Facoltà di Ingegneria

CdL Ingegneria Gestionale - Sede di Brindisi

Prova scritta di Analisi Matematica I – COMPITO A

Mesagne, 10.12.2007

La parte obbligatoria del compito è fatta dagli esercizi numerati da 1 a 4. L’esercizio facoltativo può essere svolto solo dopo aver svolto completamente i primi quattro esercizi.

1. Data la funzione

\begin{aligned}f : & [−4, 4] & ⟶ & R \\ & x & ↦ & \sqrt[7]{(x + 1)(x − 2)^{2}} , \end{aligned}

calcolarne la derivata e descrivere il comportamento nei punti di non derivabilità studiando le derivate destra e sinistra.

Disegnare qualitativamente il grafico di x ↦ f(|x|).

2. Studiare il seguente limite al variare del parametro α ∈ [0, +∞)

lim_{x→0} \frac{(1 + x)^{\frac{5}{6}} − (1 + \frac{5}{3}x)^{\frac{1}{2}}}{x^{α} + 2 cos x − 2} .

3. Studiare la convergenza della serie al variare del parametro α ∈ [0, +∞)

∑_{n=1}^{∞} [sen (π − \frac{1}{n^{α}} )][\sqrt{1 + n^{2}} − n]

al variare di α > 0.

4. Fattorizzare in R il polinomio

p(x) = x^{8} + 1 .

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Esercizio facoltativo - La serie ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k} diverge. Esibire un esempio di una funzione che sia asintotica a ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k} all’infinito, cioè una funzione f tale che

lim_{n→+∞} \frac{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ⋯ + \frac{1}{n}}{f(n)} = λ (λ ∈ R_{+}) .

Prova scritta di Analisi Matematica I – COMPITO B

Mesagne, 10.12.2007

La parte obbligatoria del compito è fatta dagli esercizi numerati da 1 a 4. L’esercizio facoltativo può essere svolto solo dopo aver svolto completamente i primi quattro esercizi.

1. Data la funzione

\begin{aligned}f : & [−4, 4] & ⟶ & R \\ & x & ↦ & \sqrt[5]{(x + 1)^{2}(x − 2)} , \end{aligned}

calcolarne la derivata e descrivere il comportamento nei punti di non derivabilità studiando le derivate destra e sinistra.

Disegnare qualitativamente il grafico di x ↦ f(|x|).

2. Studiare il seguente limite al variare del parametro α ∈ [0, +∞)

lim_{x→0} \frac{cosh x^{2} + senh x^{2} − cos x − αx^{2}}{x^{4}} .

3. Studiare la convergenza della serie

∑_{n=1}^{∞} [\sqrt{1 + \frac{1}{n^{2}}} − log (e cos \frac{1}{n})] .

4. Fattorizzare in R il polinomio

p(x) = x^{6} − x^{3} + 1 .

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Esercizio facoltativo - La serie ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k} diverge. Esibire un esempio di una funzione che sia asintotica a ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k} all’infinito, cioè una funzione f tale che

lim_{n→+∞} \frac{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ⋯ + \frac{1}{n}}{f(n)} = λ (λ ∈ R_{+}) .

Prova scritta di Analisi Matematica I – COMPITO A

Mesagne, 9.1.2008

La parte obbligatoria del compito è fatta dagli esercizi numerati da 1 a 4. L’esercizio facoltativo può essere svolto solo dopo aver svolto completamente i primi quattro esercizi; il suo mancato svolgimento non altera la valutazione.

Non è consentito l’uso di calcolatrici, calcolatori, testi o appunti.

1. Studiare la funzione

\begin{aligned}f : & (−1, +∞) & ⟶ & R \\ & x & ↦ & \frac{2|x|−x^{2}−x}{x+1} , \end{aligned}

disegnarne il grafico qualitativo, studiando in particolare la derivata prima e il comportamento di f negli eventuali punti di non derivabilità studiando le derivate destra e sinistra.

Disegnare qualitativamente il grafico di x ↦ arctg (f(x)), x ∈ (−1, +∞).

2. Scrivere lo sviluppo di Taylor fino al quarto ordine nel punto 0 della funzione f(x) = log(3 − 2 cos^{2} x).

3. Studiare al variare di α ∈ R la convergenza della serie

∑_{n=1}^{∞} \frac{(α − 1)^{n}}{5^{n} + n^{3}} log (1 + \frac{3}{n}) .

4. Dato il polinomio p(z) = z^{5} − 5z^{3} + 1 e dette z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}, z_{5} le soluzioni complesse di p(z) = 0, calcolare Im(z_{1} + z_{2} + z_{3} + z_{4} + z_{5}) e Re(i(z_{1} + z_{2} + z_{3} + z_{4} + z_{5})).

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Esercizio facoltativo - Calcolare l’ordine di infinitesimo in 0 della funzione

f(x) = ∫_{0}^{x} (e^{t^{2}} − cos t)dt .

Facoltà di Ingegneria

CdL Ingegneria - Sede di Brindisi

Prova scritta di Analisi Matematica I

Mesagne, 9.4.2008

Non è consentito l’uso di calcolatrici, calcolatori, testi o appunti.

1. Data la funzione

\begin{aligned}f : & [−2, 1) & ⟶ & R \\ & x & ↦ & x + log (1 + \frac{|x|}{|x−1|}) , \end{aligned}

calcolarne la derivata e descrivere il comportamento nei punti di non derivabilità studiando le derivate destra e sinistra.

Infine, utilizzando solamente il grafico di f e sempre nello stesso dominio, disegnare qualitativamente il grafico di x ↦ e^{f(x)}.

2. Scrivere lo sviluppo di Taylor fino al sesto ordine nel punto x = 0 della

funzione

f(x) = \sqrt{1 + sen^{3}x} .

3. Calcolare

∫_{1}^{3} \sqrt{3 + |x^{2} − 4|}dx

4. Trovare, se esistono, le soluzioni al seguente sistema

\{ \begin{matrix}(z − i)^{6} + 1 = 0 \\ |z| = 2 \end{matrix}

Prova scritta di Analisi Matematica I

Mesagne, 23.4.2008

Non è consentito l’uso di calcolatrici, calcolatori, testi o appunti.

1. Studiare la funzione

f(x) = |\frac{3 − \sqrt{x + 2}}{\sqrt{x + 2} + 1}| .

In particolare trovare, se esistono, il massimo e il minimo assoluto e studiare la derivata prima di f, descrivendo il comportamento nei punti, se esistono, di non derivabilità studiando i limiti destro e sinistro della derivata prima; fare l’analogo negli estremi dell’intervallo (se questi sono finiti).

Infine, utilizzando solamente il grafico di f e sempre nello stesso dominio, disegnare qualitativamente il grafico di

x ↦ cos \frac{f(x)}{2} .

2. Calcolare il seguente limite

lim_{x→−2} \frac{(x^{2} − 2x − 8)^{2} log(3 + x)}{( log(x^{2} + 4x + 5)) (arctg (x + 2))}

3. Studiare la convergenza della seguente serie al variare del parametro

α ∈ R

∑_{n} (e^{1/n} − 1 − \frac{1}{n^{α}} )

4. Trovare le coppie di numeri complessi (z, w) tali che

\{ \begin{matrix}z + w = 1 + i \\ zw = i \end{matrix}

Prova scritta di Analisi Matematica I

Mesagne, 30.6.2008

Non è consentito l’uso di calcolatrici, calcolatori, testi o appunti.

1. Studiare dettagliatamente la funzione

f(x) = e^{\frac{|x−1|}{x}}

trovandone il dominio massimale.

Utilizzando solamente il grafico di f disegnare qualitativamente il grafico di

x ↦ \frac{1}{f(x) − 1} .

2. Studiare il carattere della serie^{∗}

∑_{n=1}^{+∞} [\sqrt{( log 2)^{n} + n} − \sqrt{( log 2)^{n} − n}]

3. Calcolare lo sviluppo di Taylor fino all’ordine 4 attorno al punto x_{0} = 0

della funzione

f(x) = log (\frac{1 + x}{1 + 3x^{2}} ) .

4. Trovare i numeri complessi che risolvono l’equazione

z^{2}z̄ + 2z − 3\frac{1}{z̄} = 0 .

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(∗) Nel testo c’era un errore: sostituire log 2 con log 3 in entrambi i termini.

Facoltà di Ingegneria CdL Ingegneria - Sede di Brindisi Prova scritta di Analisi Matematica I Mesagne, 16.7.2008

Non è consentito l’uso di calcolatrici, calcolatori, testi o appunti.

1. Studiare dettagliatamente la funzione

f(x) = |2x + arctg \frac{2x + 1}{2x}|

trovandone il dominio massimale.

Utilizzando solamente il grafico di f disegnare qualitativamente il grafico di

x ↦ \frac{1}{f(x) − 1} .

2. Studiare la convergenza della serie al variare del parametro α ∈ R

∑_{n=1}^{+∞} [\frac{α}{n} − log (1 + \frac{\sqrt{2}}{n} + \frac{1}{n^{2}} )^{2}]n^{α^{2}/4}

3. Calcolare il seguente integrale ∫ x^{−3/2} log(1 + x^{3/2}) dx .

4. Trovare i numeri complessi z che risolvono la seguente equazione z̄^{2} = z^{5} .

Facoltà di Ingegneria CdL Ingegneria - Sede di Brindisi Prova scritta di Analisi Matematica I Mesagne, 10.9.2008

Non è consentito l’uso di calcolatrici, calcolatori, testi o appunti.

1. Studiare dettagliatamente la funzione

f(x) = 4 arctg \sqrt{|x + 1|} − x

trovandone il dominio massimale.

Utilizzando solamente il grafico di f disegnare qualitativamente il grafico di

x ↦ \frac{1}{f(x − 1) + x + 2} .

2. Studiare il carattere della serie

∑_{n=1}^{+∞} [ \sqrt{1 + \frac{1}{n^{2}}} + cos (\frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}} ) − 2]\sqrt{n} .

3. Calcolare il seguente integrale indefinito

∫_{−1}^{1} \frac{x^{2}}{(|x| − 2)(x + 2)} dx .

4. Trovare, se esistono, le radici complesse soddisfacenti l’equazione (z^{2} + (1 − 2i)z − i)^{2} = −1 .