esercizi che non ho messo negli scritti

**************************************************************** Trovare massimo e minimo in [−2, 2] di

f(x) = |x^{3} − x| − 2x

Trovare l’ordine di infinitesimo di quasi dato

∫_{0}^{x} log (\frac{sen t}{t})dt ,

dato

∫_{0}^{x} (e^{t^{2}} − cos t)dt ,

∫_{0}^{√\overline{x}} \frac{sen (log(cos t))}{t(\sqrt{1 + \sqrt{t}} − 1)}dt ,

∫_{0}^{x}[\sqrt{1 + t + t^{2} + t^{3}} − 1 − t − t^{2}]dt ,

∑_{n} ∫_{n}^{n+1} arctg t dt x := t^{−1} = ∫_{0}^{+∞} arctg t dt

∑_{n} sen (2n arctg n^{α})

più semplice

∑_{n} sen (4n arctg n^{α})

∑_{n} sen (αn f(n^{α})) , dove lim_{x→+∞} f(x) = \frac{π}{α}

∑_{n} (1 − 2^{log ^{\frac{1}{n}}} )^{n} , ∑_{n} (1 − 3^{log ^{\frac{1}{n}}} )^{n}

∑_{n} ∫_{n}^{n+1} log t dt

∑_{n} a^{\sqrt{n}}

∑_{n} (\frac{f(a_{n})}{f(x_{0})})^{n}

con f continua in x_{0}, a_{n} → x_{0}, meglio se f(a_{n}) < f(x_{0}) Dire se esistono valori di α per i quali le serie che seguono convergono

∑_{n}( ^{n} \sqrt{n^{log n}} − α)

∑_{n}( ^{n} \sqrt{n!} − α)

dato

∫ \frac{x + 3}{2x + 2\sqrt{x} + 5} dx

∫_{0}^{1} 2xe^{e^{2x^{2}} +2x^{2}} dx

Studiare la funzione ∫_{0}^{x} arctg (\frac{t^{2}}{1 + t^{4}} ) dt

∑_{n} (\frac{arctg n}{α})^{n} ,

∑_{n} (α arcsen (1 − \frac{1}{n}))^{n} ,

1. Studiare (determinandone il dominio massimale) la funzione f(x) = arcsen(\sqrt{|x|} − 1), disegnandone il grafico qualitativo e trovando, se esistono, il massimo e il minimo (assoluti) e i punti di non derivabilità. NOTA: abbiamo dato l’arcocoseno a marzo 2007

2.

∫_{0}^{+∞} log (2 + \frac{3t^{2} − t^{4}}{t^{4} + t + 1}) dt

3. Studiare il seguente limite

lim_{x→0^{+}} \frac{αx^{4} − 1 + cos x^{2}}{x^{8} + x^{α}}

al variare di α > 0. vedi appello di marzo 2007

4. Studiare il seguente limite

lim_{x→1} \frac{α(x − 1) − log x^{2}}{x^{4} + x^{α}}

al variare di α > 0.

5. Studiare la convergenza della serie

∑_{n} (\frac{log n}{n} − \frac{1}{n}) .

6. Studiare la convergenza della serie vedi compito di giugno 2007

∑_{n} (tg\frac{3}{n} − arctg\frac{4}{n} − \frac{α}{n})

al variare di α > 0.

7. Calcolare il seguente integrale

∫_{−1}^{1} \frac{x^{2}}{(x + 3)(|x| + 3)} dx

vedi appello di marzo 2007

8. Calcolare il seguente integrale indefinito dato

∫ \sqrt{\frac{2 − x}{x}} \frac{1}{2x + 1} dx