Facoltà di Ingegneria

CdL Ingegneria Informatica

Prova scritta di Analisi Matematica I – COMPITO A

Lecce, 11.12.2007

La parte obbligatoria del compito è fatta dagli esercizi numerati da 1 a 4. L’esercizio facoltativo può essere svolto solo dopo aver svolto completamente i primi quattro esercizi e il suo mancato svolgimento non compromette la valutazione.

1. Data la funzione f : [−3, 3] ⟶ R definita da f(x) = \sqrt[3]{(x − 1)(x − 2)^{2}} disegnarne il grafico. In particolare trovare, se esistono, il massimo e il minimo assoluto e studiare la derivata prima di f, descrivendo il comportamento nei punti, se esistono, di non derivabilità.

Disegnare qualitativamente, il grafico di x ↦ f(|x|), x ∈ [−3, 3].

2. Studiare il seguente limite al variare del parametro α ∈ [0, +∞)

lim_{x→0^{+}} \frac{x^{α} + log(cos^{2} x)}{log (1 + sen (x^{2} + x^{4}))} .

3. Studiare la convergenza della serie

∑_{n=1}^{∞} (e − e^{cos ^{\frac{1}{n}}} ) .

4. Fattorizzare in R (cioè come prodotto di fattori irriducibili in R) il poli-

nomio

p(x) = x^{6} + 1 .

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Esercizio facoltativo - La serie ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k} diverge. Esibire un esempio di una funzione che sia asintotica a ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k} all’infinito, cioè una funzione f tale che

lim_{n→+∞} \frac{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ⋯ + \frac{1}{n}}{f(n)} = λ (λ ∈ R_{+}) .

Prova scritta di Analisi Matematica I – COMPITO B

Lecce, 11.12.2007

La parte obbligatoria del compito è fatta dagli esercizi numerati da 1 a 4. L’esercizio facoltativo può essere svolto solo dopo aver svolto completamente i primi quattro esercizi e il suo mancato svolgimento non compromette la valutazione.

1. Data la funzione f : [−4, 4] ⟶ R definita da f(x) = \sqrt[5]{(x + 3)(x + 2)^{2}} disegnarne il grafico. In particolare trovare, se esistono, il massimo e il minimo assoluto e studiare la derivata prima di f, descrivendo il comportamento nei punti, se esistono, di non derivabilità.

Disegnare qualitativamente, il grafico di x ↦ f(|x|), x ∈ [−4, 4].

2. Studiare i seguenti limiti al variare del parametro α ∈ [0, +∞)

lim_{x→0^{+}} \frac{log(1 + arctg x^{2} + arctg x^{4})}{x^{α} + 4(\sqrt{cos x} − 1)}

3. Studiare la convergenza della serie

∑_{n=1}^{∞} [ log(\sqrt{n} + 1) − log \sqrt{n + 1}] .

4. Fattorizzare in R (cioè come prodotto di fattori irriducibili in R) il poli-

nomio

p(x) = x^{8} + 1 .

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Esercizio facoltativo - La serie ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k} diverge. Trovare una funzione f asinototica a ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k} all’infinito, cioè una funzione f tale che

lim_{n→+∞} \frac{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ⋯ + \frac{1}{n}}{f(n)} = λ (λ ∈ R_{+}) .

Prova scritta di Analisi Matematica I – COMPITO A

Lecce, 10.1.2008

La parte obbligatoria del compito è fatta dagli esercizi numerati da 1 a 4. L’esercizio facoltativo può essere svolto solo dopo aver svolto completamente i primi quattro esercizi; il suo mancato svolgimento non altera la valutazione.

Non è consentito l’uso di calcolatrici, calcolatori, testi o appunti.

1. Data la funzione

f(x) = \frac{x^{2}}{|x|} e^{\frac{1−x}{2−x}}

studiarla limitatamente a x compreso tra −1 e 2. Disegnarne il grafico, trovare, se esistono, il massimo e il minimo assoluto e studiare la derivata prima di f, descrivendo il comportamento nei punti, se esistono, di non derivabilità studiando i limiti destro e sinistro della derivata prima; fare l’analogo negli estremi dell’intervallo.

Una volta tracciato il grafico di f, tracciare, qualitativamente, il grafico di x ↦ log f(x).

2. Calcolare

∫ \frac{1}{2x + 2\sqrt{x} + 5} dx

3. Studiare il seguente integrale improprio

∫_{1}^{+∞} log (3 − 2 cos \frac{1}{x})dx

4. Dato il polinomio p(z) = z^{5} + 3z^{3} − 1 e dette z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}, z_{5} le soluzioni complesse di p(z) = 0, calcolare Im(z_{1} + z_{2} + z_{3} + z_{4} + z_{5}) e Re(i(z_{1} + z_{2} + z_{3} + z_{4} + z_{5})).

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Esercizio facoltativo - Calcolare l’ordine di infinitesimo in 0 della funzione

f(x) = ∫_{0}^{x} (e^{t^{2}} − cos t)dt .

Prova scritta di Analisi Matematica I

Lecce, 19.3.2008

La parte obbligatoria del compito è fatta dagli esercizi numerati da 1 a 4. L’esercizio facoltativo può essere svolto solo dopo aver svolto completamente i primi quattro esercizi; il suo mancato svolgimento non altera la valutazione.

Non è consentito l’uso di calcolatrici, calcolatori, testi o appunti.

1. Studiare la funzione

f(x) = arctg |\frac{\sqrt{x} − 2}{\sqrt{x} + 1}| .

In particolare trovare, se esistono, il massimo e il minimo assoluto e studiare la derivata prima di f, descrivendo il comportamento nei punti, se esistono, di non derivabilità studiando i limiti destro e sinistro della derivata prima; fare l’analogo negli estremi dell’intervallo (se questi sono finiti).

Disegnare poi, qualitativamente, il grafico di x ↦ sen f(x).

2. Calcolare

∫ \frac{1}{x} \sqrt{\frac{2 − x}{2x}} dx .

3. Studiare il seguente integrale improprio

∫_{0}^{1} \frac{1}{log (\frac{sen x}{x})}dx .

4. Scrivere lo sviluppo di Taylor nel punto 0 fino all’ordine quattro della

seguente funzione

f(x) = log (2 − cos^{2} x) .

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Esercizio facoltativo - Calcolare

lim_{x→+∞} \frac{∫_{1}^{x} log (t + e^{t} + sen \frac{1}{t})dt}{∫_{0}^{x} t arctg t dt} .

Prova scritta di Analisi Matematica I

Lecce, 8.4.2008

Non è consentito l’uso di calcolatrici, calcolatori, testi o appunti.

1. Studiare dettagliatamente la funzione

f(x) = x e^{\frac{1}{log |x|}}

al variare di x tra −1 e 1. Dopodiché studiare e disegnare |f| nello stesso dominio. Infine, utilizzando solamente il grafico di f e sempre nello stesso dominio, disegnare qualitativamente il grafico di

x ↦ \frac{1}{f(x) + 4} .

2. Scrivere lo sviluppo di Taylor fino al sesto ordine nel punto x = 0 della

funzione

f(x) = \sqrt{1 + sen^{3}x} .

3. Studiare la convergenza della serie al variare del parametro α ∈ R

∑_{n=1}^{∞} \frac{(α + 3)^{n}}{3^{n} + log n} arctg \frac{3}{n} .

4. Dire per quali numeri complessi z è verificata l’uguaglianza

|Re z| + |Im z| = |z| .

Facoltà di Ingegneria CdL Ingegneria Informatica Prova scritta di Analisi Matematica I Lecce, 1^{∘} luglio 2008

Non è consentito l’uso di calcolatrici, calcolatori, testi o appunti.

1. Studiare dettagliatamente la funzione

f(x) = e^{\frac{|x+2|}{x+3}}

trovandone il dominio massimale. Utilizzando solamente il grafico di f disegnare qualitativamente il grafico di

x ↦ \frac{1}{f(x) − \frac{1}{2}} .

2. Studiare il seguente limite

lim_{x→0^{+}} \frac{αx − log(1 + x)^{2}}{x^{4} + x^{α}}

al variare di α > 0.

3. Dire se il seguente integrale improprio

∫_{0}^{+∞} e^{−x}x^{4}dx

converge. In tal caso, calcolarne il valore.

4. Trovare i numeri complessi che risolvono l’equazione z^{2}z̄ + 2z − 3z̄^{−1} = 0 .

Prova scritta di Analisi Matematica I

Lecce, 15.7.2008

Non è consentito l’uso di calcolatrici, calcolatori, testi o appunti.

1. Studiare dettagliatamente la funzione

f(x) = |x + arctg \frac{x + 1}{x}|

trovandone il dominio massimale.

Utilizzando solamente il grafico di f disegnare qualitativamente il grafico di

x ↦ \frac{1}{f(x) − 1} .

2. Studiare il carattere della serie

∑_{n=1}^{+∞} [ \sqrt{(\frac{n + 1}{n})^{n^{2}} + n} − \sqrt{(\frac{n + 1}{n})^{n^{2}} − n} ]

3. Calcolare il seguente limite al variare del parametro α ∈ R (log denota il logaritmo in base naturale)

lim_{x→+∞} [sen \frac{1}{x}] · [ log (3x^{α} + e^{αx})] .

4. Trovare, se esistono, le radici complesse soddisfacenti l’equazione

z̄^{2} = z^{5} .

Facoltà di Ingegneria CdL Ingegneria Informatica Prova scritta di Analisi Matematica I Lecce, 9.9.2008

Non è consentito l’uso di calcolatrici, calcolatori, testi o appunti.

1. Studiare dettagliatamente la funzione

f(x) = x + 4 arctg \sqrt{|x − 1|}

trovandone il dominio massimale.

Utilizzando solamente il grafico di f disegnare qualitativamente il grafico di

x ↦ \frac{1}{f(x + 1) − x + 2} .

2. Studiare il carattere della serie

∑_{n=1}^{+∞} [ e^{\frac{1}{2n^{2}}} + cos (\frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}} ) − 2]\sqrt{n} .

3. Calcolare il seguente integrale indefinito

∫_{−1}^{1} \frac{x^{2}}{(|x| − 3)(x + 3)} dx .

4. Trovare, se esistono, le radici complesse soddisfacenti l’equazione (z^{2} + (1 − 2i)z − i)^{2} = −1 .