Capitolo 2

Funzioni di più variabili, continuità, derivabilità, differenziabilità

Ultimo aggiornamento: 19 aprile 2004

Esercizio 2.1 - Disegnare o scrivere gli insiemi di livello (e il grafico) delle seguenti funzioni:

1. f(x, y) = x^{2} + y^{2}

2. f(x, y) = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

3. f(x, y) = arctg [(x^{2} + y^{2}) log(1 + x^{2} + y^{2})]

4. funzioni radiali

5. f(x, y) = (x − y)^{2}

6. f(x, y) = x^{2} − y^{2}

7. f(x, y) = |x| + |y|

8. f(x, y) = |x|

9. f(x, y) = |x| − |y| 10. f(x, y) = (|x|^{p} + |y|^{p})^{1/p} con p > 1

11. f(x, y) = max{|x|, |y|}

12. f(x, y) = \frac{1 + xy}{x^{2}}

13. f(x, y) = e^{x^{2}+2y^{2}}

14. f(x, y, z) = log \frac{z}{x^{2} + y^{2}}

15. f(x, y, z) = arctg \frac{x^{2} + y^{2}}{(z − 1)^{2}}

16. f(x, y) = \{ \begin{matrix}\frac{2x}{x^{2} + y^{2}} & (x, y) ≠ (0, 0) \\ 0 & (x, y) = (0, 0) \end{matrix}

Esercizio 2.2 - Si calcoli, se esiste, il limite lim_{(x,y)→(0,0)} \frac{y^{2}}{x}.

Esercizio 2.3 - Dire se la seguente funzione è continua su R^{2}

f(x, y) = \{ \begin{matrix}(x^{2} + y^{2}) sen \frac{1}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} & (x, y) ≠ (0, 0) \\ 0 & (x, y) = (0, 0) \end{matrix}

Studiare poi la derivabilità e la differenzibilità. Esercizio 2.4 - Si dica se il seguente limite esiste o no, ed eventualmente calcolarlo:

lim_{(x,y)→(0,0)} \frac{sen (x^{4} + y^{4})}{x^{3} + xy^{2}} .

Esercizio 2.5 - Calcolare

lim_{|(x,y)|→+∞} x^{3}ye^{−xy}

con (x, y) ∈ A = {(x, y) ∈ R^{2} | x ⩾ 0 , x ⩽ y ⩽ 2x}.

Esercizio 2.6 - Si calcoli lim_{(x,y)→(1,0)} \frac{y^{2} log x}{(x − 1)^{2} + y^{2}} .

Esercizio 2.7 - Esiste il limite lim_{(x,y)→(0,0)} \frac{x^{2}y}{x^{4} + y^{2}} ?

Esercizio 2.8 - Discutere l’esistenza del limite lim_{|(x,y,z)|→+∞}(x^{4} + y^{2} + z^{2} −

x + 3y − z).

Esercizio 2.9 - Dire per quali valori di α ∈ R esiste il seguente limite

lim_{(x,y)→(0,0)} \frac{|y|^{α} cos x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} .

Esercizio 2.10 - Studiare continuità, derivabilità, differenziabilità della seguente funzione

f(x, y) = \{ \begin{matrix}\frac{x^{2}y}{x^{2} + y^{2}} & (x, y) ≠ (0, 0) \\ 0 & (x, y) = (0, 0) . \end{matrix}

Esercizio 2.11 - Studiare continuità, derivabilità, differenziabilità della seguente funzione

f(x, y) = \{ \begin{matrix}\frac{sen (x^{4} + y^{4})}{x^{2} + y^{2}} & (x, y) ≠ (0, 0) \\ 0 & (x, y) = (0, 0) . \end{matrix}

Esercizio 2.12 - Dire per quali valori di α, β, γ reali esiste finito il limite

lim_{(x,y)→(0,0)} \frac{|x|^{α}|y|^{β}}{(3x^{2} + 5y^{2})^{γ/2}} .

Esercizio 2.13 - Discutere l’esistenza dei seguenti limiti

lim_{(x,y)→(0,0)} xe^{−y/x} ,  lim_{(x,y)→(0,0)} \frac{x^{3} + y^{5}}{x^{2} + y^{5}} .

Esercizio 2.14 - Studiare continuità, derivabilità, differenziabilità della seguente funzione

f(x, y) = \{ \begin{matrix}\frac{x^{3}y^{4}}{x^{6} + y^{4}} & (x, y) ≠ (0, 0) \\ 0 & (x, y) = (0, 0) . \end{matrix}

Esercizio 2.15 - Si dimostri che non esiste alcuna funzione f di classe C^{2}(R^{2}) tale che

\frac{∂f}{∂x} = x sen y , \frac{∂f}{∂x} = y cos x .

Esercizio 2.16 - Studiare continuità, derivabilità, differenziabilità della seguente funzione

f(x, y) = \{ \begin{matrix}\frac{y}{x^{2}} arctg (x^{2} + y^{2}) & x ≠ 0 \\ 0 & x = 0 . \end{matrix}

Esercizio 2.17 - Si dica per quali valori del parametro α ∈ R la seguente funzione è continua, derivabile, differenziabile

f(x, y) = \{ \begin{matrix}|x|^{α} sen y & x ≠ 0 \\ 0 & x = 0 . \end{matrix}

Esercizio 2.18 - Studiare continuità, derivabilità, differenziabilità della seguente funzione

f(x, y) = \{ \begin{matrix}\frac{x^{2}y^{3}}{x^{4} + y^{4}} & (x, y) ≠ (0, 0) \\ 0 & (x, y) = (0, 0) . \end{matrix}

Soluzioni

Soluzione 2.1 - Denotiamo con Γ_{c}, c ∈ R, l’insieme di livello c, in questo caso l’insieme {(x, y) ∈ R^{2} | f(x, y) = c}. Dobbiamo risolvere f(x, y) = c con c ∈ R. È evidente che per c < 0 l’insime Γ_{c} = ∅. Per c = 0 Γ_{c} è fatto da un solo punto Γ_{0} = \{(0, 0)\}. Per c > 0 si hanno circonferenze di raggio \sqrt{c}.

1. In generale per una funzione radiale, cioè che dipende solamente dalla distanza dall’origine, gli insiemi di livello possono essere l’insieme vuoto ∅, insiemi fatti da un solo punto oppure circonferenze in R^{2}, sfere in R^{3} (ipersfere di codimensione 1 in R^{n}). Possono essere anche corone circolari o tutto R^{n} o unione di più circonferenze. In generale si pensi ad una funzione radiale come ad una funzione radiale g : R^{n} → R definita tramite un’altra funzione f : [0, +∞) → R nel modo seguente: g(x_{1}, …, x_{n}) = f(\sqrt{x_{1}^{2} + … + x_{n}^{2}}).

5. Γ_{c} = ∅ se c < 0. Se c = 0 dobbiamo capire qual è l’insieme rappresentato da (x − y)^{2} = 0. È dato dai punti di R^{2} che stanno sulla retta di equazione x = y. Se invece c > 0 si ha

(x − y)^{2} = c  ⟹  y = x + \sqrt{c} oppure y = x − \sqrt{c}

quindi l’insieme di livello c con c > 0 è dato da coppie di rette

7. Risolvendo |x| + |y| = c si ha per c < 0 l’insieme ∅, per c = 0 il solo punto (0, 0), per c > 0 le curve in Figura 2.1

Figura 2.1:

11. Risolvendo f(x, y) = c si ha per c < 0 l’insieme ∅, per c = 0 il solo punto (0, 0), per c > 0 le curve in Figura 2.2

Figura 2.2:

12. Risolviamo

\frac{1 + xy}{x^{2}} = c .

Innanzitutto deve essere x ≠ 0. Si ottiene (si veda anche Figura 2.3 per alcune curve di livello)

y = cx − \frac{1}{x} .

Figura 2.3:

14. Sia c ∈ R e poniamo f(x, y, z) = c. Ciò è equivalente a

\frac{z}{x^{2} + y^{2}} = e^{c} = k

con k costante positiva. Gli insiemi di livello sono quindi paraboloidi di equazione z = k(x^{2} + y^{2}) con k costante positiva.

16. Se c = 0 linsieme di livello è fatto dal solo punto (0, 0). Sia quindi c ≠ 0: ponendo 2x/(x^{2} + y^{2}) = c si ottiene

y^{2} + (x − \frac{1}{c})^{2} = \frac{1}{c^{2}}

che, al variare di c in (0, +∞) e in (−∞, 0), rappresentano delle circonferenze di raggio c^{−1} con centro nel punto (c^{−1}, 0) come rappresentato in Figura 2.4.

Figura 2.4:

Soluzione 2.2 - Se il limite esistesse in particolare si avrebbe

lim_{(x,0)→(0,0)} \frac{y^{2}}{x} = lim_{(y^{2},y)→(0,0)} \frac{y^{2}}{x}

ma il primo limite è uguale a 0, il secondo a 1. Esistono curve lungo le quali il limite è +∞?

Soluzione 2.3 - Ricordo: se una funzione è di classe C^{1} sicuramente è differenziabile, ma non è detto che il viceversa sia vero: ecco un esempio in cui ciò non accade. È chiaramente continua in ogni (x, y) ≠ (0, 0). Vediamo se lo è anche in (0, 0). Se il limite esiste si ha

0 ⩽ lim sup_{(x,y)→(0,0)} |(x^{2} + y^{2}) sen \frac{1}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} | ⩽ lim sup_{(x,y)→(0,0)} |(x^{2} + y^{2})| = 0

per cui il limite lim_{(x,y)→(0,0)} f(x) esiste ed è zero. Poiché f(0) = 0 concludiamo che f è continua. Per studiare la derivabilità e la differenziabilità si osservi prima che la funzione è radiale: possiamo infatti esprimerla come

f(x, y) = φ(ρ)

dove

φ : [0, +∞) → R , φ(ρ) = \{ \begin{matrix}0 & ρ = 0 \\ ρ^{2} sen ρ^{−1} & ρ > 0 . \end{matrix}

La funzione φ estesa per simmetria anche a ρ < 0 (φ(ρ) = ρ^{2} sen ρ^{−1} per ρ < 0) è derivabile in ρ = 0 (e ovviamente anche per gli altri valori di ρ): infatti il calcolo del limite del rapporto incrementale è

lim_{ρ→0} \frac{ρ^{2} sen ρ^{−1}}{ρ} = 0 .

Ma se calcoliamo la derivata in un altro punto si ottiene

\frac{d}{dρ}φ(ρ) = 2ρ sen ρ^{−1} − ρ^{2}ρ^{−2} cos ρ^{−1} = 2ρ sen ρ^{−1} − cos ρ^{−1}

il cui limite per ρ → 0 non esiste. Concludiamo che la derivata esiste, ma non è continua nel punto 0. Questo si traduce per la funzione f nel fatto che f è differenzibile in (0, 0), e il suo differenziale in quel punto è l’applicazione nulla, ma le derivate, che esistono, non sono continue nel punto (0, 0).

Soluzione 2.4 - Si noti che

lim_{x→0} lim_{y→0} \frac{sen (x^{4} + y^{4})}{x^{3} + xy^{2}} = lim_{x→0} \frac{sen x^{4}}{x^{3}} = lim_{x→0} \frac{sen x^{3}}{x^{3}} sen x = 0

mentre

lim_{y→0} lim_{x→0^{+}} \frac{sen (x^{4} + y^{4})}{x^{3} + xy^{2}} = +∞

quindi il limite non esiste.

Soluzione 2.5 - In A vale la seguente stima

x^{2} ⩽ xy ⩽ 2x^{2}

da cui otteniamo

e^{−2x^{2}} ⩽ e^{−xy} ⩽ e^{−x^{2}}  e  x^{4} ⩽ x^{3}y ⩽ 2x^{4}

quindi

x^{4}e^{−2x^{2}} ⩽ x^{3}ye^{−xy} ⩽ 2x^{4}e^{−x^{2}} .

Poiché lim_{x→+∞} x^{4}e^{−2x^{2}} = lim_{x→+∞} 2x^{4}e^{−x^{2}} = 0 si conclude che

lim_{|(x,y)|→+∞} x^{3}ye^{−xy} = 0 .

Soluzione 2.6 - Usiamo le coordinate polari: x − 1 = ρ cos ϑ, y = ρ sen ϑ. Vale: (x, y) → (1, 0) se e solo se (x − 1, y) → (0, 0) se e solo se ρ → 0 indipendentemente da ϑ. Il limite, se esiste, può essere quindi riscritto nelle nuove variabili come segue

lim_{ρ→0} \frac{ρ^{2} sen^{2}ϑ log(1 + ρ cos ϑ)}{ρ^{2}} = lim_{ρ→0} sen^{2}ϑ log(1 + ρ cos ϑ) = 0 .

Attenzione! Non sempre l’uso delle coordinate polari è di aiuto nello svolgere i limiti (si veda ad esempio la soluzione dell’esercizio 2.7).

Soluzione 2.7 - Se si passa in coordinate polari si ottiene

lim_{ρ→0} \frac{ρ^{3} cos^{2} ϑ sen ϑ}{ρ^{4} cos^{4} ϑ + ρ^{2} sen^{2}ϑ} = lim_{ρ→0} \frac{ρ cos^{2} ϑ sen ϑ}{ρ^{2} cos^{4} ϑ + sen^{2}ϑ}

che non esiste!! Se esistesse dovrebbe essere indipendente dal valore di ϑ. Ad esempio

lim_{x→0} lim_{y→0} \frac{x^{2}y}{x^{4} + y^{2}} = 0  e se y = x^{2}  lim_{x→0} \frac{x^{2}x^{2}}{x^{4} + x^{4}} = \frac{1}{2} .

Soluzione 2.8 - Si può mostrare che esiste α > 0 tale che x^{4} ⩾ x^{2} − α (si veda per esercizio che la disuguaglianza vale con α = 1/4. È il valore minore?). Quindi

f(x, y, z) = x^{4} + y^{2} + z^{2} − x + 3y − z ⩾ x^{2} − \frac{1}{4} + y^{2} + z^{2} − x + 3y − z .

Sia ρ = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}. Si ha, poiché −1 ⩽ \frac{x}{ρ}, \frac{y}{ρ}, \frac{z}{ρ} ⩽ 1,

f(x, y, z) ⩾ ρ^{2} + ρ( − \frac{x}{ρ} + \frac{3y}{ρ} − \frac{z}{ρ}) − \frac{1}{4} ⩾ ρ^{2} − 5ρ − \frac{1}{4}

e |(x, y, z)| → +∞ significa ρ → +∞ per cui il limite è +∞.

Soluzione 2.9 - Passando alle coordinate polari si ha

lim_{ρ→0} \frac{ρ^{α}| sen ϑ|^{α} cos(ρ cos ϑ)}{ρ} = lim_{ρ→0} ρ^{α−1}| sen ϑ|^{α}(1 − \frac{1}{2}ρ^{2} cos^{2} ϑ + o(ρ^{3}))

che è uguale a 0 se α > 1. Per α ⩽ 1 il limite non esiste: infatti se si considerano, ad esempio, prima ϑ = 0 e poi ϑ = π/2 e poi si esegue il limite per ρ → 0 si ottengono due risultati diversi.

Soluzione 2.10 - Ovviamente l’unico punto in cui fare le verifiche è l’origine in quanto negli altri punti la funzione è differenziabile. In coordinate polari la funzione diventa (per ρ ≠ 0)

f̃(ρ, ϑ) = f(ρ cos ϑ, ρ sen ϑ) = \frac{ρ^{3} cos^{2} ϑ sen ϑ}{ρ^{2}}

e lim_{ρ→0} f̃(ρ, ϑ) = 0, f(0, 0) = 0 per cui f risulta continua anche nell’origine. Vediamo se è derivabile: fissiamo un vettore v = (v_{1}, v_{2}) di norma 1 (v_{1}^{2} + v_{2}^{2} = 1) e calcoliamo il limite

lim_{t→0} \frac{f((0, 0) + tv) − f(0, 0)}{t} = lim_{t→0} \frac{1}{t} \frac{t^{2}v_{1}^{2}tv_{2}}{t^{2}v_{1}^{2} + t^{2}v_{2}^{2}} = v_{1}^{2}v_{2} ,

di conseguenza esistono le derivate direzionali in ogni direzione e si ha

\frac{∂f}{∂v} (0, 0) = v_{1}^{2}v_{2} .  (2.1)

Vediamo ora se f è differenziabile nel punto (0, 0). Se lo è deve esistere un’applicazione lineare L, denotata anche con df_{(0,0)}, tale che

lim_{h→(0,0)} \frac{f((0, 0) + h) − f(0, 0) − df_{(0,0)}h}{|h|} = 0 ;

inoltre la differenziabilità implica (si veda Osservazione 3.4 delle dispense di teoria) l’esistenza di tutte le derivate parziali e direzionali e

df_{(0,0)}v = \frac{∂f}{∂v} (0, 0) = ∇f(0, 0) · v = \frac{∂f}{∂x_{1}} (0, 0)v_{1} + \frac{∂f}{∂x_{2}} (0, 0)v_{2} .

Poiché l’applicazione deve essere lineare, e l’applicazione in (2.1) non lo è, si deduce che f non può essere differenziabile. (Per convincersi si effettui comunque il calcolo del limite

lim_{h→(0,0)} \frac{f((0, 0) + h) − f(0, 0) − df_{(0,0)}h}{|h|}

sostituendo al differenziale il valore del gradiente moltiplicato scalarmente per un vettore h, sapendo da (2.1) che le derivate parziali sono entrambe nulle).

Soluzione 2.11 - Si ha

0 ⩽ f(x, y) ⩽ \frac{x^{4} + y^{4}}{x^{2} + y^{2}} \frac{sen (x^{4} + y^{4})}{x^{4} + y^{4}} ⩽ (x^{2} + y^{2}) \frac{sen (x^{4} + y^{4})}{x^{4} + y^{4}}

visto che \frac{x^{4}+y^{4}}{x^{2}+y^{2}} = \frac{x^{4}}{x^{2}+y^{2}} + \frac{y^{4}}{x^{2}+y^{2}} ⩽ \frac{x^{4}}{x^{2}} + \frac{y^{4}}{y^{2}} . Usando questa disuguaglianza si mostra che f è continua, derivabile, differenziabile (il differenziale è l’applicazione nulla).

Soluzione 2.12 - Risposta: α + β − γ > 0 (suggerimento: usare le coordiante polari).

Soluzione 2.13 - Non esistono.

Soluzione 2.14 - In R^{2} \ {(0, 0)} è continua, derivabile, differenziabile. Per vedere la continuità nell’origine si osservi che

x^{3}y^{2} ⩽ \frac{1}{2}(x^{6} + y^{4})

(abbiamo usato la disuguaglianza a^{2} + b^{2} ⩾ 2ab, a, b ∈ R: mostrarla per esercizio). Quindi

0 ⩽ |f(x, y)| ⩽ \frac{1}{2}y^{2}  (2.2)

e di conseguenza

0 ⩽ lim_{(x,y)→(0,0)} |f(x, y)| ⩽ lim_{(x,y)→(0,0)} \frac{1}{2}y^{2} = 0 .

Vediamo la derivabilità: sia t ∈ R e v vettore di norma 1:

lim_{t→0} \frac{f((0, 0) + tv) − f(0, 0)}{t} = lim_{t→0} \frac{1}{t} \frac{t^{7}v_{1}^{3}v_{2}^{4}}{t^{6}v_{1}^{6} + t^{4}v_{2}^{4}} = lim_{t→0} \frac{t^{6}v_{1}^{3}v_{2}^{4}}{t^{6}v_{1}^{6} + t^{4}v_{2}^{4}} .

Questo limite è zero: si ricordi infatti che v = (v_{1}, v_{2}) è fissato. Se v_{2} = 0 la quantità t^{6}v_{1}^{3}v_{2}^{4} è identicamente nulla, se v_{2} ≠ 0 il limite è zero. Si può vedere in altro modo sfruttando la stima (2.2)

lim_{t→0} |\frac{f((0, 0) + tv) − f(0, 0)}{t}| ⩽ lim_{t→0} | \frac{1}{t} \frac{t^{2}v_{2}^{2}}{2} | = 0 .

Analogamente si mostra la differenziabilità: poiché le derivate parziali sono nulle l’applicazione lineare candidata a rappresentare il differenziale è l’applicazione nulla. Quindi per verificare che

lim_{h→(0,0)} \frac{f((0, 0) + h) − f(0, 0) − df_{(0,0)}h}{|h|} = 0

è sufficiente calcolare

lim_{|h|→0} \frac{h_{1}^{3}h_{2}^{4}}{h_{1}^{6} + h_{2}^{4}} \frac{1}{\sqrt{h_{1}^{2} + h_{2}^{2}}} .

Si ha, usando ancora la stima (2.2)

|\frac{h_{1}^{3}h_{2}^{4}}{h_{1}^{6} + h_{2}^{4}} \frac{1}{\sqrt{h_{1}^{2} + h_{2}^{2}}} | ⩽ \frac{1}{2} \frac{h_{2}^{2}}{\sqrt{h_{1}^{2} + h_{2}^{2}}} ⩽ \frac{1}{2} \frac{h_{2}^{2}}{\sqrt{h_{2}^{2}}} = \frac{1}{2} |h_{2}|

e quindi passando al limite per |h| → 0 si conclude.

Soluzione 2.15 - Se esistesse, per il teorema di Schwarz, si avrebbe che \frac{∂}{∂y} \frac{∂f}{∂x} = \frac{∂}{∂x} \frac{∂f}{∂y}, ma è semplice verificare che ciò non è vero.