

f(x) = log |log(x^{2} − 1)|;
\overline{49}

CAPITOLO 8. GRAFICI DI FUNZIONI 19.

f(x) = \frac{sin 2x}{1 + sin x};

20.

f(x) = arcsin (\frac{2}{2 + cos x});

21.

f(x) = \sqrt{\frac{x − 1}{x + 1}};

22.

f(x) = min (5, \frac{x^{2}}{|x − 1|});

23.

f(x) = xe^{1/(1+x)};

24.

f(x) = x + \frac{log x}{x};

25.

f(x) = log(x − log x);

26.

f(x) = \frac{x^{2}(x − 2)}{x − 1};

27.

f(x) = \sqrt{1 − log(1 − x)};

28.

f(x) = \frac{x^{2}}{1 + x} + \frac{3}{2} log (1 + \frac{1}{x});

29.

f(x) = \frac{2(x − 1)^{2}}{\sqrt{4x^{2} + 2x + 1}};

30.

f(x) = \frac{|x − 1|}{x + 1};

31.

f(x) = \frac{x}{\sqrt[3]{x^{2} − 1}};

32.

f(x) = log (\frac{2|x| − 1}{x + 2})^{2} ;

33.

f(x) = \frac{x^{2} + 1}{e^{|x−1|}};

34.

f(x) = \frac{cos x}{1 + cos x};

35. f(x) = log(1 + sin x + | sin x|).

Capitolo 9

Integrali

1. Trovare le primitive delle seguenti funzioni:

i)  3x^{2} sin x^{3};
ii)  \frac{1}{x(1 + log^{2} x)};
iii)  \frac{tan^{3} x}{cos^{2} x};
iv)  sin x cos x;
v)  \frac{x^{2} + 1}{x\sqrt{x}};

vi)  \frac{sin x}{1 + cos^{2} x};
vii)  \frac{1}{x^{2} + x + 1};
viii)  \frac{1}{sin^{2} x cos^{2} x};
ix) (⋆) \frac{1}{sin x};
x) (⋆) \frac{1}{cos x}.

2. Calcolare i seguenti integrali indefiniti:

i)  ∫ x^{2} arcsin xdx;
ii)  ∫ x ^{3}\sqrt{8 + x}dx;
iii)  ∫ \frac{1 − \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}dx;
iv)  ∫ \sqrt{1 − x^{2}}dx;
v)  ∫ \sqrt{1 + x^{2}}dx;
\overline{51}

CAPITOLO 9. INTEGRALI

vi)  ∫ \sqrt{x^{2} − 1};

vii)  ∫ \frac{1}{\sqrt{2x − x^{2}}} dx;

viii)  ∫ arctan xdx;

ix)  ∫ \frac{arctan(\frac{1}{2} − \sqrt{x})}{\sqrt{x}}dx;

x)  ∫ \frac{xe^{arcsin x}}{\sqrt{1 − x^{2}}} dx;

xi)  ∫ \frac{log^{2} x}{\sqrt{x^{5}}}dx;

xii)  ∫ \frac{1}{\sqrt{x(1 − x)}}dx.

3. Calcolare i seguenti integrali:

i)  ∫_{e}^{e^{2}} \frac{1}{x log x}dx;

ii)  ∫_{0}^{1} x^{2} arctan xdx;

iii)  ∫_{1}^{4} \frac{1 − x}{\sqrt{x}}dx;

iv)  ∫_{0}^{1} \frac{1 + sin 2x}{cos^{2} x}dx;

v)  ∫_{0}^{−2} \frac{x^{3} + x + 1}{x − 1}dx;
vi)  ∫_{1}^{2} \frac{x}{1 − \sqrt{1 + x}}dx;

vii)  ∫_{0}^{1} arcsin xdx;

viii)  ∫_{1}^{e} \frac{log x}{\sqrt{x}}dx;

ix)  ∫_{1}^{e} log^{3} xdx;

x)  ∫_{0}^{1} \frac{x^{3}}{1 + x^{8}} dx;

xi)  ∫_{0}^{log 2} \sqrt{e^{x} − 1}dx;

xii)  ∫_{2}^{7} \frac{1}{x + \sqrt{x + 2}}dx;

xiii)  ∫_{0}^{√\overline{2}} x^{2}\sqrt{2 − x^{2}}dx;

xiv)  ∫_{0}^{π/2} sin 2xe^{sin x}dx;

xv)  ∫_{−π/2}^{π/2} x^{2} cos(x + |x|)dx;

4. Calcolare le medie integrali delle seguenti funzioni

i)  | sin x| in [−π, π];
ii)  \frac{2x}{1 + 3x^{2}} in [\sqrt{3}/3, 1];
iii)  sin x sin(cos x) in [0, π].

5. Trovare la funzione F primitiva della funzione

f(x) = arctan x

per la quale F (0) = 1.

6. Dimostrare la seguente identità :

∫_{−a}^{a} f(x)dx = ∫_{0}^{a} (f(x) + f(−x)) dx, ∀a > 0.

Utilizzare tale identità per dimostrare le seguenti implicazioni: f dispari ⇒ ∫_{−a}^{a} f(x)dx = 0, ∀a > 0;

f pari ⇒ ∫_{−a}^{a} f(x)dx = 2 ∫_{0}^{a} f(x)dx, ∀a > 0;

7. (⋆) Dimostrare che se f è una funzione T –periodica, allora

∫_{a}^{a+T} f(x)dx = ∫_{0}^{T} f(x)dx, ∀a ∈ ℝ.

8. (⋆) Verificare la seguente identità

∫_{0}^{a} f(x)dx = ∫_{0}^{a} f(a − x);

usare quindi questo fatto per calcolare il seguente integrale:

∫_{0}^{π} \frac{x sin x}{1 + cos^{2} x}dx.

9. (⋆) Calcolare per ogni n, m ∈ ℕ i seguenti integrali:

∫_{0}^{2π} sin(nx) cos(mx)dx;
∫_{0}^{2π} sin(nx) sin(mx)dx;
∫_{0}^{2π} cos(nx) cos(mx)dx.

10. (⋆⋆) Verificare che, dato k ∈ ℕ, se k è dispari, allora

∫_{0}^{2π} sin^{k} xdx = ∫_{0}^{2π} cos^{k} xdx = 0,

mentre se k è pari, cioè della forma k = 2n con n ∈ ℕ, allora

∫_{0}^{2π} sin^{k} xdx = ∫_{0}^{2π} cos^{k} xdx = \frac{n + 1}{2n}π.

11. (⋆) Calcolare, per ogni λ, μ ∈ ℝ, il seguente integrale: ∫ e^{λx} sin(μx)dx.

12. (⋆) Verificare le seguenti identità :

∫ \frac{a}{x − d}dx = a log |x − d| + cost., ∀a, d ∈ ℝ;

∫ \frac{a}{(x − d)^{r}} dx = \frac{a}{r − 1}(x − d)^{r−1} + cost., ∀a, d, r ∈ ℝ, r ≠ 1;

∫ \frac{bx + c}{(x − α)^{2} + β^{2}} = \frac{b}{2} log((x − α)^{2} + β^{2}) + \frac{c + αb}{β} arctan (\frac{x − α}{β}) + cost.,

∀b, c, α, β ∈ ℝ, β ≠ 0.

13. (⋆) Dimostrare che se f è una funzione continua tale che

∫_{a}^{b} f(x)dx = 0

con a < b, allora esiste z ∈ (a, b) per il quale f(z) = 0.

14. (⋆) Dimostrare che l’integrale

I = ∫_{a}^{b} \frac{f(x − a)}{f(x − a) + f(b − x)}dx,

con f : [a, b] → ℝ funzione continua positiva, è indipendente dalla funzione f. (Porre t = a + b − x).

15. (⋆⋆) Studiare le relazioni tra i seguenti integrali:

I = ∫_{0}^{π/2} log(sin x)dx,
J = ∫_{0}^{π/2} log(cos x)dx,
K = ∫_{0}^{π/2} log(sin 2x)dx.

16. (⋆⋆) Dimostrare la seguente relazione:

log(n + 1) − log 2 ≤ ∑_{k=2}^{n} \frac{1}{k} ≤ log(n).

Dedurne quindi che

lim_{n→∞} \frac{1}{log n} ∑_{k=2}^{n} \frac{1}{k} = 1.

17. (⋆) Dimostrare che se f : [0, 1] → ℝ è una funzione continua tale che f(0) = 0, allora, se

∫_{0}^{1} f(x)dx = 1,

il massimo di f in [0, 1] è strettamente maggiore di 1, cioè

max_{x∈[0,1]} f(x) > 1.

Capitolo 10

Integrali Razionali

1. Calcolare i seguenti integrali razionali:

i)  ∫ \frac{x − 3}{x(x − 1)(x − 2)}dx;
ii)  ∫_{0}^{1/2} \frac{x^{2} + x + 1}{(x + 2)(x^{2} − 1)}dx;
iii)  ∫_{1}^{2} \frac{x + 2}{x^{4} + x^{3} + x^{2} + x}dx;
iv)  ∫ \frac{x^{3} + 1}{x(x − 1)^{2}} dx;
v)  ∫ \frac{x^{2} + 6x − 1}{(x − 3)^{2}(x − 1)}dx;
vi)  ∫ \frac{3x − 2}{(x − 1)(x^{2} − 2x + 2)}dx;
vii)  ∫ \frac{x^{3} + 8x + 21}{(x^{2} + 4x + 5)^{2}} dx;
viii)  ∫ \frac{1}{x^{2}(x^{2} + 2)}dx.

2. Calcolare i seguenti integrali, riconducendosi ad integrali razionali: \overline{57}

CAPITOLO 10. INTEGRALI RAZIONALI

\begin{matrix}i) & ∫ \frac{1 + \sqrt{x}}{1 + x + \sqrt{x}}dx; \\ ii) & ∫ \frac{1 + \sqrt{\frac{x+1}{x+2}}}{1 − ^{3}\sqrt{\frac{x+1}{x+2}}} dx; \\ iii) & ∫ \frac{1 + ^{3}\sqrt{x + 1}}{1 − \sqrt{x + 1}}dx; \end{matrix}

\begin{matrix}iv) & & ∫ \frac{1}{\sqrt{x} + ^{3}\sqrt{x}}dx; \\ v) & (⋆) & ∫ x^{1/3}(1 + 3\sqrt{x})^{2}dx; \end{matrix}

vi) (⋆) ∫ (1 − x^{2})(2 − x^{2})^{3/2}dx;

vii) (⋆) ∫ \frac{\sqrt{x^{2} + 2}}{2x − 1}dx;

viii) (⋆) ∫ \frac{\sqrt{2x − x^{2}} + x}{2 − \sqrt{2x − x^{2}}}dx;

ix) (⋆) ∫ \frac{1}{x + \sqrt{x^{2} − 4x − 3}}dx;

x) (⋆) ∫ \frac{1}{x\sqrt{1 − x^{2}}} dx;

xi) (⋆) ∫ \frac{x^{2}}{\sqrt{3x − x^{2} − 2}}dx.

3. Calcolare i seguenti integrali trigonometrici, riconducendosi ad integrali razionali:

i)  ∫_{π/3}^{π/2} \frac{1}{sin x}dx;

ii)  ∫ \frac{sin 2x}{sin^{2} x − 3 sin x + 2}dx;

iii)  ∫_{π/2}^{π} \frac{1 + cos x}{1 − cos x}dx;

iv)  ∫ \frac{1 + tan x}{cos x}dx.

4. Calcolare i seguenti integrali:

i)  ∫ \frac{1 + 2e^{x}}{e^{2x} − 1} dx;

ii)  ∫ \frac{1}{2 cosh x + sinh x + 1}dx;

iii)  ∫ \sqrt{\frac{e^{x}}{e^{x} + e^{−x}}} dx.

Parte II

Risoluzione degli Esercizi Numeri Reali

1. Se x^{7}, x^{12} ∈ ℚ, allora anche

x^{5} = \frac{x^{12}}{x^{7}} ∈ ℚ,

e quindi pure

x^{2} = \frac{x^{7}}{x^{5}} ∈ ℚ,

x^{3} = \frac{x^{5}}{x^{2}} ∈ ℚ,

x = \frac{x^{3}}{x^{2}} ∈ ℚ,

che era ciò che si voleva dimostrare.

2. Supponiamo che \sqrt{2} sia razionale; possiamo allora scrivere \sqrt{2} = a/b, con a, b ∈ ℕ e MCD(a, b) = 1 (massimo comun divisore pari ad 1, cioè la frazione a/b è ridotta ai minimi termini). Ma allora si ha che 2b^{2} = a^{2}, cioè a^{2} è un numero pari e quindi a deve essere un numero pari a = 2a_{1}. Ma allora b^{2} = 2a_{1}^{2}, e ne segue che pure b deve essere pari, ma ciò contraddice il fatto che MCD(a, b) = 1.

3. Con una piccola variazione dell’esercizio precedente, se fosse \sqrt{p} ∈ ℚ, sarebbe \sqrt{p} = a/b con a, b ∈ ℕ primi tra loro. Ma allora si avrebbe, facendo un’analisi dei fattori primi che compongono i numeri a e b, che nell’espressione

pb^{2} = a^{2},

il fattore p comparirebbe un numero dispari di volte nel membro di sinistra, mentre comparirebbe un numero pari di volte in quello di destra. E questo non è possibile.

4. Se decomponiamo n in fattori primi, abbiamo due possibilità ; o tutti i fattori compaiono con una potenza pari (in questo caso n sarà un quadrato perfetto), oppure almeno un fattore compare con potenza dispari. Detto n_{1} tale fattore, se fosse \sqrt{n} ∈ ℚ, avremmo

\sqrt{n} = \frac{p}{q}, p, q ∈ ℕ.

Quindi nq^{2} = p^{2}, da cui il fattore n_{1} comparirebbe con una potenza dispari nel membro di sinistra e con una potenza pari nel membro di destra. Ma ciò non è possibile.

5. Dato a ∈ A, siccome a ∈ B allora

inf B ≤ a ≤ sup B

, cioè il numero sup B è un maggiorante e inf B è un minorante per A; dalla definizione di estremo superiore e inferiore ne segue quindi che

inf B ≤ inf A ≤ sup A ≤ sup B.

6. Se a ∈ A ∪ B allora o a ∈ A e quindi ∈ A ≤ a ≤ sup A, oppure a ∈ B da cui inf B ≤ a sup B. In definitiva, si ha che

min(inf A, inf B) ≤ a ≤ max(sup A, sup B)

e quindi per definizione di estremo superiore e inferiore di A ∪ B, si ha l’asserto. Analogamente, se a ∈ A ∩ B, siccome a ∈ A e a ∈ B, si ha che

max(inf A, inf B) ≤ a ≤ min(sup A, sup B),

e quindi

max(inf A, inf B) ≤ inf A ∩ B ≤ sup A ∩ B ≤ min(sup A, sup B).

7. Dal fatto che A < B (cioè a < b per ogni a ∈ A e b ∈ B), si ha che ogni elemento b di B è un maggiorante per A, cioè sup A ≤ b per ogni b ∈ B. Quindi sup A è un minorante per B, cioè sup A ≤ inf B. Dobbiamo dimostrare che sup A = inf Bα, in modo che α sia l’unico elemento separatore; se così non fosse, si dovrebbe avere sup A < inf B, e quindi potremmo trovare un elemento x ∈ ℝ con sup A < x < inf B. Ma allora si avrebbe x ∉ A e x ∉ B, ma ciò contraddice il fatto che ℝ = A ∪ B.

8. Si ha chiaramente che 0 ≤ n per ogni n ∈ ℕ e 0 ∈ ℕ, quindi inf ℕ = min ℕ = 0. Inoltre, siccome per ogni x ∈ ℝ esiste, per la proprietà Archimedea dei numeri reali, un n ∈ ℕ tale che n ≥ x, segue subito che ℕ non è superiormente limitato, cioè sup ℕ = +∞.

9. Siccome 0 ∈ A e 0 ≤ a per ogni a ∈ A, si ha che 0 = inf A = min A. Per quanto riguarda l’estremo superiore, siccome

A = \{q ∈ ℚ : 0 ≤ q < \sqrt{2}\},

si ha chiaramente che sup A ≤ \sqrt{2}. Inoltre, siccome il numero irrazionale \sqrt{2} può essere approssimato con numeri razionali (cioè per ogni ε > 0 esiste q ∈ A tale che \sqrt{2} − ε < q < \sqrt{2}), si ha che sup A = \sqrt{2}.

10. Siccome 1 − 1/n < 1 per ogni n ∈ ℕ, si ha che

\sqrt{3} (1 − \frac{1}{n}) < \sqrt{3}, ∀n ∈ ℕ,

cioè a < \sqrt{3} per ogni a ∈ A. Inoltre, siccome per ogni ε > 0 esiste n_{0} ∈ ℕ tale che

1 − ε < 1 − \frac{1}{n_{0}} ,

ne segue che \sqrt{3} = sup A. Tale sup non è un min, in quanto per nessun n ∈ ℕ si ha che 1−1/n = 1. Per quanto riguarda l’inf, siccome 1−1/n ≥ 0 con uguaglianza se e solo se n = 1, si trova che inf A = min A = 0.

11. L’insieme A è dato da

A = {x ∈ ℝ : 3 ≤ x < 7}.

É chiaro quindi che 3 è un minorante di A e 7 un maggiorante. Siccome poi 3 ∈ A, allora 3 = min A = inf A; invece 7 ∉ A, quindi 7 non è il massimo. Per vedere se esso è l’estremo superiore, dobbiamo verificare che per ogni ε > 0, esiste x_{ε} ∈ A con 7 − ε < x_{ε}. Basta quindi scegliere ad esempio x_{ε} = 7 − ε/2 e (se ε < 8) si ha che

7 − ε < x_{ε} < 7,

e quindi x_{ε} ∈ A e quindi 7 = sup A.

12. Siccome

A = {x ∈ ℝ : −3 ≤ x < 3} ∪ {5, 11},

abbiamo che −3 è un minorante e 11 è un maggiorante; inoltre −3, 11 ∈ A, quindi −3 = min A = inf A e 11 = max A = sup A.

13. Se poniamo

a_{n} = (−1)^{n} \frac{1}{2n},

abbiamo che |a_{n}| ≤ 1/2 per ogni ℕ^{+}, cioè

−\frac{1}{2} ≤ a_{n} ≤ \frac{1}{2}.

Quindi 1/2 è un maggiorante e −1/2 è un minorante. Inoltre a_{1} = −1/2 e quindi

−\frac{1}{2} = min A = inf A.

Notanto ora che per n pari a_{n} > 0 e per n dispari a_{n} < 0, per determinare il sup ci concentriamo sugli n pari. Ma se n è pari, possiamo scrivere n = 2k con k ∈ ℕ^{+}, e quindi

a_{n} = a_{2k} = \frac{1}{4k} ≤ \frac{1}{4}

per ogni k ∈ N^{+}. Quindi 1/4 è un maggiorante e siccome a_{2} = 1/4, concludiamo che

\frac{1}{4} = max A = sup A.

14. Possiamo scrivere

A = \{\frac{5}{3}, 1, \frac{3}{5}, \frac{1}{3}, \frac{1}{7}, 0\} ∪ \{\frac{n − 5}{n + 3} : n ∈ ℕ, n > 5\} .

Notando che poi, posto

a_{n} = \frac{|5 − n|}{n + 3} ≥ 0

e a_{5} = 0, se ne ricava che

0 = min A = inf A.

Inoltre per n > 5, si ha che

a_{n} = 1 − \frac{8}{n + 3} < 1

si conclude che

\frac{5}{3} = max A = sup A.

15. Posto

a_{n} = \frac{(−1)^{n}}{1 + n^{2}} ,

si ha che a_{n} > 0 per n pari e a_{n} < 0 per n dispari. Inoltre per n dispari a_{n} ≥ −1/2 e a_{1} = −1/2, quindi

−\frac{1}{2} = min A = inf A.

Infine per n pari, a_{n} ≤ 1 e a_{0} = 1, quindi

1 = max A = sup A.

16. Si noti che

A = \{\frac{2}{π} (\frac{1}{2k + 1}) : k ∈ ℕ\}

in quanto cos 1/x = 0 se e solo se

x = a_{k} = \frac{2}{π} (\frac{1}{2k + 1}) , k ∈ ℕ.

Quindi, siccome 0 < a_{k} ≤ 2/π e a_{0} = 2/π, si ottiene che

\frac{2}{π} = max A = sup A.

Per vedere che 0 = inf A, dobbiamo provare che ∀ε > 0 esiste un x_{ε} ∈ A, cioè un k_{ε} ∈ ℕ con

x_{ε} = \frac{2}{π} (\frac{1}{2k_{ε} + 1}) < ε.

Ma un tale x_{ε} lo troviamo se scegliamo k_{ε} in modo che

k_{ε} > \frac{1}{πε} − \frac{1}{2},

e quindi

0 = inf A.

17. Notando che ∀x ∈ ℝ

\frac{1}{x^{2} + 1} ≤ 1

e 1 ∈ A, si ha subito che

1 = max A = sup A.

Inoltre per ogni x ∈ ℝ, 1/(1 + x^{2}) > 0 e quindi 0 ≤ inf A. Mostriamo che in realtà 0 è l’estremo inferiore. Dobbiamo quindi trovare, per ogni ε > 0 un a_{ε} ∈ A (e quindi un x_{ε} ∈ R) tale che

a_{ε} = \frac{1}{1 + x_{ε}^{2}} < ε.

Basta quindi che x_{ε} ∈ ℝ sia scelto in modo che

|x_{ε}| > \sqrt{\frac{1}{ε} − 1}

per concludere che

0 = inf A.

Non potrà infine essere un minimo in quanto non esiste alcun x ∈ ℝ per il quale 1/(1 + x^{2}) = 0.

18. Ci sono tre possibilità ; o a = 1, o 0 < a < 1, oppure a > 1. Nel primo caso abbiamo che A = {1} e quindi

1 = min A = inf A = max A = sup A.

Nel caso in cui 0 < a < 1, notando che

0 < a^{n} = aa^{n−1} < a^{n−1} < a,

segue subito che

a = max A = sup A,

e 0 ≤ inf A. Per vedere che 0 = inf A, bisogna trovare, fissato ε > 0, un numero n_{ε} ∈ ℕ^{+} tale

a^{n_{ε}} < ε.

Ma basterà quindi scegliere n_{ε} > log_{a} ε per concludere. Notiamo che 0 non è un minimo in quanto non esiste n ∈ ℕ^{+} tale che a^{n} = 0. Nell’ultimo caso in cui a > 1, notiamo che

a^{n} = aa^{n−1} > a^{n−1} > a,

e quindi si ha subito che

a = min A = inf A.

Dimostriamo che sup A = +∞; per dimostrare questo bisogna mostrare che fissato comunque un numero reale M ∈ ℝ, esiste un elemento a_{M} ∈ A tale che a_{M} > M. Bisogna quindi trovare un esponente n_{M} ∈ N^{+} tale che a^{n_{M}} > M, e per fare questo basterà prendere

n_{M} > log_{a} M.

19. Noitiamo che se ϱ_{1} > ϱ_{2}, cioè , scritto ϱ_{1} = p_{1}/q_{1}, ϱ_{2} = p_{2}/q_{2} (p_{1}, p_{2}, q_{1}q_{2} ∈ ℕ), se p_{1}q_{2} > p_{2}q_{1}, allora

• se a < 1, allora a^{ϱ_{1}} < a^{ϱ_{2}} in quanto a^{p^{1}q_{2}} < a^{p_{2}q_{1}};

• se a > 1, allora a^{ϱ_{1}} > a^{ϱ_{2}} in quanto a^{p^{1}q_{2}} > a^{p_{2}q_{1}}.

Quindi, dato che per ogni ϱ ∈ ℚ esiste n ∈ ℕ tale che n ≤ ϱ < n − 1, il risultato dell’esercizio seguirà identicamente da quello dell’esercizio precedente.

20. Notiamo che l’insieme

A_{0} = {n : n ∈ ℕ^{+}} ⊂ A

in quanto basta porre m = 0 nell’espressione

\frac{n^{2} + m^{2}}{n − m} .

Quindi, dato che sup A_{0} = +∞, si ha che pure sup A = +∞. Inoltre, siccome pure

B_{0} = {−m : m ∈ ℕ^{+}} ⊂ A,

avremo che inf A = −∞ in quanto inf B_{0} == ∞.

21. I risultati degli esercizi dall’8. al 20. restano gli stessi tranne che;

• negli esercizi 9., 10. 16. non esiste l’estremo superiore;

• in 19. e 20. bisogna distinguere i casi in cui a ∈ ℚ e a ∈ ℝ \ ℚ. Nel primo caso si ottiene A∩ℚ = ∅ e quindi non si hanno estremo inferiore e superiore, mentre nel secondo caso si procede come se fossimo in ℝ.

Numeri complessi

1. Scriviamo anzitutto il numero w in coordinate polari; partiamo quindi dal

numero complesso

w_{0} = \sqrt{3} + i.

Calcolando modulo e argomento si trova

w_{0} = 2(cos π/6 + i sin π/6).

Dalle formule di De Moivre otterremo quindi che

w = −i2^{9}.

Le radici saranno quindi date dalla formula

z_{k} = 2\sqrt{2}(cos θ_{k} + i sin θ_{k}),

con

θ_{k} = \frac{π}{4} + \frac{kπ}{3} , k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

2. Facendo la sostituzione w = z − 2, si tratta di risolvere l’equazione

w^{3} = −i;

dobbiamo quindi trovare le tre radici cubiche del numero complesso −i, che ha mudulo 1 e argomento pari a 3π/2. Quindi le soluzioni saranno

w_{k} = (cos θ_{k} + i sin θ_{k}), θ_{k} = \frac{π}{2} + \frac{2πk}{3} , k = 0, 1, 2.

In definitiva, la soluzione dell’esercizio sarà data dai tre numeri complessi

z_{k} = (2 + cos θ_{k} + i sin θ_{k}), θ_{k} = \frac{π}{2} + \frac{2πk}{3} , k = 0, 1, 2.

CAPITOLO 12. NUMERI COMPLESSI

3. La seconda equazione ci da come soluzioni

z^{2} = 1 − i, z^{2} = −\frac{1}{i} = i. (12.1)

Vediamo se queste due soluzioni (che diventerebbero quattro passando alle radici quadrate) sono compatibili con la prima equazione. Tenendo presente che z\overline{z} = |z|^{2} e che |z|^{2} = |z^{2}|, dalla prima delle (12.1) si ricava che la prima equazione del sistema diventa

1 − i + 2 = 1 + 2i,

che non è possibile. Dalla seconda delle (12.1), otteniamo

i + 1 = 1 + 2i,

inammissibile pure questa. Quindi il sistema non ha soluzioni.

4. Non trattandosi di un polinomio, scriviamo il numero complesso z = a+ib, in modo da trovare il sistema

\{ \begin{matrix}a^{2} + b^{2} − 6a + 1 = 0 \\ −6b = 0, \end{matrix}

che ha come soluzioni i numeri complessi (in realtà reali) z_{1} = 3 + 2\sqrt{2}, z_{2} = 3 − 2\sqrt{2}.

5. Trattandosi di un polinomio (biquadratico), usando la formula risolutiva, si ha, ponendo w = z^{2},

w_{1} = −3 + \sqrt{14}, w_{2} = −3 − \sqrt{14}.

Le quattro soluzioni dell’equazione data saranno quindi le radici quadrate delle due soluzioni date, cioè

z_{1} = \sqrt{\sqrt{14} − 3}, z_{2} = −\sqrt{\sqrt{14} − 3},
z_{3} = i\sqrt{\sqrt{14} + 3}, z_{4} = −i\sqrt{\sqrt{14} + 3}.

6. Le soluzioni saranno date dalle quattro radici quarte del numero complesso w = −4, e cioè

z_{k} = \sqrt{2}(cos θ_{k} + i sin θ_{k}), θ_{k} = \frac{π}{4} + \frac{kπ}{2} , k = 0, 1, 2, 3.

7. Notiamo che p(i) = 0, quindi, dato che il polinomio ha coefficienti reali, si dovrà avere che anche −i è una radice del polinomio. Avremo quindi che

p(z) = (z^{2} + 1)q(z),

dove q(z) = z^{2} − 4z + 3 = (z − 3)(z − 1).

8. Possiamo riscrivere l’equazione nella forma

(z + 1)^{3} = 8i.

Si tratta quindi, posto w = z+1, di trovare le tre radici cubiche del numero complesso 8i, di modulo 8 e argomento π/2; avremo quindi che le sue tre radici cubiche sono date da

w_{k} = 2(cos θ_{k} + i sin θ_{k}), θ_{k} = \frac{π}{6} + \frac{2kπ}{3} , k = 0, 1, 2,

da cui

z_{k} = (−1 + 2 cos θ_{k} + 2i sin θ_{k}), θ_{k} = \frac{π}{6} + \frac{2kπ}{3} , k = 0, 1, 2.

9. Notando che il numero z = 0 non è soluzione del sistema, possiamo dividere la prima equazione per \overline{z} ed ottenere l’equazione equivalente

z^{2} − z + 1 = 0,

che ha come soluzioni

z_{1} = \frac{1 + i\sqrt{3}}{2}, z_{2} = \frac{1 − i\sqrt{3}}{2}.

Sostituendo questi due valori nella seconda equazione, si trova che il sistema non ha soluzioni.

10. L’equazione può essere riscritta come

(z + \frac{i}{2})^{2} = −\frac{1}{4} − \frac{i\sqrt{3}}{4},

da cui

z_{k} = −\frac{i}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}(cos θ_{k} + i sin θ_{k}), θ_{k} = \frac{2π}{3} + kπ, k = 0, 1.

11. Scrivendo z = a + ib la seconda equazione implica che b = 0; la prima equazione diventa quindi

−(α − β)^{2}a^{2} = 4,

che ha le due soluzioni complesse

a_{1,2} = ±\frac{2i}{α − β} .

Ma dovendo essere a reale, ciò implica che il sistema non ha soluzioni.

12. Scriviamo il numero complesso z nella forma trigonometrica compatta

z = ρ(cos θ + i sin θ) = ρe^{iθ}.

La prima equazione diventa quindi

ρ^{m}e^{imθ} = ρ^{m},

che ha per soluzioni tutti i numeri reali ρ > 0 e gli argomenti θ della forma

θ = \frac{2kπ}{m} .

Andando a sostituire nella seconda equazione, troviamo

ρe^{iθ} = \frac{1 + it}{1 − it}ρe^{−iθ},

o equivalentemente

e^{2iθ} = \frac{1 + it}{1 − it} = \frac{1 − t^{2}}{1 + t^{2}} + i\frac{2t}{1 + t^{2}} .

Si noti che non ci sono condizioni su ρ. D’altro canto il sistema è omogeneo nella variabile z, cioè se z_{0} è una soluzione del sistema, allora pure il numero complesso cz_{0} con c ∈ R^{+} è soluzione del sistema. Vediamo ora di trovare le soluzioni del nostro sistema. Scrivendo

\{ \begin{matrix}\frac{1 − t^{2}}{1 + t^{2}} = cos ϕ, \\ \frac{2t}{1 + t^{2}} = sin ϕ, \end{matrix}

le soluzioni del sistema si hanno quando

e^{2iθ} = e^{iϕ},

e cioè quando l’angolo 2θ − ϕ è multiplo di 2π,

2θ − ϕ = 2hπ.

Mettendo insieme le informazioni ottenute, si ottiene che il sistema ha soluzioni se l’angolo ϕ è della forma

ϕ = \frac{4kπ}{m} − 2hϕ,

che tradotto in condizioni sul parametro t diventa

t = tan ϕ/2 = tan (\frac{2kπ}{m} ) .

13. Notiamo anzitutto che z = 0 è soluzione dell’equazione data. Cerchiamo quindi le soluzioni non nulle; moltiplicando l’equazione per z otteniamo

z^{2}|z|^{2} − (1 + 4\sqrt{3})i|z|^{2} = 0,

o equivalentemente, dato che z ≠ 0,

z^{2} − (1 + 4\sqrt{3})i = 0.

Quindi avremo due soluzioni non nulle, che altro non sono che le due radici del numero complesso (1 + 4\sqrt{3})i, e cioè

z_{1} = \sqrt{1 + 4\sqrt{3}}(cos π/4 + i sin π/4) = \sqrt{\frac{1 + 4\sqrt{3}}{2}}(1 + i),

z_{2} = \sqrt{1 + 4\sqrt{3}}(cos 5π/4 + i sin 5π/4) = \sqrt{\frac{1 + 4\sqrt{3}}{2}}(−1 − i).

14. Scrivendo w = a + ib e z = x + iy, l’equazione è equivalente all’equazione nelle due incognite reali x, y ∈ ℝ (essendo una equazione in due incognite in generale non ci possiamo aspettare una sola soluzione)

(x − a)^{2} + (y − b)^{2} = (x + a)^{2} + (y + b)^{2}

che ha per soluzione il luogo di punti descritto dall’equazione

by = −ax

che descrive una retta nel piano Oxy. Si poteva arrivare a tale risultato interpretando geometricamente l’equazione data; la quantità |z −w| indica la distanza di z da w, mentre |z + w| rappresenta la distanza di z da −w. Quindi le soluzioni dell’equazione saranno esattamente i punti equidistanti da w e −w, cioè l’asse del segmento che congiunge w con −w (provare a fare un disegno).

15. Scrivendo il sistema con z = a + ib e w = c + id, si trovano le soluzioni

z = \frac{1}{2}(1 + i), w = \frac{1}{2}(1 − i)

z = \frac{1}{2}(1 − i), w = \frac{1}{2}(1 + i).

Principio di Induzione

1. La dimostrazione può essere fatta in due differenti modi; o dimostrando direttamente la formula oppure procedendo per induzione. La dimostrazione diretta procede come segue;

1 + x + x^{2} + … + x^{n} = \frac{(1 + x + x^{2} + … + x^{n})(1 − x)}{1 − x}
= \frac{1 + x + … + x^{n} − x − x^{2} + … x^{n+1}}{1 − x}
= \frac{1 − x^{n+1}}{1 − x} .

Per la dimostrazione per induzione, la formula è chiaramente vera per n = 0; supposta vera per n, vediamo se questo implica la formula per n + 1. Abbiamo

∑_{k=0}^{n+1} x^{k} = ∑_{k=0}^{n} x^{k} + x^{n+1} = \frac{1 − x^{n+1}}{1 − x} + x^{n+1}

= \frac{1 − x^{n+1} + x^{n+1} − x^{n+2}}{1 − x} = \frac{1 − x^{n+2}}{1 − x} .

2. La formula è chiaramente vera per n = 0. Vediamo il passo induttivo;

(1 + h)^{n+1} = (1 + h)^{n}(1 + h) ≥ (1 + nh)(1 + h)
= 1 + nh + h + nh^{2} ≥ 1 + (n + 1)h.

3. Per n = 1 la formula è vera in quanto h è positivo. Per il passo induttivo, bisogna dimostrare che

(1 + h)^{n+1} = 1 + \frac{n(n − 1)}{2} (h^{2} + h^{3}) + h ≥ 1 + \frac{n(n − 1)}{2}h^{2}.

L’ultima disuguaglianza deriva dal fatto che

h (\frac{n(n − 1)}{2}h^{2} − nh + 1) ≥ 0,

essendo h e il membro all’interno delle parentesi positivi. Tale membro è infatti un polinomio di secondo grado in h con discriminante

Δ = 2n − n^{2}.

Tale discriminante è definitivamente negativo per n > 2, quindi il polinomio sarà sempre positivo per n > 2; da qui segue il passo induttivo.

4. Nel punto i), per n = 1 la formula si riduce a

1 = 1,

chiaramente vera. Per il passo induttivo abbiamo

∑_{k=1}^{n+1} k = ∑_{k=1}^{n} k + (n + 1) = \frac{n(n + 1)}{2} + (n + 1) = \frac{(n + 1)(n + 2)}{2}.

Nel punto ii), per n = 1 la formula è chiaramente vera. Passo induttivo:

∑_{k=1}^{n+1} k^{2} = ∑_{k=1}^{n} k^{2} + (n + 1)^{2} = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} + (n + 1)^{2}

= (n + 1) (\frac{n(2n + 1)}{6} + (n + 1)) = \frac{(n + 1)(n + 2)(2n + 3)}{6}

che è la formula desiderata.

In iii), per n = 1 la formula è ovvia. Per il passo induttivo

∑_{k=1}^{n+1} k^{3} = ∑_{k=1}^{n} k^{3} + (n + 1)^{3} = \frac{n^{2}(n + 1)^{2}}{4} + (n + 1)^{3}

= (n + 1)^{2} (\frac{n^{2}}{4} + (n + 1)) = \frac{(n + 1)^{2}(n + 2)^{2}}{4} .

Per quanto riguarda iv), notiamo che

(k + 1)^{h+1} = ∑_{i=0}^{h+1} ( \begin{matrix}h + 1 \\ i \end{matrix} ) k^{i} = k^{h+1} + hk^{h} + ∑_{i=0}^{h−1} ( \begin{matrix}h + 1 \\ i \end{matrix} ) k^{i}.

Quindi

hk^{h} = (k + 1)^{h+1} − k^{h+1} − ∑_{i=0}^{h−1} ( \begin{matrix}h + 1 \\ i \end{matrix} ) k^{i}

da cui

∑_{k=1}^{n} hk^{h} = ∑_{k=1}^{n} ((k + 1)^{h+1} − k^{h+1}) − ∑_{k=1}^{n} ∑_{i=0}^{h−1} ( \begin{matrix}h + 1 \\ i \end{matrix} ) k^{i}
= (n + 1)^{h+1} − 1 − ∑_{i=0}^{h−1} ( \begin{matrix}h + 1 \\ i \end{matrix} ) ∑_{k=1}^{n} k^{i}.

Abbiamo quindi scritto che

hN_{h}(n) = (n + 1)^{h+1} − 1 − ∑_{i=0}^{h−1} ( \begin{matrix}h + 1 \\ i \end{matrix} ) N_{i}(n),

che è quanto volevamo dimostrare. In v), si ha

∑_{k=1}^{n}(α + kβ) = ∑_{k=1}^{n} α + ∑_{k=1}^{n} βk = nα + β \frac{n(n + 1)}{2}
= \frac{n}{2}(βn + 2α + β).

Nel caso vi), per n = 1 la formula si riduce a

\sqrt{2} − 1 = \sqrt{2} − 1,

chiaramente vera. Per il passo induttivo abbiamo

∑_{k=1}^{n+1} \frac{\sqrt{k + 1} − \sqrt{k}}{k} = ∑_{k=1}^{n} \frac{\sqrt{k + 1} − \sqrt{k}}{k} + \frac{\sqrt{n + 2} − \sqrt{n + 1}}{n + 1}
= \frac{\sqrt{n + 1}}{n} − 1 + ∑_{k=2}^{n} \frac{1}{(k − 1)\sqrt{k}}

+\frac{\sqrt{n + 2} − \sqrt{n + 1}}{n + 1}

= \frac{\sqrt{n + 2}}{n + 1} − 1 + ∑_{k=2}^{n} \frac{1}{(k − 1)\sqrt{k}} + \frac{1}{n\sqrt{n + 1}}
= \frac{\sqrt{n + 2}}{n + 1} − 1 + ∑_{k=2}^{n+1} \frac{1}{(k − 1)\sqrt{k}} .

5. Vediamo i);

2^{n+1} = 22^{n} ≤ 2n! ≤ (n + 1)!

dove l’ultima disuguaglianza segue per n ≥ 1. Per quanto riguarda la base chiaramente 2 = 2!. Per il punto ii),

(2(n + 1))! = (2n + 2)(2n + 1)(2n)! ≥ 2(n + 1)(2n + 1)2^{n}(n!)^{2}
≥ 2^{n+1}(n + 1)(n + 1)(n!)^{2}

in quanto 2n + 1 ≥ n + 1. Quindi il passo induttivo. La base induttiva è chiaramente vera per n = 1. Per il punto iii),

(n + 1)^{2} = n^{2} + 2n + 1 ≤ 2^{n} + 2n + 1.

Quindi il passo induttivo è vero se verifichiamo che

2n + 1 ≤ 2^{n},

e questa si dimostra per induzione essere vera se n ≥ 4. La base, fatta per n = 4, si riduce a 4^{2} = 2^{4}. Per la iv),

2^{n+1} + 4^{n+1} = 22^{n} + 44^{n} ≤ 4(2^{n} + 4^{n}) ≤ 45^{n} ≤ 5^{n+1}.

Per la base, la proprietà è falsa per n = 0, 1, mentre è vera per n = 2. Quindi è vera per n ≥ 2. Per la v),

(n + 1)^{n+1} = (\frac{n + 1}{n})^{n} n^{n}(n + 1) > (1 + \frac{1}{n})^{n} 2^{n}n!(n + 1) > 22^{n}(n + 1)!

che è la disuguaglianza desiderata. Per la base, è chiaramente vera per n = 4, mentre è falsa per n = 1, 2, 3, quindi la proprietà è vera per n ≥ 4. Per il punto vi),

(∑_{k=0}^{n+1} x_{k})^{2} = (∑_{k=0}^{n} x_{k})^{2} + x_{n+1}^{2} + 2x_{n+1} ∑_{k=0}^{n} x_{k}

≤ n ∑_{k=0}^{n} x_{k}^{2} + x_{n+1}^{2} + ∑_{k=0}^{n} 2x_{n+1}x_{k}

≤ n ∑_{k=0}^{n} x_{k}^{2} + x_{n+1}^{2} + ∑_{k=0}^{n}(x_{n+1}^{2} + x_{k}^{2}) = ∑_{k=0}^{n+1} x_{k}^{2},

dove il penultimo passaggio segue dalla disuguaglianza 2ab ≤ a^{2} + b^{2}. Per dimostrare vii), notiamo che per come sono stati presi x e y, si ha che xy, y^{n} − x^{n} ≥ 0 per ogni n ≥ 0, quindi vale

y^{n+1} − x^{n+1} ≤ y^{n+1} − x^{n+1} + xy(y^{n−1} − x^{n−1}) = (y + x)(y^{n} − x^{n})

da cui, per ipostesi induttiva

y^{n+1} − x^{n+1} ≤ (y + x)(y + x)^{n−1}(y − x) = (y + x)^{n}(y − x).

Infine, per n = 1 la disuguaglianza è facilmente verificata, quindi è dimostrato. Per il punto viii),

(2(n + 1))! = 2(n + 1)(2n + 1)(2n)! ≤ 2^{n+1}(n + 1)!(2n + 1)n^{n}.

Quindi la disuguaglianza segue se dimostriamo che

(2n + 1)n^{n} ≤ (n + 1)^{n+1},

o equivalentemente, se

2 − \frac{1}{n + 1} = \frac{2n + 1}{n + 1} ≤ (1 + \frac{1}{n})^{n} ,

disuguaglianza sempre vera. La base è poi chiaramente vera per n = 1. Per il punto ix), abbiamo

(1 − x)^{n+1} = (1 − x)(1 − x)^{n} ≤ \frac{1 − x}{1 + nx}.

Bisogna quindi dimostrare che

\frac{1 − x}{1 + nx} ≤ \frac{1}{1 + (n + 1)x},

o equivalentemente

(1 − x)(1 + (n + 1)x) ≤ 1 + nx.

Ma questa è chiaramente verificata. Per la base, è facilmente verificata per n = 0. Per il punto x), si ha

((n + 2)!)^{n+1} = (n + 2)!(n + 2)^{n}((n + 1)!)^{n}
≤ (n + 2)!(n + 2)^{n} ∏_{k=0}^{n}(2k)!

= \frac{(n + 2)^{n}}{(n + 3) … (2n + 2)} ∏_{k=0}^{n+1}(2k)!

e l’asserto segue in quanto

\frac{(n + 2)^{n}}{(n + 3) … (2n + 2)} ≤ 1.

La base è poi chiaramente vera per n = 0. Per il punto xi),

(2(n + 1))! = 2(n + 1)(2n + 1)(2n)! ≤ 2(n + 1)(2n + 1)2n^{2n}
= 4 (2 − \frac{1}{n + 1}) (1 + \frac{1}{n})^{−2n} (n + 1)^{2(n+1)},

e quindi l’asserto segue in quanto

2 (2 − \frac{1}{n + 1}) (1 + \frac{1}{n})^{−2n} ≤ 1.

La base induttiva poi è immediata. Per l’ultimo punto xxii) si ha

2(n + 1) = 2n + 2 ≤ 2^{n} + 2 ≤ 2^{n+1}

in quanto 2 ≤ 2^{n} se n ≥ 0. Per n = 0, ci si riduce a verificare che 0 ≤ 1, sempre vera.

6. Verifichiamo il passo induttivo:

a_{n+1} = a_{n} + a_{n−1} = \frac{1}{\sqrt{5}} ((\frac{1 + \sqrt{5}}{2})^{n} − (\frac{1 − \sqrt{5}}{2})^{n} +

+ (\frac{1 + \sqrt{5}}{2})^{n−1} − (\frac{1 − \sqrt{5}}{2})^{n−1})

= \frac{1}{\sqrt{5}} ((\frac{1 + \sqrt{5}}{2})^{n−1} (\frac{1 + \sqrt{5}}{2} + 1) −

− (\frac{1 − \sqrt{5}}{2})^{n−1} (\frac{1 − \sqrt{5}}{2} + 1))

= \frac{1}{\sqrt{5}} ((\frac{1 + \sqrt{5}}{2})^{n−1} (\frac{3 + \sqrt{5}}{2}) +

− (\frac{1 − \sqrt{5}}{2})^{n−1} (\frac{3 − \sqrt{5}}{2}))

e l’asserto segue notando che

\frac{3 + \sqrt{5}}{2} = (\frac{1 + \sqrt{5}}{2})^{2} , \frac{3 − \sqrt{5}}{2} = (\frac{1 − \sqrt{5}}{2})^{2} .

La base dell’induzione è immediata.

7. Vediamo anzitutto il passo induttivo; supponiamo quindi che la formula del binomio di Newton sia vera al passo n e dimostriamo la formula per (n + 1), cioè mostriamo che

(a + b)^{n+1} = ∑_{k=0}^{n+1} ( \begin{matrix}n + 1 \\ k \end{matrix} ) a^{n+1−k}b^{k}.

Tenendo presente che

( \begin{matrix}n \\ 0 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}n \\ n \end{matrix} ) = 1 = ( \begin{matrix}n + 1 \\ 0 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}n + 1 \\ n + 1 \end{matrix} ) ,

( \begin{matrix}n \\ k \end{matrix} ) + ( \begin{matrix}n \\ k − 1 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}n + 1 \\ k \end{matrix} ) ,

otteniamo che

(a + b)^{n+1} = (a + b)(a + b)^{n} = (a + b) ∑_{k=0}^{n} ( \begin{matrix}n \\ k \end{matrix} ) a^{n−k}b^{k}

= ∑_{k=0}^{n} ( \begin{matrix}n \\ k \end{matrix} ) a^{n+1−k}b^{k} + ∑_{k=0}^{n} ( \begin{matrix}n \\ k \end{matrix} ) a^{n−k}b^{k+1}

= ∑_{k=0}^{n} ( \begin{matrix}n \\ k \end{matrix} ) a^{n+1−k}b^{k} + ∑_{k=1}^{n+1} ( \begin{matrix}n \\ k − 1 \end{matrix} ) a^{n+1−k}b^{k}

= ( \begin{matrix}n \\ 0 \end{matrix} ) a^{n+1} + ∑_{k=1}^{n} (( \begin{matrix}n \\ k \end{matrix} ) ( \begin{matrix}n \\ k − 1 \end{matrix} )) a^{n+1−k}b^{k}

+ ( \begin{matrix}n \\ n \end{matrix} ) b^{n+1}

= ∑_{k=0}^{n+1} ( \begin{matrix}n + 1 \\ k \end{matrix} ) a^{n+1−k}b^{k}.

Per la base dell’induzione, basta notare che

(a + b)^{0} = 1.

8. Abbiamo che

∑_{k=1}^{n} ( \begin{matrix}n \\ k \end{matrix} ) k = n ∑_{k=1}^{n} ( \begin{matrix}n − 1 \\ k − 1 \end{matrix} ) = n ∑_{k=0}^{n−1} ( \begin{matrix}n − 1 \\ k \end{matrix} ) = n2^{n−1}

per la formula del binomio di Newton.

9. Per quanto riguarda la base induttiva, abbiamo che se

x_{1} + x_{2} = 2,

allora

x_{1} · x_{2} = x_{1}(2 − x_{1}) ≤ 1,

in quanto la precedente disuguaglianza è equivalente a richiedere che (x_{1} − 1)^{2} ≥ 0, che è sempre vera. Per il passo induttivo, se x_{1}+…+x_{n+1} = n+1, allora abbiamo due possibilità ; o tutti i numeri sono uguali a 1 (e quindi non abbiamo niente da dimostrare), oppure ce ne è almeno uno più grande di 1 e di conseguenza almeno uno minore di 1. Possiamo supporre che si trattino del primo e del secondo numero, cioè x_{1} = 1 + a e x_{2} = 1 − b con a, b ∈ (0, 1). Otteniamo quindi che

1 + a + 1 − b + x_{3} + … + x_{n+1} = n + 1,

o equivalentemente

(1 + a − b) + x_{3} + … + x_{n+1} = n.

Possiamo applicare quindi l’ipotesi induttiva agli n numeri (1+a−b), x_{3}, …, x_{n+1} ed ottenere che

(1 + a − b) · x_{3} · . . . · x_{n+1} ≤ 1.

A questo punto la dimostrazione segue in quanto

x_{1} · x_{2} = 1 + a − b − ab ≤ 1 + a − b.

Per quanto riguarda la seconda parte dell’esercizio, chiamata M la media aritmetica, abbiamo che

M = \frac{x_{1} + … + x_{n}}{n} ,

e quindi possiamo applicare il passo precedente sostituendo i numeri x_{i} con y_{i} = x_{i}/M.

10. La dimostrazione usando il binomio di Newton è immediata in quanto i primi due termini del binomio sono proprio 1 e nh, e il resto è una quantità positiva. Per la seconda parte si considerino gli n numeri

x_{i} = 1, i = 1, …, n − 1, x_{n} = 1 + nh;

applicando la formula (3.2), si ottiene quanto desiderato.

Successioni Numeriche

1. Per dimostrare questi fatti, tutto quello che bisogna sapere è che per x ∈ (−π/2, π/2), valgono le seguenti disuguaglianze

(14.1)  | sin x| ≤ |x| ≤ | tan x|.

Dalla prima segue immediatamente la i); per la ii) si sfrutta l’identità

sin^{2} a_{n} + cos^{2} a_{n} = 1,

e il fatto che per x ∈ (−π/2, π/2) il coseno è positivo. Per quanto riguarda la iii), dalla (14.1), se a_{n} > 0 si ha

sin a_{n} ≤ a_{n} ≤ tan a_{n},

da cui, sapendo che anche sin a_{n} e tan a_{n} sono positivi,

1 ≤ \frac{a_{n}}{sin a_{n}} ≤ \frac{1}{cos a_{n}}

e l’asserto segue per il punto ii). Se invece a_{n} < 0, pure sin a_{n} e tan a_{n} sono negativi, e la (14.1) diventa

sin a_{n} ≥ a_{n} ≥ tan a_{n},

da cui

1 ≤ \frac{a_{n}}{sin a_{n}} ≤ \frac{1}{cos a_{n}} .

2. Dividiamo la discussione in vari casi; se a > 1, otteniamo

a^{n+1} − a^{n} = a^{n}(a − 1) > (a − 1),

da cui a^{n} − 1 > n(a − 1). Quindi la distanza del numero a^{n} da 1 aumenta sempre di più , e siccome, fissato un qualunque numero M > 0, essendo a > 1, esisterà un n_{0} ∈ ℕ tale che

n(a − 1) > M, ∀n ≥ n_{0}.

E quindi

a^{n} > M + 1, ∀n ≥ n_{0},

e quindi la successione diverge a +∞. Per 0 < a < 1, possiamo scivere

a = \frac{1}{b}, b > 1,

da cui otteniamo che la successione converge a 0. Per −1 < a < 0 si scive a = −b con 0 < b < 1 e si ottiene ancora che la successione converge a 0. Per a ≤ −1 si ottiene una successione a termini di segno alterno con |a^{n+1} − a^{n}| ≥ 2, e quindi la successione non può convergere. Infine, per a = 1, la successione è costantemente uguale a 1, quindi converge a 1.

3. Siccome n ≥ 1 è un numero intero, allora pure la sua radice n–esima sarà un numero maggiore di 1, cioè potremo scrivere

n\sqrt{n} = 1 + h_{n}

dove gli h_{n} > 0 sono numeri reali positivi. Dalla disuguaglianza data, otteniamo quindi, elevando alla n,

n = (1 + h_{n})^{n} ≥ 1 + \frac{n(n − 1)}{2}h_{n}^{2},

o equivalentemente

h_{n}^{2} ≤ \frac{2}{n}.

Abbiamo quindi che

lim_{n→∞} h_{n} = 0,

da cui ^{n}\sqrt{n} → 1.

4. Cominciamo con l’osservare che, se indichiamo con a_{n} = na^{n}, allora abbiamo che

\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{(n + 1)a^{n+1}}{na^{n}} = \frac{n + 1}{n}a.

Quindi

lim_{n→∞} |\frac{a_{n+1}}{a_{n}} | = |a| < 1.

Questo vuol dire che, fissato un ε > 0 arbitrario, esisterà un n_{0} ∈ ℕ tale che per ogni n ≥ n_{0}

|\frac{a_{n}}{a_{n−1}} | = |a| + ε,

e cioè

|a_{n}| < (|a| + ε)|a_{n−1}| < (|a| + ε)^{2}|a_{n−2}| < (|a| + ε)^{n−1}|a|.

Ma se ε è stato scelto in modo che |a| + ε < 1 (cioè se ε < 1 − |a|), allora abbiamo trovato che, posto λ_{ε} = |a| + ε,

|a_{n}| < λ_{ε}^{n−1}|a| → 0.

Dimostriamo il secondo limite usando un’altra tecnica: si noti che la successione

a_{n} = \frac{a^{n}}{n}

è positiva e monotona crescente, in quanto

a_{n+1} − a_{n} = \frac{1}{(1 + n)n} [na^{n} (a − \frac{n + 1}{n})]

e a è definitivamente maggiore di (n + 1)/n. Quindi il limite della successione esiste ed è o un numero positivo oppure è +∞. Osservando poi che

a_{2n} = \frac{a^{n}}{2} a_{n},

se ne deduce, passando al limite, che il limite è +∞.

5. L’implicazione segue dalla disuguaglianza triangolare

||a| − |b|| ≤ |a + b|, ∀a, b ∈ ℝ.

Infatti

||a_{n}| − |L|| = ||a_{n}| − | − L|| ≤ |a_{n} + (−L)| = |a_{n} − L| → 0.

È facile convincersi che il viceversa non è vero; basta considerare la successione a_{n} = (−1)^{n} che in valore assoluto converge a 1 (è sempre uguale a 1), mentre essa non converge essendo indeterminata.

Tuttavia ci sono alcuni casi in cui l’implicazione inversa vale; ad esempio, se L = 0, come segue immediatamente dalle definizioni di limite. Inoltre, anche se L ≠ 0 e la successione ha definitivamente lo stesso segno di L. Difatti, indicata con sgn(x) la funzione segno del numero reale x, cioè la funzione che vale 1 se x > 0, 0 se x = 0 e −1 se x < 0, si ha chiaramente che |x| = x · sgn(x); quindi dire che la successione ha definitivamente lo stesso segno di L significa dire che esiste un n_{0} ∈ ℕ tale che sgn(a_{n}) = sgn(L) per ogni n ≥ n_{0}. Quindi per ogni n ≥ n_{0}

||a_{n}| − |L|| = |a_{n} · sgn(a_{n}) − L · sgn(L)| = |a_{n} · sgn(L) − L · sgn(L)|
= |sgn(L)| · |a_{n} − L| = |a_{n} − L|

in quanto |sgn(L) = 1|.

6. La successione

a_{n} = \frac{ln n}{n}

è positiva e monotona decrescente per n ≥ 3, in quanto

a_{n+1} − a_{n} = \frac{1}{n(n + 1)} ln \frac{(n + 1)^{n}}{n^{n+1}} == \frac{1}{n(n + 1)} ln (\frac{1}{n} (1 + \frac{1}{n})^{n}) .

Siccome l’argomento del logaritmo è definitivamente minore di 1, si ottiene

a_{n+1} − a_{n} < 0.

Chiamando λ ≥ 0 il limite e osservando che

a_{n^{2}} = \frac{2}{n}a_{n},

passando al limite si ottiene che λ = 0 · λ, cioè λ = 0. Si osservi che in maniera analoga si dimostra che

lim_{n→+∞} \frac{(ln n)^{p}}{n^{q}} = 0

per ogni p, q ∈ ℝ, q > 0. In maniera analoga si mostra che a^{n}/n → +∞ se a > 1. Denotata a_{n} = a^{n}/n è facile mostrare la crescenza ed è sufficiente considerare questa volta a_{2n} = a_{n}a^{n}/2 per trovare il limite.

7. Verifichiamo il punto i); possiamo scrivere

a_{n} = 1 + \frac{1}{n^{2}} ,

quindi sembra abbastanza intuitivo supporre che a_{n} → 1. Facciamo la verifica usando la definizione di limite; dobbiamo trovare, per ogni fissato ε > 0 un numero n_{0} ∈ ℕ tale che, per ogni n ≥ n_{0} si abbia

|a_{n} − 1| < ε.

Siccome la condizione diventa

|\frac{1}{n^{2}} | < ε,

è chiaro che basta prendere n ≥ 1/\sqrt{ε}, o come n_{0} ad esempio il numero [1/\sqrt{ε}] + 1 (qui [a] è la parte intera inferiore del numero reale a).

Per quanto riguarda il punto ii), notiamo che

0 ≤ a_{n} = \frac{n!}{n^{n}} = \frac{1}{n} · \frac{2}{n} · . . . · \frac{n}{n} ≤ \frac{1}{n}

e quindi

0 ≤ lim_{n→∞} a_{n} ≤ lim_{n→∞} \frac{1}{n} = 0,

da cui si ricava che il limite è 0.

Per iii), se α < 1, si ha

lim_{n→∞} \frac{α^{n}}{n!} = \frac{lim_{n→∞} α^{n}}{lim_{n→∞} n!} = \frac{0}{∞} = 0.

Se poi è α = 1, allora il limite è ancora facilmente uguale a 0. Resta da vedere il caso α > 1; indichiamo con m = [α] ≥ 1 la parte intera del numero α e notiamo che per ogni n ≥ m + 1,

(14.2)  \frac{α}{n} < 1,

mentre per ogni n ∈ ℕ

(14.3)  \frac{a}{n} ≤ a.

Quindi riscriviamo, per n > m + 1 (m è un numero intero determinato una volta scelto α mentre n può essere preso grande arbitrario in quanto si sta facendo il limite per n → ∞) il termine generale della successione come

0 ≤ \frac{α^{n}}{n!} = \frac{a}{1} · \frac{a}{2} · . . . · \frac{a}{m} · \frac{a}{m + 11} · . . . · \frac{a}{n − 1} · \frac{a}{n} ≤ \frac{a^{m+1}}{n}

in quanto per i termini da 1 a m abbiamo usato la stima (14.3), mentre per i termini dall’m + 1 all’n − 1 la stima (14.2) e l’ultimo termine lo abbiamo lasciato inalterato. Quindi segue che

lim_{n→∞} \frac{α^{n}}{n!} = 0.

Per iv); abbiamo

a_{n} = n − \sqrt{n^{2} + n} = −\frac{n}{n + \sqrt{n^{2} + n}} = −\frac{1}{1 + \sqrt{1 + 1/n}} → −\frac{1}{2}.

Per risolvere v), notiamo che

\frac{3n^{2} − 2n + 1}{n − n^{2}} = \frac{3 − 2/n + 1/n^{2}}{−1 + 1/n} ,

quindi il limite deve essere −3. Dobbiamo cioè dimostrare che fissato ε > 0, esiste n_{0} ∈ ℕ tale che

(14.4)  |\frac{3n^{2} − 2n + 1}{n − n^{2}} + 3| < ε.

CAPITOLO 14. SUCCESSIONI NUMERICHE

Ma

|\frac{3n^{2} − 2n + 1}{n − n^{2}} + 3| = \frac{n + 1}{n^{2} − n},

quindi la (14.4) si riduce a verificare la disequazione

εn^{2} − (ε + 1)n − 1 > 0,

e questa è verificata se ad esempio prendiamo n_{0} = [x_{0}] + 1, con

x_{0} = \frac{(ε + 1) + \sqrt{(ε + 1)^{2} + 4ε}}{2ε}.

Per vi),

a_{n} = \frac{2/n − 5n − 2/n^{2}}{1 + 1/n^{2}} → −∞.

Per vii),

a_{n} = \frac{4 + 2/n^{2}}{1/n^{3} + 5} → \frac{4}{5}.

Per il punto viii), bisogna tenere presente che

lim_{n→∞} arctan n = \frac{π}{2} ,

e quindi

a_{n} = n (arctan n − \frac{1}{\sqrt{n}}) → +∞.

In ix),

a_{n} = \frac{n(1/\sqrt{n} − 1)}{1/n + 1/n^{2}} → −∞.

Per x),

a_{n} = (\frac{2}{3})^{n} \frac{1 + 1/2^{n}}{1 + 1/3^{n}} → 0.

In xi),

a_{n} = \frac{3 − 1/\sqrt{n}}{2 + (arctan n)/\sqrt{n}} → \frac{3}{2}.

Per xii),

a_{n} = \sqrt{\frac{1 + 2/n^{2}}{1 + 1/n^{2}}} → 1.

\overline{90} Per il punto xiii), si ha

\sqrt{n^{2} + 2n + 1} − \sqrt{n^{2} + 2} = \frac{2n − 1}{\sqrt{n^{2} + 2n + 1} + \sqrt{n^{2} + 2}}
= \frac{2 − 1/n}{\sqrt{1 + 2/n + 1/n^{2}} + \sqrt{1 + 2/n^{2}}}
→ 1.

In xiv), abbiamo

a_{n} = (1 + \frac{1}{n!})^{n!n/n!} :

siccome (1 + 1/n!)^{n!} → e e n/n! → 0, il tutto tende ad e^{0} = 1. In xv),

a_{n} = (1 + \frac{1}{n^{n}} )^{n^{n}n!/n^{n}} :

siccome (1 + 1/n^{n})^{n^{n}} → e e n!/n^{n} → 0, il tutto tende ad e^{0} = 1. Per risolvere xvi), notiamo che

lim_{n→+∞} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = lim_{n→+∞} (1 + \frac{1}{n})^{p} \frac{1}{α} = \frac{1}{α}.

Quindi, nello stesso modo in cui si è affrontato l’esercizio 4., si fa vedere che se |α| < 1, la successione diverge, mentre se |α| > 1 la successione tende a 0. Infine, se α = 1, la successione diverge a +∞, mentre per α = −1, la successione è indeterminata. In xvii), siccome l’esponente tende a +∞, si ottiene immediatamente che a_{n} → −∞. Per affrontare xviii), se n è pari, scriviamo

a_{n} = \frac{n}{n} … \frac{n}{n/2} \frac{1}{n/2 − 1} … 1 ≤ \frac{2}{n − 2} → 0.

Inoltre si può fare vedere che la successione è monotona decrescente (cioè si dimostra per induzione che a_{n+1} ≤ a_{n}), quindi segue che a_{n} → 0. In xix), possiamo scrivere, siccome 1/(k(k + 2)) = 1/2(1/k − 1/(k + 2))

a_{n} = \frac{n + 1}{2n} (1 − \frac{1}{3} + \frac{1}{2} − \frac{1}{4} + \frac{1}{3} − \frac{1}{5}+

… + \frac{1}{n − 2} − \frac{1}{n} + \frac{1}{n − 1} − \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n} − \frac{1}{n + 2})

= \frac{n + 1}{2n} (1 + \frac{1}{2} − \frac{1}{n + 1} − \frac{1}{n + 2}) → \frac{3}{4}.

8. a) Detto a_{n} il termine n-esimo della successione si ha

a_{n} ≥ \underbrace{\frac{1}{\sqrt{2n}} + ⋯ + \frac{1}{\sqrt{2n}}}_{n volte} = \frac{n}{\sqrt{2n}} → +∞ .

b) Detto a_{n} il termine n-esimo della successione si ha

0 ≤ a_{n} ≤ \underbrace{\frac{1}{(n + 1)^{2}} + ⋯ + \frac{1}{(n + 1)^{2}}}_{n volte} = \frac{n}{(n + 1)^{2}} → 0 .

Per il teorema dei due carabinieri si conclude.

c) Detto a_{n} il termine n-esimo della successione si ha

\frac{1}{\sqrt{n^{2} + n}} ≤ a_{n} ≤ \frac{1}{\sqrt{n^{2} + 1}} .

Per il teorema dei due carabinieri si conclude che il limite è 1.

9. Raccogliendo 7^{n} all’interno della radice si ottiene che

n \sqrt{3^{n} + 7^{n}} = 7 ^{n} \sqrt{1 + (3/7)^{n}} → 7 .

10. Notiamo anzitutto che

a_{n+1} − a_{n} = a_{n}^{2} + \frac{1}{4} − a_{n} = (a_{n} − \frac{1}{2})^{2} ≥ 0,

quindi la successione è sempre crescente, indipendentemente dal valore iniziale. Ora, se fosse vero che a_{n} → L ∈ ℝ, si dovrebbe avere, per come è definita la successione

L = lim_{n→∞} a_{n+1} = lim_{n→∞} a_{n}^{2} + \frac{1}{4} = L^{2} + \frac{1}{4},

da cui L = 1/2. Quindi, se a_{0} > 1/2, abbiamo una successione crescente che non può convergere ad 1/2, da cui se ne deduce che a_{n} → +∞. Invece, se a_{0} ≤ 1/2, notiamo che

a_{1} = a_{0}^{2} + \frac{1}{4} ≤ \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}.

Quindi ogni elemento della successione sarà minore o uguale a 1/2. Otteniamo quindi una successione monotona crescente limitata superiormente, quindi essa deve convergere ad un qualche numero, che come visto in precedenza, non può che essere 1/2.

11. Notiamo che se fissiamo a ∈ (0, π), dal fatto che per ogni x ∈ ℝ si ha che | sin x| < |x|, deduciamo che

sin a = sin(π − a) < (π − a),

quindi

b = a + sin a < a + (π − a) = π.

D’altronde, essendo a > 0, e quindi anche sin a > 0, la stima b > 0 è immediata. Quindi se andiamo alla successione definita per ricorrenza, notiamo anche che

a_{n+1} − a_{n} = sin a_{n} > 0,

cioè la successione data è monotona crescente. Inoltre è limitata superiormente (a_{n} < π), e quindi essa necessariamente converge ad un numero reale L ∈ [a_{0}, π]. Ma per come è definita la successione

L = lim_{n→∞} a_{n+1} = lim_{n→∞}(a_{n} + sin a_{n}) = L + sin L,

cioè sin L = 0. Ma questo può verificarsi solo se L = π, e quindi la nostra successione converge a π.

12. Studiamo solo la successione al punto ii), in quanto la i) segue ponendo h = 1. Possiamo scrivere

a_{n} = ha_{n−1}^{2} = h^{2}a_{n−2}^{4} = … = h^{n}k^{2n} = (hk^{2})^{n}.

Quindi la successione converge a 0 se |hk^{2}| < 1, diverge per hk^{2} > 1, è costantemente pari a 1 se hk^{2} = 1, mentre è indeterminata se hk^{2} ≤ −1.

13. Dimostriamo anzitutto la monotonia:

a_{n+1} − a_{n} = 1 − 2a_{n} + a_{n}^{2} = (1 − a_{n})^{2} ≥ 0.

Quindi la successione è una successione monotona crescente. Se ammette limite, si deve avere

L = 1 − L + L^{2},

cioè L = 1. Quindi, se a_{0} > 1 la successione deve necessariamente divergere a +∞. Mentre, notando che se a_{n} < 1, allora

a_{n+1} = 1 + a_{n}(a_{n} − 1) < 1,

quindi se a_{0} < 1, la successione è monotona crescente superiormente limitata, quindi convergente (necessariamente a 1). Infine, se a_{0} = 1, allora ogni termine della successione è pari ad 1.

14. Cerchiamo anzitutto se esistono numeri reali L per i quali si abbia

L = L^{2} − 2.

Soluzioni di questa equazione sono

L = 2, L = −1.

Quindi se per un certo elemento della successione capita che a_{n} = 2 o a_{n} = −1, allora la successione deve necessariamente rimanere costantemente uguale a tale valore. Vediamo cosa succede se

a_{0} = \sqrt{2 − \sqrt{2 − \sqrt{2}}}.

Abbiamo

a_{1} = −\sqrt{2 − \sqrt{2}}, a_{2} = −\sqrt{2}, a_{3} = 0, a_{4} = −2, a_{5} = 2.

Quindi per n ≥ 5, la successione rimane costantemente uguale a 2. Se invece a_{0} = \sqrt{2 − \sqrt{3}}, allora

a_{1} = −\sqrt{3}, a_{2} = 1, a_{3} = −1.

Quindi per n ≥ 3, la successione è costantemente uguale a −1. Infine, se

a_{0} = \frac{\sqrt{5} − 1}{2},

allora

a_{1} = −\frac{\sqrt{5} + 1}{2}, a_{2} = \frac{\sqrt{5} − 1}{2}.

Quindi la successione risulta periodica di periodo due, cioè si alterna tra due valori.

15. Se λ < 1, allora, preso ε > 0 tale che λ+ε < 1, per la definizione di limite, esiste n_{0} ∈ ℕ per il quale

|\frac{a_{n+1}}{a_{n}} | < λ + ε, ∀n ≥ n_{0}.

Quindi

|a_{n+1}| < (λ + ε)^{n}|a_{0}| → 0.

Se λ > 1, si prende ε > 0 tale che λ − ε > 1 e un n_{0} ∈ ℕ tale che per ogni n ≥ n_{0}

|\frac{a_{n+1}}{a_{n}} | > λ − ε.

Quindi

|a_{n+1}| > (λ − ε)^{n}|a_{0}| → +∞.

16. Si ha

b − \sqrt{B} = \frac{1}{2a}(a − \sqrt{B})^{2} ≥ 0.

Quindi la successione x_{n} sarà una successione inferiormente limitata, cioè sempre maggiore di \sqrt{B}. Inoltre

x_{n+1} − x_{n} = \frac{1}{2x_{n}} (B − x_{n}^{2}) ≤ 0.

Quindi la successione deve essere convergente ad un numero L, che però deve soddisfare

L = \frac{1}{2} (L + \frac{B}{L} ) ,

cioè L = \sqrt{B}.

Serie Numeriche

1. Si noti che si ha la seguente stima

0 ≤ \frac{1 − cos k}{k^{2}} ≤ \frac{2}{k^{2}} ;

possiamo quindi applicare il criterio del confronto per concludere che la serie data è convergente.

2. Applicando il criterio del rapporto con a_{k} = a^{k}/k!, si ottiene che

\frac{|a_{k+1}|}{|a_{k}|} = \frac{|a|}{k + 1}

e quindi, siccome per ogni a ∈ ℝ si ha

lim_{k→∞} \frac{|a|}{k + 1} = 0,

la serie data converge assolutamente per ogni fissato a ∈ ℝ, e quindi converge anche semplicemente. Si potrebbe dimostrare (non facilmente) che la serie data ha somma

∑_{k=0}^{+∞} \frac{a^{k}}{k!} = e^{a} = lim_{n→+∞} (1 + \frac{a}{n})^{n} .

3. Applicando il citerio del rapporto con a_{k} = \frac{k!a^{k}}{k^{k}}, si ottiene

\frac{|a_{k+1}|}{|a_{k}|} = \frac{|a|}{(1 + 1/k)^{k}} .

Siccome si ha che

lim_{k→∞} \frac{|a|}{(1 + 1/k)^{k}} = \frac{|a|}{e}

si avrà convergenza assoluta per |a| < e, mentre non si avrà convergenza per |a| ≥ e (il caso |a| = e lo si deduce in quanto la successione

\frac{e}{(1 + 1/k)^{k}}

converge in modo monotono decrescente ad 1).

4. Utilizzando il criterio della radice, si ha che, ponendo a_{k} = e^{− \frac{k^{2}a}{k+a^{2}}} ,

k\sqrt{|a_{k}|} = e^{− \frac{ka}{k+a^{2}}} .

Quindi, siccome

lim_{k→+∞} e^{− \frac{ka}{k+a^{2}}} = e^{−a},

se ne deduce che la serie converge per a > 0, mentre diverge per a ≤ 0 (nel caso a = 0 il termine generale è sempre pari a 1).

5. Usando il limite notevole

lim_{k→∞} \frac{1 − cos a_{k}}{a_{k}} = \frac{1}{2},

con (a_{k}) successione infinitesima, se ne deduce che la successione 1 − cos 1/k è a termini positivi e asintoticamente equivalente alla successione (1/(2k^{2})), e quindi, dato che quest’ultima ha una serie convergente, la serie data è convergente.

6. Si noti che

cot (\frac{π}{2} − arctan k) = tan arctan k = k,

se ne deduce che

tan (\frac{π}{2} − arctan k)) = \frac{1}{k} .

Utilizzando quindi il limite notevole

(15.1)  lim_{k→∞} \frac{tan a_{k}}{a_{k}} = 1

se (a_{k}) è una successione infinitesima, se ne deduce che la serie

∑_{k=0}^{∞} (\frac{π}{2} − arctan k)^{p}

è asintoticamente equivalente alla serie

∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{k^{p}}

e quindi converge se p > 1 e non converge per p ≤ 1.

7. Proponiamo due soluzioni.

La prima è la seguente. Prima ricordiamo i seguenti fatti

lim_{n→∞} \frac{sin a_{n}}{a_{n}} = 1 se a_{n} infinitesima

e

sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β .

Usando il primo dei fatti appena ricordati e il criterio del confronto ci possiamo limitare a studiare il comportamento della serie

∑_{n=1}^{∞} sin [\frac{π}{2} − arcsin (\frac{n}{n + 1})]

che per il secondo fatto diventa

∑_{n=1}^{∞} cos(arcsin \frac{n}{n + 1}) = \sqrt[∑_{n=1}^{∞}]{1 − sin^{2}(arcsin \frac{n}{n + 1})} = ∑_{n=1}^{∞} \frac{\sqrt{2n + 1}}{n + 1}

che diverge. La seconda è meno elegante, ma può essere istruttiva. Si consideri la funzione

f(x) = \frac{π}{2} − arcsin x .

Si ha che

lim_{x→1^{−}}f(x) = 0  e  f′(x) = −\frac{1}{\sqrt{(1 − x)(1 + x)}} .

Ora, se si riuscisse a trovare una funzione g tale che

(15.2)  lim_{x→1^{−}} g(x) = 0  e  lim_{x→1^{−}} \frac{f′(x)}{g′(x)} = 1

grazie alla regola di de l’Hôpital si concluderebbe che lim_{x→1^{−}} \frac{f(x)}{g(x)} = 1. Sce-

gliendo g′(x) = −\frac{1}{\sqrt{(1−x)}} si ha chiaramente che le condizioni (15.2) sono

soddisfatte. Integrando si ottiene g(x) = 2\sqrt{1 − x}. Conclusione:

lim_{x→1^{−}} \frac{f(x)}{g(x)} = 1

e quindi, per il criterio del confronto, la serie seguente ha lo stesso carattere di quella di partenza:

∑_{n=1}^{∞} 2\sqrt{1 − \frac{n}{n + 1}} = 2 ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{\sqrt{n + 1}} .

Si conlude che la serie diverge (confrontare con quanto ottenuto precedentemente).

8. Siccome la successione

\frac{k + \sqrt{k}}{k^{3} − k + 2}

è asintoticamente equivalente alla successione 1/k^{2}, utilizzando il limite notevole (15.1) dell’esercizio precedente, se ne deduce che la serie data è asintoticamente equivalente alla serie ∑ 1/k^{2} e quindi convergente.

9. La serie data è una serie a termini alterni; si nota subito che la serie non è assultamente convergente, e quindi dobbiamo studiare la convergenza semplice. Utilizziamo quindi il criterio di Leibniz; la successione 1/k è chiaramente infinitesima, positiva e monotona decrescente in quanto per k < k + 1 si ha 1/k > 1/(k + 1). Quindi per il criterio di Leibniz si ha la convergenza semplice.

10. Il termine generale è infinitesimo solo per p > 0 e quindi per p ≤ 0 non si può avere convergenza. Inoltre per p > 0, la successione (1/k^{p}) è monotona decrescente. Quindi grazie al criterio di Leibniz, la serie converge semplicemente per p > 0. Per quanto riguarda la convergenza assoluta, si ricade nel caso della serie armonica generalizzata, che covnerge per p > 1.

11. La serie non converge assolutamente in quanto per k ≥ 3

\frac{ln k}{k} ≥ \frac{1}{k}

e per il criterio del confronto si ha ∑ ln k/k = +∞. Per quanto riguarda la convergenza semplice, trattandosi di una serie a segni alterni, proviamo ad applicare Leibniz. La successione a_{k} = ln k/k è monotona se verifichiamo che

\frac{ln(k + 1)}{k + 1} ≤ \frac{ln k}{k} .

Ma questa condizione equivale a richiedere che

ln \frac{(k + 1)^{k}}{k^{k+1}} ≤ 0

oppure

b_{k} = \frac{(k + 1)^{k}}{k^{k+1}} ≤ 1.

Ma

b_{k} = \frac{1}{k} (1 + \frac{1}{k} )^{k} < \frac{e}{k}

e quindi per k ≥ 3 b_{k} ≤ 1 da cui la monotonia di a_{k}. Per vedere che (a_{k}) è infinitesima, si noti che

a_{k^{2}} = \frac{2}{k} a_{k} ≤ \frac{2}{k} a_{3}.

Quindi dalla monotonia segue che lim a_{k} = 0. Possiamo allora applicare il criteri di Leibniz e concludere che

∑_{k=2}^{∞}(−1)^{k} \frac{ln k}{k} ∈ ℝ.

12. La serie data è a termini negativi in quanto 1−1/k^{2} < 1; quindi può essere trattata come una serie a termini positivi solo con il segno meno davanti. Per trattare quasta serie abbiamo bisogno del sequente limite notevole; se (a_{n}) è una successione infinitesima, allora

lim \frac{ln(1 + a_{n})}{a_{n}} = 1

cioè ln(1 + a_{n}) è asintoticamente equivalente ad a_{n}. Tale limite segue in quanto

\frac{ln(1 + a_{n})}{a_{n}} = ln(1 + a_{n})^{1/a_{n}}.

Per trattare questa espressione, supponiamo a_{n} > 0 e scriviamo a_{n} = 1/b_{n} con b_{n} → ∞. Avremo che [b_{n}] ≤ b_{n} < [b_{n}]+1 con il vantaggio che [b_{n}] ∈ ℕ; quindi

(1 + \frac{1}{[b_{n}] + 1})^{([b_{n}]+1)· \frac{bn}{[bn]+1}} ≤ (1 + \frac{1}{b_{n}} )^{b_{n}} ≤ (1 + \frac{1}{[b_{n}]})^{([b_{n}])· \frac{bn}{[bn]}} .

Tenendo presente che per b_{n} → ∞ si ha che

lim \frac{b_{n}}{[b_{n}]} = lim \frac{b_{n}}{[b_{n}] + 1} = 1,

si ottiene che

lim (1 + \frac{1}{b_{n}} )^{b_{n}} = e,

da cui l’asserto. Il caso a_{n} < 0 si tratta in modo analogo tenendo presente che

lim (1 − \frac{1}{n})^{n} = \frac{1}{e}.

Abbiamo quindi che la successione | ln(1 − 1/k^{2})| è asintoticamente equivalente alla successione 1/k^{2} e quindi è assolutamente e semplicemente convergente (qui la convergenza assoluta è la stessa di quella semplice a meno del segno).

13. Posto

a_{k} = \frac{2^{k} + k}{3^{k} − \sqrt{k}} ≥ 0,

è facile notare che a_{k} ∼ (2/3)^{k} e quindi la serie è asintoticamente equivalente ad una serie geometrica di ragione minore di 1, e quindi la serie converge.

14. Si ha che

a_{k} = \frac{\sqrt{k + 1} − \sqrt{k}}{k} = \frac{1}{k\sqrt{k}(\sqrt{1 + 1/k} + 1)} ≥ 0

e quindi a_{k} ∼ 1/k^{3/2} con 3/2 > 1, e quindi a_{k} è asintoticamente equivalente ad una serie convergente.

15. Ricordando lo sviluppo di Taylor della funzione logaritmo

ln(1 + x) = x − \frac{x^{2}}{2} + o(x^{2}),

si ottiene che la successione

a_{k} = \frac{1}{k} − ln (1 + \frac{1}{k} ) ≥ 0

è asintoticamente equivalente alla successione 1/(2k^{2}), e quindi la serie data è convergente.

16. Notando che k! < k^{k}, la serie diverge (confrontare l’esercizio 20.).

17. Applicando il criterio del rapporto si ottiene che

\frac{|a_{k+1}|}{|a_{k}|} = \frac{1}{(1 + 1/k)^{k}} → \frac{1}{e}

da cui la convergenza della serie

∑_{k=1}^{∞} \frac{k!}{k^{k}} .

18. Dal criterio del rapporto si ha che

lim \frac{|a_{k+1}|}{|a_{k}|} = \frac{1}{2} < 1

e quindi la serie data converge.

19. Scrivendo

(\frac{k^{2} + k − 1}{k^{2} + 3k + 5})^{k^{2}} = (1 − \frac{2k + 6}{k^{2} + 3k + 5})^{\frac{k^{2}+3k+5}{2k+6} ·k^{2}· \frac{2k+6}{k^{2}+3k+5}}

e tenendo presente che

lim (1 − \frac{2k + 6}{k^{2} + 3k + 5})^{\frac{k^{2}+3k+5}{2k+6}} = \frac{1}{e}

\overline{102}

e

\frac{2k + 6}{k^{2} + 3k + 5} ∼ \frac{2}{k} ,

ne segue che

a_{k} ∼ \frac{1}{(e^{2})^{k}} ,

cioè la serie data è asintoticamente equivalente alla serie geometrica di ragione 1/e^{2} < 1, e quindi si ha convergenza.

20. Applicando il criterio di condensazione, si ha

∑_{k=1}^{∞} 2^{k}a_{2^{k}} = ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k ln 2},

e quindi la serie data non converge.

21. Applichiamo il criterio del rapporto per ottenere che

\frac{|a_{k+1}|}{|a_{k}|} = \frac{2}{3} \frac{(k + 1)^{2}}{k^{2}} → \frac{2}{3} < 1,

e quindi la serie converge.

22. La serie non converge assolutamente in quanto

ln (1 + \frac{1}{ln k} ) ∼ \frac{1}{ln k} ≥ \frac{1}{k} .

Per la convergenza semplice applichiamo Leibniz; siccome ln k → +∞ per k → +∞, si ha che

a_{k} = ln (1 + \frac{1}{ln k} )

è infinitesima. Sfruttando la monotonia della funzione logaritmo, si ricava inoltre che la successione è pure monotona, da cui la convergenza della serie data.

23. La serie non converge assolutamente in quanto il termine generale è asintotico a 1/2k. La successione

a_{k} = \frac{1}{2k + sin k}

è infinitesima e a_{k+2} ≤ a_{k} in quanto sin k − sin(k + 1) ≤ 2; quindi applicando il criterio di Leibniz, la serie converge. Si noti che lo studio della convergenza della serie

∑(−1)^{k} \frac{1}{k + sin k}

risulta alquanto più complicata; serve una stima del tipo

| sin x − sin y| ≤ |x − y|, ∀x, y ∈ ℝ,

stima che si può dimostrare usando le formule di Prostaferesi.

24. Dallo sviluppo di Taylor per la funzione arcotangente

arctan x = x − \frac{x^{3}}{3} + o(x^{3})

si ottiene che la successione

1 − k arctan \frac{1}{k}

è asintoticamente equivalente alla successione 1/k^{2} e quindi si ha convergenza assoluta e a maggior ragione semplice.

25. Se applichiamo il criterio del rapporto, si ottiene

\frac{|a_{k+1}|}{|a_{k}|} = \frac{1}{k + 1} \frac{(k + 1)^{3}}{k^{3}} → 0

e quindi la serie converge.

26. Vogliamo andare a confrontare (asintoticamente) la nostra serie (che è a termini positivi) con la serie armonica 1/k^{p}. Si ha che

k^{p} (\frac{1 + ln k}{\sqrt{k^{3} + 1}}) = \frac{1 + ln k}{k^{3/2−p}\sqrt{1 + 1/k^{3}}} .

Si ha quindi che k^{p}a_{k} → 0 se 3/2 − p > 0, cioè se p < 3/2. Quindi la serie data è sicuramente definitivamente più piccola della serie con termini 1/k^{p} per p < 2/3; se prendiamo poi p > 1, otteniamo che la serie data converge.

27. Usando la formula di Taylor, si può scrivere

k\sqrt{k} − 1 = e^{ln k/k} − 1 = \frac{ln k}{k} + o (\frac{ln k}{k} )

da cui si ottiene che la serie converge.

28. Scrivendo

k^{1/k^{2}} − 1 = \frac{ln k}{k^{2}} + o (\frac{ln k}{k^{2}} )

si ottiene che la serie converge.

29. Per quanto riguarda la convergenza assoluta, si ha che definitivamente

\frac{k ln k}{k^{2} + 1} > \frac{k}{k^{2} + 1}

e quindi niente convergenza assouta. Per la convergenza semplice si applica Leibniz in quanto la successione è infinitesima e momnotona (verificarlo per esercizio).

30. Si noti che

0 ≤ \frac{1 + cos k}{3} ≤ \frac{2}{3}

e quindi la serie è maggiorata dalla serie geometrica di ragione 2/3 < 1 e quindi converge.

31. Si noti che cos πk = (−1)^{k} e quindi la serie diventa

∑ \frac{(−1)^{k}}{k + 2}

che è convergente grazie al criterio di Leibniz, ma non assolutamente convergente.

32. Si noti che sin 1/(k+1) ∼ 1/(k+1) e quindi la serie diventa asintoticamente

equivalente alla serie

∑ \frac{1}{k(k + 1)}

che è convergente.

33. Dal criterio della radice si ha che

k\sqrt{|a_{k}|} = \frac{|k − 3|}{k^{1+1/k}} → 0

e quindi la serie è convergente.

34. Dal criterio della radice si ha

k\sqrt{|a_{k}|} = \frac{k + 1}{2k − 1} → \frac{1}{2} < 1,

e quindi la serie converge.

35. Dallo sviluppo di Taylor della funzione seno, si ricava che la successione

a_{k} = (k − sin k) (\frac{1}{k} − sin \frac{1}{k} )

è asintoticamente equivalente alla successione 1/k^{2} e quindi converge.

36. Notare che

ka_{k} = \frac{1}{\sqrt[k]{k}} → 1

e quindi la serie data è asintotica alla serie con termini 1/k, quindi la serie non converge.

37. Dal criterio del rapporto si ottiene che

\frac{|a_{k+1}|}{|a_{k}|} = \frac{1}{e} \frac{(k + 1)^{3}}{k^{3}} → \frac{1}{e} < 1,

quindi la serie converge.

\overline{105}

38. Scrivendo a_{k} = e^{a/2}e^{ka^{2}}, dal criterio della radice si ottiene

k\sqrt{|a_{k}|} = e^{a/(2k)}e^{a^{2}} → e^{a^{2}}.

Siccome per a ≠ 0 e^{a^{2}} > 1, la serie non converge; infine per a = 0, si ha che a_{k} = 1 e quindi ancora non si ha convergenza.

39. La serie converge semplicemente grazie a Leibniz, in quanto 1/ ln ln k è monotono decrescente e infinitesimo. Per quanto riguarda la convergenza assoluta, dal criterio di condensazione, si ha convergenza se e solo se converge la serie

∑ \frac{2^{k}}{ln(k ln 2)},

ma il termine generale di tale serie non è infinitesimo, e quindi non si può avere covnergenza assoluta.

40. Se si lascia cadere la pallina, dalla fisica si sa che il tempo che impiega per raggiungere il suolo partendo da un’altezza h_{0} è pari a

t_{0} = \sqrt{\frac{2h_{0}}{g}} .

Dopo il primo rimbalzo il tempo che impiega per giungere al rimbalzo successivo è dato da

t_{1} = 2\sqrt{\frac{2h_{1}}{g}} = 2t_{0}\sqrt{q},

dove q ∈ (0, 1) rappresenta la percentuale dell’altezza raggiunta, e il numero 2 deriva dal fatto che la pallina deve prima salire fino all’altezza h_{1} e poi ridiscendere. In generale per l’ennesimo rimbalzo si ha

t_{n} = \sqrt{q}t_{n−1} = \sqrt{q}^{n−1}t_{1}

e quindi il tempo che impiegherà per smettere di rimbalzare sarà

T = ∑_{k=0}^{∞} t_{k} = t_{0} + 2t_{0} ∑_{k=1}^{∞} \sqrt{q}^{k} = \sqrt{\frac{2h_{0}}{g}} \frac{1 + \sqrt{q}}{1 − \sqrt{q}} .

Se mettiamo in tale formula i valori di q = 0.75 e h_{0} = 1, si ottiene che

T = 6.29s

circa.

Limiti e Funzioni Continue

1. Per svolgere questo esercizio, calcoliamo la funzione nel punto x_{0} = −1, e

verifichiamo che

lim_{x→−1} f(x) = f(−1).

Ma f(−1) = 0, e quindi bisogna trovare, fissato ε > 0, un δ > 0 tale che se x + 1 < δ, allora |f(x)| < ε. Ma

3\sqrt{x + 1} < ε

se e solo se x + 1 < ε^{3}, quindi basta prendere δ = ε.

2. Siccome f(1) = 0, cerchiamo, fissato ε > 0, un δ > 0 per il quale |x−1| < δ

si abbia |f(x)| < ε. Ma

||x^{3}| − 1| < ε

se e solo se

1 − ε < |x^{3}| < 1 + ε

Stiamo verificando la continuità nel punto 1, quindi per δ opportuno, si dovrà avere che x è positivo. Così ad esempio, per δ = 1/2, si ha che 1/2 < x < 3/2; in tal modo si ha che |x|^{3} = x^{3}, e quindi la condizione da verificare diventa

−ε < x^{3} − 1 < ε.

A questo punto, scrivendo x^{3} − 1 = (x − 1)(x^{2} + x + 1), se δ = 1/2, otteniamo che 1/2 < x < 3/2, da cui

1 < \frac{7}{4} < x^{2} + x + 1 < \frac{19}{4} < 5.

Quindi

x − 1 < x^{3} − 1 < 5(x − 1),

da cui se prendiamo δ = min(1/2, ε/5), otteniamo quanto cercato.

3. Per verificare la continuità di f basta andare a verificare che

lim_{x→0} \frac{\sqrt{1 + x^{2}} − 1}{x^{2}} = \frac{1}{2}.

Ma questo segue grazie al limite notevole

lim_{x→0} \frac{(1 + x)^{α} − 1}{x} = α.

limite che vedremo successivamente; infatti

lim_{x→0} \frac{\sqrt{1 + x^{2}} − 1}{x^{2}} = lim_{y→0} \frac{\sqrt{1 + y} − 1}{y} = \frac{1}{2}.

4. Per verificare la continuità della funzione data basta andare a verificare la continuità nei punti −π/2 e π/2. Cioè , si deve avere

lim_{x→−π/2^{−}} f(x) = lim_{x→−π/2^{+}} f(x),

da cui segue che 2 = −a + b. Inoltre si deve avere

lim_{x→π/2^{−}} f(x) = lim_{x→π/2^{+}} f(x),

da cui a + b = 0. Quindi si ottiene a = −1 e b = 1.

5. Si deve andare a testare la continuità nei punti 0 e in 1. La condizione di continuità in 0 diventa 1 + b = a, mentre la condizione di continuità in 1 diventa \sqrt{2}+b = 1+b+a. Otteniamo quindi che a = \sqrt{2}−1 e b = \sqrt{2}−2.

6. La funzione data è prodotto di tre funzioni, x (continua ovunque), (1 − x) (continua ovunque) e [x] (continua in tutti gli intervalli del tipo (n, n + 1) con n ∈ ℤ). Quindi potrebbero esserci due discontinuità della funzione data, più precisamente in 0 e 1. Ma

lim_{x→0^{−}} f(x) = lim_{x→0^{+}} f(x) = 0,

e analogamente

lim_{x→1^{−}} f(x) = lim_{x→1^{+}} f(x) = 0.

Quindi la funzione f è continua in (−1, 2).

7. Il punto i) segue, analogamente a quanto dimostrato per i limiti notevoli sulle successioni, dalle disuguaglianze

| sin x| ≤ |x| ≤ | tan x|.

Per quanto riguarda il punto ii), segue da i) una volta posto 1 − cos x = 2 sin^{2} x/2. Il punto iii) segue da ii) in quanto

lim_{x→0} \frac{1 − cos x}{x} = lim_{x→0} x\frac{1 − cos x}{x^{2}} = 0 · \frac{1}{2}.

Il punto iv) non lo dimostriamo (in realtà può essere preso come definizione del numero e, o almeno segue è equivalente alla definizione del numero e). Il punto v) segue da iv); ad esempio, facendo la sostituzione y = 1/x, abbiamo

lim_{x→+∞} (1 + \frac{1}{x})^{x} = lim_{y→0^{+}}(1 + y)^{1/y} = e.

Per il punto vi), una volta scritto

\frac{log(1 + x)}{x} = log(1 + x)^{1/x},

il limite segue da iv) notando che la funzione log è una funzione continua. Dimostriamo vii) prima nel caso particolare in cui b = e: utilizzando la stima (4.1) si ottiene

1 ≤ \frac{e^{x} − 1}{x} ≤ \frac{1}{1 − x}

e passando al limite per x → 0 e utilizzando il teorema dei due carabinieri si conlude. Nel caso più generale vediamo una dimostrazione differente: poniamo y = b^{x} − 1, da cui

x = log_{b}(1 + y) = \frac{log(1 + y)}{log b}.

Quindi

lim_{x→0} \frac{b^{x} − 1}{x} = log b lim y → 0\frac{y}{log(1 + y)} = log b.

Per viii), si pone y = log(1 + x)^{α}, da cui

x = e^{y/α} − 1,

e quindi

lim_{x→0} \frac{(1 + x)^{α} − 1}{x} = lim_{y→0} \frac{e^{y} − 1}{e^{y/α} − 1} = α.

Il limite ix) segue dall’analogo limite dimostrato per le successioni

lim_{n→∞} \frac{n^{α}}{A^{n}} = 0,

e notando che la funzione x → x^{α}A^{−x} è monotona decrescente, almeno per x > 1/(A^{1/α} − 1). Il punto x) segue poi da ix) facendo la sostituzione y = log x.

8. Abbiamo, se α ≠ 0 (in caso contrario il limite è ovvio),

lim_{x→0} \frac{sin αx}{x} = α lim_{x→0} \frac{sin αx}{αx} = α.

9. Abbiamo

\frac{1 − cos x}{sin^{2} 3x} = \frac{1 − cos x}{x^{2}} (\frac{x}{sin 3x})^{2} ,

da cui

lim_{x→0} \frac{1 − cos x}{sin^{2} 3x} = \frac{1}{18}.

10. Per il limite i), si ha

lim_{x→0} \frac{sin x^{2}}{x} = lim_{x→0} x\frac{sin x^{2}}{x^{2}} = 0.

Il limite ii) ha il numeratore che tende a 1, così come il denominatore, quindi il limite è pari a 1. Analogamente per il limite iii). Per il limite iv), abbiamo

\frac{x sin x}{2 sin 2x^{2}} = \frac{1}{4} \frac{sin x}{x} \frac{2x^{2}}{sin 2x^{2}} ,

quindi

lim_{x→0} \frac{x sin x}{2 sin 2x^{2}} = \frac{1}{4}.

Per il limite v), scritto

\frac{tan x}{x} = \frac{sin x}{x} \frac{1}{cos x},

il limite segue. Nel limite vi), ponendo y = arcsin x, otteniamo

lim_{x→0} \frac{arcsin x}{x} = lim_{y→0} \frac{y}{sin y} = 1.

In vii), si pone y = arctan x, e si ottiene

lim_{x→0} \frac{arctan x}{x} = lim_{y→0} \frac{y}{tan y} = 1.

Per viii), scrivendo

\frac{(1 − cos 3x)^{2}}{x^{2}(1 − cos x)} = \frac{x^{2}}{1 − cos x} (\frac{1 − cos 3x}{(3x)^{2}})^{2} · 81,

otteniamo che

lim_{x→0} \frac{(1 − cos 3x)^{2}}{x^{2}(1 − cos x)} = \frac{81}{2}.

In ix), facendo la sostituzione y = \sqrt{|x|}, otteniamo

lim_{x→0} \frac{1 − cos \sqrt{|x|}}{|x|} = lim_{y→0^{+}} \frac{1 − cos y}{y^{2}} = \frac{1}{2}.

In x), facendo la sostituzione y = 1/x, otteniamo

lim_{x→+∞}(x^{2} + x + 1) sin 2/x^{2} = lim_{y→0^{+}} 2(y^{2} + y + 1)\frac{sin 2y^{2}}{2y^{2}} = 2. In xi), studiamo la funzione

sin x (log(1 − sin^{2} x/2) − log sin x) .

Usando il limite notevole

lim_{x→0} x log = 0

otteniamo quindi che

lim_{x→0} sin x (log(1 − sin^{2} x/2) − log sin x) = 0,

da cui il limite originario uguale a 1. In xii), si ha che

3\sqrt{x^{3} + 2x^{2}} (\frac{(x^{2} + 2x)^{1/2}}{(x^{3} + 2x^{2})^{1/3}} − 1) = x(1+2/x)^{1/3} ((1 + 2/x)^{1/2−1/3} − 1) = 2(1+2/x)^{1/3} \frac{(1 + 2/x)^{1/6} − 1}{2/x} → 2·1·\frac{1}{6}.

11. Abbiamo

\frac{1 + sin^{x}}{x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{sin^{2} x}{x^{2}},

quindi

lim_{x→0} \frac{1 = sin^{2} x}{x^{2}} = +∞.

12. Per i), scrivendo

\frac{5^{x} − 1}{3^{x} − 1} = \frac{5^{x} − 1}{x} \frac{x}{3^{x} − 1},

otteniamo

lim_{x→0} \frac{5^{x} − 1}{3^{x} − 1} = \frac{log 5}{log 3} = log_{3} 5.

Per ii), scritto

\frac{1 − e^{x}}{sin x} = \frac{1 − e^{x}}{x} \frac{x}{sin x},

otteniamo che

lim_{x→0} \frac{1 − e^{x}}{sin x} = −1.

Per iii), calcoliamo separatamente limite destro e limite sinistro. Sostituendo y = 1/x, abbiamo

lim_{x→0^{+}} \frac{e^{1/x} + 3}{e^{1/x} + 1} = lim_{y→+∞} \frac{1 + 3e^{−y}}{1 + e^{−y}} = 3,

mentre

lim_{x→0^{−}} \frac{e^{1/x} + 3}{e^{1/x} + 1} = lim_{y→−∞} \frac{1e^{y} + 3e}{e^{y} + 1} = 1.

\overline{111} CAPITOLO 16. LIMITI E FUNZIONI CONTINUE

Quindi il limite non esiste. Per iv),

lim_{x→0} \frac{1}{1 + e^{1/(1−x)}} = \frac{1}{1 + e}.

In v),

lim_{x→0} \frac{3x}{1 − e^{2x}} = \frac{3}{2} lim_{x→0} \frac{2x}{1 − e^{2x}} = −\frac{3}{2}.

In vi), scrivendo

x^{1/x} = e^{log x/x},

si ha che

lim_{x→0} x^{1/x} = 0.

Mentre in vii), si usa il limite notevole x), per ottenere

lim_{x→+∞} x^{1/x} = 1.

In viii), scriviamo

(\frac{x + 1}{x + 2})^{x} = (1 − \frac{1}{x + 2})^{−(x+2)(−x/(x+2))} ,

ottenendo quindi che

lim_{x→0} (\frac{x + 1}{x + 2})^{x} = e^{−1}.

In ix), scrivendo

\frac{e^{arcsin x} − e^{arctan x}}{arcsin x − arctan x} = e^{arctan x} \frac{e^{arcsin x−arctan x} − 1}{arcsin x − arctan x},

segue che

lim_{x→0} \frac{e^{arcsinx} − e^{arctan x}}{arcsin x − arctan x} = 1.

In x), ponendo y = x/2, otteniamo

lim_{x→0} (1 + \frac{2}{x})^{x} = lim_{y→0} (1 + \frac{1}{y} )^{2y} = e^{2}.

In xi), abbiamo

lim_{x→0} (1 + sin x)^{1/x} = lim_{x→0} (1 + sin x)^{(1/ sin x)(sin x/x)} = e.

In xii), facendo la sostituzione y = 1/x^{3}, otteniamo

(\frac{1}{x^{3}} )^{x/(x+1)} = y^{1/(1+y^{1/3})}.

\overline{112} Quindi tenendo presente che

lim_{y→+∞} \frac{log y}{1 + y^{1/3}} = lim_{y→+∞} \frac{log y}{y^{1/3}} \frac{y^{1/3}}{1 + y^{1/3}} = 0,

otteniamo che

lim_{x→0^{+}} (\frac{1}{x^{3}} )^{x/(x+1)} = 1.

13. In i), scritto

\frac{log(1 + 10x)}{x} = 10\frac{log(1 + 10x)}{10x},

si ottiene che

lim_{x→0} \frac{log(1 + 10x)}{x} = 10.

In ii), scrivendo cos x = 1 − 2 sin^{2} x/2, otteniamo

\frac{log cos x}{x^{2}} = \frac{log(1 − 2 sin^{2} x/2)}{−2 sin^{2} x/2} \frac{−2 sin^{2} x/2}{x^{2}},

da cui si ottiene che

lim_{x→0} \frac{log cos x}{x^{2}} = −\frac{1}{2}.

In iii), il numeratore tende a 0 mentre il denominatore tende a 2, quindi il limite è 0. In iv) scriviamo

\frac{log(1 + sin x)}{x} = \frac{log(1 + sin x)}{sin x} \frac{sin x}{x},

da cui segue che

lim_{x→0} \frac{log(1 + sin x)}{x} = 1.

In v), scriviamo

\frac{log cos x}{1 − cos x} = \frac{log(1 − sin^{2} x/2)}{−2 sin^{2} x/2} \frac{−2 sin^{2} x/2}{(x/2)^{2}} \frac{x^{2}/4}{1 − cos x},

da cui segue che

lim_{x→0} \frac{log cos x}{1 − cos x} = −\frac{1}{8}.

Ponendo y = 1/x, possiamo scrivere

x sin (log \frac{x + 1}{x + 2}) = sin (log \frac{1+y}{1+2y} ) ; log \frac{1+y}{1+2y} \frac{log (1 − \frac{y}{1+2y} )}{−y/(1 + 2y)} (−\frac{1}{1 + 2y} )

e quindi

lim_{x→+∞} x sin (log \frac{x + 1}{x + 2}) = −1.

Per vii), si ha

lim_{x→0} x sin (log \frac{x + 1}{x + 2}) = 0.

14. Eseguendo la divisione tra polinomi, abbiamo

\frac{1 − n^{2}}{2 + n} = 2 − n − \frac{3}{2 + n}.

Quindi

e^{\frac{1−n^{2}}{2+n}} = e^{2}e^{−n}e^{−3/(2+n)}

e quindi

lim_{n→+∞} e^{\frac{1−n^{2}}{2+n}} = 0.

Per il secondo limite, si noti che

tan(1/n − π/2) = −\frac{cos(1/n)}{sin(1/n)} = −\frac{cos(1/n)}{1/n} \frac{1/n}{sin(1/n)}.

Quindi il limite sarà 0.

15. Le radici sono date da

x_{1,2} = \frac{−b ± \sqrt{b^{2} − 4ac}}{a} = −\frac{b}{a} ± \sqrt{(\frac{b}{a})^{2} − \frac{4c}{a}}

e quindi le due radici tendono a 0 per a → +∞.

16. La funzione g(x) = f(x) − x è tale che g(0) = f(0) ≥ 0, mentre g(1) = f(1) − 1 ≤ 0. Quindi per il teorema dell’esistenza degli zeri per le funzioni continue, esisterà sempre un punto x_{0} ∈ [0, 1] per il quale g(x_{0}) = 0, cioè f(x_{0}) = x_{0}.

17. Dato n ∈ ℤ, si ha chiaramente che

f(n) = nf(1).

Se poi x ∈ ℚ, scrivendo x = n/m, siccome

f(mx) = mf(x) = mf(n/m),

otteniamo che

f(n/m) = \frac{f(mx)}{m} = \frac{f(n)}{m} = \frac{n}{m}f(1).

Quindi abbiamo dimostrato che per x ∈ ℚ,

f(x) = xf(1).

A questo punto sfruttiamo la continuità della funzione f e otteniamo, approssimando ogni x ∈ ℝ con una successione di numeri razionali q_{n} ∈ ℚ,

f(x) = f(lim q_{n}) = lim f(q_{n}) = lim q_{n}f(1) = xf(1).

18. Analogamente al punto precedente, se n ∈ ℤ, otteniamo che

f(n) = a^{n},

quindi per ogni x = n/m ∈ ℚ, si ha

f(x) = a^{n/m}.

Quindi per la continuità della funzione f, otteniamo che

f(x) = a^{x}, ∀x ∈ ℝ.

Derivate e Problemi di Massimo e Minimo

1. Anzitutto, abbiamo che f(1) = 1/2 e dalla definizione

f′(1) = lim_{h→0} \frac{f(1 + h) − f(h)}{h} = lim_{h→0} −\frac{2 + h}{2(2 + 2h + h^{2})} = −\frac{1}{2}.

2. Abbiamo f(1) = 2, e quindi

f′(1) = lim_{h→0} \frac{(h + 1)\sqrt{h + 4} − 2}{h} = lim_{h→0} \frac{h^{2} + 6h + 9}{(h + 1)\sqrt{h + 4} + 2} = \frac{9}{4}.

3. La funzione sin x è 2π–periodica e, dalla relazione sin(−x) = − sin x, segue che la funzione f(x) è π–periodica. Quindi basta dimostrare che la funzione f non è derivabile in 0. Ma

lim_{x→0^{+}} \frac{f(x) − f(0)}{x} = 1,

mentre

lim_{x→0^{−}} \frac{f(x) − f(0)}{x} = −1.

Quindi f non può essere derivabile.

4.

i)  f′(x) = \frac{sin x + 2x cos x}{2\sqrt{x}};

ii)  f′(x) = \frac{x^{2} − 1}{(x^{2} + x + 1)^{2}} ;

iii)  f′(x) = \frac{e^{x} cos e^{x}}{log(x − tan x^{2})} − \frac{(sin e^{x})(1 − 2x − 2x tan^{2} x^{2})}{(x − tan x^{2}) log^{2}(x − tan x^{2})};

iv)  f′(x) = \frac{4}{x} log x^{2};

v)  f′(x) = \frac{1 + x^{2}}{1 − x^{2} + x^{4}} ;

vi)  f′(x) = \frac{sin x}{| sin x|}(2 cos^{2} x + cos x − 1);

vii)  f′(x) = \frac{1}{2};

viii)  f′(x) = (1 + \frac{1}{x})^{x} (log (\frac{x + 1}{x} − \frac{1}{x + 1}));

ix)  f′(x) = (sin x)^{tan x} (\frac{log sin x}{cos^{2} x} + 1);

x)  f′(x) = −\frac{2x}{(1 + x^{2})\sqrt{x^{4} + 2x^{2}}} ;

xi)  f′(x) = \frac{2x}{x^{2} − 1};

xii)  f′(x) = \sqrt{\frac{(x + 1)^{3}}{x − 1}} ;

xiii)  f′(x) = e^{\sqrt{x}} (\frac{sin 2x + cos 3x}{2\sqrt{x}} + 2 cos 2x − 3 sin 3x);
xiv)  f′(x) = x(x^{x})^{x}(2 log x + 1);

xv)  f′(x) = \frac{(log x)^{1/logx−1}}{x} (1 − \frac{log log x}{log x});

xvi)  f′(x) = 2|x|;

xvii)  f′(x) = \frac{2x^{2} + 1}{x};

xviii)  f′(x) = −\frac{2}{x(log x − 1)^{2}}
xix)  f′(x) = cos 2x + 1;
xx)  f′(x) = \frac{2}{1 + sin 2x};
xxi)  f′(x) = \frac{1 − sin x}{cos^{2} x};

xxii)  f′(x) = \frac{1 − sin^{2} x(1 + log sin x)}{sin x − sin^{3} x};

xxiii)  f′(x) = (arctan x)^{x^{2}+1}(2x log arctan x + 1).

5. Spezziamo lo studio della funzione data nello studio delle due funzioni

f_{1}(x) = x^{3} + x^{2} + x + 2, x ∈ [−3, 0],
f_{2}(x) = x^{3} + x^{2} − x + 2, x ∈ [0, 4].

Per trovare i massimi e minimi della funzione f_{1} nell’intervallo dato, calcoliamo dapprima i valori della funzione negli estremi dell’intervallo;

f_{1}(−3) = −13, f_{1}(0) = 2.

Vediamo ora se la funzione ha massimi o minimi all’interno. Calcoliamo quindi la derivata e la poniamo uguale a 0.

f′_{1}(x) = 3x^{2} + 2x + 1 = 0.

Si nota subito che la derivata non si annulla mai, quindi la funzione f_{1} è sempre strettamente crescente, quindi il suo massimo sarà raggiunto in 0 con valore 2, mentre il suo minimo sarà raggiunto in −3 con valore −13. Passiamo ora allo studio di f_{2}. I suoi valori agli estremi sono

f_{2}(0) = 2, f_{2}(4) = 78.

Cerchiamo massimi e minimi interni:

f′_{2}(x) = 3x^{2} + 2x − 1 = 0.

Questa equazione ha due soluzioni, una positiva, 1/3, e una negativa, −1, che scartiamo in quanto fuori dell’intervallo considerato. Quindi il punto 1/3 sarà un punto di minimo locale con

f_{2}(1/3) = \frac{49}{27} < 2.

In definitiva, la funzione f avrà quindi un massimo in 4 e minimo in −3.

6. La funzione data è definita, per via della presenza della radice, nell’intervallo [−1, 1]. Quindi i massimi e i minimi andranno cercati nell’intervallo chiuso e limitato [−1, 1]. Dividiamo il problema in due problemi, causa la presenza del valore assoluto. Abbiamo le due funzioni

f_{1}(x) = \sqrt{1 − x^{2}} − x − \frac{1}{2}, su [−1, −1/2],

f_{2}(x) = \sqrt{1 − x^{2}} + x + \frac{1}{2}, su [−1/2, 1].

Vediamo anzitutto f_{1}; abbiamo f_{1}(−1) = 1/2, mentre f_{1}(−1/2) = \sqrt{3}/4. La derivata di f_{1} è

f′_{1}(x) = −\frac{x}{\sqrt{1 − x^{2}}} − 1

che si annulla −\sqrt{2}/2 (l’unico zero della derivata incluso nell’intervallo [−1, −1/2]; in corrispondenza di tale punto il valore della funzione f_{1} è −1/2. Quindi,

min_{x∈[−1,−1/2]} f_{1}(x) = −\frac{1}{2}, assunto per x = −\frac{\sqrt{2}}{2},

max_{x∈[−1,−1/2]} f_{1}(x) = \frac{\sqrt{3}}{4}, assunto per x = −\frac{1}{2}.

Per quanto riguarda f_{2} invece, abbiamo che f_{2}(−1/2) = \sqrt{3}/4, mentre f_{2}(1) = 3/2. Per quanto riguarda la derivata, si ha che

f′_{2}(x) = −\frac{x}{\sqrt{1 − x^{2}}} + 1

che si annulla in \sqrt{2}/2, con f_{2}(\sqrt{2}/2) = \sqrt{2} + 1/2. Quindi

min_{x∈[−1/2,1]} f_{2}(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}, assunto per x = −\frac{1}{2},

max_{x∈[−1/2,1]} f_{2}(x) = \sqrt{2} + \frac{1}{2}, assunto per x = \frac{\sqrt{2}}{2}.

Quindi il massimo per f sarà assunto in \sqrt{2}/2 con valore pari a \sqrt{2} + 1/2, mentre il minimo sarà assunto in −\sqrt{2}/2 con valore −1/2.

7. Siccome

lim_{x→−∞} f(x) = −∞, lim_{x→+∞} f(x) = +∞,

sarà chiaro che la funzione non ammette massimo o minimo assoluti. L’unica cosa che si potrà ricercare, sono i massimi e i minimi locali. Per quanto riguarda la derivata di f, abbiamo

f′(x) = 1 − \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}} .

Tale derivata si annulla in 1 e −1. Siccome la derivata per x compreso tra questi due valori è negativa mentre la derivata è positiva per |x| > 1, allora 1 e −1 sono rispettivamente punti di massimo e minimo locale per la f, con f(−1) = 2 e f(1) = −2.

8. Considerando la funzione

f(x) = arctan(x) + arctan (\frac{1}{x}) ,

abbiamo che

f′(x) = \frac{1}{1 + x^{2}} − \frac{1}{x^{2}} \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} = 0.

Quindi la funzione è costante e in particolare

f(x) = f(1) = arctan(1) + arctan(1) = \frac{π}{4} + \frac{π}{4} = \frac{π}{2} .

9. Detta f(x) = arcsin(x) + arccos(x),

otteniamo che

f′(x) = \frac{1}{\sqrt{1 − x^{2}}} − \frac{1}{\sqrt{1 − x^{2}}} = 0,

quindi la funzione è costante e in particolare

f(x) = f(0) = arcsin(0) + arccos(0) = \frac{π}{2} .

10. Facendo la derivata della funzione

f(x) = 2 arctan(x) + arcsin (\frac{2x}{1 + x^{2}} ) ,

otteniamo

f′(x) = \frac{2}{1 + x^{2}} + \frac{2}{1 + x^{2}} \frac{1 − x^{2}}{|1 − x^{2}|}.

Quindi, per x^{2} > 1, si ha che la derivata si annulla, e quindi la funzione è costante. Siccome

lim_{x→−∞} f(x) = arctan(−∞) + arcsin(0) = −\frac{π}{2} ,

mentre

lim_{x→+∞} f(x) = arctan(+∞) + arcsin(0) = \frac{π}{2} ,

segue la conclusione dell’esercizio.

11. Dimostreremo la prima identità , le altre due si dimostrano in modo analogo. Ci sono due modi per dimostrare tale identità . Il primo modo consiste semplicemente nel calcolare

sinh(log(x + \sqrt{(x^{2} + 1)})).

Se questa quantità è pari a x, allora dalla definizione di arcsin h otteniamo l’identità . Ma

sinh(log(x + \sqrt{(x^{2} + 1)})) = \frac{e^{log(x+\sqrt{(x^{2}+1)})} − e^{− log(x+\sqrt{(x^{2}+1)})}}{2}

= \frac{log(x + \sqrt{(x^{2} + 1)}) − \frac{1}{log(x+\sqrt{(x^{2}+1)})}}{2}
= \frac{2x^{2} + 2x\sqrt{x^{2} + 1}}{2(x + \sqrt{x^{2} + 1})} = x.

Il secondo metodo, consiste nell’usare le derivate. Le due funzioni coincidono per x = 0 e sono uguali a 0. Se le loro derivate coincidono, allora le due funzioni sono uguali. Ma

(arcsin hx)′ = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}},

mentre

(log(x + \sqrt{x^{2} + 1}))′ = \frac{1}{x + \sqrt{x^{2} + 1}} (1 + \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}) = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}.

12. Imponiamo dapprima la condizione di continuità :

lim_{x→0^{+}} f(x) = b = lim_{x→0^{−}} f(x) = 0,

quindi b = 0. Per la derivabilità ,

lim_{x→0^{+}} f′(x) = a = lim_{x→0^{−}} f′(x) = 0,

da cui a = 0.

13. Per la continuità ,

lim_{x→0^{+}} f(x) = 1 = lim_{x→0^{−}} f(x) = b,

quindi b = 1. Per la derivabilit

lim_{x→0^{+}} f′(x) = 1 = lim_{x→0^{−}} f′(x) = a,

da cui a = 1.

14. La condizione di continuità si riduce a

8 + b = 16a + 11a,

mentre la condizione di derivabilità

4 = 24a + 11a.

Gli unici due numeri che soddisfano queste condizioni sono a = 4/25 e b = 132/25.

15. La condizione di continuità si riduce a

0 = 0,

cioè la funzione data è comunque sempre continua indipendentemente dai parametri a e b. Per la derivabilità , otteniamo

a = b.

16. L’unica cosa che si sta richiedendo è che la derivata della funzione data sia pari ad 1 nel 0. Calcoliamo quindi la derivata prima;

f′(x) = \frac{a}{a^{2} + x^{2}} + \frac{2x}{1 + x^{2}} .

Quindi

f′(0) = \frac{1}{a}.

Quindi la condizione è verificata se a = 1.

17. Per dimostrare l’invertibilità della funzione data, mostriamo che essa è strettamente monotona. Calcoliamo quindi la derivata prima

f′(x) = 3x^{2} + 3 ≥ 3 > 0.

In particolare, la derivata prima non si annullerà mai (è sempre almeno pari a 3). Quindi, dato che f è strettamente monotona crescente, ammetterà una inversa, anch’essa monotona crescente. Tale inversa sarà anche continua ed in virtù della formula

(f^{−1}(x))′ = \frac{1}{f′(f^{−1}(x))},

la funzione inversa sarà anche derivabile. In particolare, siccome f^{−1}(1) = 0, avremo che

(f^{−1}(1)) = \frac{1}{3}.

18. Siccome f(0) = 1 mentre f(1) = 1 − sin 1 − 3 < 0, allora per il teorema dell’esistenza degli zeri di una funzione continua, esisterà un punto x_{0} ∈ (0, 1) per il quale f(x_{0}) = 0.

19. Siccome f(0) = 0 e f(π/4) = \sqrt{2}/2 + π/4 > 1/2, allora siccome tutti i valori tra questi due numeri saranno assunti da f, in quanto funzione continua (corollario del teorema dell’esistenza degli zeri); in particolare esisterà un punto x_{0} ∈ (0, π/4) per il quale f(x_{0}) = 1/2.

20. La funzione data è tale che f(0) = 0 e f(π/2) = 0, però tale funzione non è derivabile in tutti i punti interni a (0, π/2). Infatti si ha un problema in π/4 in quanto

lim_{x→π/4^{−}} f′(x) = \frac{\sqrt{2}}{2},

mentre

lim_{x→π/4^{+}} f′(x) = −\frac{\sqrt{2}}{2}.

21. Prendendo due punti x, y ∈ ℝ con x < y, applichiamo il teorema di Lagrange nell’intervallo [x, y], per avere l’esistenza di un punto x_{0} ∈ [x, y] per il quale

\frac{sin y − sin x}{y − x} = sin′(x_{0}) = cos(x_{0}).

Quindi, siccome | cos(x_{0})| ≤ 1, segue la tesi.

22. La funzione limite è data da

f(x) = \{ \begin{matrix}0 & se x = 0 \\ x^{2} & se x < 0 \\ x & se x > 0. \end{matrix}

Quindi la funzione f è continua ma non derivabile.

23. Poniamo di avere un rettangolo generico di lati x e y. La condizione che il perimetro sia fissato, diventa

2x + 2y = P,

con P ∈ ℝ numero reale fissato. Quindi, l’area del rettangolo diventa

A(x) = \frac{x(P − 2x)}{2}.

Questa è una funzione definita in [0, P/2] e ne cerchiamo il massimo. Valutiamola negli estremi, A(0) = 0 = A(P/2). Per quanto riguarda la derivata, otteniamo

A′(x) = \frac{P}{2} − 2x,

che si annulla per x = P/4 (quindi y = P/4) ed in tale punto si ha A(P/4) = P^{2}/16.

24. Poniamo il raggio della base del cilindro pari a r e l’altezza del cilindro pari a h. La condizione che la superficie laterale sia pari a S diventa

πr^{2} + 2πrh = S,

da cui

h = \frac{S − πr^{2}}{2πr} .

Il volume del cilindro diventa quindi

V (r) = πr^{2}h = \frac{r(S − πr^{2})}{2}.

Tale funzione va studiata nell’intervallo [0, \sqrt{S/π}]; abbiamo

V (0) = V (\sqrt{S/π}) = 0.

La derivata diventa quindi

V′(r)\frac{S − 3πr^{3}}{2} .

Tale derivata si annulla per r = \sqrt{S/(3π)}.

25. La condizione è , detti x e y i due lati del rettangolo, xy = A con A numero reale fissato. La diagonale è quindi data da

D(x) = x^{2} + \frac{A^{2}}{x^{2}} .

Tale funzione è definita su (0, +∞). La derivata è data da

D′(x) = \frac{2(x^{4} − A^{2})}{x^{3}},

che si annulla per x = \sqrt{A} (da cui y = \sqrt{A}).

26. Di un settore circolare le variabili sono il raggio r del cerchio e l’ampiezza x del settore. Il perimetro del settore circolare è dato da

r(x + 2) = P

dove P sarà quindi un numero reale fissato. L’area del settore è data da

A(x) = \frac{xr^{2}}{2} = \frac{P x}{2(x + 2)^{2}} .

Tale funzione è definita per x ∈ [0, 2π]; abbiamo che A(0) = 0 = A(2π). La derivata sarà data da

A′(x) = \frac{2P (2 − x)}{(x + 2)^{3}}.

Tale derivata si annulla per x = 2 che sarà quindi un punto di massimo.

27. Scritto b = 5 − a, la lunghezza dell’ipotenusa al quadrato sarà data da

I(a) = 2a^{2} − 10a + 25,

con a ∈ [0, 5]. Si ha che I(0) = I(5) = 25, mentre la derivata di I sarà

I′(a) = 4a − 10,

che si annulla per a = 5/2 (e quindi b = 5/2), che sarà l’ipotenusa di lunghezza più piccola.

28. Il volume del parallelepipedo è dato da

V (r) = (a − 2r)(b − 2r)r.

Tale funzione è definita in r ∈ [0, min(a, b)/2]. La derivata è data da

V′(r) = 12r^{2} − 4(a + b)r + ab.

Tale derivata si annulla per

r = \frac{(a + b) + \sqrt{a^{2} + b^{2} − ab}}{6},

che sarà quindi un punto di massimo.

Grafici di Funzioni

I grafici delle funzioni proposte sono dati in Appendice ??; diamo qui una piccola traccia dei calcoli che portano a tali grafici.

1. i) Dominio: D = (0, +∞). ii) Simmetrie e periodicità : non ci sono simmetrie né periodicità . iii) Intersezione con gli assi: f(x) = 0 se e solo se x = 1/e. iv) Segno: la funzione è positiva per x ≥ 1/e.

v) Limiti agli estremi del dominio:

lim_{x→0} f(x) = −∞, lim_{x→+∞} f(x) = 0.

vi) Asintoti obliqui: non ci sono asintoti obliqui. vii) Derivata:

f′(x) = −\frac{log x}{x^{2}}.

viii) Zeri della derivata: f′(x) = 0 se e solo se x = 1. ix) Segno della derivata: la derivata è positiva per x ≤ 1, quindi x = 1 è

un massimo con f(1) = 1.

x) Derivata seconda:

f′′(x) = \frac{2 log x − 1}{x^{3}}.

xi) Zeri della derivata seconda: f′′(x) = 0 se e solo se x = \sqrt{e}. xii) Segno della derivata seconda: la derivata seconda è positiva per x ≥

CAPITOLO 18. GRAFICI DI FUNZIONI

\sqrt{e}. 2. i) Dominio: D = (−∞, +∞). ii) Simmetrie e periodicità : non ci sono simmetrie né periodicità . iii) Intersezione con gli assi: f(x) = 0 se e solo se x = 0. iv) Segno: la funzione è sempre positiva.

v) Limiti agli estremi del dominio:

lim_{x=→−∞} f(x) = 0, lim_{x→+∞} f(x) = +∞.

vi) Asintoti obliqui: non ci sono asintoti obliqui. vii) Derivata:

f′(x) = \{ \begin{matrix}\frac{xe^{x} + 1}{(x + 1)^{2}} & per x ≥ 0 \\ \frac{(x − 2)e^{x} + 1}{(1 − x)^{2}} & per x < 0. \end{matrix}

viii) Zeri della derivata: f′(x) = 0 in un unico punto x_{1} < 0 (si trova per

via grafica). ix) Segno della derivata: la derivata è positiva per x ≤ x_{1} e per x ≥ 0,

quindi il punto x_{1} è un punto di massimo e 0 è un punto di minimo.

x) Derivata seconda:

f′′(x) = \{ \begin{matrix}\frac{(x^{2} + 1)e^{x} − 2}{(x + 1)^{3}} & per x ≥ 0 \\ \frac{(4x − 5 − x^{2})e^{x} + 2}{(1 − x)^{3}} & per x < 0. \end{matrix}

xi) Zeri della derivata seconda: f′′(x) = 0 in due punti, uno x_{2} < x_{1} < 0

ed uno x_{3} > 0. xii) Segno della derivata seconda: la derivata seconda è positiva per x <

x_{2} e per x > x_{3}. 3.

i) Dominio: D = (−∞, −2) ∪ (−2, +∞). ii) Simmetrie e periodicità : non ci sono simmetrie né periodicità . iii) Intersezione con gli assi: f(x) = 0 se e solo se x = (3 ± \sqrt{33})/2. iv) Segno: la funzione è positiva per −2 < x < (3 − \sqrt{33})/2 e per x >

(3 + \sqrt{33})/2.

v) Limiti agli estremi del dominio:

lim_{x→−∞} f(x) = −∞, lim_{x→−2^{−}} f(x) = −∞,

lim_{x→−2^{+}} f(x) = +∞, lim_{x→+∞} f(x) = +∞.

vi) Asintoti obliqui: la retta y = x − 5 è un asintoto obliquo sia a −∞

che a +∞. vii) Derivata:

f′(x) = \frac{x^{2} + 4x}{(x + 2)^{2}} .

viii) Zeri della derivata: f′(x) = 0 se e solo se x = 0, −4. ix) Segno della derivata: la derivata è positiva per x ≤ −4 e per x ≥ 0,

quindi si ha un massimo in −4 ed un minimo in 0.

x) Derivata seconda:

f′′(x) = \frac{8}{(x + 2)^{3}} .

xi) Zeri della derivata seconda: la derivata seconda non si annulla mai. xii) Segno della derivata seconda: la derivata seconda è positiva per x >

−2. 4.

i) Dominio: D = [−1/2, +∞). ii) Simmetrie e periodicità : non ci sono simmetrie né periodicità . iii) Intersezione con gli assi: f(x) = 0 se e solo se x = 0. iv) Segno: la funzione è positiva per x ≥ 0.

v) Limiti agli estremi del dominio:

lim_{x→+∞} f(x) = \frac{π}{2} .

vi) Asintoti obliqui: non ci sono asintoti obliqui. vii) Derivata:

f′(x) = \frac{1}{(x + 1)\sqrt{2x + 1}},

tale derivata è definita in (−1/2, +∞). viii) Zeri della derivata: la derivata non si annulla mai. ix) Segno della derivata: la derivata è sempre positiva.

x) Derivata seconda:

f′′(x) = −\frac{3x + 2}{(x + 1)^{2}(2x + 1)^{3/2}} .

xi) Zeri della derivata seconda: non si annulla mai in D. xii) Segno della derivata seconda: la derivata seconda è sempre negativa.

5. i) Dominio: D = (0, 1/e) ∪ (1/e, +∞). ii) Simmetrie e periodicità : non ci sono simmetrie né periodicità . iii) Intersezione con gli assi: f(x) = 0 se e solo se x = 1. iv) Segno: la funzione è positiva per 0 < x < 1/e e per x ≥ 1.

v) Limiti agli estremi del dominio:

lim_{x→0^{+}} f(x) = 1, lim_{x→1/e^{−}} f(x) = +∞,

lim_{x→1/e^{−}} f(x) = −∞, lim_{x→+∞} f(x) = 1.

vi) Asintoti obliqui: non ci sono asintoti obliqui. vii) Derivata:

f′(x) = \frac{1}{x(1 + log x)^{2}} .

viii) Zeri della derivata: la derivata non si annulla mai. ix) Segno della derivata: la derivata è sempre positiva in D.

x) Derivata seconda:

f′′(x) = −\frac{log x + 3}{x^{2}(1 + log x)^{3}} .

xi) Zeri della derivata seconda: la derivata seconda si annulla per x = e^{−3}. xii) Segno della derivata seconda: la derivata seconda è positiva per 1/e <

x ≤ e. 6.

i) Dominio: D = (−∞, 0) ∪ (0, +∞). ii) Simmetrie e periodicità : non ci sono simmetrie né periodicità . iii) Intersezione con gli assi: la funzione non si annulla mai. iv) Segno: la funzione è positiva per x > 0.

v) Limiti agli estremi del dominio:

lim_{x→−∞} f(x) = −∞, lim_{x→0^{−}} f(x) = −∞,

lim_{x→0^{+}} f(x) = +∞, lim_{x→+∞} f(x) = +∞.

vi) Asintoti obliqui: la retta y = x+1 è un asintoto obliquo per la funzione

sia a −∞ che a +∞. vii) Derivata:

f′(x) = 1 − \frac{1}{x^{2}} .

viii) Zeri della derivata: la derivata si annulla per x = ±1. ix) Segno della derivata: la derivata è positiva per x ≤ −1 e per x ≥ 1.

x) Derivata seconda:

f′′(x) = \frac{2}{x^{3}} .

xi) Zeri della derivata seconda: la derivata seconda non si annulla mai. xii) Segno della derivata seconda: la derivata seconda è positiva per x ≥ 0.

7. i) Dominio: D = (−∞, −1) ∪ (−1, 1) ∪ (1, +∞). ii) Simmetrie e periodicità : non ci sono simmetrie né periodicità . iii) Intersezione con gli assi: f(x) = 0 se e solo se x = − ^{3}\sqrt{3}. iv) Segno: la funzione è positiva per − ^{3}\sqrt{3} ≤ x < −1 e per x > 1.

v) Limiti agli estremi del dominio:

lim_{x→−∞} f(x) = −∞, lim_{x→−1^{−}} f(x) = −∞,

lim_{x→−1^{+}} f(x) = +∞, lim_{x→1^{−}} f(x) = −∞,

lim_{x→1^{+}} f(x) = +∞, lim_{x→+∞} f(x) = +∞.

vi) Asintoti obliqui: la retta y = x è asintoto obliquo sia a −∞ che a +∞. vii) Derivata:

f′(x) = \frac{x(x^{3} − 3x − 6)}{(x^{2} − 1)^{2}}.

viii) Zeri della derivata: la derivata si annulla solo per x = 0 e in un secondo punto x_{1} > 0 (la funzione x^{3} − 3x − 6 ha massimi e minimi locali entrambi negativi).

ix) Segno della derivata: la derivata è positiva per x ≤ 0 e per x ≥ x_{1}.

Quindi 0 è un punto di massimo e x_{1} è un punto di minimo. 8.

i) Dominio: D = (−∞, 0) ∪ [1, +∞). ii) Simmetrie e periodicità : non ci sono né simmetrie né periodicità . iii) Intersezione con gli assi: f(x) = 0 se e solo se x = 1. iv) Segno: la funzione è sempre positiva.

v) Limiti agli estremi del dominio:

lim_{x→−∞} f(x) = +∞, lim_{x→0^{−}} f(x) = +∞,

lim_{x→+∞} f(x) = +∞.

vi) Asintoti obliqui: la retta y = x è asintoto obliquo a +∞, mentre la

retta y = −x è asintoto obliquo a −∞. vii) Derivata:

f′(x) = \frac{2x^{3} + 1}{2x^{2}} \sqrt{\frac{x}{x^{3} − 1}}

tale derivata è definita in (−∞, 0) ∪ (1, +∞). viii) Zeri della derivata: la derivata si annulla in −1/( ^{3}\sqrt{2}). ix) Segno della derivata: la derivata è positiva per x ≥ −1/( ^{3}\sqrt{2}).

9. i) Dominio: D = (−1, 1). ii) Simmetrie e periodicità : la funzione è dispari, ma non periodica. iii) Intersezione con gli assi: f(x) = 0 se e solo se x = 0. iv) Segno: la funzione è positiva per −1 < x ≤ 0.

v) Limiti agli estremi del dominio:

lim_{x→−1^{+}} f(x) = +∞, lim_{x→1^{−}} f(x) = −∞.

vi) Asintoti obliqui: non ci sono asintoti obliqui. vii) Derivata:

f′(x) = \frac{2}{x^{2} − 1}.

viii) Zeri della derivata: la derivata non si annulla mai. ix) Segno della derivata: la derivata è sempre negativa.

x) Derivata seconda:

f′′(x) = −\frac{4x}{(x^{2} − 1)^{2}} .

xi) Zeri della derivata seconda: la derivata seconda si annulla per x = 0. xii) Segno della derivata seconda: la derivata seconda è positiva per −1 <

x ≤ 0. 10.

i) Dominio: D = (−∞, 0) ∪ (0, +∞). ii) Simmetrie e periodicità : non ci sono né simmetrie né periodicità . iii) Intersezione con gli assi: f(x) = 0 se e solo se x = 1. iv) Segno: la funzione è positiva per x < 0 e per x ≥ 1.

\overline{132}

v) Limiti agli estremi del dominio:

lim_{x→−∞} f(x) = 0, lim_{x→0^{−}} f(x) = +∞,

lim_{x→0^{+}} f(x) = −∞, lim_{x→+∞} f(x) = 0.

vi) Asintoti obliqui: non ci sono asintoti obliqui. vii) Derivata:

f′(x) = \frac{1}{3} (\frac{x − 1}{x^{3}})^{−2/3} \frac{3 − 2x}{x^{4}}

il dominio della derivata è (−∞, 0) ∪ (0, 1) ∪ (1 + ∞). viii) Zeri della derivata: la derivata si annulla per x = 3/2. ix) Segno della derivata: la derivata è positiva per x < 0 e per 1 < x ≤

3/2, quindi 3/2 è un punto di massimo. 11.

i) Dominio: D = (−∞, 1) ∪ (1, +∞). ii) Simmetrie e periodicità : non ci sono simmetrie né periodicità . iii) Intersezione con gli assi: f(x) = 0 se e solo se x = 0. iv) Segno: la funzione è sempre positiva.

v) Limiti agli estremi del dominio:

lim_{x→−∞} f(x) = 1, lim_{x→−1^{−}} f(x) = +∞,

lim_{x→−1^{+}} f(x) = +∞, lim_{x→+∞} f(x) = 1.

vi) Asintoti obliqui: non ci sono asintoti obliqui. vii) Derivata:

f′(x) = \{ \begin{matrix}−\frac{1}{(x − 1)^{2}} & per x ≤ 0 e per x > 1 \\ \frac{1}{(x − 1)^{2}} & per 0 ≤ x < 1. \end{matrix}

viii) Zeri della derivata: la derivata non si annulla mai. ix) Segno della derivata: la derivata è positiva per 0 ≤ x < 1.

x) Derivata seconda:

f′′(x) = \{ \begin{matrix}\frac{1}{(x − 1)^{3}} & per x ≤ 0 e per x > 1 \\ −\frac{1}{(x − 1)^{3}} & per 0 ≤ x < 1. \end{matrix}

xi) Zeri della derivata seconda: la derivata seconda non si annulla mai. xii) Segno della derivata seconda: la derivata seconda è positiva per 0 ≤

x < 1 e per x > 1. 12.

i) Dominio: D = (−∞, +∞). ii) Simmetrie e periodicità : la funzione è pari, ma non periodica. iii) Intersezione con gli assi: f(x) = 0 se e solo se x = 0. iv) Segno: la funzione è sempre positiva.

v) Limiti agli estremi del dominio:

lim_{x→−∞} f(x) = 0, lim_{x→+∞} f(x) = 0.

vi) Asintoti obliqui: non ci sono asintoti obliqui. vii) Derivata:

f′(x) = \{ \begin{matrix}−\frac{4}{x^{5}} & per x < −1 e per x > 1, \\ 2x & per − 1 < x < 1, \end{matrix}

il dominio della derivata è inoltre (−∞, −1) ∪ (−1, 1) ∪ (1, +∞) viii) Zeri della derivata: la derivata si annulla per x = 0. ix) Segno della derivata: la derivata è crescente per x < −1 e per 0 ≤ x <

1, quindi i punti −1 e 1 sono punti di massimo mentre 0 è punto di minimo.

x) Derivata seconda:

f′′(x) = \{ \begin{matrix}\frac{20}{x^{6}} & per x < −1 e per x > 1, \\ 2 & per − 1 < x < 1, \end{matrix}

xi) Zeri della derivata seconda: la derivata seconda non si annulla mai. xii) Segno della derivata seconda: la derivata seconda è sempre positiva.

13. i) Dominio: D = (−∞, 1) ∪ (1, +∞). ii) Simmetrie e periodicità : non ci sono né simmetrie né periodicità . iii) Intersezione con gli assi: f(x) = 0 se e solo se x = − ^{3}\sqrt{3}. iv) Segno: la funzione è positiva per x ≤ − ^{3}\sqrt{3} e per x > 1. v) Limiti agli estremi del dominio:

lim_{x→−∞} f(x) = +∞, lim_{x→1^{−}} f(x) = −∞,

lim_{x→1^{+}} f(x) = +∞, lim_{x→+∞} f(x) = +∞.

vi) Asintoti obliqui: non ci sono asintoti obliqui. vii) Derivata:

f′(x) = \frac{2x^{3} − 3x^{2} − 3}{(x − 1)^{2}}.

viii) Zeri della derivata: siccome la funzione a numeratore nella derivata ha massimo locale in 0 con valore negativo e minimo locale in 1 con valore sempre negativo, ne segue che esiste un unico punto x_{1} > 1 tale che la derivata si annulla in x_{1}.

ix) Segno della derivata: la derivata è positiva per x ≥ x_{1}, quindi x_{1} è un

punto di minimo.

x) Derivata seconda:

f′′(x) = \frac{2x^{3} − 6x^{2} + 6x + 6}{(x − 1)^{3}}.

xi) Zeri della derivata seconda: siccome la derivata della funzione a numeratore è pari a 6(x − 1)^{2}, ne segue che la funzione a numeratore è sempre crescente, quindi, siccome in 0 è positiva, ne segue che esiste un unico punto x_{2} < 0 per il quale la derivata seconda do f si annulla.

xii) Segno della derivata seconda: la derivata seconda è positiva per x ≤

x_{2} e per x > 1. 14.

i) Dominio: D = (−∞, −1] ∪ [0, +∞). ii) Simmetrie e periodicità : non ci sono simmetrie né periodicità . iii) Intersezione con gli assi: f(x) = 0 se e solo se x = 0. iv) Segno: la funzione è sempre positiva.

v) Limiti agli estremi del dominio:

lim_{x→−∞} f(x) = +∞. lim_{x→+∞} f(x) = \frac{1}{2}.

vi) Asintoti obliqui: la retta y = −2x − 1/2 è asintoto obliquo a −∞. vii) Derivata:

f′(x) = \frac{2x + 1}{2\sqrt{x^{2} + x}} − 1,

il dominio della derivata è (−∞, −1) ∪ (0, +∞). viii) Zeri della derivata: la derivata non si annulla mai. ix) Segno della derivata: la derivata è positiva per x > 0.

x) Derivata seconda:

f′′(x) = −\frac{1}{4(x^{2} + x)^{3/2}} .

xi) Zeri della derivata seconda: la derivata seconda non si annulla mai. xii) Segno della derivata seconda: la derivata seconda è sempre negativa.

15. i) Dominio: D = (−∞, −1/4) ∪ (−1/4, +∞). ii) Simmetrie e periodicità : non ci sono simmetrie né periodicità . iii) Intersezione con gli assi: f(x) = 0 se e solo se x = 0. iv) Segno: la funzione è positiva per x < −1/4 e per x ≥ 0.

v) Limiti agli estremi del dominio:

lim_{x→−∞} f(x) = +∞, lim_{x→−1/4^{−}} f(x) = +∞,

lim_{x→−1/4^{+}} f(x) = −∞, lim_{x→+∞} f(x) = 0.

vi) Asintoti obliqui: non ci sono asintoti obliqui. vii) Derivata:

f′(x) = \frac{(1 − x − 4x^{2})e^{−x}}{(4x + 1)^{2}} .

viii) Zeri della derivata: la derivata si annulla per x = (−1 ± \sqrt{17})/8. ix) Segno della derivata: la derivata è positiva per

(−1 − \sqrt{17})/8 ≤ x < −1/4

e per

−1/4 < x ≤ (−1 + \sqrt{17})/8.

16. i) Dominio: D = (−∞, 0) ∪ (0, +∞). ii) Simmetrie e periodicità : la funzione è pari, ma non periodica. iii) Intersezione con gli assi: la funzione non si annulla mai. iv) Segno: la funzione è sempre positiva.

v) Limiti agli estremi del dominio:

lim_{x→−∞} f(x) = 0, lim_{x→0^{−}} f(x) = 1,

lim_{x→0^{+}} f(x) = 1, lim_{x→+∞} f(x) = 0.

vi) Asintoti obliqui: non ci sono asintoti obliqui. vii) Derivata:

f′(x) = \frac{x − (1 + x^{2}) arctan x}{x^{2}(1 + x^{2})}.

viii) Zeri della derivata: la derivata non si annulla mai (si confrontino i grafici delle funzioni arctan x e x/(x^{2} + 1), andando a notare che la derivata della prima è sempre maggiore della derivata della seconda).

ix) Segno della derivata: la derivata è positiva per x < 0, quindi 0 è un

punto di massimo. 17.

i) Dominio: D = (−∞, +∞). ii) Simmetrie e periodicità : la funzione è 2π–periodica, ma non ha sim-

metrie. Quindi studiamo la funzione nel dominio [0, 2π]. iii) Intersezione con gli assi: f(x) = 0 se e solo se x = 3π/4, 7π/4. iv) Segno: la funzione è positiva per 0 ≤ x ≤ 3π/4 e per 7π/4 ≤ x ≤ 2π.

v) Limiti agli estremi del dominio: essendo la funzione periodica e definita in tutta la retta reale, non bisogna fare i limiti agli estremi.

vi) Asintoti obliqui: non ci sono asintoti obliqui. vii) Derivata:

f′(x) = cos x − sin x.

viii) Zeri della derivata: la derivata si annulla per x = π/4, 5π/4. ix) Segno della derivata: la derivata è positiva per 0 ≤ x ≤ π/4 e per

5π/4 ≤ x ≤ 2π, quindi π/4 è un punto di massimo, mentre 5π/4 è un punto di minimo.

x) Derivata seconda:

f′′(x) = − sin x − cos x.

xi) Zeri della derivata seconda: la derivata seconda si annulla per x =

3π/4, 7π/4. xii) Segno della derivata seconda: la derivata seconda è positiva per

3π/4 ≤ x ≤ 7π/4.

18. i) Dominio: D = (−∞, −\sqrt{2}) ∪ (−\sqrt{2}, −1) ∪ (1, \sqrt{2}) ∪ (\sqrt{2}, +∞). ii) Simmetrie e periodicità : la funzione è pari, ma non periodica. iii) Intersezione con gli assi: f(x) = 0 se e solo se x = ±\sqrt{1 + 1/e} e

x = ±\sqrt{1 + e}. iv) Segno: la funzione è positiva per x ≤ −\sqrt{1 + e}, per −\sqrt{1 + 1/e} ≤ x <

−1, per 1 < x ≤ \sqrt{1 + 1/e} e per x ≥ \sqrt{1 + e}.

v) Limiti agli estremi del dominio:

lim_{x→−∞} f(x) = +∞, lim_{x→−\sqrt{2}^{−}} f(x) = −∞,

lim_{x→−\sqrt{2}^{+}} f(x) = −∞, lim_{x→−1^{−}} f(x) = +∞,

lim_{x→1^{+}} f(x) = +∞, lim_{x→\sqrt{2}^{−}} f(x) = −∞,

lim_{x→\sqrt{2}^{+}} f(x) = −∞, lim_{x→+∞} f(x) = +∞.

vi) Asintoti obliqui: non ci sono asintoti obliqui. vii) Derivata:

f′(x) = \{ \begin{matrix}\frac{2x}{(x^{2} − 1) log(x^{2} − 1)} & per |x| ≥ \sqrt{2} \\ −\frac{2x}{(x^{2} − 1) log(x^{2} − 1)} & per − \sqrt{2} ≤ x < −1, \\ & e per 1 < x ≤ \sqrt{2}. \end{matrix}

viii) Zeri della derivata: la derivata prima non si annulla mai. ix) Segno della derivata: la derivata è positiva per −\sqrt{2} < x < −1 e per

x > \sqrt{2}. 19.

i) Dominio: D = (−∞, +∞) \ {3π/2 + 2kπ, k ∈ ℤ}. ii) Simmetrie e periodicità : la funzione è 2π–periodica ma non simmetri-

ca, quindi la studiamo in [0, 3π/2) ∪ (3π/2, 2π]. iii) Intersezione con gli assi: f(x) = 0 se e solo se x = 0, π/2, π, 2π. iv) Segno: la funzione è positiva per 0 ≤ x ≤ π/2 e per π ≤ x < 3π/2.

v) Limiti agli estremi del dominio:

lim_{x→3π/2^{−}} f(x) = +∞, lim_{x→3π/2^{+}} f(x) = −∞.

vi) Asintoti obliqui: non ci sono asintoti obliqui. vii) Derivata:

f′(x) = \frac{2(1 − sin x − sin^{2} x)}{1 + sin x}.

viii) Zeri della derivata: la derivata si annulla in due punti 0 < x_{1} < π/2 e π/2 < x_{2} < π (in tali punti il seno vale (\sqrt{5} − 1)/2). ix) Segno della derivata: la derivata è positiva per 0 ≤ x ≤ x_{1}, per x_{2} ≤

x < 3π/2 e per 3π/2 < x ≤ 2π. 20.

i) Dominio: D = (−∞, +∞) \ (π/2 + 2kπ, 3π/2 + 2kπ) con k ∈ ℤ. ii) Simmetrie e periodicità : la funzione è 2π–periodica e pari, quindi

possiamo studiarla nell’intervallo [0, π/2]. iii) Intersezione con gli assi: la funzione non si annulla mai. iv) Segno: la funzione è sempre positiva.

v) Limiti agli estremi del dominio: non bisogna fare limiti agli estremi. vi) Asintoti obliqui: non ci sono asintoti obliqui. vii) Derivata:

f′(x) = \frac{2 sin x}{\sqrt{cos x(2 + cos x)^{3}}} ,

la derivata è definita in (−π/2, π/2). viii) Zeri della derivata: la derivata si annulla per x = 0. ix) Segno della derivata: la derivata è positiva per 0 ≤ x < π/2, quindi 0

è un punto di minimo. 21.

i) Dominio: D = (−∞, −1) ∪ [1, +∞). ii) Simmetrie e periodicità : non ci sono simmetrie né periodicità . iii) Intersezione con gli assi: f(x) = 0 se e solo se x = 1. iv) Segno: la funzione è sempre positiva.

v) Limiti agli estremi del dominio:

lim_{x→−∞} f(x) = 1, lim_{x→−1^{−}} f(x) = +∞,

lim_{x→+∞} f(x) = 1.

vi) Asintoti obliqui: non ci sono asintoti obliqui. vii) Derivata:

f′(x) = \sqrt{\frac{x + 1}{x − 1}} \frac{1}{(x + 1)^{2}} ;

il dominio della derivata è (−∞, −1) ∪ (1, +∞). viii) Zeri della derivata: la derivata non si annulla mai. ix) Segno della derivata: la derivata è sempre positiva. x) Derivata seconda:

f′′(x) = −\sqrt{\frac{x + 1}{x − 1}} \frac{x}{(x − 1)(x + 1)^{3}} .

xi) Zeri della derivata seconda: la derivata seconda non si annulla mai. xii) Segno della derivata seconda: la derivata seconda è positiva per x <

−1. 22.

i) Dominio: D = (−∞, +∞). ii) Simmetrie e periodicità : non ci sono simmetrie né periodicità . iii) Intersezione con gli assi: f(x) = 0 se e solo se x = 0. iv) Segno: la funzione è sempre positiva.

v) Limiti agli estremi del dominio:

lim_{x→−∞} f(x) = 5, lim_{x→+∞} f(x) = 5.

vi) Asintoti obliqui: non ci sono asintoti obliqui. vii) Derivata:

f′(x) = \{ \begin{matrix}\frac{x(x − 2)}{(x − 1)^{2}} & per \frac{5 − \sqrt{5}}{2} < x < \frac{5 + \sqrt{5}}{2} \\ \frac{x(2 − x)}{(x − 1)^{2}} & per \frac{−5 − 3\sqrt{5}}{2} < x < \frac{−5 + 3\sqrt{5}}{2} \\ 0 & altrimenti; \end{matrix}

il dominio della derivata è dato da (−∞, (−5 − 3\sqrt{5})/2) ∪ ((−5 − 3\sqrt{5})/2, 1) ∪ (1, (5 + \sqrt{5})/2) ∪ ((5 + \sqrt{5})/2 + ∞).

viii) Zeri della derivata: la derivata si annulla per x = 0, 2. ix) Segno della derivata: la derivata è positiva per 0 ≤ x < (−5 − 3\sqrt{5})/2

e per 2 ≤ x < (5 + \sqrt{5})/2, quindi 0 e 2 sono punti di minimo. 23.

i) Dominio: D = (−∞, −1) ∪ (−1, +∞). ii) Simmetrie e periodicità : non ci sono simmetrie né periodicità : iii) Intersezione con gli assi: f(x) = 0 se e solo se x = 0. iv) Segno: la funzione è positiva per x ≥ 0. v) Limiti agli estremi del dominio:

lim_{x→−∞} f(x) = −∞, lim_{x→−1^{−}} f(x) = 0,

lim_{x→−1^{+}} f(x) = −∞, lim_{x→+∞} f(x) = +∞.

vi) Asintoti obliqui: la retta y = x + 1 è asintoto obliquo sia a −∞ che a

+∞. vii) Derivata:

f′(x) = e^{1/(x+1)} \frac{x^{2} + x + 1}{(x + 1)^{2}}.

viii) Zeri della derivata: la derivata non si annulla mai. ix) Segno della derivata: la derivata è sempre positiva.

x) Derivata seconda:

f′′(x) = −e^{1/(x+1)} \frac{x + 2}{(x + 1)^{4}} .

xi) Zeri della derivata seconda: la derivata seconda si annulla per x = −2. xii) Segno della derivata seconda: la derivata seconda è positiva per x ≤

−2. 24.

i) Dominio: D = (0, +∞). ii) Simmetrie e periodicità : non ci sono simmetrie né periodicità . iii) Intersezione con gli assi: f(x) = 0 se e solo se x = x_{1}, con 0 < x_{1} < 1

(questo si può vedere per via grafica). iv) Segno: la funzione è positiva per x ≥ x_{1}.

v) Limiti agli estremi del dominio:

lim_{x→0^{+}} f(x) = −∞, lim_{x→+∞} f(x) = +∞.

vi) Asintoti obliqui: la retta y = x è asintoto obliquo a +∞. vii) Derivata:

f′(x) = \frac{x^{2} + 1 − log x}{x^{2}}.

viii) Zeri della derivata: la derivata non si annulla mai (questo si può

vedere per via grafica). ix) Segno della derivata: la derivata è sempre positiva.

x) Derivata seconda:

f′′(x) = \frac{2 log x − 3}{x^{3}}.

xi) Zeri della derivata seconda: la derivata seconda si annulla per x = e^{3/2}. xii) Segno della derivata seconda: la derivata seconda è positiva per x ≥

e^{3/2}. 25.

i) Dominio: D = (0, +∞). ii) Simmetrie e periodicità : non ci sono simmetrie né periodicità . iii) Intersezione con gli assi: f(x) = 0 se e solo se x = 1 (questo si può

vedere per via grafica). iv) Segno: la funzione è sempre positiva.

v) Limiti agli estremi del dominio:

lim_{x→0^{+}} f(x) = +∞, lim_{x→+∞} f(x) = +∞.

vi) Asintoti obliqui: non ci sono asintoti obliqui. vii) Derivata:

f′(x) = \frac{x − 1}{x^{2} − x log x}.

viii) Zeri della derivata: la derivata si annulla per x = 1. ix) Segno della derivata: la derivata è positiva per x ≥ 1, quindi 1 è un

punto di minimo.

x) Derivata seconda:

f′′(x) = −\frac{x^{2} − 3x + 1 + log x}{(x^{2} − x log x)^{2}}.

xi) Zeri della derivata seconda: esiste un solo punto x_{2} > 1 per il quale

la derivata seconda si annulla. xii) Segno della derivata seconda: la derivata seconda è positiva per 0 <

x ≤ x_{2}. 26.

i) Dominio: D = (−∞, 1) ∪ (1, +∞). ii) Simmetrie e periodicità : non ci sono simmetrie né periodicità . iii) Intersezione con gli assi: f(x) = 0 se e solo se x = 0, 2 iv) Segno: la funzione è positiva per x < 1 e per x ≥ 2.

v) Limiti agli estremi del dominio:

lim_{x→−∞} f(x) = +∞, lim_{x→1^{−}} f(x) = +∞,

lim_{x→1^{+}} f(x) = −∞, lim_{x→+∞} f(x) = +∞.

vi) Asintoti obliqui: non ci sono asintoti obliqui. vii) Derivata:

f′(x) = \frac{2x^{3} − 5x^{2} + 4x}{(x − 1)^{2}}.

viii) Zeri della derivata: la derivata si annulla per x = 0. ix) Segno della derivata: la derivata è positiva per x ≥ 0, quindi 0 è punto

di minimo.

x) Derivata seconda:

f′′(x) = \frac{2x^{3} − 6x^{2} + 6x − 4}{(x − 1)^{3}}.

xi) Zeri della derivata seconda: la derivata seconda si annulla per x = 2. xii) Segno della derivata seconda: la derivata seconda è positiva per x < 1

e per x ≥ 2. 27.

i) Dominio: D = [1 − e, 1). ii) Simmetrie e periodicità : non ci sono simmetrie né periodicità . iii) Intersezione con gli assi: f(x) = 0 se e solo se x = 1 − e. iv) Segno: la funzione è sempre positiva.

v) Limiti agli estremi del dominio:

lim_{x→1^{−}} f(x) = +∞.

vi) Asintoti obliqui: non ci sono asintoti obliqui. vii) Derivata:

f′(x) = \frac{1}{2(1 − x)\sqrt{1 − log(1 − x)}}.

viii) Zeri della derivata: la derivata non si annulla mai. ix) Segno della derivata: la derivata è sempre positiva.

x) Derivata seconda:

f′′(x) = \frac{1 − 2 log(1 − x)}{4(1 − x)^{2}(1 − log(1 − x))^{3/2}} .

xi) Zeri della derivata seconda: la derivata seconda si annulla per x =

1 − \sqrt{e}. xii) Segno della derivata seconda: la derivata seconda è positiva per x ≥

1 − \sqrt{e}.

28. i) Dominio: D = (−∞, −1) ∪ (0, +∞). ii) Simmetrie e periodicità : non ci sono simmetrie né periodicità . iii) Intersezione con gli assi: per via grafica, se vede che la funzione non

si annulla mai. iv) Segno: la funzione è positiva per x > 0.

v) Limiti agli estremi del dominio:

lim_{x→−∞} f(x) = −∞, lim_{x→−1^{−}} f(x) = −∞,

lim_{x→0^{+}} f(x) = +∞, lim_{x→+∞} f(x) = +∞.

vi) Asintoti obliqui: la retta y = x − 1 è asintoto obliquo sia a −∞ che a

+∞. vii) Derivata:

f′(x) = \frac{2x^{3} + 4x^{2} − 3x − 3}{2x(x + 1)^{2}}.

viii) Zeri della derivata: la derivata si annulla per x = 1, (−3 − \sqrt{3})/2. ix) Segno della derivata: la derivata è positiva per x ≤ (−3 − \sqrt{3})/2 e

per x ≥ 1, quindi (−3 − \sqrt{3})/2 è punto di massimo e 1 è punto di minimo.

x) Derivata seconda:

f′′(x) = \frac{10x^{2} + 9x + 3}{2x^{2}(x + 1)^{3}}.

xi) Zeri della derivata seconda: la derivata seconda non si annulla mai. xii) Segno della derivata seconda: la derivata seconda è positiva per x > 0.

29. i) Dominio: D = (−∞, +∞). ii) Simmetrie e periodicità : non ci sono simmetrie né periodicità . iii) Intersezione con gli assi: f(x) = 0 se e solo se x = 1. iv) Segno: la funzione è sempre positiva.

v) Limiti agli estremi del dominio:

lim_{x→−∞} f(x) = +∞, lim_{x→+∞} f(x) = +∞.

vi) Asintoti obliqui: la retta y = x−9/4 è asintoto obliquo a +∞, mentre la retta y = −x + 9/4 è asintoto a −∞. vii) Derivata:

f′(x) = \frac{8x^{3} + 6x^{2} − 8x − 6}{(4x^{2} + 2x + 1)^{3/2}}.

viii) Zeri della derivata: la derivata si annulla per x = −1, −3/4, 1. ix) Segno della derivata: la derivata è positiva per −1 ≤ x ≤ −3/4 e per

x ≥ 1, quindi −1 e 1 sono punti di minimo, mentre −3/4 è punto di massimo.

30. i) Dominio: D = (−∞, −1) ∪ (−1, +∞). ii) Simmetrie e periodicità : non ci sono simmetrie né periodicità . iii) Intersezione con gli assi: f(x) = 0 se e solo se x = 1. iv) Segno: la funzione è positiva per x > −1.

v) Limiti agli estremi del dominio:

lim_{x→−∞} f(x) = −1, lim_{x→−1^{−}} f(x) = −∞,

lim_{x→−1^{+}} f(x) = +∞, lim_{x→+∞} f(x) = 1.

vi) Asintoti obliqui: non ci sono asintoti obliqui. vii) Derivata:

f′(x) = \{ \begin{matrix}\frac{2}{(x + 1)^{2}} & per x ≥ 1 \\ −\frac{2}{(x + 1)^{2}} & per x ≤ 1. \end{matrix}

viii) Zeri della derivata: la derivata non si annulla mai. ix) Segno della derivata: la derivata è positiva per x ≥ 1, quindi 1 è punto

di minimo.

x) Derivata seconda:

f′′(x) = \{ \begin{matrix}−\frac{4}{(x + 1)^{3}} & per x ≥ 1 \\ \frac{4}{(x + 1)^{3}} & per x ≤ 1. \end{matrix}

xi) Zeri della derivata seconda: la derivata seconda non si annulla mai. xii) Segno della derivata seconda: la derivata seconda è positiva per −1 <

x ≤ 1. 31. i) Dominio: D = (−∞, −1) ∪ (−1, 1) ∪ (1, +∞). ii) Simmetrie e periodicità : la funzione è dispari ma non periodica. iii) Intersezione con gli assi: f(x) = 0 se e solo se x = 0. iv) Segno: la funzione è positiva per −1 < x ≤ 0 e per x > 1.

v) Limiti agli estremi del dominio:

lim_{x→−∞} f(x) = −∞, lim_{x→−1^{−}} f(x) = −∞,

lim_{x→−1^{+}} f(x) = +∞, lim_{x→1^{−}} f(x) = −∞,

lim_{x→1^{+}} f(x) = +∞ lim_{x→+∞} f(x) = +∞.

vi) Asintoti obliqui: non ci sono asintoti obliqui. vii) Derivata:

f′(x) = \frac{x^{2} − 3}{3(x^{2} − 1)^{4/3}} .

viii) Zeri della derivata: la derivata si annulla per x = ±\sqrt{3}. ix) Segno della derivata: la derivata è positiva per x ≤ −\sqrt{3} e per x ≥ \sqrt{3},

quindi −\sqrt{3} è un punto di massimo e \sqrt{3} è un punto di minimo.

x) Derivata seconda:

f′′(x) = \frac{2x(9 − x^{2})}{9(x^{2} − 1)^{7/3}} .

xi) Zeri della derivata seconda: la derivata seconda si annulla per x =

−3, 0, 3. xii) Segno della derivata seconda: la derivata seconda è positiva per x ≤

−3, per −1 < x ≤ 0 e per 1 < x ≤ 3. 32.

i) Dominio: D = (∞, −2) ∪ (−2, −1/2) ∪ (−1/2, 1/2) ∪ (1/2, +∞). ii) Simmetrie e periodicità : non ci sono simmetrie né periodicità . iii) Intersezione con gli assi: f(x) = 0 se e solo se x = −1, 3. iv) Segno: la funzione è positiva per x ≤ −1 e per x ≥ 3.

v) Limiti agli estremi del dominio:

lim_{x→−∞} f(x) = log 4, lim_{x→−2^{−}} f(x) = +∞,

lim_{x→−2^{+}} f(x) = +∞, lim_{x→−1/2^{−}} f(x) = −∞,

lim_{x→−1/2^{+}} f(x) = −∞ lim_{x→1/2^{−}} f(x) = −∞,

lim_{x→1/2^{+}} f(x) = −∞, lim_{x→+∞} f(x) = log 4.

vi) Asintoti obliqui: non ci sono asintoti obliqui. vii) Derivata:

f′(x) = \frac{2(4x + |x|)}{|x|(x + 2)(2|x| − 1)}.

il dominio della derivata è (∞, −2)∪(−2, −1/2)∪(−1/2, 0, ∪(0, 1/2)∪ (1/2, +∞)

viii) Zeri della derivata: la derivata non si annulla mai. ix) Segno della derivata: la derivata è positiva per x < −2, per −1/2 <

x ≤ 0 e per x > 1/2, quindi 0 è un punto di massimo. 33.

i) Dominio: D = (−∞, +∞). ii) Simmetrie e periodicità : non ci sono simmetrie né periodicità . iii) Intersezione con gli assi: la funzione non si annulla mai. iv) Segno: la funzione è sempre positiva.

v) Limiti agli estremi del dominio:

lim_{x→−∞} f(x) = 0, lim_{x→+∞} f(x) = 0.

vi) Asintoti obliqui: non ci sono asintoti obliqui. vii) Derivata:

f′(x) = \frac{2x|x − 1| − x^{3} + x^{2} − x + 1}{|x − 1|e^{|x−1|}},

il dominio della derivata è (−∞, 1) ∪ (1, +∞) viii) Zeri della derivata: ls derivata si annulla per x = −1. ix) Segno della derivata: la derivata è positiva per x ≤ 1, quindi il punto

1 è un punto di massimo. 34.

i) Dominio: D = (−∞, +∞) \ {π + 2kπ, k ∈ ℤ}. ii) Simmetrie e periodicità : la funzione è pari e 2π–periodica, quindi la

studiamo nell’intervallo [0, π). iii) Intersezione con gli assi: f(x) = 0 se e solo se x = π/2. iv) Segno: la funzione è positiva per 0 ≤ x ≤ π/2.

v) Limiti agli estremi del dominio:

lim_{x→π^{−}} f(x) = −∞.

vi) Asintoti obliqui: non ci sono asintoti obliqui. vii) Derivata:

f′(x) = −\frac{sin x}{(1 + cos x)^{2}} .

viii) Zeri della derivata: la derivata si annulla per x = 0. ix) Segno della derivata: la derivata non è mai positiva in [0, π).

x) Derivata seconda:

f′′(x) = \frac{cos^{2} x − cos x − 2}{(1 + cos x)^{3}}.

xi) Zeri della derivata seconda: la derivata seconda non si annulla mai in

[0, π). xii) Segno della derivata seconda: la derivata seconda è sempre negativa.

35. i) Dominio: D = (−∞, +∞). ii) Simmetrie e periodicità : la funzione è 2π–periodica ma non simmetri-

ca, quindi la studiamo in [0, 2π]. iii) Intersezione con gli assi: f(x) = 0 se e solo se x = 0 e π ≤ x ≤ 2π. iv) Segno: la funzione è sempre positiva.

v) Limiti agli estremi del dominio: non bisogna fare alcun limite. vi) Asintoti obliqui: non ci sono asintoti obliqui. vii) Derivata:

f′(x) = \{ \begin{matrix}\frac{2 cos x}{1 + 2 sin x} & per 0 ≤ x ≤ π \\ 0 & per π ≤ x ≤ 2π. \end{matrix}

viii) Zeri della derivata: la derivata si annulla per x = π/2. ix) Segno della derivata: la derivata è positiva per 0 ≤ x ≤ π/2, quindi

π/2 è punto di massimo.

x) Derivata seconda:

f′′(x) = \{ \begin{matrix}−2\frac{sin x + 2}{(1 + 2 sin x)^{2}} & per 0 ≤ x ≤ π \\ 0 & per π ≤ x ≤ 2π. \end{matrix}

xi) Zeri della derivata seconda: la derivata seconda non si annulla mai. xii) Segno della derivata seconda: la derivata seconda è sempre negativa.

Capitolo 19

Integrali

1.

i)  − cos x^{3};
ii)  arctan log x;
iii)  \frac{tan^{4} x}{4};
iv)  \frac{sin^{2} x}{2};
v)  \frac{2}{3} (\frac{x^{2} − 3}{\sqrt{x}});

vi)  − arctan cos(x);
vii)  \frac{2}{\sqrt{3}} arctan \frac{2x + 1}{\sqrt{3}};
viii)  tan x − cot x;
ix)  log | tan(x/2)|;
x)  log | tan(x/2 + π/4)|.

2. i) Tramite la sostituzione x = sin t, si ottiene

\frac{x^{3}}{3} arcsin x + \frac{x^{2}\sqrt{1 − x^{2}}}{9} + \frac{2\sqrt{1 − x^{2}}}{9} + c.

ii) Effettuando la sostituzione t = ^{3}\sqrt{8 + x}, si ottiene il risultato

\frac{3}{7}(x − 6)(8 + x)^{4/3} + c.

iii) Con la sostituzione t = \sqrt{x}, si ottiene

4\sqrt{x} − x − 4 log(1 + \sqrt{x}) + c.

iv) Con la sostituzione x = sin t, si ottiene

\frac{arcsin x}{2} + \frac{x\sqrt{1 − x^{2}}}{2} + c.

\overline{149} CAPITOLO 19. INTEGRALI

v) Con la sostituzione x = sinh t, si ottiene

\frac{x\sqrt{1 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{2} log (\frac{x + \sqrt{x^{2} + 1}}{2}) + c.

vi) Con la sostituzione x = cosh t con t ≥ 0 se x ≥ 1 (altrimenti si pone

x = − cosh t, sempre con t ≥ 0), si ottiene

\frac{x\sqrt{x^{2} − 1}}{2} + \frac{1}{2} log (\frac{x + \sqrt{x^{2} − 1}}{2}) + c.

vii) Scrivendo 2x − x^{2} = 1 − (x − 1)^{2}, si ottiene

arcsin(x − 1) + c.

viii) Integrando per parti, si ottiene

x arctan x − \frac{1}{2} log(1 + x^{2}) + c.

ix) Con la sostituzione t = \sqrt{x}, si ottiene

(2\sqrt{x} − 1) arctan(1/2 − \sqrt{x}) + log(x − \sqrt{x} + 5/4) + c.

x) Ponendo x = sin t, si ha

\frac{e^{arcsin x}}{2} (x − \sqrt{1 − x^{2}}) + c.

xi) Ponendo t = log x, si ottiene

−\frac{2}{27}x^{−3/2}(9 log^{2} x + 12 log x + 8) + c.

xii) Scrivendo x − x^{2} = 1/4 − (x − 1/2)^{2} si ottiene

arcsin(2x − 1) + c.

3. i) Si ha

[log log x]_{e}^{e^{2}} = log 2.

ii) Integrando per parti si ottiene

[\frac{x^{3}}{3} arctan x − \frac{x^{2}}{6} + \frac{log(x^{2} + 1)}{6}]_{0}^{1} = \frac{π}{12} + \frac{log 2}{6} − \frac{1}{6}.

iii) Ponendo t = \sqrt{x} si ha

[2t − \frac{2t^{3}}{3} ]_{1}^{2} = −\frac{8}{3}.

\overline{150} iv) Si ha

[tan x − 2 log | cos x|]_{0}^{1} = tan 1 − 2 log cos 1.

v) Si ottiene

− [\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + 2x + 3 log |x − 1|]_{−2}^{0} = 3 log 3 − \frac{14}{3}.

vi) Ponendo t = \sqrt{x + 1}, si ottiene

− [\frac{2}{3}t^{3} + t^{2}]\begin{matrix}√ & \overline{3} \\ √ & \overline{2} \end{matrix} = \frac{4\sqrt{2}}{3} − 2\sqrt{3} − 1.

vii Ponendo x = sin t, si ottiene

[t sin t + cos t]_{0}^{π/2} = \frac{π}{2} − 1.

viii) Ponendo t = \sqrt{x}, si ottiene

4 [t log t − t]_{1}^{√\overline{e}} = 4 − 2\sqrt{e}.

ix) Integrando per parti, si ricava

[x(log^{3} x − 3 log^{2} x + 6 log x − 6)]_{1}^{e} = 6 − 2e.

x) Ponendo t = x^{4}, si ottiene

[\frac{arctan t}{4}]_{0}^{1} = \frac{π}{16}.

xi) Ponendo t = \sqrt{e^{x} − 1}, si ricava

2 [arctan t]_{0}^{1} = \frac{π}{2} .

xii) Ponendo t = \sqrt{x + 2}, si ottiene

[\frac{2}{3} log(|t + 2|^{2}|t − 1|)]_{2}^{3} = \frac{2}{3} log \frac{25}{8}.

xiii Ponendo x = \sqrt{2} sin t, si ottiene

[\frac{t}{2} − \frac{sin(4t)}{8}]_{0}^{π/2} = \frac{π}{4} .

xiv) Con la sostituzione t = sin x, si ottiene

2[(t − 1)e^{t}]_{0}^{1} = 2 xv) Si ha

∫− \frac{π}{2}^{\frac{π}{2}} x^{2} cos(x + |x|)dx = ∫_{−π/2}^{0} x^{2}dx + ∫_{0}^{π/2} x^{2} cos(2x)dx

= [\frac{x^{3}}{3} ]_{− \frac{π}{2}}^{2} +

+ [\frac{(2x^{2} − 1) sin(2x)}{4} \frac{x cos(2x)}{2}]0^{\frac{π}{2}}

= \frac{π^{3}}{24} − \frac{π}{4} .

4. Si hanno rispettivamente

i)\frac{2}{π}; ii)\frac{log 2}{3 − \sqrt{3}}; iii)\frac{cos(−1) − cos(1)}{π}.

5. Una primitiva generica per la funzione f è data da

F (x) = x arctan x − \frac{1}{2} log(1 + x^{2}) + c.

Si tratta quindi di determinare la costante in modo da verificare la condizione F (0) = 1. Ma

F (0) = c.

quindi la primitiva cercata sarà data da

F (x) = x arctan x − \frac{1}{2} log(1 + x^{2}) + 1.

6. Si ha che

∫_{−a}^{a} f(x)dx = ∫_{−a}^{0} f(x)dx + ∫_{0}^{a} f(x)dx.

Nel primo dei due integrali si effettua la sostituzione t = −x e si ottiene

∫_{−a}^{0} f(x)dx = − ∫_{a}^{0} f(−t)dt = ∫_{0}^{a} f(x)dx

da cui l’asserto. Quindi se la funzione è dispari si ha che f(−x) = −f(x), da cui l’integrale è nullo, mentre se f è pari f(−x) = f(x), da cui la seconda parte dell’esercizio.

7. Dato a > 0, esisterà sicuramente un k ∈ ℕ per il quale a ∈ [(k − 1)T, kT). Quindi

∫_{a}^{a+T} f(x)dx = ∫_{a}^{kT} f(x)dx + ∫_{kT}^{a+T} f(x)dx.

Nel primo integrale si fa la sostituzione t = x − (k − 1)T, mentre nel secondo la sostituzione t = x − kT, in modo da ottenere, sfruttando la periodicità di f,

∫_{a}^{a+T} f(x)dx = ∫_{a−(k−1)T}^{T} f(x)dx + ∫_{0}^{a−(k−1)T} f(x)dx = ∫_{0}^{T} f(x)dx.

8. Tramite la sostituzione x = a − t, otteniamo

∫_{0}^{a} f(x)dx = − ∫_{a}^{0} f(a − t)dt = ∫_{0}^{a} f(a − x)dx.

Da questa, per la seconda parte dell’esercizio, si ottiene

2 ∫_{0}^{π} \frac{x sin x}{1 + cos^{2} x}dx = π ∫_{0}^{π} \frac{sin x}{1 + cos^{2} x}dx = \frac{π^{2}}{4} .

9. Prendiamo in considerazione il primo integrale. Dalle formule di Prostaferesi, abbiamo che

sin(nx) cos(mx) = \frac{1}{2}(sin(n + m)x + sin(n − m)x).

Quindi

∫_{0}^{2π} sin(nx) cos(mx)dx = 0.

Analogamente, per le altre due otterremo che

∫_{0}^{2π} sin(nx) sin(mx)dx = \{ \begin{matrix}π & se m = n \\ 0 & altrimenti; \end{matrix}

∫_{0}^{2π} cos(nx) cos(mx)dx = \{ \begin{matrix}π & se m = n \\ 0 & altrimenti. \end{matrix}

10. Integrando per parti, si ottiene

∫ sin^{k} xdx = ∫ sin x sin^{k−1} xdx
= − cos x sin^{k−1} x + (k − 1) ∫ cos^{2} x sin^{k−2} xdx + c.
= − cos x sin^{k−1} x + (k − 1) ∫ sin^{k−2} xdx +
−(k − 1) ∫ sin^{k} xdx + c.,

da cui

∫ sin^{k} xdx = −\frac{cos x sin^{k−1} x}{k} + \frac{k − 1}{k} ∫ sin^{k−2} xdx.

Da questa identità si deduce l’esercizio.

11. Integrando due volte per parti, otteniamo

∫ e^{λx} sin(μx)dx = \frac{e^{λx}}{λ^{2}} (λ sin(μx) − μ cos(μx)) + \frac{μ^{2}}{λ^{2}} ∫ e^{λx} sin(μx)dx + c.,

da cui

∫ e^{λx} sin(μx)dx = \frac{e^{λx}}{λ^{2} + μ^{2}} (λ sin(μx) − μ cos(μx)) + c.

12. Le prime due identità sono immediate. Per l’ultima, scritto

\frac{bx + c}{(x − α)^{2} + β^{2}} = \frac{b}{2} \frac{2(x − α)}{(x − α)^{2} + β^{2}} + \frac{c + αb}{β^{2}} \frac{1}{((x − α)/β)^{2} + 1},

otteniamo l’identità desiderata.

13. Si tratta di applicare il teorema di Rolle alla funzione

F (z) = ∫_{a}^{z} f(x)dx.

Tale funzione è chiaramente nulla in a, così come lo è in b per ipotesi. Quindi esiste un punto interno all’intervallo (a, b) per il quale F′(z) = 0. L’esercizio segue in quanto F′(z) = f(z).

14. Effettuando la sostituzione t = a + b − x, troviamo che

I = ∫_{a}^{b} \frac{f(b − x)}{f(b − x) + f(x − a)}dx,

da cui

b − a = ∫_{a}^{b} \frac{f(x − a) + f(b − x)}{f(b − x) + f(x − a)}dx
= ∫_{a}^{b} \frac{f(b − x)}{f(b − x) + f(x − a)}dx + ∫_{a}^{b} \frac{f(x − a)}{f(x − a) + f(b − x)}dx = 2I.

15. Per quanto riguarda il secondo integrale, tenendo conto che

cos x = sin(π/2 − x),

otteniamo che J = I. Per quanto riguarda il terzo integrale, tenendo presente che

sin 2x = 2 sin x cos x,

otteniamo che

K = 2I + \frac{π log 2}{2}.

D’altro canto si ha che

K = \frac{1}{2} ∫_{0}^{π} log sin xdx
= \frac{1}{2} ∫_{0}^{π/2} log sin xdx + \frac{1}{2} ∫_{0}^{π/2} log sin(x + π/2)dx
= \frac{1}{2} ∫_{0}^{π/2} log sin xdx + \frac{1}{2} ∫_{0}^{π/2} log cos xdx = I.

Quindi i tre integrali sono tutti uguali tra loro e il loro valore è pari a

I = −\frac{π log 2}{2}.

16. Calcolando l’integrale

∫_{1/(k+1)}^{1/k} \frac{1}{x}dx = log(k + 1) − log k,

e dalle stime 1/(k + 1) ≤ x ≤ 1/k su [1/(k + 1), 1/k], sommando su k, otteniamo la stima desiderata. Per quanto riguarda la seconda parte dell’esercizio, basta tenere conto che

lim_{n→∞} \frac{log(n + 1)}{log n} = 1.

17. Supponiamo che il massimo sia minore o uguale a 1. Siccome la funzione in 0 vale 0, esisterà un δ > 0 per il quale, se x < δ, f(x) < 1/2. Quindi, otteniamo che

∫_{0}^{1} f(x)dx = ∫_{0}^{δ} f(x)dx + ∫_{δ}^{1} f(x)dx ≤ \frac{δ}{2} + (1 − δ) = 1 − \frac{δ}{2} < 1,

che è una contraddizione.

Capitolo 20

Integrali Razionali

1.

i)

log \frac{|x − 1|^{2}}{|x|^{3/2}|x − 2|^{1/2}} + c.

ii)

[log \frac{|x + 2||x − 1|^{1/2}}{|x + 1|^{1/2}} ]_{0}^{1/2} = log \frac{5}{\sqrt{3}}.

iii)

[log \frac{|x|^{2}|x + 1|^{\frac{1}{2}}}{|x^{2} + 1|^{\frac{3}{4}}} + \frac{1}{2} arctan x]_{1}^{2} = log ( \begin{matrix}4 & \sqrt{288} \\ 4 & \sqrt{125} \end{matrix})+ \frac{1}{2} arctan(2)− \frac{π}{4} .

iv)

\frac{x^{2} − 2x − 1}{x − 1} + log(|x||x − 1|) + c.

v)

log \frac{|x − 1|^{3/2}}{|x − 3|^{1/2}} − \frac{13}{x − 3} + c.

v)

log \frac{|x − 1|}{(x^{2} − 2x + 2)^{1/2}} + 3 arctan(x − 1) + c.

vi)

\frac{1}{2} log(x^{2} + 4x + 5) − \frac{9}{2} arctan(x + 2) + \frac{1}{2} \frac{3x − 13}{x^{2} + 4x + 5} + c.

vii)

−\frac{1}{2x} − \frac{\sqrt{2}}{4} arctan (\frac{x}{\sqrt{2}}) + c.

\overline{157} 2.

i) Con la sostituzione t = \sqrt{x}, si ottiene

2\sqrt{x} − \frac{4}{\sqrt{3}} arctan (\frac{2}{\sqrt{3}} (\sqrt{x} + \frac{1}{2})) + c.

iii) Con la sostituzione t = ^{6}\sqrt{x + 1}, si ottiene

−\frac{6}{5} ^{6}\sqrt{x + 1} − 2\sqrt{x + 1} − 3 ^{3}\sqrt{x + 1}+

− log | ^{6}\sqrt{x + 1} − 1|^{2} | ^{3}\sqrt{x + 1} + ^{6}\sqrt{x + 1}|^{2} +

+\frac{2}{\sqrt{3}} arctan (\frac{2}{\sqrt{3}} ( ^{6}\sqrt{x + 1} + \frac{1}{2})) + c.

iv) Con la sostituzione t = ^{6}\sqrt{x}, si ottiene

2\sqrt{x} − 3 ^{3}\sqrt{x} + 6 ^{6}\sqrt{x} − 6 log( ^{6}\sqrt{x} + 1) + c.

3.

i) Con la sostituzione t = tan(x/2), si ottiene [log |t|]_{1/\sqrt{3}}^{1} = log \sqrt{3}.

ii) Con la sostituzione t = sin x, si ottiene

log \frac{(2 − sin x)^{4}}{(1 − sin x)^{2}} + c.

iii) Ponendo t = tan(x/2), si ottiene

−2 [\frac{1}{t} + arctan t]_{1}^{+∞} = 1 − \frac{3π}{4} .

iv) Ponendo t = tan(x/2), si ottiene

log |\frac{sin(x/2) + cos(x/2)}{sin(x/2) − cos(x/2)}| − \frac{2 cos^{2}(x/2)}{sin^{2}(x/2) − cos^{2}(x/2)} + c.

4. i) Ponendo t = e^{x}, si ottiene

log \frac{|e^{x} − 1|^{3/2}}{(e^{x} + 1)^{1/2}} − x + c.

ii) Ricordando le definizioni del seno e del coseno iperbolico, ponendo

t = e^{x} si ottiene

\sqrt{2} arctan (\frac{3}{\sqrt{2}} (e^{x} + \frac{1}{\sqrt{2}})) + c.

iii) Ponendo t = e^{x}, si ottiene arccos he^{x} + c.

Parte III

Testi di Esame

Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria informatica Prova scritta di Matematica I Lecce, 9.9.2002 – Compito B

1) Tracciare il grafico della funzione definita dalla seguente espres-

sione analitica:

f(x) = |x^{2} − 3x|e^{−x}.

2) Studiare il seguente limite:

lim_{x→0} \frac{\sqrt{cos x} − e^{x^{2}}}{x^{2}} .

3) Calcolare modulo e argomento delle radici del polinomio p(z) = z^{2} − 6iz − 18.

4) Calcolare il seguente integrale:

∫_{0}^{1} |2x − 1|e^{−x} dx.

5) Studiare la convergenza semplice ed assoluta della serie:

∑ n = 1^{∞}(\frac{1}{\sqrt{n}} − sin \frac{1}{\sqrt{n}})^{α}

al variare del parametro α ∈ R.

\overline{161}

Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria informatica Prova scritta di Matematica I Lecce, 9.9.2002

1) Tracciare il grafico della funzione definita dalla seguente espres-

sione analitica:

f(x) = \frac{x^{2} − 3|x − 1|}{x − 2}.

2) Studiare il seguente limite:

lim_{x→0} \frac{(1 + x)^{1/x} − e}{x}

3) Calcolare modulo e argomento delle radici del polinomio p(z) = z^{2} − 2\sqrt{3} z + 4.

4) Calcolare il seguente integrale:

∫_{0}^{1} \frac{16x^{4} − 3}{4x^{2} + 1} dx.

5) Studiare la convergenza semplice ed assoluta della serie:

∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{α}} sin \frac{π}{\sqrt{n}}

al variare del parametro α ∈ R.

\overline{162}

Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria informatica Prova scritta di Matematica I Lecce, 19.7.2002 – Compito A

1) Tracciare il grafico della funzione definita dalla seguente espres-

sione analitica:

f(x) = x^{2/3}| log |x|| − x.

2) Studiare il seguente limite:

lim_{x→0} \frac{log^{2}(1 + x) − x^{2}}{x − sin x}

3) Trovare le soluzioni complesse dell’equazione z^{3} − 3z^{2} + 3z − 1 = 27i.

4) Calcolare il seguente integrale:

∫_{0}^{π/2} \frac{1}{1 + sin x} dx.

5) Studiare la convergenza semplice ed assoluta della serie:

∑_{n=1}^{∞}(−1)^{n} arccos(\frac{n − 1}{n}).

Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria informatica Prova scritta di Matematica I Lecce, 19.7.2002 – Compito B

1) Tracciare il grafico della funzione definita dalla seguente espres-

sione analitica:

f(x) = \frac{2 + |x|}{1 − x^{2}}.

2) Studiare il seguente limite:

lim_{x→0} \frac{tan(x + x^{2}) − x\sqrt{1 + 2x}}{x^{3}}

3) Trovare le soluzioni complesse dell’equazione z^{3} + 3z^{2} + 3z + 1 = 8i.

4) Calcolare il seguente integrale:

∫_{1}^{e} \frac{log x}{\sqrt{x}} dx

5) Studiare la convergenza semplice ed assoluta della serie:

∑_{n=1}^{∞} sin(nπ + \frac{1}{n^{α}} )

al variare del parametro α > 0.

\overline{164}

Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria informatica Prova scritta di Matematica I Lecce, 5.7.2002 – Compito A

1) Tracciare il grafico della funzione definita dalla seguente espres-

sione analitica:

f(x) = |x|(x − x^{2})e^{−x}.

2) Studiare il seguente limite:

lim_{x→0} \frac{log(1 + 2x^{2}) + 4 cos x − 4}{sin^{2} x^{2}}

3) Si consideri il polinomio complesso

p(z) = z^{4} + 3z^{3} + 5z^{2} + 27z − 36 .

Calcolare p(3i) e trovare tutte le radici del polinomio.

4) Calcolare il seguente integrale:

∫_{0}^{π/2} \frac{1}{2 − sin x} dx.

5) Studiare la convergenza semplice ed assoluta della serie:

∑_{n=1}^{∞}(−1)^{n} \frac{1 + log n}{100 + n}.

Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria informatica Prova scritta di Matematica I Lecce, 5.7.2002 – Compito B

1) Tracciare il grafico della funzione definita dalla seguente espres-

sione analitica:

f(x) = arctan ( − |\frac{x − 2}{x + 2}|^{1/2})

2) Studiare il seguente limite:

lim_{x→0} \frac{\sqrt{1 + x^{3}} − ^{3} \sqrt{1 + x^{3}}}{sin x}

3) Si consideri il polinomio complesso

p(z) = z^{4} + 5z^{3} − 2z^{2} + 20z − 24 .

Calcolare p(2i) e trovare tutte le radici del polinomio.

4) Calcolare il seguente integrale:

∫ sin log x dx

5) Studiare la convergenza semplice ed assoluta della serie:

∑_{n=1}^{∞} n^{6}[2 cos (\frac{1}{n^{2}} ) + \frac{1}{n^{4}} − 2] cos(n^{4} − 2n^{2}) .

Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria informatica Prova scritta di Matematica I Lecce, 15.1.2002 – Compito A

1) Tracciare il grafico della funzione definita dalla seguente espres-

sione analitica:

f(x) = \frac{\sqrt{|2x^{2} − x|}}{x + 1}.

2) Studiare il seguente limite:

lim_{x→0} \frac{log(1 + tan x − sin x)}{\sqrt{1 + 2x^{3}} − 1}

3) Trovare le soluzioni complesse dell’equazione z^{3} − 8i = 0.

4) Calcolare il seguente integrale:

∫_{0}^{2} \frac{e^{−x}}{1 + e^{x}} dx.

5) Studiare la convergenza semplice ed assoluta della serie:

∑_{n=1}^{∞}(−1)^{n}(1 − \frac{sin(1/n)}{1/n}).

Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria informatica Prova scritta di Matematica I Lecce, 15.1.2002 – Compito B

1) Tracciare il grafico della funzione definita dalla seguente espres-

sione analitica:

f(x) = \sqrt{|x^{2} − 4|} + x.

2) Studiare il seguente limite:

lim_{x→0} \frac{e^{x^{2}} − cos x}{log(1 + tan^{2} x)}

3) Trovare le soluzioni complesse dell’equazione z^{4} + 4 = 0.

4) Calcolare il seguente integrale:

∫_{0}^{1} \frac{e^{3x} + 1}{e^{3x} − 3e^{6x}} dx

5) Studiare la convergenza semplice ed assoluta della serie:

∑_{n=1}^{∞}(−1)^{n}(1 − \sqrt{cos \frac{1}{n}}).

Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria informatica Prova scritta di Matematica I Lecce, 15.1.2002 – Compito A

1) Tracciare il grafico della funzione definita dalla seguente espres-

sione analitica:

f(x) = xe^{\frac{x−1}{x−2}} .

2) Studiare il seguente limite:

lim_{x→0} \frac{log(\frac{sin x}{x})}{\sqrt{cos x} − 1}

3) Mostrare che l’equazione z^{3} − 3z^{2} + (9 + 5i)z − 2 − 10i = 0 ammette una soluzione immaginaria pura e calcolarla.

4) Calcolare il seguente integrale:

∫ \frac{sin x cos x}{sin^{2} x − cos^{2} x} dx.

5) Studiare la convergenza semplice ed assoluta della serie:

∑_{n=1}^{∞}(−1)^{n}(1 − \frac{sin(1/n)}{1/n}).

Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria informatica Prova scritta di Matematica I Lecce, 18.12.2001 – Compito A

1) Tracciare il grafico della funzione definita dalla seguente espres-

sione analitica:

f(x) = 2x − 1 − log |e^{x} − 2|.

2) Studiare il seguente limite:

lim_{x→0} \frac{log(1 + x) − x}{x log(1 + x)}.

3) Mostrare che l’equazione z^{3} − 3z^{2} + (9 + 5i)z − 2 − 10i = 0 ammette una soluzione immaginaria pura e calcolarla.

4) Calcolare il seguente integrale:

∫ \frac{e^{1/x}}{x^{3}} dx.

5) Studiare la serie:

∑_{n=1}^{∞}[\frac{π}{2} − arcsin(\frac{n}{n + 1})].

Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria informatica Prova scritta di Matematica I Lecce, 18.12.2001 – Compito B

1) Tracciare il grafico della funzione definita dalla seguente espres-

sione analitica:

f(x) = \frac{x}{x + 1}e^{−x}.

2) Studiare il seguente limite:

lim_{x→−π/2} \frac{arctan(log(2 + sin x))}{tan(1 + sin x)}.

3) Mostrare che l’equazione iz^{3} + 7iz − 6 = 0 ammette una soluzione immaginaria pura e calcolarla.

4) Calcolare il seguente integrale:

∫_{1}^{2} \frac{x + 3}{x^{2}\sqrt{2x + 3}}dx.

5) Studiare la serie:

∑_{n=1}^{∞} \frac{n^{\sqrt{n}}}{2^{n}} .

Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria informatica Prova scritta di Matematica I Lecce, 26.11.2001 – Compito A

1) Tracciare il grafico della funzione definita dalla seguente espres-

sione analitica:

f(x) = |3x^{2} − 4x|e^{−2x}.

2) Studiare il seguente limite:

lim_{x→+∞} x^{3}(\frac{π}{2} − arctan x − \frac{1}{x}).

3) Calcolare le soluzioni complesse della seguente equazione: z^{4} + 6z^{2} − 5 = 0.

4) Calcolare il seguente integrale:

∫_{0}^{1} \frac{x − 2}{\sqrt{x^{2} − 2x + 5}}dx

5) Studiare la serie:

∑_{n=1}^{∞}(\frac{1}{\sqrt{n}} − sin(\frac{5}{1 + \sqrt{n}})).

\overline{172}

Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria informatica Prova scritta di Matematica I Lecce, 26.11.2001 – Compito B

1) Tracciare il grafico della funzione definita dalla seguente espres-

sione analitica:

f(x) = 2x − 3 log(1 + x^{2}).

2) Studiare il seguente limite:

lim_{x→0}(\frac{1}{x tan x} − \frac{1}{x^{2}} ).

3) Calcolare le soluzioni complesse della seguente equazione: |z|^{2} − 6z + 1 = 0.

4) Calcolare il seguente integrale:

∫ \frac{x arctan x}{\sqrt{1 + x^{2}}}dx

5) Studiare la serie:

∑_{n=1}^{∞}(1 − \frac{1}{n})^{n^{2}}α^{n}

al variare del parametro α ∈ R.

\overline{173}