Corso di laurea: Ingegneria gestionale, meccanica e meccatronica Programma di Fondamenti di Analisi Matematica II – a.a. 2009/10 Docente: Fabio Paronetto

Gli argomenti denotati con un asterisco tra parentesi sono stati dimostrati.

6.10.2009 Successioni e serie di funzioni. Definizione di convergenza puntuale ed uniforme. Esempi e controesempi. Se una successione di funzioni continue converge uniformemente in un intervallo, il limite é continuo (∗). Se una successione {f_{n}}_{n} converge uniformemente in [a, b) ad una funzione f ed esiste finito il limite lim_{x→b^{−}} f_{n}(x) = λ_{n}, allora esiste finito lim_{n→∞} λ_{n} = λ, lim_{x→b^{−}} f(x) = λ e {f_{n}}_{n} convergono uniformemente in [a, b] (∗).

7.10.2009 Teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale (∗). Teorema di passaggio al limite sotto il segno di derivata (∗). Esempi es esercizi su successioni di funzioni. Serie di funzioni: definizione di convergenza puntuale, assoluta, uniforme, totale e legame tra i vari tipi di convergenza. Risultati analoghi alle successioni (passaggio al limite della continuità, passaggio al limite sotto i segni di integrale e derivata per le serie).

8.10.2009 Esempi semplici di serie di funzioni. Serie di potenze: definizione; l’insieme di convergenza è sempre un intervallo, definizione di raggio di convergenza. Esempi di insiemi di convergenza.

13.10.2009 Richiami su criteri per le serie numeriche. Teorema sulle serie di potenze (∗). Calcolo di qualche raggio di convergenza. Studio dettagliato di ∑_{n} x^{n} (calcolo della somma, serie delle derivate, serie delle primitive, ecc.). Qualche esempio.

14.10.2009 Serie di Taylor: definizione di funzione sviluppabile in serie di Taylor, definizione di funzione analitica, esempio di funzione C^{∞} non analitica, qualche sviluppo di Taylor di alcune funzioni elementari. Calcolo di serie di Taylor. Esercizi sulle serie di potenze e di Taylor.

15.10.2009 Ancora esercizi sulle serie di potenze. Esercizi sulle serie di Taylor: data una serie trovarne la somma, data una funzione trovarne lo sviluppo di Taylor (casi speciali). Introduzione alle serie di Fourier: definizione di funzione continua a tratti, regolare a tratti. Teorema della proiezione (in uno spazio vettoriale V dotato di prodotto scalare (·, ·) (∗). Funzioni continue a destra, continue a sinistra e funzioni periodiche.

20.10.2009 Gli spazi vettoriali V_{+}([0, 2π)) e V_{−}((0, 2π]) dotati del prodotto scalare (f, g) = ∫ f(x)g(x)dx. Polinomi trigonometrici. Ortogonalità delle funzioni trigonometriche. Serie di Fourier. Teorema della proiezione adattato alle serie di Fourier per funzioni periodiche (∗).

21.10.2009 Sviluppi in soli seni e in soli coseni (funzioni peri e dispari). Funzioni periodiche di periodo T e coefficienti di Fourier per funzioni definite in [0, T). Teorema sulla convergenza per le serie di Fourier (senza dimostrazione). Forma complessa di una serie di Fourier.

22.10.2009 Teorema (integrazione delle serie di Fourier) (∗) (dimostrazione solo per funzioni continue). Esercizi sulle serie di Fourier.

22.10.2009 Esempi di serie di Fourier. Fenomeno di Gibbs (mostrato con un esempio). Un po’ di topologia di R^{n}: modulo e sue proprietà, disuguaglianza di Schwarz (|(x, y)| ⩽ |x||y|, x, y ∈ R^{n}), intorni sferici, palle in R^{n}, bordo o frontira di un insieme, punti di accumulazione e isolati, insiemi aperti e chiusi e loro caratterizzazioni, insiemi limitati. Poligonali e loro lunghezza, insiemi connessi per poligonali, insiemi convessi, insiemi stellati.

27.10.2009 Successioni e insiemi compatti.

Introduzione alle funzioni di più variabili. Funzioni vettoriali (da R in R^{n}), da R^{n} in R, da R^{n} a R^{k} Definizione di limite di definizione di continuità per funzioni a valori reali e poi vettoriali, sup, inf, teorema di Weiestrass, teorema dei valori intermedi. Definizione di uniforme continuità e teorema di Heine-Cantor.

28.10.2009 Dimostrazione del teorema di Heine-Cantor (∗) ed esempi di funzioni uniformemente continue e non in dimensione 1. Curve: definizione di curva parametrica, di curva continua, derivabile, regolare. Vettore tangente ad una curva, cambi di variabile, curve orientate, curve cartesiane (grafici visti come curve). Integrale di una curva, | ∫_{a}^{b} γ(t)dt| ⩽ ∫_{a}^{b} |γ(t)|dt (∗)

29.10.2009 Lunghezza di una curva: suddivisione di un intervallo, definizione tramite il sup della lunghezza delle poligonali inscritte, curve rettificalbili. Esempio di una curva continua definita in un compatto e non rettificabile. Teorema: se γ è regolare l(γ) = ∫_{a}^{b} |γ̇(t)|dt (∗). Parametro d’arco (o ascissa curvilinea). Qualche esempio ed esercizio. Integrale di linea ∫_{γ} f ds = ∫_{a}^{b} f(γ(t))|γ̇(t)|dt (con f : R^{n} → R). L’integrale ∫_{γ} f ds non dipende dalla parametrizzazione della curva (∗). Esercizi.

3.11.2009 Qualche altro esercizio sulle curve e sugli integrali di linea.

Funzioni di più variabili: esempi di funzioni da R^{2} in R e loro grafici. Insiemi di livello. Esempi di insiemi di livello per funzioni definite in R^{2} e in R^{3}.

4.11.2009 Funzioni di n variabili a valori reali: continuità e derivabilità, esempi (se f è derivabile in tutte le direzioni non è necessariamente continua (∗)). Differenziabilità. Se f è differenzibile è continua (∗). Se f è differenzibile ammette derivate direzionali in ogni direzione (∗). Caratterizzazione del differenziale. Esistenza e definizione del piano tangente.

5.11.2009 Direzione di massima pendenza e legame con il gradiente (∗). Teorema del differenziale totale (∗). Funzioni C^{1}. Derivazione per funzioni composte (f ∘γ e g∘f con f di n variabili, γ curva a valori in R^{n}, g : R → R) (∗). Ortogonalità del gradiente alle curve di livello (∗). Teorema del valor medio (∗). Se ∇f è il vettore nullo e f è definita in un insieme connesso per poligonali, allora f è costante (∗). Esercizi ed esempi su limiti in più variabili.

10.11.2009 Esercizi ed esempi su limiti in più variabili e studio di continuità, derivabilità, differenziabilità per funzioni di più variabili.

11.11.2009 Punti critici o stazionari. Se x_{o} è stazionario per f e f è differenziabile in x_{o} allora ∇f(x_{o}) = (0, …, 0) (∗). Derivate di ordine superiore al primo. Formula di Taylor per funzioni di più variabili con particolare attenzione allo sviluppo fino al 2^{∘} ordine. Matrice hessiana. Teorema di Schwarz. Data una matrice A simmetrica vale λ_{min}|x|^{2} ⩽ (A·x, x) ⩽ λ_{max}|x|^{2} dove λ_{min} è il minimo autovalore, λ_{max} il massimo (∗).

12.11.2009 Matrici (semi)definite positive, (semi)definite negative, condizione necessaria e condizione sufficiente affinché un punto stazionario sia di minimo relativo o di massimo relativo. Legame con gli autovalori. Esempi ed esercizi.

17.11.2009 Esercizi su massimi e minimi.

18.11.2009 Esercizi su massimi e minimi.

19.11.2009 Funzioni vettoriali: continuità, differenziabilità, matrice jacobiana, derivazione per funzioni composte vettoriali. Teorema di Dini (o delle funzioni implicite) nel caso di due variabili reali e a valori reali (∗). Esempi ed esercizi.

26.11.2009 Teorema di Dini nei seguenti casi: funzioni scalari di tre variabili, sistemi di due equazioni scalari di tre variabili, caso generale. Teorema di invertibilità locale.

25.11.2009 26.11.2009 1.12.2009 2.12.2009 3.12.2009 9.12.2009 10.12.2009 3.12.2009