Esercizi I settimana

29 settembre 2011

1. Studiare il carattere della seguente successione in ℝ^{3}, determinandone, in caso, il punto limite;

x_{h} = ((−1)^{h} \frac{h^{5/2} − 3h + 7}{h^{3} + \sqrt{h} − 3h^{2}} , \frac{2^{h} + h}{2^{h+1}}, (\frac{h^{2} + 1}{h^{2}})^{h}) .

2. Si determini la curvatura della curvatura r : ℝ → ℝ^{2},

r(t) = (arctan t, t).

3. Si studino le principali proprietà della curva parametrizzata in coordinate polari da

\{ \begin{matrix}ϱ = 2t \\ ϑ = t^{2} \end{matrix} , t ∈ [0, 2\sqrt{π}].

Se ne determini in particolare la lunghezza.

4. Si consideri la curva parametrizzata r : [1, +∞) → ℝ^{3} definita da

r(t) = \frac{1}{t^{2}} (sin t, cos t, 1);

studiarne le proprietà, calcolarne lunghezza e curvatura e determinare raggio e centro del cerchio osculatore per t = 2.

Soluzioni

1. Si nota che per le tre successioni che definiscono le componenti di x_{h} si ha

lim_{h→+∞}(−1)^{h} \frac{h^{5/2} − 3h + 7}{h^{3} + \sqrt{h} − 3h^{2}} = 0, lim_{h→+∞} \frac{2^{h} + h}{2^{h+1}} = \frac{1}{2},

lim_{h→+∞}(\frac{h^{2} + 1}{h^{2}})^{h} = lim_{h→+∞} (1 + \frac{1}{h^{2}} )^{\frac{h^{2}}{h}} = 1.

Quindi

lim_{h→+∞} x_{h} = (0, \frac{1}{2}, 1).

2. La curva data è una curva cartesiana rispetto alla x, nel senso che possiamo scrivere

x = f(y), con

f(t) = arctan t.

Possiamo quindi utilizzare la seguente formula per la curvatura delle curve cartesiane;

k(t) = \frac{|f′′(t)|}{(1 + f′(t)^{2})^{3/2}} = \frac{2t(1 + t^{2})}{(2 + 2t^{2} + t^{4})^{3/2}} .

3. La curva in coordiante cartesiane diventa

r(t) = (2t cos(t^{2}), 2t sin(t^{2})), t ∈ [0, 2\sqrt{π}].

Tale curva è semplice, non chiusa; per la regolarità, calcoliamo la derivata

r′(t) = 2(cos(t^{2}), sin(t^{2})) + 4t^{2}(− sin(t^{2}), cos(t^{2})),

da cui

∥r′(t)∥ = 2\sqrt{1 + 4t^{4}}.

Quindi la curva è pure regolare. Per calcolarne la lunghezza, dobbiamo calcolare il seguente integrale

l(r, [0, 2\sqrt{π}]) = 2 ∫_{0}^{2\sqrt{π}} \sqrt{1 + 4t^{4}}dt.

Questo purtroppo è un integrale che non si riesce a calcolare con calcoli diretti; può essere calcolato in termini di funzioni ipergeometriche o in modo approssimato con programmi numerici. Rimandiamo a tal proposito al seguente sito

http://www.wolframalpha.com/

4. La curva è una curva semplice, non chiusa con

r′(t) = −\frac{2}{t^{3}} (sin t, cos t, 1) + \frac{1}{t^{2}} (cos t, − sin t, 0),

e quindi

v(t) = ∥r′(t)∥ = \frac{\sqrt{8 + t^{2}}}{t^{3}} .

Quindi la curva è regolare e per calcolare la sua lunghezza dobbiamo calcolare

l(r, [1, +∞)) = ∫_{1}^{∞} \frac{\sqrt{8 + t^{2}}}{t^{3}} dt = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{2} ln(2\sqrt{2} + 3)}{8}.

Per il calcolo della curvatura, possiamo utilizzare la seguente formula;

k(t) = \frac{∥r′′(t) × r′(t)∥}{∥r′(t)∥^{3}}.

Siccome

r′′(t) = \frac{6}{t^{4}} (sin t, cos t, 1) − \frac{4}{t^{3}} (cos t, − sin t, 0) + \frac{1}{t^{2}} (− sin t, − cos t, 0),

si trova che

r′′(t) × r′(t) = \frac{2}{t^{6}} (− sin t, − cos t, 1) + \frac{2}{t^{5}} (cos t, − sin t, 0) + \frac{1}{t^{4}} (0, 0, 1),

da cui

k(t) = \frac{t^{3}}{t^{2} + 8}\sqrt{\frac{t^{4} + 8t^{2} + 8}{t^{2} + 8}}.  (1)

Per t = 2 troviamo che

k(2) = \frac{2\sqrt{2}\sqrt{7}}{3\sqrt{3}},

da cui il raggio del cerchio osculatore che è dato da

\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{2}\sqrt{7}}.

Per calcolare il centro del cerchio osculatore ci serve determinare il versore normale n̂_{r}(2). Dalla formula

k(t)v^{2}(t)n̂_{r}(t) = r′′(t) − \frac{a(t)}{v(t)}r′(t)

si ricava ancora la formula (1) per la curvatura e

n̂_{r}(t) = \frac{(t^{3} + 6t)}{\sqrt{(t^{2} + 8)(t^{4} + 8t^{2} + 8)}}(−sin t− \frac{2t^{2} + 8}{t^{3} + 6t} cos t, − cos t+ \frac{2t^{2} + 8}{t^{3} + 6t} sin t, \frac{2t}{t^{3} + 6t}),

da cui

n̂_{r}(2) = \frac{5}{\sqrt{2}\sqrt{3}\sqrt{7}}( − sin 2 − \frac{4}{5} cos 2, − cos 2 + \frac{4}{5}, \frac{1}{5}).

Per la coordinata del centro del cerchio osculatore usiamo la formula

(x_{0}, y_{0}, z_{0}) = r(2) + ϱ_{r}(2)n̂_{r}(2) = \frac{1}{14}( − 4 sin 2 − 6 cos 2, −4 cos 2 + 6 sin 2, 5).