Facoltà di Ingegneria CdL Ingegneria Informatica Prova scritta di Analisi Matematica I per i fuori corso Lecce, 5.11.2007

1. Studiare la funzione definita dalla seguente espressione analitica

f(x) = e^{arctg |x^{2}−1|} ,

trovando il massimo dominio nel quale è definita. In particolare studiare la continuità di f e della sua derivata e dire se f ammette massimo e minimo nel suo dominio naturale.

2. Studiare il seguente limite

lim_{x→3} \frac{(x^{2} − x − 6)^{6}}{(e^{(x^{2}−9)} − 1)^{6}} .

3. Studiare la convergenza della serie

∑_{n=1}^{∞} [(1 + \frac{1}{n^{α}} )^{β} − 1]n^{γ}

al variare di α, β, γ > 0.

4. Calcolare

∫ \frac{1}{x^{3}} arctg \frac{1}{x} dx .

5. Dire se l’equazione

z^{2} + z|z| − 2|z|^{2} = 0

ammette radici complesse ed eventualmente calcolarle.