Facoltà di Ingegneria CdL Ingegneria Informatica Prova scritta di Analisi Matematica I – COMPITO A Lecce, 11.12.2006

1. Dopo aver determinato il dominio naturale della funzione definita dalla

seguente espressione analitica:

f(x) = \frac{1}{x}\sqrt{|x^{2} − 9|}

calcolarne la derivata e descrivere il comportamento nei punti di non derivabilità studiando le derivate destra e sinistra.

2. Studiare il seguente limite

lim_{x→0} \frac{sin(x + x^{2}) − sin x − x^{2}}{1 − \frac{x^{2}}{2} − cos x} .

3. Studiare la convergenza della serie

∑_{k=1}^{∞} α^{log k^{2}}

al variare di α > 0.

4. Dire se il seguente integrale è convergente:

∫_{0}^{∞} arctan (\frac{t^{2} + 1}{t^{3} + 3t + 1}) dt.

5. Dire se l’equazione

z^{2} − iz̄ + 1 = 0

ammette radici complesse ed eventualmente calcolarle.

Facoltà di Ingegneria CdL Ingegneria Informatica Prova scritta di Analisi Matematica I – COMPITO B Lecce, 11.12.2006

1. Dopo aver determinato il dominio naturale della funzione definita dalla

seguente espressione analitica:

f(x) = \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}} \sqrt{|4 − x^{2}|^{1/3}}

calcolarne la derivata e descrivere il comportamento nei punti di non derivabilità studiando le derivate destra e sinistra.

2. Studiare il seguente limite

lim_{x→0} \frac{cos(x + x^{2}) − cos x + x^{3}}{sin(x^{2}) − x^{2} − x^{4}} .

3. Studiare la convergenza della serie

∑_{k=1}^{∞} α^{log ^{3}^{\sqrt{k}}}

al variare di α > 0.

4. Dire se il seguente integrale è convergente:

∫_{0}^{∞} arctan (\frac{t^{2}}{t^{4} + 1}) dt.

5. Dire se l’equazione

z^{2} + iz̄ + 1 = 0

ammette radici complesse ed eventualmente calcolarle.

Facoltà di Ingegneria CdL Ingegneria Informatica Prova scritta di Analisi Matematica I – COMPITO C Lecce, 11.12.2006

1. Dopo aver determinato il dominio naturale della funzione definita dalla

seguente espressione analitica:

f(x) = \frac{1}{x^{2}} \sqrt{|x^{4} − 16|}

calcolarne la derivata e descrivere il comportamento nei punti di non derivabilità studiando le derivate destra e sinistra.

2. Studiare il seguente limite

lim_{x→0} \frac{log(2 − cos x) − \frac{x^{2}}{2}}{x sin(x^{3})} .

3. Studiare la convergenza della serie

∑_{k=1}^{∞} α^{log^{\sqrt{k}}}

al variare di α > 0.

4. Dire se il seguente integrale è convergente:

∫_{0}^{∞} arcsin (\frac{5t^{2} + 2t + 1}{9t^{3} + 2t + 3}) dt.

5. Dire se l’equazione

z^{2} − iz̄ − 1 = 0

ammette radici complesse ed eventualmente calcolarle.

Facoltà di Ingegneria CdL Ingegneria Informatica Prova scritta di Analisi Matematica I – COMPITO D Lecce, 11.12.2006

1. Dopo aver determinato il dominio naturale della funzione definita dalla

seguente espressione analitica:

f(x) = \frac{1}{x − 2}\sqrt{|x^{2} − 4x|}

calcolarne la derivata e descrivere il comportamento nei punti di non derivabilità studiando le derivate destra e sinistra.

2. Studiare il seguente limite

lim_{x→0} \frac{log(\sqrt{1 + x}) − \frac{x}{2} + \frac{x^{2}}{4}}{sin(x^{2}) tan(x^{3})} .

3. Studiare la convergenza della serie

∑_{k=1}^{∞} α^{log k^{3}}

al variare di α > 0.

4. Dire se il seguente integrale è convergente:

∫_{0}^{∞} arcsin (\frac{t^{2}}{1 + t^{4}} ) dt.

5. Dire se l’equazione

z^{2} + iz̄ − 1 = 0

ammette radici complesse ed eventualmente calcolarle.

Facoltà di Ingegneria CdL Ingegneria Informatica Prova scritta di Analisi Matematica I – COMPITO A Lecce, 8.1.2007

1. Data f : R → R definita da f(x) = \sqrt{x − 2} per x ⩾ 2, f(x) = −\sqrt{2 − x}

per x < 2, disegnare il grafico qualitativo della funzione

\begin{aligned}g : & [1, 3] & ⟶ & R \\ & x & ↦ & f(x) − x + 2 , \end{aligned}

trovando, se esistono, il massimo e il minimo (assoluti) e i punti di non derivabilità di g.

2. Studiare il seguente limite

lim_{x→3} \frac{(x^{2} − 5x + 6)^{2}}{(e^{(x^{2}−9)} − 1)^{4}} .

3. Studiare la convergenza della serie

∑_{n} (\frac{log (e − \frac{1}{n})}{α})^{n} ,

al variare di α > 0.

4. Calcolare il seguente integrale indefinito

∫ \frac{4}{\sqrt{x + 1}(4x + 12\sqrt{x + 1} + 14)} dx

5. Dire se l’equazione

(z + 1)^{3} = e^{iπ/4}

ammette radici complesse di modulo maggiore di 3.

Facoltà di Ingegneria CdL Ingegneria Informatica Prova scritta di Analisi Matematica I – COMPITO B Lecce, 8.1.2007

1. Data f : R → R definita da f(x) = \sqrt{x + 1} per x ⩾ −1, f(x) =

−\sqrt{−1 − x} per x < −1, disegnare il grafico qualitativo della funzione

\begin{aligned}g : & [−2, 0] & ⟶ & R \\ & x & ↦ & f(x) − x − 1 , \end{aligned}

trovando, se esistono, il massimo e il minimo (assoluti) e i punti di non derivabilità di g.

2. Studiare il seguente limite

lim_{x→−3} \frac{(x^{2} + x − 6)^{2}}{(log(x^{2} − 8))^{4}} .

3. Studiare la convergenza della serie

∑_{n} (\frac{arccos \frac{1}{n}}{α} )^{n} ,

al variare di α > 0.

4. Calcolare il seguente integrale indefinito

∫ \frac{1}{\sqrt{3^{x} − 9}} dx

5. Dire se l’equazione

(z − 2)^{3} = −1

ammette radici complesse di modulo maggiore di 5.

Facoltà di Ingegneria CdL Ingegneria Informatica Prova scritta di Analisi Matematica I – COMPITO C Lecce, 8.1.2007

1. Data f : R → R definita da f(x) = \sqrt{x + 2} per x ⩾ −2, f(x) =

−\sqrt{−2 − x} per x < −2, disegnare il grafico qualitativo della funzione

\begin{aligned}g : & [−3, −1] & ⟶ & R \\ & x & ↦ & f(x) − x − 2 , \end{aligned}

trovando, se esistono, il massimo e il minimo (assoluti) e i punti di non derivabilità di g.

2. Studiare il seguente limite

lim_{x→4} \frac{(x^{2} − 3x − 4)^{2}}{\sqrt{x^{2} − 15} − 1} .

3. Studiare la convergenza della serie

∑_{n} (\frac{arctg (\frac{π}{4} − \frac{1}{n})}{α})^{n} ,

al variare di α > 0.

4. Calcolare il seguente integrale indefinito

∫ \frac{1}{\sqrt{2^{x} − 4}} dx

5. Dire se l’equazione

(z + 2)^{4} = −i

ammette radici complesse di modulo maggiore di 4.

Facoltà di Ingegneria CdL Ingegneria Informatica Prova scritta di Analisi Matematica I – COMPITO D Lecce, 8.1.2007

1. Data f : R → R definita da f(x) = \sqrt{x − 1} per x ⩾ 1, f(x) = −\sqrt{1 − x}

per x < 1, disegnare il grafico qualitativo della funzione

\begin{aligned}g : & [0, 2] & ⟶ & R \\ & x & ↦ & f(x) − x + 1 , \end{aligned}

trovando, se esistono, il massimo e il minimo (assoluti) e i punti di non derivabilità di g.

2. Studiare il seguente limite

lim_{x→−1} \frac{(x^{2} + 5x + 4)^{2}}{(arctg (sen(x^{4} − 1)))^{2}} .

3. Studiare la convergenza della serie

∑_{n} (\frac{tg (\frac{π}{4} − \frac{1}{n})}{α})^{n} ,

al variare di α > 0.

4. Calcolare il seguente integrale indefinito

∫ \frac{1}{\sqrt{x − 1}(4x − 16\sqrt{x − 1} + 13)} dx

5. Dire se l’equazione

(z − 1)^{3} = i

ammette radici complesse di modulo maggiore di 3.

Facoltà di Ingegneria CdL Ingegneria Informatica Prova scritta di Analisi Matematica I Lecce, 19.3.2007

1. Studiare (determinandone il dominio massimale) la funzione f(x) = arccos (\sqrt{|x|} − 1), disegnandone il grafico qualitativo e trovando, se esistono, il massimo e il minimo (assoluti) e i punti di non derivabilità.

2. Studiare il seguente limite

lim_{x→0^{+}} \frac{2x^{4} − 1 + cos x^{2}}{x^{8} + x^{4}} .

3. Studiare la convergenza della serie

∑_{n} ( ^{3} \sqrt{8n^{3} + 3n} − 2n)^{α}

al variare di α > 0.

4. Calcolare il seguente integrale

∫_{−1}^{1} \frac{x^{2}}{(2 + x)(2 − |x|)} dx

Facoltà di Ingegneria

CdL Ingegneria Informatica

5. Trovare le radici dell’equazione complessa 2\sqrt{3} |z|^{2}z^{2} = 3 + i\sqrt{3} Prova scritta di Analisi Matematica I

Lecce, 16.4.2007

1. Studiare la funzione f(x) = arctg |x^{2}(x^{2} − 1)|, disegnandone il grafico qualitativo e trovando in particolare, se esistono, il massimo e il minimo (assoluti) e i punti di non derivabilità.

2. Studiare il seguente limite

lim_{x→+∞} \frac{x^{3} log (1 + sen^{2} \frac{3}{x^{2}} )}{\sqrt{1 + x^{2}}} .

3. Studiare, al variare del parametro α, la serie

∑_{n=1}^{∞} [sen (tg (\frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}} )) − \frac{1}{n^{2}} ]^{α} .

4. Calcolare il seguente integrale

∫_{2}^{3} \frac{1}{2y} \frac{1}{\sqrt{y − 2}} dy .

5. Considerato il polinomio p(z) = z^{4} + z^{3} − 11z^{2} + z − 12 calcolare p(i) dopodiché trovare le radici dell’equazione complessa p(z) = 0.

Facoltà di Ingegneria CdL Ingegneria Informatica Prova scritta di Analisi Matematica I Lecce, 28.6.2007

1. Studiare la funzione f(x) = \frac{1}{3}x^{3}\sqrt{1 − x^{2}}, disegnandone il grafico qualitativo e trovando in particolare, se esistono, il massimo e il minimo (assoluti) e i punti di non derivabilità.

2. Studiare il seguente limite

lim_{x→0} \frac{\sqrt{x^{2} + x^{3}} − sen x}{tg (x + x^{2})} .

3. Studiare, al variare del parametro α ⩾ 0, la serie

∑_{n} n^{2}(tg \frac{1}{n} + sen\frac{\sqrt[3]{2}}{n} − \frac{α}{n})

4. Studiare, ed eventualmente calcolare, il seguente integrale ∫_{0}^{+∞} e^{−2x}\sqrt{1 − e^{−4x}} dx .

5. Trovare le soluzioni complesse dell’equazione (z − 1)^{4} + 16 = 0 .

Prova scritta di Analisi Matematica I

Lecce, 12.7.2007

1. Studiare la convergenza del seguente integrale al variare del parametro α ⩾ 4

∫_{−∞}^{+∞} \frac{1}{x^{2} + 4x + α} dx .

2. Studiare la convergenza della serie

∑_{n=1}^{+∞} [1 − sen\frac{π}{2} (1 + \frac{1}{n})]

3. Dire se esiste ed eventualmente calcolare il seguente limite

lim_{x→0} \frac{log ( cos(2π + x))}{sen^{2}x}

4. Sapendo che 1 + i e 2 − i sono radici del seguente polinomio complesso p(z) = z^{5} − 12z^{4} + 51z^{3} − 108z^{2} + 118z − 60, dire se p ammette radici puramente reali e/o puramente immaginarie.

5. Studiare la funzione f(x) = arctg \sqrt{|\frac{x − 2}{x + 2}|}, disegnandone il grafico qua-

litativo e trovando in particolare, se esistono, il massimo e il minimo (assoluti) e i punti di non derivabilità.

Facoltà di Ingegneria CdL Ingegneria Informatica Prova scritta di Analisi Matematica I Lecce, 10.9.2007

1. Calcolare il seguente integrale

∫_{3}^{5} \frac{log(x^{2} − 4)}{x^{3}} dx .

2. Studiare la convergenza della serie

∑_{n=2}^{+∞} [sen(nπ + \frac{1}{log n})]^{n}

3. Dire se esiste ed eventualmente calcolare il seguente limite

lim_{x→0^{+}} \frac{sen^{2}x − arctg x^{2}}{x^{α}}

al variare del paremetro α > 0.

4. Dire se il seguente sistema di equazioni ammette soluzioni z ∈ C

\{ \begin{matrix}|z − 2| = 1 , \\ |z − 2 − 3i| = 2 \end{matrix}

ed eventualmente trovarle tutte.

5. Studiare la funzione f(x) = |e^{2x} − 3e^{x} + 2|, disegnandone il grafico qualitativo e trovando in particolare, se esistono, il massimo e il minimo (assoluti), massimi e minimi relativi e i punti di non derivabilità.