Esercizi II settimana

6 ottobre 2011

1. Determinare il dominio e il codomio delle seguenti funzioni;

\frac{1}{\sqrt{2x − x^{2} − y^{2}}} + \sqrt{x − y^{2}}, arcsen (y^{2} − x^{2} + 1),

ln ((x^{2} − 1 − y)(x^{2} − 1 + y)) + ln(4 − x^{2}).

2. Descrivere le proprietà topologiche degli insiemi del punto precedente; dire in particolare se i domini trovati sono aperti, chiusi, limitati, compatti e connessi per archi.

3. Determinare il dominio della funzione

f(x, y) = \sqrt{x − \sqrt{1 − x^{2} − y^{2}}};

descrivere le proprietà topologiche di tale dominio e dire la funzione è continua o meno.

4. Determinare gli insiemi di livello della funzione del punto precedente; dire inoltre se si può applicare il Teorema di Weierstrass e determinare massimo e minimo mediante lo studio degli insiemi di livello.

Soluzioni

1. Il dominio della prima funzione è determinato dalle due condizioni

\{ \begin{matrix}2x − x^{2} − y^{2} > 0 \\ x − y^{2} ≥ 0 \end{matrix}

cioè dalle condizioni

\{ \begin{matrix}(x − 1)^{2} + y^{2} < 1 \\ x ≥ y^{2}. \end{matrix}

Si tratta quindi della parte di cerchio di raggio 1 centrato in (1, 0) che si trova a destra della parabola x = y^{2}; tale insieme è rappresentato in Figura 1(a). Per quanto riguarda il codominio, si nota che ad esempio lungo la parabola x = y^{2} per punti che tendono a (1, 1) o (1, −1) la funzione tende a +∞; siccome poi in (1, 0) la funzione vale \sqrt{2}, allora il codominio contiene sicuramente l’intervallo [\sqrt{2}, +∞) in quanto la funzione è continua. Per determinare quale sia il codominio, che sicuramente è contenuto in (0, +∞), bisognerebbe determinare il minimo della funzione; al momento non abbiamo ancora sviluppato la teoria necessaria per questo e quindi tralasciamo qui la discussione completa.

Per la seconda funzione, il dominio è determinato dalle condizioni

−1 ≤ y^{2} − x^{2} + 1 ≤ 1,

da cui

\{ \begin{matrix}x^{2} − y^{2} ≤ 2 \\ x^{2} − y^{2} ≥ 0. \end{matrix}

Tale regione è rappresentata in Figura 1(b). Il codominio è dato da [−π/2, π/2].

Il dominio dell’ultima funzione è determinato dalle condizioni

\{ \begin{matrix}(x^{2} − 1 − y)(x^{2} − 1 + y) > 0 \\ 4 − x^{2} > 0. \end{matrix}

Tale dominio è rappresentato in Figura 1(c). Il codominio è dato invece da (−∞, 2 ln 2].

(a)  (b)  (c)

Figura 1: Rappresentazione dei domini delle funzioni date.

2. Per quanto riguarda le proprietà topologiche dei domini del punto precedente, abbiamo che il primo dominio è limitato, connesso nè aperto è chiuso in quanto la parabola x = y^{2} appartiene all’insieme mentre la parte di circonferenza (x − 1)^{2} + y^{2} = 1 non appartiene al dominio. Il secondo dominio è illimitato, connesso in quanto (0, 0) appartiene al dominio e chiuso. Il terzo dominio è limitato, aperto e disconnesso in quanto i punti (−1, 0) e (1, 0) non appartengono al dominio.

3. Il dominio è determinato dalla condizione

\{ \begin{matrix}1 − x^{2} − y^{2} ≥ 0 \\ x − \sqrt{1 − x^{2} − y^{2}} ≥ 0, \end{matrix}

che è equivalente alla condizione

\{ \begin{matrix}x ≥ 0, \\ x^{2} + y^{2} ≤ 1 \\ 2x^{2} + y^{2} ≥ 1. \end{matrix}

Tale dominio è rappresentato in Figura 2; esso è chiuso, limitato (quindi compatto) e connesso. La funzione è continua sul suo dominio; si può già concludere che la funzione ammette massimo e minimo sul suo dominio grazie al Teorema di Weierstrass.

Figura 2: Dominio della figura data.

4. Gli insiemi di livello sono determinati dall’equazione

c = \sqrt{x − \sqrt{1 − x^{2} − y^{2}}};

si vede subito che tale equazione ha soluzione solo per c ≥ 0. Per tali valori possiamo scrivere

\sqrt{1 − x^{2} − y^{2}} = x − c^{2}

che, nel caso in cui c^{2} ≤ x è equivalente a

\frac{4}{2 − c^{4}} (x − \frac{c^{2}}{2} )^{2} + \frac{2}{2 − c^{4}} y^{2} = 1.

Tali insiemi sono quindi ellissi centrate in (c^{2}/2, 0) e di semiassi

\frac{\sqrt{2 − c^{4}}}{2} , \begin{matrix}√ & \overline{2 − c^{4}} \\ √ & \overline{2} \end{matrix} .

Si noti che la condizione c^{2} ≤ x assieme alla condizione che il punto (x, y) appartenga al dominio della funzione implica che c ≤ 1, in quanto x ∈ [0, 1]. Da questa discussione se ne deduce che il minimo della funzione è 0 assunto lungo l’ellisse 2x^{2}+y^{2} = 1, x ≥ 0, mentre il massimo è 1 assunto nel punto (1, 0).