Rappresentazione decimale dei numeri reali. Sia a ∈ R, a > 0. Consideriamo la parte intera di a (definita come il più grande intero minore od uguale ad a la quale si denota con [a])

n_{0} := [a] ∈ N .

Si ha che

n_{0} ⩽ a < n_{0} + 1 .

Definiamo ora m_{0} = a − n_{0} ∈ [0, 1) e consideriamo

n_{1} := [10m_{0}] ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} .

Si ha che

n_{1} ⩽ 10m_{0} ⩽ n_{1} + 1 da cui \frac{n_{1}}{10} ⩽ m_{0} ⩽ \frac{n_{1}}{10} + \frac{1}{10}

e quindi, per definizione di m_{0},

n_{0} + \frac{n_{1}}{10} ⩽ a < n_{0} + \frac{n_{1}}{10} + \frac{1}{10} .

Se ora definiamo

m_{1} = m_{0} − \frac{n_{1}}{10} = a − n_{0} − \frac{n_{1}}{10} ∈ [0, \frac{1}{10})

e consideriamo

n_{2} = [10^{2}m_{1}] ∈ {0, 1, 2, … 9} .

otteniamo

n_{2} ⩽ 10^{2}m_{1} ⩽ n_{2} + 1 da cui \frac{n_{1}}{10^{2}} ⩽ m_{1} ⩽ \frac{n_{1}}{10^{2}} + \frac{1}{10^{2}}

e quindi infine

n_{0} + \frac{n_{1}}{10} + \frac{n_{2}}{10^{2}} ⩽ a < n_{0} + \frac{n_{1}}{10} + \frac{n_{2}}{10^{2}} + \frac{1}{10^{2}} .

Continuando a ragionare in modo analogo possiamo costruire due successioni

A_{k} := n_{0} + \frac{n_{1}}{10} + \frac{n_{2}}{10^{2}} + … + \frac{n_{k}}{10^{k}}

con n_{k} ∈ {0, 1, 2, … 9}

B_{k} := n_{0} + \frac{n_{1}}{10} + \frac{n_{2}}{10^{2}} + … + \frac{n_{k}}{10^{k}} + \frac{1}{10^{k}}

con la proprietà che

A_{k} ⩽ a < B_{k} .  (1)

Si considerino gli insiemi S = {A_{0}, A_{1}, A_{2}, …} e T = {B_{0}, B_{1}, B_{2}, …}. Da (1) si deduce che S è limitato superiormente, per cui ammette estremo superiore finito. Proviamo che l’estremo superiore di S è a. Fissato ϵ > 0 dobbiamo trovare un k ∈ N tale che

A_{k} > a − ϵ .

Ma ciò è equivalente a

a − n_{0} + \frac{n_{1}}{10} + \frac{n_{2}}{10^{2}} + … + \frac{n_{k}}{10^{k}} < ϵ .

Ma da (1) deduciamo che

a − n_{0} + \frac{n_{1}}{10} + \frac{n_{2}}{10^{2}} + … + \frac{n_{k}}{10^{k}} < \frac{1}{10^{k}}

quindi è chiaro che è sufficiente scegliere k in modo tale che valga 1/10^{k} ⩽ ϵ (k ⩾ log_{10} ϵ^{−1}). In modo analogo si prova che inf T = a. Se a < 0 si può considerare, ad esempio, la decomposizione di −a e poi cambiare di segno.

Osservazioni - Come prima cosa osserviamo che, per ogni numero reale a, abbiamo costruito una successione (una particolare successione) di numeri razionali che approssimano il numero a. Questo mostra che Q è denso in R (vedi dispense di teoria). Si possono costruire infinite successioni di razionali approssimanti il numero a, ma quelle che abbiamo scelto sono quelle che usualmente usiamo (approssimazione decimale per difetto e approssimazione decimale per eccesso). Per esercizio costruire un’approssimazione in base 8 anziché in base 10. Altra cosa da osservare è che ogni numero, nella rappresentazione decimale, ha solo un numero finito di n_{k} non nulli è un numero razionale. Non è vero il vicevera!! Ad esempio i numeri la cui parte decimale è periodica (a − [a]). Si consideri ad esempio il numero

a = 1, 3232323232 ….

La parte decimale ha periodo 2. Moltiplico allora per 10^{2} (l’esponenete è la lunghezza del periodo) e ottengo

10^{2}a = 100a = 132, 32323232 ….

Sottraendo a a 100a si ottiene

99a = 131 da cui a = \frac{131}{99} .

Si vedano a questo proposito anche gli esercizi PIPPO e PLUTO. Questo che segue è l’esercizio PLUTO. Calcolare

1 + 32 ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{10^{2n}} .

Si noti che ciò equivale a calcolare la somma

1 + 32(\frac{1}{10^{2}} + \frac{1}{10^{4}} + \frac{1}{10^{6}} + …)

Poiché ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{10^{2n}} è una serie geometrica di ragione 1/100 si ottiene

∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{10^{2n}} = \frac{1/10^{2}}{1 − 1/10^{2}} = \frac{\frac{1}{100}}{\frac{99}{100}} = \frac{1}{99} .

Per cui (si confronti il risultato con l’esercizio PAPERINO = Osservazione dopo rappr. decimale)

1 + 32 ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{10^{2n}} = \frac{131}{99} .

Questo che segue è l’esercizio PIPPO. Calcolare 0, 333333 … = 0, \overline{3}. Il numero 0, \overline{3} è 1/3. Infatti

0, \overline{3} = ∑_{n=1}^{∞} \frac{3}{10^{n}} = 3\frac{1/10}{1 − 1/10} = \frac{1}{3} .