Esercizi III settimana

20 ottobre 2011

1. Si studino le proprietà di continuità, derivabilità e differenziabilità della funzione;

f(x, y) = \sqrt{xy + ln y}.

Si scrivano quindi le equazioni piano tangente e della retta normale al grafico della funzione nel punto (2, 1).

2. Date le funzioni f : ℝ^{3} → ℝ e g : ℝ^{2} → ℝ, si definisca G(x, y) = (x, y, g(x, y)); si determini il gradiente della funzione h = f ∘ G utilizzando la formula per la derivata della funzione composta e si deduca, nel caso in cui ∂f/∂z ≠ 0, la seguente formula per la funzione implicita, cioè sotto la condizione che f(x, y, g(x, y)) = 0;

∇g(x, y) = − \frac{1}{\frac{∂f}{∂z} (x, y, g(x, y))} (\frac{∂f}{∂x} (x, y, g(x, y)), \frac{∂f}{∂y} (x, y, g(x, y)), ) .

3. Si considerino le coordinate sferiche nello spazio determinate dalla funzione

G :[0, +∞) × [0, 2π] × [0, π] → ℝ^{3},
G(ϱ, ϑ, φ) =(ϱ cos ϑ senφ, ϱ senϑ senφ, ϱ cos φ),

cioè

x = ϱ cos ϑ senφ
y = ϱ senϑ senφ
z = ϱ cos φ.

Si scriva la matrice Jacobiana di G e si deduca da essa la formula per le derivate espresse in coordinate sferiche.

4. Si determini il Laplaciano della funzione

f(x, y, z) = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}

sia utilizzando direttamente la definizione di Δf sia sfruttando il fatto che f è radiale (scrivendo quindi il Laplaciano in coordinate sferiche).

Soluzioni

1. Il dominio della funzione è determinato dalle condizioni

\{ \begin{matrix}y > 0 \\ x ≥ −\frac{ln y}{y}; \end{matrix}

Figura 1: Dominio della figura data.

Tale dominio è raffigurato in Figura 1. La funzione è di classe C^{1} per x > −\frac{ln y}{y}; in tali punti la funzione è quindi differenziabile. Vediamo se possiamo ricavare la differenziabilità per i punti di x = −\frac{ln y}{y}; sia quindi (x_{0}, y_{0}) tale che x_{0}y_{0} + ln y_{0} = 0 e calcoliamo

lim_{h→0^{+}} \frac{f(x_{0} + h, y_{0}) − f(x_{0}, y_{0})}{h} = lim_{h→0^{+}} \frac{\sqrt{x_{0}y_{0} + hy_{0} + ln y_{0}}}{h} = lim_{h→0^{+}} \frac{\sqrt{hy_{0}}}{h}

e tale limite non esiste. Quindi non possiamo scrivere il gradiente in (x_{0}, y_{0}), cioè f non sarà differenziabile in tali punti.

Nei punti xy + ln y > 0 abbiamo che

∇f(xy) = \frac{1}{2\sqrt{xy + ln y}} (y, x + \frac{1}{y} ) ,

da cui ∇f(2, 1) = \frac{1}{2\sqrt{2}}(1, 3); l’equazione del piano tangente è quindi dato da z = f(2, 1) + ∇f(2, 1) · (x − 2, y − 1), cioè

x + y − 2z\sqrt{2} = 1.

La retta normale è invece parametrizzata da r(t) = (2, 1, f(2, 1)) + t(−∇f(2, 1), 1), cioè la retta

r(t) = (2 − \frac{t}{2\sqrt{2}}, 1 − \frac{3t}{2\sqrt{2}}, \sqrt{2} + t) ,

che in forma cartesiana diventa

\{ \begin{matrix}2x\sqrt{2} + z = 5\sqrt{2} \\ 2y\sqrt{2} + 3z = 5\sqrt{2}. \end{matrix}

2. Iniziamo col notare che

DG(x, y) = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \frac{∂g}{∂x}(x, y) & \frac{∂g}{∂y} (x, y) \end{matrix} ) ,

quindi

∇h(x, y) = ∇f(x, y, g(x, y)) · DG(x, y)
= ( \frac{∂f}{∂x} (x, y, g(x, y)), \frac{∂f}{∂y} (x, y, g(x, y)), \frac{∂f}{∂z} (x, y, g(x, y))) · ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \frac{∂g}{∂x} (x, y) & \frac{∂g}{∂y} (x, y) \end{matrix} )

= ( \frac{∂f}{∂x} (x, y, g(x, y)) + \frac{∂f}{∂z} (x, y, g(x, y)) \frac{∂g}{∂x} (x, y), \frac{∂f}{∂y} (x, y, g(x, y)) + \frac{∂f}{∂z} (x, y, g(x, y)) \frac{∂g}{∂y} (x, y)) .

In particolare, se ne deduce che se g è la funzione implicita, allora

h(x, y) = f(x, y, g(x, y)) = 0,

da cui

\frac{∂g}{∂x}(x, y) =− \frac{\frac{∂f}{∂x}(x, y, g(x, y))}{\frac{∂f}{∂z} (x, y, g(x, y))}

\frac{∂g}{∂y} (x, y) =− \frac{\frac{∂f}{∂y} (x, y, g(x, y))}{\frac{∂f}{∂z} (x, y, g(x, y))}.

3. La matrice Jacobiana di G è data da

DG(ϱ, ϑ, φ) = ( \begin{matrix}cos ϑ senφ & −ϱ senϑ senφ & ϱ cos ϑ cos φ \\ senϑ senφ & ϱ cos ϑ senφ & ϱ senϑ cos φ \\ cos φ & 0 & −ϱ senφ \end{matrix} ) .

Quindi, se g è la rappresentazione di una funzione in coordinate sferiche e h la rappresentazione della stessa funzione in coordinate cartesiane, denotando con F = G^{−1} la mappa inversa delle coordinate sferiche, cioè la trasformazione dalle coordinate cartesiane a quelle sferiche, le funzioni h e g sono legate da h(x, y, z) = g ∘ F (x, y, z). Otterremo quindi che

∇h(x, y, z) = ∇g(F (x, y, z)) · DF (x, y, z).

In definitiva si trova che valgono le seguenti formule per le derivate;

\frac{∂}{∂x} = cos ϑ senφ\frac{∂}{∂ϱ} − \frac{1}{ϱ} \frac{senϑ}{senφ} \frac{∂}{∂ϑ} + \frac{1}{ϱ} cos ϑ cos φ\frac{∂}{∂φ}

\frac{∂}{∂y} = senϑ senφ\frac{∂}{∂ϱ} + \frac{1}{ϱ} \frac{cos ϑ}{senφ} \frac{∂}{∂ϑ} + \frac{1}{ϱ} senϑ cos φ\frac{∂}{∂φ}

\frac{∂}{∂z} = cos φ\frac{∂}{∂ϱ} − \frac{1}{ϱ} senφ\frac{∂}{∂φ}.

4. Iniziamo col calcolare

∇f(x, y, z) = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} (x, y, z).

Quindi,

Δf(x, y, z) =div∇f(x, y, z) = \frac{∂}{∂x} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} + \frac{∂}{∂y} \frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} + \frac{∂}{∂z} \frac{z}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}

=\frac{3}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} − \frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{(x^{2} + y^{2} + z^{2})^{3/2}}
=\frac{2}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} .

Possiamo anche passare alle coordinate sferiche; utilizzando l’esercizio precedente, si vede che il Laplaciano per una funzione espressa in coordinate sferiche è dato da

Δg(ϱ, ϑ, φ) =\frac{1}{ϱ^{2}} \frac{∂^{2}g}{∂ϱ^{2}} (ϱ, ϑ, φ) + \frac{2}{ϱ} \frac{∂g}{∂ϱ}(ϱ, ϑ, φ) + \frac{cos ϑ}{ϱ^{2} senϑ} \frac{∂g}{∂ϑ}(ϱ, ϑ, φ)+

+ \frac{1}{ϱ^{2}} \frac{∂^{2}g}{∂ϑ^{2}} (ϱ, ϑ, φ) + \frac{1}{ϱ^{2} sen^{2}ϑ} \frac{∂^{2}g}{∂φ^{2}} (ϱ, ϑ, φ).

Se la funzione è radiale, cioè se g(ϱ, ϑ, φ) = h(ϱ), la precedente espressione si riduce a

Δh(ϱ) = \frac{1}{ϱ^{2}} h′′(ϱ) + \frac{2}{ϱ}h′(ϱ).

Nel nostro caso h(ϱ) = ϱ e quindi h′(ϱ) = 1 e h′′(ϱ) = 0, da cui ritroviamo ancora che

Δh(ϱ) = \frac{2}{ϱ}.